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§5.3格林函数调和函数的积分表达式：不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问题的解。(?)

为得到狄利克雷问题的解,必须消去下面引入格林函数的概念。在第二格林公式中，取

u,v

为内调和函数，则注意到积分区域相同，二式相加则如果存在调和函数v,使得引入函数：则称为拉普拉斯方程（第一边值问题）的格林函数。

奇性部分正则部分注：Green函数是Laplace方程的基本解。满足以下定解问题：Green函数的性质如果能找到格林函数中的v，则狄利克雷问题的解如果存在,必可以表示为类似的,若泊松方程第一边值问题的解存在,必然可以表示为因此，求解狄利克雷问题,就转化为求相应区域的格林函数问题。可以看出,格林函数仅依赖于选取的区域,而与原定解条件中的边界条件无关。因此如果求得某个区域的格林函数,就可以解决这个区域的一切狄利克雷问题。一些特殊的区域,如半空间、球域,可以通过初等方法，如“电象法”得到格林函数。从格林函数的表达式知,确定格林函数,需要找到满足的调和函数v.

§5.4两种特殊区域的格林函数

及狄利克雷问题的解所谓电象法，就是在点放置单位正电荷，在区域外找出关于边界的象点然后在点放置适当单位的负电荷，它产生的负电位与处正电荷产生的正电位在上互相抵消。由于在区域的内部，在区域的外部，处的点电荷形成电场的电位在内部是调和函数v，且有故和处的电荷形成的电场在上的电位就是所要求的格林函数。

要解决问题：具体步骤：(1)对应于

Ω

内的一点

M0寻求关于区域边界对称的区域外的点

M1,等效点电荷的位置和电量。

(2)在

点置电量为

q的负电荷，使得在区域边界上,由该负电荷产生的电位与点单位正电荷产生的电位互相抵消，即：1)半空间的格林函数

求解拉普拉斯方程在半空间内的狄利克雷问题，就是求函数u(x,y,z)，它满足为解上述问题，首先找格林函数在点()放置单位正电荷，在点放置单位负电荷，则它与处的正电荷所产生的正电位在平面z=0上互相抵消。zyxP0由于在上半空间内为调和函数，在闭区域上具有一阶连续偏导数，因此就是上半空间z>0的格林函数。

为了求出原问题的解：需要计算zyxP0将上式代入到即得到原问题的解:思考:怎样求半空间{x>0}，{z>1}及

{y<2}的格林函数及相应狄利克雷问题的解？2)球域的格林函数

设是以原点为中心，半径为R的球内任一点,

是关于球面的反演点。

在点放置单位正电荷，在点放置q单位负电荷，使这两个电荷产生的电位在球面上互相抵消,即P

o

R故q必须不依赖于P的选取且满足：

由

∽，得即只要在点放置个单位负电荷,它形成电场的电位P

o

R具有性质:在所围的球域内部是调和函数,在上一阶连续可微,而且所以,球域的格林函数为Mo

利用球坐标可知现在利用格林函数求球内的狄利克雷问题：Mo

球的Poisson公式例：建立二维情况下调和函数的积分表达式。

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