《行列式的计算方法（论文）》

行列式的计算方法TOC\o"1-3"\h\u中文摘要、16534关键词： 行列式的计算摘要：线性代数理论中非常重要的组成部分之一就是行列式，也是高等数学的基本概念。决定因素来源于线性方程组的求解，它也首先应用于线性方程组的求解，并且在其他学科中有广泛的应用。可以说，它是数学，物理和工程领域许多课程的重要学习工具。行列式也为解决实际问题带来许多便利。本文系统地讨论了决定因素的数学工具，从不同的角度理解决定因素的定义，突出决定因素的本质，介绍了一些扩张定理，总结了决定因素的几种计算方法，如定义法，三角形法，降阶法，换元法，递推法，数学归纳法和目标行列式法。辅助方法包括：加边法，析因子法，乘积法，连加法、拆项法等，并结合实例说明行列式计算的技巧和灵活性。关键词：行列式数学归纳法范德蒙德行列式线性方程组行列式的计算行列式是线性代数的重要组成部分。它的生成和最早的应用是在求解线性方程。虽然它只是整个线性代数场的一小部分，但它的作用不可忽视。因为在一些数学问题中，行列式问题经常涉及，而行列式计算是解决问题的关键。然而，其目前的应用范围已经扩大，并已成为许多学科的重要工具。一些国际知名的数学家如克拉默，拉普拉斯和范德蒙德等都对行列式进行了深入研究，为行列式计算奠定了理论基础。解决问题的决定性方法灵活而巧妙。有些问题只能通过一种方法解决。因此，本文总结和描述了决定因素的基本方法和辅助方法。这些方法和技术可能不包括所有的解决方案，但随着知识的发展，我们相信会有更新，更好的方法来解决确定性计算问题[1]。决定因素是高等代数的基本和重要内容之一。它在数学中有广泛的应用。知道如何计算行列式是特别重要的。通过引入一系列行列式计算方法，对行列式的理解将会得到进一步的改进，这将为今后的研究带来非常有用的帮助。行列式是线性代数的基本工具。无论是高等数学的先进理论还是现实生活中的实际问题，它与决定因素或多或少有直接或间接的联系。行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。决定因素是在解决实际问题时创建的。它有自己的特点和属性。它是应用行列式来解决行列式计算的其他问题的基础[2]。第1章行列式概述1.1行列式的发展史行列式出现在线性方程组的解中。它最初是一个速记表达，现在是数学中非常有用的工具。行列式是由莱布尼兹和日本数学家管小和发明的。在1693年4月，莱布尼茨在给洛比达的一封信中使用并提出了一个行列式，并给出了方程行列式为零的条件。日本当代数学家管晓鹤在他的《解伏题元法》一书中也提出了行列式的概念和算法[3]。就行列式理论而言，另一位伟大的法国数学家柯西做出了杰出的贡献。1815年，柯西在一篇论文中提出了行列式的第一个系统的和确定性的处理。主要结果之一是行列式乘法定理。此外，他首先将行列式的元素置于方阵中，采用双足标法，引入行列式特征方程的概念，给出了类似行列式的概念，并改进了拉普拉斯算子的行列式扩张定理并给出证明等[4]。再后来，行列式理论中最多产的人是德国数学家雅可比（Jacobi，1804-1851），他引入了函数行列式，即“雅可比行列式”，表明函数行列式是多重积分在变量中的作用替代给出了函数行列式的导数公式。雅可比的着名论文“关于行列式的形成和性质”标志着确定性系统理论的完成。由于行列式在数学分析，几何学，线性方程理论，二次理论等方面的应用，行列式理论本身在19世纪也得到了很大的发展。整个19世纪的行列式都有新的结果。除了一般行列式的大量定理之外，关于连续得到的特定行列式还有许多其他定理[5]。1.2n阶行列式的定义我们知道，二、三阶行列式的定义如下：=，从二、三阶行列式的内在规律引出n阶行列式的定义。设有个数，排成行列的数表，即n阶行列式。这个行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积⑴的代数和，这里是的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当是偶排列时,⑴带正号；当是奇排列时,⑴带负号。即=，这里表示对所有级排列求和.1.3行列式的性质性质1行列式的行与列互换，其值不变。注

性质1说明了行列式对行成立的性质,对列也成立.性质2

阶行列式对任一行（列）按下式展开，其值相等或。性质3

用数乘行列式的某一行（列），等于以数乘此行列式.推论1

某行（列）元素全为零的行列式其值为零.推论2

如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子提到行列式的外面.性质4

如果行列式的某一行的每一个元素都可以写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式的第行元素分别为与，其它位置的元素与原行列式相同.推论1

如果行列式的某一行（列）的每一个元素都可以写成个数的和，则此行列式可以写成个行列式的和.性质5

行列式中两行（列）对应的元素全相等，其值为零.即当时，有.推论1

如果行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零.性质6

将行列式中某行（列）的所有元素同乘以数后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变.性质7

行列式的两行（列）互换，行列式的值反号.性质8

将行列式某一行（列）的元素乘另一行（列）对应位置的元素的代数余子式之和其值为零，即，.性质9

拉普拉斯（Laplace）展开式（1）.（2）.第2章行列式的计算方法行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，阶行列式的展开式有项，计算量非常大。在正常情况下，不使用此方法，但如果行列式中有许多零元素，则可以考虑此方法。值得注意的是，当在应用程序定义方法中应用非零元素产品条款时，它不一定从第一行开始，非零元素从哪个行开始的行最少。决定因素是某些数字的“常规”乘积和它们的计算的代数和的性质。它起源于线性方程组的解，并且后来应用于其他数学领域。行列式的计算通常基于行列式的具体特征，使用相应的计算方法。以下是一些常用和有效的计算方法。2.1定义法根据行列式定义可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于个)，可以直接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比较低(一般是阶或者阶)。如果零元素（如果有的话）的分布对于某些决定因素是确定性的，则可以通过定义方法考虑上面（较低）三角形的行列式和零块的行列式。例1计算行列式这是一个四级行列式，在展开式中应该有项。但是由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少了。我们具体地来看一下。展开式中项的一般形式是。显然，如果，那么，从而这个项就等于零。因此只须考虑的那些项；同理，只需考虑，，这些列指标的项。这就是说，行列式中不为零的项只有这一项，而，这一项前面的符号应该是正的。所以原式=2.2化为三角形计算法例2计算行列式解：虽然这个例子很简单，但形成三角形的方法在决定因素的计算中占有非常重要的位置。有很多方法可以将它们转换成三角形。下面描述的1,2,3和4三种类型可以用作三角形的手段，当然，它们被分成三角形，还有其他的用处。2.2.1各行(或列)加减同一行(或列)的倍数适用于加减后某一行（列）诸元素有公共因子或者三角形的情形例3计算行列式解：当时，各列减去第一列得：之所以等于零，是因为有两列成比例。另外，当时，这个例子还附带说明,有时题目并没有指定级数,而行列式之值与级数有关时,还需进行讨论说明。2.2.2各行(或列)加到同一行(或列)上去适用于各列(行)诸元素之和相等的情况。例4计算行列式解：把所有各列都加到第一列上去，得：2.2.3逐行(或列)相加减有一些行列式能通过逐行相加、减得到很多的零。这样就使得行列式计算变得简便的多.例5计算行列式解：从第一列开始，每列乘以2加到后一列，得：再将最后一行乘以（-2），加到倒数第二行，其余行都不变，得：按最后一列展开，得2.2.4行(列)归一法首先把行（列）全部转换为1，然后通过使用行（列）和行列式的性质将原始行转换成三角形行列式，从而获得行列式的值。例6计算阶行列式解：它的特点是各列元素之和为，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出，得将第一行乘分别加到其余各行，化为三角形行列式，则2.3特殊行列式2.3.1爪型行列式形如：的行列式，称为爪型行列式。这种决定因素的形式主要是使用对角线元素来消除“水平线”或“垂直线”为重新计算的三角形行列式。例7计算行列式解：当时，将第i+1列乘以后都加到第1列，得三角型行列式：例8计算行列式分析：一般除主对角线上的元素，其余元素全部相同的行列式都可以化为爪型行列式，利用例6结论计算其值。解：DD2.3.2三对角线型行列式形如以上的阶行列式，主对角线上的元素和主对角线上下的第一个对角线上的元素都是零，其余元素都是零，这就是决定因素，称为三对角线行列式。这种类型的行列式可以直接扩展得到两个递推关系，然后变形可以递归两次，或者可以通过第二次数学归纳证明。例9计算阶行列式解：按第一行展开得变形由于，从而利用上述递推公式得故有例10证明解：按第行展开得采用第二数学归纳法证明时，，结论成立。设时，结论成立。则当时，有故有归纳假设知2.3.3Hessenberg型行列式形如：的行列式，也就是说，除了一对角线及其相邻的直线和这三条直线的一行或一列的最极端的一侧外，所有元素的三行决定因素的其余部分被称为Hessenberg型行列式。这种类型的行列式可以直接扩展以获得递推公式，并且还可以使用行列式的性质来简化和减少顺序。例11计算阶行列式解：按第一列展开得于是例12计算阶行列式解：将第列加到第列，得2.3.4两线形行列式例13计算行列式解：按第1列展开得结论对于形如：等的“两线形的行列式”可以直接展开降阶。2.3.5利用范德蒙德行列式计算范德蒙德行列式是一种特殊的行列式。当使用范德蒙德行列式计算某些决定因素时，要求决定因素必须具有范德蒙德行列式的特征，或者类似于范德蒙德行列式的特征，这也可以给出。确定Vandermonde行列式，然后使用公式计算结果。例14设.用线性方程组的理论证明，若是有个不同的根，那么为零多项式.证明：设为的根，且.则将根代入多项式得到如下线性方程组：以为未知量，则线性方程组的系数矩阵为：因为齐次线性方程组的系数矩阵不为0，故系数矩阵只有零解，即：所以为零多项式.2.4降阶法2.4.1一般降阶法根据行列式理论中的拉普拉斯定理,行列式的计算可转化为阶子式及其相应的代数余子式的乘积之和。但此方法计算量偏大,仅适用于行列式中元素为0较多的情形。同时,涉及一些比较复杂的、元素含文字或未知量的行列式,仅用此方法是不够的。例15计算四阶行列式解：观察行列式，可以选择第二行展开，但是第二行有两个非零元素，先用性质将也化为零，即2.4.2利用公式降阶公式1设，都是阶方阵，则有证明：由于两边去行列式，得例16计算行列式解：利用公式1公式2设，，均为阶方阵，则证明：把拉普拉斯定理用于上式的后行，在它的所有阶子式中，除外，其余至少包含一列零向量，从而值为零。而的余子式为，且位于整个矩阵的第行，第列，因此其中即有例17计算行列式解：直接利用行列式的性质或行列式展开进行计算是相当繁杂的，而由公式2原式=2.4.3利用拉普拉斯定理定理1：设在行列式中任意取定了个行。由这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式。证明：设中取定行后得到的子式为它们的代数余子式分别为定理要求证明根据行列式的任一个子式与它的代数余子式的乘积中每一项都是行列式展开式中的一项，而且符号也一致，所以中每一项都是中一项而且符号相同，而且和无公共项。因此为了证明定理，只要证明等式两边项数相等就可以了。显然等式左边共有项，为了计算右边的项数，首先来求出。根据子式的取法知道。因为中共有项，中共有项。所以右边共有项。定理得证。例18求行列式解：在行列式中取定第一、二行。得到六个子式：它们对应的代数余子式为根据拉普拉斯定理从例子来看，用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的。这个定理主要是理论方面的应用。2.5析因子法如果行列式有一些元素是变量的多项式，那么可以将此行列式看作一个多项式，然后利用多项式理论，求出的互素的一次因式，进而求出行列式值的方法，称为“析因子法”。例19计算行列式：解：可以把原式看成关于变量的4次多项式。由及知，有因式、，且关于的最高次数为4，故又由原式知，中含的项为及，故的系数为。因此，，从而原式。例20计算行列式：解：可以把原式看成关于变量的次多项式，由于故有因式、、…、，且关于的最高次数为，从而，，由原式知，原行列式关于的最高次项的系数为1，故。因此，原式。2.6加边法加边法会逐行添加原始行列式，并且其值不会更改。由此产生的新决定因素更容易找到它的价值。除主对角线上的元素外，此方法适用于每行（列）的相同类型的问题。通常有五种添加行和列的方式：（1）第一行第一列（2）第一行最后一行（3）最后一行第一列（4）最后一行最后一列和（5）一般行列位置。(1)添加在末行末列例21计算行列式解:（2）添加在一般位置例22计算行列式解：通过添加行列得：易见是范德蒙行列式，则而行列式的值为按最后一列展开式项的系数乘以.2.7拆分法该法主要基于行列式的性质。给定的行列式是几个决定因素的总和，使得新的行列式更容易计算。如果一个行列式的每一列的所有元素都可以写成两个项的和，则一列中每个元素的第一项（或第二项）与相应元素的相应项相同或相同另一列。比例，一般认为是采用“拆分法”。例23计算当时解：按第一列之和分解为把某1行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式性质将原行列式写成2个行列式的和,使问题简化以利于计算.例24计算行列式解：对上面的第一个行列，将第列乘加到其余各列上，对第二个行列式按第列展开，最后可得这样，我们获得一个递推公式：如果将按下面方式拆项，又可得到类似于前面的方法可得另一个递推公式：联立上述两个递推关系式当时，解得当时，解得2.8递推与归纳这种方法是根据行列式性质,把一个阶行列式表示为一个或若干个具有相同形状但阶数较低的行列式的关系式,再利用关系式推出这个阶行列式的值。一般来说，主要的方法是：递归法1）递归公式方法首先表示两个（或几个）低阶同态行列式之间的行列式线性关系，然后使用递归关系和一些低阶（二阶，一阶）。行列式的值用于查找D的值。此方法适用于行（列）或主对角线上具有多于0的问题，并且具有以下相同元素。归纳法2）当行列式被告知它的值，并且该值与自然数有关时，通常通过数学归纳证明结果的正确性。如果没有告诉结果，原始行列式的值也可以通过递归关系和前几个低阶行列式的值来观察。然后用数学归纳法证明猜想的正确性。1）利用已给的行列式的特点，建立起阶行列式与阶行列式（或更低阶）行列式之间递推关系式，利用此关系式求行列式的值。降阶递推法，常见的有两类：（1）型，此时根据递推关系有：（2）型，此时我们不妨设，是方程的根，则由根与系数的关系，得，将其带入中，有：下面分两种情况进行讨论：（1）利用进行递推例25计算行列式解:而，根据递推关系式可得（2）利用进行递推例26求行列式解：由于；则不妨设，是方程的根，则：于是：其中：所以：即原行列式=2)归纳法例27计算行列式解：按一行展开得后一行列式按第一列展开，得递推公式易于算出代入递推公式得于是自然猜想证实这个结论，可以利用第二归纳法。此处从略2.9作辅助行列式例28设为次数不超过的函数，设为任意数，证明:解法一设那么，由马上得证。解法二刚才是作两个辅助行列式，现在作一个新行列式由题设不难得知是的不超过次的一个多项式，然而它有个根所以：。特别有证毕。2.10滚动消去法当行列式的值彼此相对接近时，相邻行中的一行可能被减去或在另一行中多次添加。这种方法被称为滚动消除。通常使用这种方法后，最好在简化后在行列式的第一行或第一列生成更多的零，以便使用降级方法来做。例29计算行列式解：从第二行开始每行减去上一行，有2.11特征值法设是级矩阵的全部特征值，则有公式。故只要能求出矩阵的全部特征值，那么就可计算出的行列式。例30若是级矩阵的全部特征值，证明：可逆当且仅当它的特征值全部为零。证明：因为，则是可逆的2.12微积分法例31计算行列式解：易知的结果是一个关于未知参数的多项式，根据阶行列式求导公式：下面对它求导：设，则，所以：又当时，，所以故原行列式的值为.2.13换元法这种方法应用于当以同一个数改变行列式的所有元素时,其各元素的代数余子式容易计算的情形。它基于下面的性质，设则，其中是元素的代数余子式。例32计算行列式解：把的所有元素都加上得：的非主对角线元素的代数余子式等于零,而每一个主对角线元素的代数余子式等于主对角线其余元素的积。所以,例33求证证明作行列式可见，。根据行列式的性质可知是的一次多项式，所以可令，又因为，所以所以：.结论上述方法包括了n阶行列式的大部分计算方法。虽然有很多方法，但不难掌握。回答问题时，要注意方法分析，注重发展解决问题的能力和技巧，形成良好的数学思维。我们应该更加关注数学学习的未来。在高等代数课程决定中行列式的重要性及其在研究生考试中的重要地位使我们有必要更深入地理解决定因素。决定因素是在解决实际问题时创建的。它有自己的特点和性质。本文主要总结了行列式计算方法，是应用行列式解决其他问题的基础。行列式的计算方法不是唯一的。本文主要关注行列式的特征并应用行列式。就其性质而言，它提供了十四种计算决定因素的常用方法，但这些方法不是相互独立的，而是相互关联的。一个决定因素可能有几个解决方案，这就要求我们掌握决定因素。在解决方案的解决方案之后，我们可以灵活地使用它来找到简化复杂问题的最简单方法。有时几种方法结合起来效果更好。由于我知识和经验的有限，本文的不足之处还望阅读者批评指正。参考文献[1]魏渐俊,陈良育.基于GPGPU的大整数矩阵的行列式快速准确计算[J/OL].计算机工程:1-8[2018-03-16]./kcms/detail/31.1289.TP.20170421.1450.022.html.[2]魏渐俊.众核环境下多元多项式稠密矩阵的行列式计算算法研究和实现[D].华东师范大学,2017.[3]孙玉香,许勇.插值多项式的构造与类范德蒙行列式的计算[J].安徽师范大学学报(自然科学版),2016,39(06):521-525.[4]赵晓花,陈晓.两种特殊类型行列式的计算方法[J].九江学院学报(自然科学版),2016,31(03):95-97.[5]于荣娟.行列式的计算[J].赤峰学院学报(自然科学版),2016,32(07):25-27.[6]晏一心.行列式的计算方法及其实际应用[J].科技视界,2016(06):257-258.[7]孙黎明,许秋滨.行列式的计算方法小结[J].科教导刊(下旬),2015(11):44-46.[8]刘永艳.常见的几种计算行列式的方法[J].吕梁教育学院学报,2015,32(04):66-71.[9]凌征球,廖珊莉,李文凤,廖孙益.广义范德蒙行列式的定义及其计算[J].高师理科学刊,2015,35(09):5-7+21.[10]杨关玲.行列式的计算方法解析[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2015,32(07):68-74.[11]于荣娟.从一