线性代数发展简介课件

线性代数发展简介幻灯片制作:张小向东南大学数学系版本:2008.1[1]94/xxds/old/ziliao/fazhan.htm

参考资料

[2]/63594691.html

[3]/question/1806291.html?fr=qrl3

[4]/view/795684.htm

[6]http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/

线性代数发展简介幻灯片制作:张小向版本:2008.1[1行列式

出现于线性方程组的求解最早是一种速记的表达式现已是数学中一种非常有用的工具发明人:德国数学家莱布尼茨日本数学家关孝和

行列式出现于线性方程组的求解2行列式

1750年，瑞士数学家克拉默《线性代数分析导引》行列式的定义和展开法则，克拉默法则稍后，法国数学家贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解行列式1750年，瑞士数学家克拉默3行列式

法国数学家范德蒙德

(Alexandre-ThéophileVandermonde,1735.2.28-1796.1.1)对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述把行列式理论与线性方程组求解相分离给出了用余子式来展开行列式的法则自幼在父亲的指导下学习音乐但对数学有浓厚的兴趣后来终于成为法兰西科学院院士行列式法国数学家范德蒙德4行列式

1772年，法国数学家拉普拉斯证明了范德蒙德提出的一些规则推广了范德蒙德展开行列式的方法1815年，法国数学家柯西第一个系统的几乎是近代的处理乘法定理,方阵,双足标记法改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明行列式1772年，法国数学家拉普拉斯5行列式

19世纪，英国数学家西尔维斯特活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动他(犹太人)受到剑桥大学的不平等对待改进了从一个n次和一个m次的多项式中消去

x的方法(他称之为配析法)并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果(但没有给出证明)行列式19世纪，英国数学家西尔维斯特6行列式

德国数学家雅可比继柯西之后，在行列式理论方面最多产引进了函数行列式(雅可比行列式)指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成行列式德国数学家雅可比7行列式

由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。整个19世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。行列式由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型8矩阵

“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。英国数学家凯莱被公认为是矩阵论的创立者首先把矩阵作为一个独立的数学概念首先发表了关于这个题目的一系列文章同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。矩阵“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的9矩阵

英国数学家凯莱1858年，《矩阵论的研究报告》系统地阐述了关于矩阵的理论:矩阵的相等、运算法则、转置以及逆等指出了矩阵加法的可交换性与可结合性

方阵的特征方程和特征根(特征值),有关矩阵的一些基本结果凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学三年后他转从律师职业，工作卓有成效并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文矩阵英国数学家凯莱10矩阵

1855年，法国数学家埃米特

证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等后来，德国数学家克莱伯施、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论矩阵1855年，法国数学家埃米特11矩阵

德国数学家弗罗伯纽斯

最小多项式、秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、相似变换、合同矩阵等概念以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质矩阵德国数学家弗罗伯纽斯12矩阵

1854年，法国数学家若尔当矩阵化为标准型的问题1892年，加拿大数学家梅茨勒

(WilliamHenryMetzler,1863.9.18-1943.4.18)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式傅里叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。矩阵1854年，法国数学家若尔当13矩阵

矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论(M-P)等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。矩阵矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一14线性方程组

公元前1世纪,《九章算术》

初等行变换,相当于高斯消元法。17世纪后期,德国数学家莱布尼茨曾研究含两个未知量三个方程的线性组18世纪上半叶,英国数学家麦克劳林具有二、三、四个未知量的线性方程组得到了现在称为克拉默法则的结果克拉默不久也发表了这个法则线性方程组公元前1世纪,《九章算术》15线性方程组

18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究证明了n元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零19世纪，英国数学家史密斯和道奇森前者引进了方程组的增广矩阵的概念后者证明了n个未知数m个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同线性方程组18世纪下半叶，法国数学家贝祖16线性方程组

大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因此在线性方程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。线性方程组大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。17向量古希腊的亚里士多德已经知道力可以表示成向量，二力合成的平行四边形法则。法国数学家笛卡儿和费马为解析几何奠定了基础。挪威测量学家未塞尔(CasparWessel,1745.6.8-1818.3.25),瑞士数学家阿工(JeanRobertArgand,

1768.7.18-1822.8.13)发明了复数的几何表示。英国数学家科兹,法国数学家棣美弗,范德蒙德(Alexandre-ThéophileVandermonde,1735.2.28-1796.1.1),瑞士数学家欧拉也曾认识到平面上的点可与复数一一对应。向量古希腊的亚里士多德已经知道力可以表示成向量，二力合成的平18向量德国数学家高斯建立了复平面的概念。英国物理学家数学家亥维赛在向量分析上作出了许多贡献。1843年,英国数学家哈密顿发现了四元数。1844年,德国数学家格拉斯曼提出了n维向量的理论。1888年,意大利数学家皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。向量德国数学家高斯建立了复平面的概念。19二次型

二次型的系统研究是从18世纪开始的起源于对二次曲线/面的分类问题的讨论19世纪,法国数学家柯西当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项二次型二次型的系统研究是从18世纪开始的20二次型

后来,英国数学家西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明这个定律后被雅可比重新发现和证明1801年，德国数学家高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语二次型后来,英国数学家西尔维斯特21二次型

二次型化简的进一步研究涉及特征方程的概念特征方程的概念隐含地出现在瑞士数学家欧拉的著作中;法国数学家拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念;而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特、蒙日和泊松建立的二次型二次型化简的进一步研究涉及特征方程的概念22二次型

法国数学家柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性后来，他又证明了n个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和二次型法国数学家柯西23二次型

1851年，英国数学家西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类在他的分类方法中他引进了初等因子和不变因子的概念但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这一结论二次型1851年，英国数学家西尔维斯特24二次型

1858年，德国数学家魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根不相等，这个化简也是可能的比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双线性型二次型1858年，德国数学家魏尔斯特拉斯25群论

公元前3世纪,古希腊的阿基米德曾用图像法解出特殊的数字三次方程公元前1世纪,《九章算术》:x3=1860867公元3世纪,希腊的丢番图:x3+x=4x2+4

625年左右,唐朝数学家王孝通:三次方程1079年,阿拉伯数学家奥马·海亚姆(OmarKhayyam,约1048-约1131)在《代数》中较系统地研究了一、二、三次方程以上都未给出求根公式群论公元前3世纪,古希腊的阿基米德曾用图像法解出特殊的数26群论

1541年，意大利数学家塔尔塔利亚(N.Tartaglia,1499?-1557)三次方程的求根公式1545年,意大利的卡尔达诺

(G.Cardano,1501-1576)

在《大术》中介绍了三次方程的求根公式卡尔达诺的学生费拉里一元四次方程的一般解法但是对于更高次方程的求根公式是否存在，成为当时的数学家们探讨的又一个问题。这个问题花费了不少数学家们大量的时间和精力。经历了屡次失败，但总是摆脱不了困境。

群论1541年，意大利数学家塔尔塔利亚27群论

到了18世纪下半叶，拉格朗日认真总结分析了前人失败的经验，深入研究了高次方程的根与置换之间的关系，提出了预解式概念，并预见到预解式和各根在排列置换下的形式不变性有关。但他最终没能解决高次方程问题。拉格朗日的弟子鲁菲尼也做了许多努力，但都以失败告终群论到了18世纪下半叶，拉格朗日认真总结分析了前人失败28群论

1824年，挪威数学家阿贝尔证明了次数大于四次的一般代数方程不可能有根式解但问题仍没有彻底解决，因为有些特殊方程可以用根式求解因此，高于四次的代数方程何时没有根式解，是需要进一步解决的问题这一问题由法国数学家伽罗瓦全面透彻地给予解决群论1824年，挪威数学家阿贝尔29群论

伽罗瓦仔细研究了拉格朗日和阿贝尔的著作，建立了方程的根的“容许”置换，提出了置换群的概念，得到了代数方程用根式解的充分必要条件是置换群的自同构群可解从这种意义上说，伽罗瓦是群论的创立者伽罗瓦出身于巴黎附近一个富裕的家庭，幼时受到良好的家庭教育，只可惜，这位天才的数学家英年早逝1832年5月，由于政治和爱情的纠葛，在一次决斗中被打死，年仅21岁群论伽罗瓦仔细研究了拉格朗日和阿贝尔的著作，建立了方程的根30群论

置换群的概念和结论是最终产生抽象群的第一个主要来源抽象群产生的第二个主要来源则是戴德金和克罗内克的有限群及有限交换群的抽象定义以及凯莱关于有限抽象群的研究工作克莱因和庞加莱给出了无限变换群和其他类型的无限群19世纪70年代，李开始研究连续变换群，并建立了连续群的一般理论，这些工作构成抽象群论的第三个主要来源群论置换群的概念和结论是最终产生抽象群的第一个主要来源31群论

1882-1883年，德国数学家迪克把上述三个主要来源的工作纳入抽象群的概念之中，建立了（抽象）群的定义到19世纪80年代，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理体系20世纪80年代，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一群论1882-1883年，德国数学家迪克32群论

如今,群论不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构，如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以及编码学、自动机理论等方面，都有重要作用。群论

如今,群论不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论33NielsHenrikAbelBorn:5Aug1802inFrindoe(nearStavanger),NorwayDied:6April1829inFroland,Norway

NielsHenrikAbelBorn:5Aug34Born:287BCinSyracuse,SicilyDied:212BCinSyracuse,SicilyArchimedesofSyracuse

Born:287BCinSyracuse,Sici35Born:384BCinStagirus,Macedonia,Greece

Died:322BCinChalcis,Euboea,Greece

Aristotle

Born:384BCinStagirus,Mace36Born:31March1730inNemours,France

Died:27Sept1783in

Basses-Loges(nearFontainbleau),FranceÉtienneBézout

Born:31March1730inNemours37AugustinLouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,FranceDied:23May1857inSceaux(nearParis),France

AugustinLouisCauchyBorn:2138Born:16Aug1821inRichmond,EnglandDied:26Jan1895inCambridge,EnglandArthur

Cayley

Born:16Aug1821inRichmond,39Born:19Jan1833inKönigsberg,Germany(nowKaliningrad,Russia)Died:7Nov1872inGöttingen,GermanyRudolfFriedrichAlfred

Clebsch

Born:19Jan1833inKönigsber40Born:10July1682inBurbage,Leicestershire,EnglandDied:5June1716inCambridge,Cambridgeshire,England

RogerCotes

Born:10July1682inBurbage,41Born:31July1704inGeneva,SwitzerlandDied:4Jan1752inBagnols-sur-Ceze,FranceGabrielCramer

Born:31July1704inGeneva,42Born:6Oct1831inBraunschweig,duchyofBraunschweig(nowGermany)Died:12Feb1916inBraunschweig,duchyofBraunschweig(nowGermany)JuliusWihelmRichard

Dedekind

Born:6Oct1831inBraunschwe43RenéDescartesBorn:31March1596inLaHaye(nowDescartes),Touraine,FranceDied:11Feb1650inStockholm,Sweden

RenéDescartesBorn:31March44CharlesLutwidge

Dodgson

Born:27Jan1832inDaresbury,England

Died:14Jan1898inGuilford,England

CharlesLutwidgeDodgsonBorn:45WaltherFranzAntonvonDyckBorn:6Dec1856inMunich,Germany

Died:5Nov1934inMunich,Germany

WaltherFranzAntonvonDyckB46LeonhardEulerBorn:15April1707inBasel,SwitzerlandDied:18Sept1783inStPetersburg,Russia

LeonhardEulerBorn:15April47PierredeFermatBorn:17Aug1601inBeaumont-de-Lomagne,FranceDied:12Jan1665inCastres,France

PierredeFermatBorn:17Aug48FerdinandGeorg

Frobenius

Born:26Oct1849inBerlin-Charlottenburg,Prussia(nowGermany)Died:3Aug1917inBerlin,Germany

FerdinandGeorgFrobeniusBorn49JeanBaptisteJosephFourierBorn:21March1768inAuxerre,Bourgogne,FranceDied:16May1830inParis,France

JeanBaptisteJosephFourierB50JohannCarlFriedrichGaussBorn:30April1777inBrunswick,DuchyofBrunswick(nowGermany)Died:23Feb1855inGöttingen,Hanover(nowGermany)

JohannCarlFriedrichGaussBo51EvaristeGalois

Born:25Oct1811inBourgLaReine(nearParis),FranceDied:31May1832inParis,France

EvaristeGaloisBorn:25Oct152HermannGünterGrassmannBorn:15April1809inStettin,Prussia(nowSzczecin,Poland)

Died:26Sept1877inStettin,Germany(nowSzczecin,Poland)

HermannGünterGrassmannBorn:53JeanNicolasPierreHachette

Born:6May1769inMézières,Ardennes,FranceDied:16Jan1834inParis,France

JeanNicolasPierreHachetteB54SirWilliamRowanHamiltonBorn:4Aug1805inDublin,IrelandDied:2Sept1865inDublin,Ireland

SirWilliamRowanHamiltonBor55OliverHeavisideBorn:18May1850inCamdenTown,London,England

Died:3Feb1925inTorquay,Devon,England

OliverHeavisideBorn:18May56CharlesHermiteBorn:24Dec1822inDieuze,Lorraine,France

Died:14Jan1901inParis,France

CharlesHermiteBorn:24Dec157CarlGustavJacobJacobiBorn:10Dec1804inPotsdam,Prussia(nowGermany)Died:18Feb1851inBerlin,Germany

CarlGustavJacobJacobiBorn:58MarieEnnemondCamilleJordanBorn:5Jan1838inLaCroix-Rousse,Lyon,France

Died:22Jan1922inParis,France

MarieEnnemondCamilleJordan59FelixChristianKleinBorn:25April1849inDüsseldorf,Prussia(nowGermany)Died:22June1925inGöttingen,Germany

FelixChristianKleinBorn:2560LeopoldKroneckerBorn:7Dec1823inLiegnitz,Prussia(nowLegnica,Poland)Died:29Dec1891inBerlin,Germany

LeopoldKroneckerBorn:7Dec61Joseph-LouisLagrangeBorn:25Jan1736inTurin,Sardinia-Piedmont(nowItaly)Died:10April1813inParis,France

Joseph-LouisLagrangeBorn:2562Pierre-SimonLaplaceBorn:23March1749inBeaumont-en-Auge,Normandy,FranceDied:5March1827inParis,France

Pierre-SimonLaplaceBorn:2363GottfriedWilhelmvonLeibnizBorn:1July1646inLeipzig,Saxony(nowGermany)Died:14Nov1716inHannover,Hanover(nowGermany)

GottfriedWilhelmvonLeibniz64MariusSophusLieBorn:17Dec1842inNordfjordeide,NorwayDied:18Feb1899inKristiania(nowOslo),Norway

MariusSophusLieBorn:17Dec65ColinMaclaurinBorn:Feb1698inKilmodan(12kmNofTighnabruaich),Cowal,Argyllshire,ScotlandDied:14June1746inEdinburgh,Scotland

ColinMaclaurinBorn:Feb169866AbrahamdeMoivre

Born:26May1667inVitry-le-François,Champagne,France

Died:27Nov1754inLondon,England

AbrahamdeMoivreBorn:26May67GaspardMongeBorn:9May1746inBeaune,Bourgogne,FranceDied:28July1818inParis,France

GaspardMongeBorn:9May174668EliakimHastingsMooreBorn:26Jan1862inMarietta,Ohio,USADied:30Dec1932inChicago,Illinois,USA

EliakimHastingsMooreBorn:269GiuseppePeanoBorn:27Aug1858inCuneo,Piemonte,ItalyDied:20April1932inTurin,Italy

GiuseppePeanoBorn:27Aug1870Born:8Aug1931inColchester,Essex,EnglandRogerPenrose

Born:8Aug1931inColchester71JulesHenriPoincaréBorn:29April1854inNancy,Lorraine,France

Died:17July1912inParis,France

JulesHenriPoincaréBorn:2972SiméonPoissonBorn:21June1781inPithiviers,France

Died:25April1840inSceaux(nearParis),France

SiméonPoissonBorn:21June173Paolo

RuffiniBorn:22Sept1765inValentano,PapalStates(nowItaly)Died:10May1822inModena,DuchyofModena(nowItaly)

PaoloRuffiniBorn:22Sept1774HenryJohnStephenSmith

Born:2Nov1826inDublin,Ireland

Died:9Feb1883inOxford,England

HenryJohnStephenSmithBorn:75Born:3Sept1814inLondon,EnglandDied:15March1897inLondon,EnglandJamesJosephSylvester

Born:3Sept1814inLondon,E76SekiTakakazuBorn:1642江户小石川,(一说1637年生于上野国藤冈)Died:24Oct1708江户

字子豹。日本数学家。出身于武士家庭，据载曾随数学名家高原吉种学过数学，人称数学神童。後长期在江户任贵族家府家臣，掌管财赋，直到1706年退职。他是日本古典数学（和算）的奠基人，也是关氏学派（或称关流）的创始人，在日本被尊称为算圣。生前仅有一部《发微算法》（1674）出版，逝世後又由学生荒木村英（1640—1718）整理出版了一部遗稿《括要算法》（1712）。另有多种学派内部秘传的抄本著作，如《三部抄》（《解见题之法》、《解隐题之法》（1685）、《解伏题之法》（1683））、《七部书》（《开方翻变》、《病题明致》、《题术辩议》等）。

关孝和的主要成就有：改进了朱世杰《算学启蒙》（1299）中的天元术算法，开创了和算独有的笔算代数；建立了行列式概念及其初步理论；完善了中国传入的数字方程的近似解法；发现方程正负根存在的条件；对勾股定理、椭圆面积公式、阿基米德螺线、圆周率的研究；开创“圆理”（径、弧、矢间关系的无穷级数表达式）研究；幻方理论；连分数理论等等。他还写过数种天文历法方面的著作，如《授时历经立成》四卷、《授时历经立成立法》(1681)、《授时发明》、《四余算法》(1697)、《星曜算法》等。

其思想由弟子建部贤弘（1664—1739）、松永良弼（1692—1744）等人继承和应用，对日本数学的发展产生重要影响。他的许多发现独立于西方而存在，有些在理论上更广泛，时间上也早些。

SekiTakakazuBorn:1642江户小石川77KarlTheodorWilhelmWeierstrass

Born:31Oct1815inOstenfelde,Westphalia(nowGermany)Died:19Feb1897inBerlin,Germany

KarlTheodorWilhelmWeierstra78线性代数发展简介幻灯片制作:张小向东南大学数学系版本:2008.1[1]94/xxds/old/ziliao/fazhan.htm

参考资料

[2]/63594691.html

[3]/question/1806291.html?fr=qrl3

[4]/view/795684.htm

[6]http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/

线性代数发展简介幻灯片制作:张小向版本:2008.1[79行列式

出现于线性方程组的求解最早是一种速记的表达式现已是数学中一种非常有用的工具发明人:德国数学家莱布尼茨日本数学家关孝和

行列式出现于线性方程组的求解80行列式

1750年，瑞士数学家克拉默《线性代数分析导引》行列式的定义和展开法则，克拉默法则稍后，法国数学家贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解行列式1750年，瑞士数学家克拉默81行列式

法国数学家范德蒙德

(Alexandre-ThéophileVandermonde,1735.2.28-1796.1.1)对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述把行列式理论与线性方程组求解相分离给出了用余子式来展开行列式的法则自幼在父亲的指导下学习音乐但对数学有浓厚的兴趣后来终于成为法兰西科学院院士行列式法国数学家范德蒙德82行列式

1772年，法国数学家拉普拉斯证明了范德蒙德提出的一些规则推广了范德蒙德展开行列式的方法1815年，法国数学家柯西第一个系统的几乎是近代的处理乘法定理,方阵,双足标记法改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明行列式1772年，法国数学家拉普拉斯83行列式

19世纪，英国数学家西尔维斯特活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动他(犹太人)受到剑桥大学的不平等对待改进了从一个n次和一个m次的多项式中消去

x的方法(他称之为配析法)并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果(但没有给出证明)行列式19世纪，英国数学家西尔维斯特84行列式

德国数学家雅可比继柯西之后，在行列式理论方面最多产引进了函数行列式(雅可比行列式)指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成行列式德国数学家雅可比85行列式

由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。整个19世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。行列式由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型86矩阵

“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。英国数学家凯莱被公认为是矩阵论的创立者首先把矩阵作为一个独立的数学概念首先发表了关于这个题目的一系列文章同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。矩阵“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的87矩阵

英国数学家凯莱1858年，《矩阵论的研究报告》系统地阐述了关于矩阵的理论:矩阵的相等、运算法则、转置以及逆等指出了矩阵加法的可交换性与可结合性

方阵的特征方程和特征根(特征值),有关矩阵的一些基本结果凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学三年后他转从律师职业，工作卓有成效并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文矩阵英国数学家凯莱88矩阵

1855年，法国数学家埃米特

证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等后来，德国数学家克莱伯施、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论矩阵1855年，法国数学家埃米特89矩阵

德国数学家弗罗伯纽斯

最小多项式、秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、相似变换、合同矩阵等概念以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质矩阵德国数学家弗罗伯纽斯90矩阵

1854年，法国数学家若尔当矩阵化为标准型的问题1892年，加拿大数学家梅茨勒

(WilliamHenryMetzler,1863.9.18-1943.4.18)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式傅里叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。矩阵1854年，法国数学家若尔当91矩阵

矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论(M-P)等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。矩阵矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一92线性方程组

公元前1世纪,《九章算术》

初等行变换,相当于高斯消元法。17世纪后期,德国数学家莱布尼茨曾研究含两个未知量三个方程的线性组18世纪上半叶,英国数学家麦克劳林具有二、三、四个未知量的线性方程组得到了现在称为克拉默法则的结果克拉默不久也发表了这个法则线性方程组公元前1世纪,《九章算术》93线性方程组

18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究证明了n元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零19世纪，英国数学家史密斯和道奇森前者引进了方程组的增广矩阵的概念后者证明了n个未知数m个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同线性方程组18世纪下半叶，法国数学家贝祖94线性方程组

大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因此在线性方程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。线性方程组大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。95向量古希腊的亚里士多德已经知道力可以表示成向量，二力合成的平行四边形法则。法国数学家笛卡儿和费马为解析几何奠定了基础。挪威测量学家未塞尔(CasparWessel,1745.6.8-1818.3.25),瑞士数学家阿工(JeanRobertArgand,

1768.7.18-1822.8.13)发明了复数的几何表示。英国数学家科兹,法国数学家棣美弗,范德蒙德(Alexandre-ThéophileVandermonde,1735.2.28-1796.1.1),瑞士数学家欧拉也曾认识到平面上的点可与复数一一对应。向量古希腊的亚里士多德已经知道力可以表示成向量，二力合成的平96向量德国数学家高斯建立了复平面的概念。英国物理学家数学家亥维赛在向量分析上作出了许多贡献。1843年,英国数学家哈密顿发现了四元数。1844年,德国数学家格拉斯曼提出了n维向量的理论。1888年,意大利数学家皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。向量德国数学家高斯建立了复平面的概念。97二次型

二次型的系统研究是从18世纪开始的起源于对二次曲线/面的分类问题的讨论19世纪,法国数学家柯西当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项二次型二次型的系统研究是从18世纪开始的98二次型

后来,英国数学家西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明这个定律后被雅可比重新发现和证明1801年，德国数学家高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语二次型后来,英国数学家西尔维斯特99二次型

二次型化简的进一步研究涉及特征方程的概念特征方程的概念隐含地出现在瑞士数学家欧拉的著作中;法国数学家拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念;而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特、蒙日和泊松建立的二次型二次型化简的进一步研究涉及特征方程的概念100二次型

法国数学家柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性后来，他又证明了n个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和二次型法国数学家柯西101二次型

1851年，英国数学家西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类在他的分类方法中他引进了初等因子和不变因子的概念但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这一结论二次型1851年，英国数学家西尔维斯特102二次型

1858年，德国数学家魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根不相等，这个化简也是可能的比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双线性型二次型1858年，德国数学家魏尔斯特拉斯103群论

公元前3世纪,古希腊的阿基米德曾用图像法解出特殊的数字三次方程公元前1世纪,《九章算术》:x3=1860867公元3世纪,希腊的丢番图:x3+x=4x2+4

625年左右,唐朝数学家王孝通:三次方程1079年,阿拉伯数学家奥马·海亚姆(OmarKhayyam,约1048-约1131)在《代数》中较系统地研究了一、二、三次方程以上都未给出求根公式群论公元前3世纪,古希腊的阿基米德曾用图像法解出特殊的数104群论

1541年，意大利数学家塔尔塔利亚(N.Tartaglia,1499?-1557)三次方程的求根公式1545年,意大利的卡尔达诺

(G.Cardano,1501-1576)

在《大术》中介绍了三次方程的求根公式卡尔达诺的学生费拉里一元四次方程的一般解法但是对于更高次方程的求根公式是否存在，成为当时的数学家们探讨的又一个问题。这个问题花费了不少数学家们大量的时间和精力。经历了屡次失败，但总是摆脱不了困境。

群论1541年，意大利数学家塔尔塔利亚105群论

到了18世纪下半叶，拉格朗日认真总结分析了前人失败的经验，深入研究了高次方程的根与置换之间的关系，提出了预解式概念，并预见到预解式和各根在排列置换下的形式不变性有关。但他最终没能解决高次方程问题。拉格朗日的弟子鲁菲尼也做了许多努力，但都以失败告终群论到了18世纪下半叶，拉格朗日认真总结分析了前人失败106群论

1824年，挪威数学家阿贝尔证明了次数大于四次的一般代数方程不可能有根式解但问题仍没有彻底解决，因为有些特殊方程可以用根式求解因此，高于四次的代数方程何时没有根式解，是需要进一步解决的问题这一问题由法国数学家伽罗瓦全面透彻地给予解决群论1824年，挪威数学家阿贝尔107群论

伽罗瓦仔细研究了拉格朗日和阿贝尔的著作，建立了方程的根的“容许”置换，提出了置换群的概念，得到了代数方程用根式解的充分必要条件是置换群的自同构群可解从这种意义上说，伽罗瓦是群论的创立者伽罗瓦出身于巴黎附近一个富裕的家庭，幼时受到良好的家庭教育，只可惜，这位天才的数学家英年早逝1832年5月，由于政治和爱情的纠葛，在一次决斗中被打死，年仅21岁群论伽罗瓦仔细研究了拉格朗日和阿贝尔的著作，建立了方程的根108群论

置换群的概念和结论是最终产生抽象群的第一个主要来源抽象群产生的第二个主要来源则是戴德金和克罗内克的有限群及有限交换群的抽象定义以及凯莱关于有限抽象群的研究工作克莱因和庞加莱给出了无限变换群和其他类型的无限群19世纪70年代，李开始研究连续变换群，并建立了连续群的一般理论，这些工作构成抽象群论的第三个主要来源群论置换群的概念和结论是最终产生抽象群的第一个主要来源109群论

1882-1883年，德国数学家迪克把上述三个主要来源的工作纳入抽象群的概念之中，建立了（抽象）群的定义到19世纪80年代，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理体系20世纪80年代，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一群论1882-1883年，德国数学家迪克110群论

如今,群论不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构，如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以及编码学、自动机理论等方面，都有重要作用。群论

如今,群论不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论111NielsHenrikAbelBorn:5Aug1802inFrindoe(nearStavanger),NorwayDied:6April1829inFroland,Norway

NielsHenrikAbelBorn:5Aug112Born:287BCinSyracuse,SicilyDied:212BCinSyracuse,SicilyArchimedesofSyracuse

Born:287BCinSyracuse,Sici113Born:384BCinStagirus,Macedonia,Greece

Died:322BCinChalcis,Euboea,Greece

Aristotle

Born:384BCinStagirus,Mace114Born:31March1730inNemours,France

Died:27Sept1783in

Basses-Loges(nearFontainbleau),FranceÉtienneBézout

Born:31March1730inNemours115AugustinLouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,FranceDied:23May1857inSceaux(nearParis),France

AugustinLouisCauchyBorn:21116Born:16Aug1821inRichmond,EnglandDied:26Jan1895inCambridge,EnglandArthur

Cayley

Born:16Aug1821inRichmond,117Born:19Jan1833inKönigsberg,Germany(nowKaliningrad,Russia)Died:7Nov1872inGöttingen,GermanyRudolfFriedrichAlfred

Clebsch

Born:19Jan1833inKönigsber118Born:10July1682inBurbage,Leicestershire,EnglandDied:5June1716inCambridge,Cambridgeshire,England

RogerCotes

Born:10July1682inBurbage,119Born:31July1704inGeneva,SwitzerlandDied:4Jan1752inBagnols-sur-Ceze,FranceGabrielCramer

Born:31July1704inGeneva,120Born:6Oct1831inBraunschweig,duchyofBraunschweig(nowGermany)Died:12Feb1916inBraunschweig,duchyofBraunschweig(nowGermany)JuliusWihelmRichard

Dedekind

Born:6Oct1831inBraunschwe121RenéDescartesBorn:31March1596inLaHaye(nowDescartes),Touraine,FranceDied:11Feb1650inStockholm,Sweden

RenéDescartesBorn:31March122CharlesLutwidge

Dodgson

Born:27Jan1832inDaresbury,England

Died:14Jan1898inGuilford,England

CharlesLutwidgeDodgsonBorn:123WaltherFranzAntonvonDyckBorn:6Dec1856inMunich,Germany

Died:5Nov1934inMunich,Germany

WaltherFranzAntonvonDyckB124LeonhardEulerBorn:15April1707inBasel,SwitzerlandDied:18Sept1783inStPetersburg,Russia

LeonhardEulerBorn:15April125PierredeFermatBorn:17Aug1601inBeaumont-de-Lomagne,FranceDied:12Jan1665inCastres,France

PierredeFermatBorn:17Aug126FerdinandGeorg

Frobenius

Born:26Oct1849inBerlin-Charlottenburg,Prussia(nowGermany)Died:3Aug1917inBerlin,Germany

FerdinandGeorgFrobeniusBorn127JeanBaptisteJosephFourierBorn:21March1768inAuxerre,Bourgogne,FranceDied:16May1830inParis,France

JeanBaptisteJosephFourierB128JohannCarlFriedrichGaussBorn:30April1777inBrunswick,DuchyofBrunswick(nowGermany)Died:23Feb1855inGöttingen,Hanover(nowGermany)

JohannCarlFriedrichGaussBo129EvaristeGalois

Born:25Oct1811inBourgLaReine(nearParis),FranceDied:31May1832inParis,France

EvaristeGaloisBorn:25Oct1130HermannGünterGrassmannBorn:15April1809inStettin,Prussia(nowSzczecin,Poland)

Died:26Sept1877inStettin,Germany(nowSzczecin,Poland)

HermannGünterGrassmannBorn:131JeanNicolasPierreHachette

Born:6May1769inMézières,Ardennes,FranceDied:16Jan1834inParis,France

JeanNicolasPierreHachetteB132SirWilliamRowanHamiltonBorn:4Aug1805inDublin,IrelandDied:2Sept1865inDublin,Ireland

SirWilliamRowanHamiltonBor133OliverHeavisideBorn:18May1850inCamdenTown,London,England

Died:3Feb1925inTorquay,Devon,England

OliverHeavisideBorn:18May134CharlesHermiteBorn:24Dec1822inDieuze,Lorraine,France

Died:14Jan1901inParis,France

CharlesHermiteBorn:24Dec1135CarlGustavJacobJacobiBorn:10Dec1804inPotsdam,Prussia(nowGermany)Died:18Feb1851inBerlin,Germany

CarlGustavJacobJacobiBorn:136MarieEnnemondCamilleJordanBorn:5Jan1838inLaCroix-Rousse,Lyon,France

Died:22Jan1922inParis,France

MarieEnnemondCamilleJordan137FelixChristianKleinBorn:25April1849inDüsseldorf,Prussia(nowGermany)Died:22June1925inGöttingen,Germany

FelixChristianKleinBorn:25138LeopoldKroneckerBorn:7Dec1823inLiegnitz,Prussia(nowLegnica,Poland)Died:29Dec1891inBerlin,Germany

LeopoldKroneckerBorn:7Dec139Joseph-LouisLagrangeBorn:25Jan1736inTurin,Sardinia-Piedmont(nowItaly)Died:10April1813inParis,France

Joseph-LouisLagrangeBorn:25140Pierre-SimonLaplaceBorn:23March1749inBeaumont-en-Auge,Normandy,FranceDied:5March1827inParis,France

Pierre-SimonLaplaceBorn:23141GottfriedWilhelmvonLeibnizBorn:1July1646inLeipzig,Saxony(nowGermany)Died:14Nov1716inHannover,Hanover(nowGermany)

GottfriedWilhelmvonLeibniz142MariusSophusLieBorn:17Dec1842inNordfjordeide,NorwayDied:18Fe