2020年江苏南通中考数学试卷

word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。息如下表：次数购头数里（件）购买总费用（元）AB第一次2155第二次1365根据以上信息解答下列问题：（1）求A，B两种商品的单价；（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【解答】解：（1）设A种商品的单价为x元，B种商品的单价为y元，根据题意可得：f2計沪55解得：：°，1尸15答：A种商品的单价为20元，B种商品的单价为15元；（2）设第三次购买商品B种a件,则购买A种商品（12-a）件，根据题意可得:a±2（12-a），得：8WaW12,Tm=20a+15（12-a）=5a+180・••当a=8时所花钱数最少，即购买A商品8件，B商品4件.26.（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-2（k-1）x+k2-k2（k为常数）.（1）若抛物线经过点（1,k2），求k的值；（2）若抛物线经过点（2k,yx）和点（2,y2），且yx>y2，求k的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1WxW2时，新抛物线对应的函数有最小值-色，求k的值.2【解答】解：（1）把点（1,k2）代入抛物线y=x2-2（k-1）x+k2—k，得2k2=l2-2(k-1)+k2-、k2解得k=-|(2)把点(2k,yx)代入抛物线y=x2-2(k-1)x+k2-^-k，得y=(2k)2-2(k-1)・2k+k2-k=k2+k1把点(2,y2)代入抛物线y=x2-2(k-1)x+k2-鲁k，得^=22-2(k-1)X2+k2-‘k=k2-，k+82•・、1>丫2・°・k2+k>k2-，k+822解得k>1⑶抛物线y=X2-2(k-1)x+k2-号k解析式配方得y=(x-k+1)2+(-寺k_[)将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为y=(x-k)2+(-号k_l)当kV1时，Kx<2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y随x的增大而增大,x=1时，y=(1-k)2-k-1=k2—k，最小22k2-k=-旦，解得k.=1，k2=12都不合题意，舍去；当1WkW2时，y=-丄k-1，最小2・•・-丄k-1=-■22解得k=1；当k>2时，1WxW2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y随x的增大而减小,x=2时，y=(2-k)2—k-1=k2-，k+3，最小22k2-k+3=-—22解得耐=3，k2=■(舍去)122综上,k=1或3.27.（13分）如图，正方形ABCD中，AB=2i'E，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，0E=2，连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF,连接AE，CF.（1）求证：AE=CF；（2）若A，E，0三点共线，连接OF,求线段OF的长.3）求线段0F长的最小值.【解答】（1）证明：如图1,由旋转得：ZEDF=90°,ED=DF，•・•四边形ABCD是正方形,・・.ZADC=90°,AD=CD,・•・ZADC=ZEDF,即ZADE+ZEDC=ZEDC+ZCDF,・•・ZADE=ZCDF,在△ADE和厶DCF中，^AD=CD•「三忆E二/CDF,tDE=DF.•.△ADE竺ADCF,・AE=CF；（2）解：如图2,过F作0C的垂线，交BC的延长线于P,V0是BC的中点，且AB=BC=2育,*•*A,E,0三点共线，・・・0B=.豆由勾股定理得：A0=5，V0E=2,

・・・AE=5-2=3,由（1）知：△ADEQADCF,.\ZDAE=ZDCF,CF=AE=3,VZBAD=ZDCP,.\ZOAB=ZPCF,VZABO=ZP=90°•••△ABO^•••△ABO^△CPF,・CP=2PF,设PF=x,则CP=2x,由勾股定理得：32=X2+(2x)2,x=或-((舍),由勾股定理得：OF=•FP二弘5,由勾股定理得：OF=5(3)解：如图3,由于OE=2，所以E点可以看作是以O为圆心，2为半径的半圆上运动,延长BA到P点，使得AP=OC,连接PE,VAE=CF,ZPAE=ZOCF,•••△PAEQAOCF,・PE=OF,当PE最小时，为O、E、P三点共线,OP=H话+PE上,「(5尸+诗灼)上5'叵・・・PE=OF=OP-OE=5_迈-2,・・・OF的最小值是5•一迈-2.

28．（13分）【定义】如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线1的对称点A',连接AB交直线丨于点P,连接AP,则称点P为点A,B关于直线丨的“等角点”．【运用】如图2,在平面直坐标系xOy中，已知A（2,燥），B（-2,-伍）两点．（1）C（4,唾），D（4,匹），E（4,丄）三点中，点C是点A,B关于直222线x=4的等角点；（2）若直线l垂直于x轴，点P（m,n）是点A,B关于直线丨的等角点，其中m>2,ZAPB=a，求证：tan—；22（3）若点P是点A,B关于直线y=ax+b（aHO）的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当ZAPB=60°时，求b的取值范围（直接写出结果）.

【解答】解：(1)点B关于直线x=4的对称点为Bz(10,-i©(2)如图，过点A作直线丨的对称点A',连A®,交直线丨于点P作BH丄I于点HLG/0JBH•・•点A和A'关于直线I对称.•・ZAPG=ZA'PGVZBPH=ZA/PG・•・ZAGP=ZBPHVZAGP=ZBHP=90°.•.△AGPs&HP・AG二GP，即叶…丽讦，二n+V5・°・mn=2T3,即卩m=—VZAPB=a，AP=AP'・・.ZA=ZA=詈

(3)如图，当点P位于直线AB的右下方，ZAPB=60°时，点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方的圆上若直线y=ax+b(aHO)与圆相交，设圆与直线y=ax+b(aHO)的另一个交点为Q由对称性可知：ZAPQ=ZA'PQ,又ZAPB=60°.•・ZAPQ=ZA'PQ=60°.\ZABQ=ZAPQ=60°，ZAQB=ZAPB=60°.\ZBAQ=60°=ZAQB=ZABQ•••△ABQ是等边三角形•・•线段AB为定线段・••点Q为定点若直线y=ax+b(aHO)与圆相切，易得P、Q重合・・直线y=ax+b(aHO)过定点Q连OQ,过点A、Q分别作AM丄y轴，QN丄y轴，垂足分别为M、NVA(2,養)，B(-2,-舅)OA=OB=.7•••△ABQ是等边三角形AZAOQ=ZBOQ=90°，OQ=方观二五・・.ZAOM+ZNOD=90°又VZAOM+ZMAO=90°，ZNOQ=ZMAOVZAMO+ZONQ=90°.•.△AMOs^ONQAM-OW2ON••・・・0N=2•込，NQ=3,・・・Q点坐标为(3,-2•方)设直线BQ解析式为y=kx+b将B、Q坐标代入得(-Vs=-2k+b解得・•・