非线性控制系统分析实用版课件

6.1

非线性系统概述

6.2

描述函数法

6.3

非线性系统分析与应用

6.4

MATLAB应用实例

第6章非线性系统分析6.1非线性系统概述6.2描述函数法6.3非16.1

非线性系统概述自动控制系统中所包含的非线性特性可以分为两类。非本质非线性

能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。本质非线性

用小偏差线性化方法不能解决的非线性。6.1非线性系统概述自动控制系统中所包含的非线性特性可以分2典型非线性特性常见的典型非线性特征有以下几种：

1.饱和非线性

2.死区特性

3.具有不灵敏区的饱和特性

4.继电特性

5.间隙特性

典型非线性特性常见的典型非线性特征有以下几种：3饱和非线性实际的放大器只能在一定的输入范围内保持输出量和输入量之间的线性关系。当输入量超出该范围时，其输出量则保持为一个常值。饱和非线性特性如图a所示。饱和非线性4死区特性一般的测量元件、执行机构都具有不灵敏区特性。只有在输入信号大到一定程度以后才会有输出。一般的机械系统、电机等,都不同程度地存在死区。这种只有当输入量超过一定值后才有输出的特性称为死区特性，如图b所示。死区特性5具有不灵敏区的饱和特性在很多情况下，系统的元件同时存在死区特性和饱和限幅特性。譬如，测量元件的最大测量范围与最小测量范围都是有限的。具有不灵敏区的饱和特性如图c所示。具有不灵敏区的饱和特性6（磁敏传感器）霍尔元件霍尔元件+UH（磁敏传感器）霍尔元件霍尔元件+UH7继电特性由于继电器吸合电压与释放电压不等,使其特性中包含了死区、回环及饱和特性，如图所示。0<i<a时，触头不动；i>ma时，触头吸合；i<ma时，触头释放。继电特性0<i<a时，触头不动；8间隙特性间隙特性的特点是：当输入量的变化方向改变时，输出量保持不变，一直到输入量的变化超出一定数值（间隙）后，输出量才跟着变化。间隙特性如图e所示。间隙特性9间隙特性:间隙又称回环。传动机构的间隙是一种常见的回环非线性特性，如图所示。间隙特性:间隙又称回环。传动机构的间隙是一种常见的回环非线10在齿轮传动中,由于间隙存在,当主动齿轮方向改变时,从动轮保持原位不动,直到间隙消除后才改变转动方向。铁磁元件中的磁滞现象也是一种回环特性。间隙特性对系统影响较为复杂,一般来说,它将使系统稳态误差增大，频率响应的相位迟后也增大,从而使系统动态性能恶化。采用双片弹性齿轮(无隙齿轮)可消除间隙对系统的不利影响。在齿轮传动中,由于间隙存在,当主动齿轮方11

非线性系统的基本特征数学模型：非线性微分方程

主要特点：1.稳定性问题稳定性除了同系统的结构形式和参数有关外，还与外作用及初始条件有关。2.时间响应非线性系统的时间响应与输入信号的大小和初始条件有关。非线性系统的基本特征数学模型：非线性微分方程12设t=0，系统的初始状态为x0

10x(t)tx0>1x0<1ln

x0x01设t=0，系统的初始状态为x010x(t)tx0>1x13相应的时间响应随初始条件而变。当x0>1，t<lnx0/(x01)时，随t增大，x(t)递增；t=lnx0/(x01)时，x(t)为无穷大。当x0<1时，x(t)递减并趋于0。由上例可见，初始条件不同，自由运动的稳定性亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。10x(t)tx0>1x0<1ln

x0x01相应的时间响应随初始条件而变。由上例可见，143.自持振荡问题产生某一固定振幅和频率的振荡（一种稳定的周期运动）。非线性系统出现的这种周期运动称为自持振荡或简称为自振。4.对正弦输入信号的响应非线性系统对正弦输入信号的响应比较复杂，其稳态输出除了包含与输入频率相同的信号外，还可能有与输入频率成整数倍的高次谐波分量。3.自持振荡问题15非线性系统与线性系统的比较线性系统非线性系统①数学模型线性微分方程（迭加原理）非线性微分方程（不能用迭加原理）②稳定性与系统结构参数有关

与系统结构参数、初始条件外部输入有关③运动状态稳定或不稳定稳定、不稳定、自持振荡

④研究重点稳定性、动态及静态性能稳定性、自持振荡⑤研究方法传函、频率法等相平面法、描述函数法、波波夫法，李亚普诺夫法等⑥典型环节比例惯性积分微分振荡等饱和、死区、间隙、继电器等非线性系统与线性系统的比较线性系统非线性系统①数学模型16减后增，在X增加到时，有极大值极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环，或从极限环卷出。当微小扰动使振幅A减小到作曲线。１、非线性系统的基本概念这与线性元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的方法不受阶次的限制，且所得结果也比较符合实际，故得到了广泛应用。K＝20，死区继电器特性M＝3，a＝l。（4）利用交点在横坐标上，其虚部为零，求交点的角频率交点虚部为零，运行以下程序求交点的角频率ω例6-9非线性系统如图所示，分析系统是否存在自振；描述函数法的一个很大的特点是：分析不受系统阶数的限制。t=lnx0/(x01)时，x(t)为无穷大。运行该程序，在同一复平面上绘制非线性特性的相对负倒描述函数与线性部分的Nyquist曲线如下图所示。虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外。当X为变量，由△开始增加时，曲线从负无穷处出饱和非线性特性如图a所示。利用非线性特性改造非线性振幅A减小；具有不灵敏区的饱和特性

非线性系统的分析方法目前，工程上广泛应用的分析和设计非线性控制系统的方法是描述函数法和相平面分析法。

描述函数法

是一种近似方法，相当于线性理论中频率法的推广。方法不受阶次的限制，且所得结果也比较符合实际，故得到了广泛应用。

减后增，在X增加到时，有极17相平面分析法适用于一、二阶非线性系统的分析，方法的重点是将二阶非线性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量的两个一阶微分方程。然后依据这一对方程，设法求出其在上述两变量构成的相平面中的轨线，并由此对系统的时间响应进行判别。

相平面分析法186.2描述函数法

基本思想：当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。

描述函数法的基本概念6.2描述函数法基本思想：当系统满足一定的假设条件时，系19描述函数法主要用来分析在无外作用的情况下，非线性系统的稳定性和自振荡问题。这种方法不受系统阶次的限制，对系统的初步分析和设计十分方便，获得了广泛应用。描述函数法是一种近似的分析方法，它的应用有一定的限制条件。

描述函数法主要用来分析在无外作用的情况下，非线性系统的稳定20应用描述函数法分析非线性系统时，要求元件和系统必须满足以下条件：

(1)非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性环节和一个线性部分相串联的典型形式；(2)非线性环节的输入输出特性是中心对称的，即y(x)＝-y(-x)；(3)系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。应用描述函数法分析非线性系统时，要求元件和系统21描述函数的定义针对一任意非线性系统，设输入x=Asinωt,输出波形为y(t)，则可以将y(t)表示为富氏级数形式

描述函数的定义22

设非线性元件的输出为奇对称函数设非线性元件的输出为奇对称函数23谐波线性化的处理方法是：以输出y(t)的基波分量近似地代替整个输出。亦即略去输出的高次谐波，将输出表示为

谐波线性化的处理方法是：以输出y(t)的基波分量近24这意味着一个非线性元件在正弦输入下，其输出也是一个同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。这与线性元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的相似性，故称上述近似处理为谐波线性化。

这意味着一个非线性元件在正弦输入下，其输出也是25描述函数法的定义：输入为正弦函数时，输出的基波分量与输入正弦量的复数比。其数学表达式为

描述函数法的定义：输入为正弦函数时，输出的基波分量26虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外。=N1Asint+N2Asint求此时的K值和自振参数(A,w)以及输出振幅Ac。一个同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环;或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点。交点虚部为零，运行以下程序求交点的角频率ω当微小扰动使振幅A减小到f点，f点“(-1,j0)”被G(j)轨迹包围，求K=2时的自振参数。[w]=solve('1-1/20000*w^2=0')振幅（A）？可归化为下图所示的典型结构。d点，d点“(-1,j0)”未被G(j)[z]=solve('-pi/4*z/sqrt(z-1)=-3.非线性系统的时间响应与输入信号的大小和初始条件有关。2）改变N(A):调整死区继电器特性的死区a或输出幅值M此时也可以将复杂的非线件特性分解为若干个简单非线性特性的组合，即串并联，再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线件特件的描述函数。具有滞环继电器特性的非线性系统当微小扰动使振幅A增大到c点时，c点“(-1,j0)”被G(j)轨迹包围，(2)定性分析K增大后自振参数(A,w)的变化规律。（2）死区继电特性的描述函数及相对描述函数：典型非线性特性的描述函数理想继电器特性的描述函数将y(t)傅氏展开得虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外。典型非线性特性的描述函27斜对称、奇函数A0=An=0斜对称、奇函数A0=An=028理想继电器特性死区继电器特性理想继电器特性死区继电器特性29y(t)ωty(t)ωty(t)ωtωty(t)y(t)ωty(t)ωty(t)ωtωty(t)30滞环继电器特性饱和特性滞环继电器特性饱和特性31死区特性死区饱和特性死区特性死区饱和特性32间隙、滞环特性间隙、滞环特性33一般非线性

描述函数不仅适合于分段线性系统，也适合于一般非线性系统，只要能求出非线性环节的描述函数。我们举一个例子:因为它是单值、奇对称的，，先求出：

一般非线性描述函数不仅适合于分段线性系统，也适合于一34所以

所以35和非线性特性求出输出，然后由积分式求出，最后由求出。

概括起来，求描述函数的过程是：先根据已知的输入和非线性特性求出输出，然后由积分式求36(2)G3(s)=s时，分析系统的稳定性。通过具体例子，介绍MATLAB在描述函数法分析中的应用。具有不灵敏区的饱和特性１、非线性系统的基本概念解法II特征方程法（2）不稳定极限环用小偏差线性化方法不能解决的非线性。(2)非线性环节的输入输出特性是中心对称的，即y(x)＝-y(-x)；（2）死区继电特性的描述函数及相对描述函数：然后依据这一对方程，设法求出其在上述两变饱和非线性特性如图a所示。例1分析系统的稳定性(M=1)，求自振参数。节和一个线性部分相串联的典型形式；其在上述两变量构成的相平面中的轨线，并由此对系统和非线性特性求出输出，然后由积分式求出，最后由求出。若干个非线性环节并联后的总的描述函数，等于各非线性环节描述函数之和。具有不灵敏区的饱和特性如图c所示。极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环，或从极限环卷出。7，死区特性参数为△＝0.[z]=solve('-pi/4*z/sqrt(z-1)=-3.以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线性特性，完全可以利用这种力法求出其描述函数，但计算也复杂得多。此时也可以将复杂的非线件特性分解为若干个简单非线性特性的组合，即串并联，再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线件特件的描述函数。 组合非线性特性的描述 1．非线性特性的并联计算设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是单值函数，即它们的描述函数都是实数。(2)G3(s)=s时，分析系统的稳定性。37x(t)y1(t)y11(t)N1y12(t)N2

y1(t)=

y11(t)+y12(t)=

N1Asint+N2Asint

=(N1+N2)Asint

N=(N1+N2)

总的描述函数若干个非线性环节并联后的总的描述函数，等于各非线性环节描述函数之和。当N1和N2是复数时，该结论仍成立。 x(t)y1(t)y11(t)N1y12(t)N2y1(t38△0M△0kxy++xk0M△y例6-1

一个具有死区的非线性环节，求描述函数N(A)。△0M△0kxy+xk0M△y例6-1一39解：该死区非线性特性可分解为一个死区继电器特性和一个典型死区特性的并联，描述函数为2．非线性特性的串联计算必须首先求出这两个非线性环节串联后等效的非线性特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。x(t)N1y(t)N2z(t)解：该死区非线性特性可分解为一个死区继电器特40120x

y例6-2

求图所示两个非线性特性串联后总的描述函数N(A)。k1=1120xz120

z

yk2=2k=2120xy例6-2求图所示两41等效为一个死区加饱和的非线性特性，分解为两个具有完全相同的线性区斜率k=2和不同死区宽度1=1及2=2的死区特性的并联相减。等效为一个死区加饱和的非线性特性，分解为两个具有完全相同的线42两个非线环节并联使非线性特性发生改变示例两个非线环节并联使非线性特性发生改变示例43

非线性系统的描述函数分析法基本假设可归化为下图所示的典型结构。

当讨论自振及稳定性时，只研究由系统内部造成的周期运动，不考虑外力作用，因此，认为外作用为0。非线性系统的描述函数分析法基本假设当讨论自振及稳定性时44非线性部分输出中的高次谐波振幅小于基波振幅。线性部分的低通滤波效应较好，高次谐波可忽略。非线性部分输出中的高次谐波振幅小于基波振幅。45非线性系统的稳定性(乃奎斯特判据)若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是G(j)

轨迹不包围复平面的(-1,j0)。负倒描述函数（描述函数负倒特性)线性系统(-1,j0)?非线性系统的稳定性(乃奎斯特判据)负倒描述函数（描述函数负46其负倒数函数为从稳定区穿到不稳定区的点—不是自振点返回到b。时，相轨迹：从左右（随x增加）(2)定性分析K增大后自振参数(A,w)的变化规律。构，从而大大增加了工程使用的困难。i>ma时，触头吸合；（3）在程序文件方式下执行以下MATLAB程将二阶非线性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量的两在系统存在一个以上非线性元件，且彼此之间又没有有效的低通滤波器隔开的情况下，一般可以把非线性元件结合在一起，并用一个等效的描述函数来描述。当X为变量，由△开始增加时，曲线从负无穷处出z=-1/x+j*y;解将两非线性环节等效合并，结构图化为因此，曲线与在处两次相交，两次相交的X值分别为（3）半稳定极限环7时，曲线的端点值为极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环，或从极限环卷出。symsz;clear节和一个线性部分相串联的典型形式；设：系统开环的线性部分G(j)稳定其负倒数函数为设：系统开环的线性部分G(j)稳定47③G(j)与负倒描述函数相交

闭环系统出现自持振荡(极限环振荡)

稳定？不稳定？

振幅（A）？

频率()？③G(j)与负倒描述函数相交48

微小扰动分析法当微小扰动使振幅A增大到c点时，c点“(-1,j0)”被G(j)轨迹包围，

系统不稳定；振幅A继续增大；不能返回到a。

微小扰动分析法当微小扰动使振幅A增大到c点时，c点“(-149当微小扰动使振幅A减小到d点，d点“(-1,j0)”未被G(j)轨迹包围，

系统稳定；振幅A继续减小；不能返回到a。a点为不稳定自振交点。当微小扰动使振幅A减小到50当微小扰动使振幅A增大到e点时，e点“(-1,j0)”未被G(j)轨迹包围，系统稳定；振幅A减小；返回到b。

当微小扰动使振幅A增大到e点51当微小扰动使振幅A减小到f点，f点“(-1,j0)”被G(j)轨迹包围，

系统不稳定； 振幅A增大； 返回到b。b点为稳定自振交点。当微小扰动使振幅A减小到f点，f点“(-1,j0)”被G(j52基准负倒数描述函数理想继电器特性非线性特性的尺度系数基准负倒数描述函数理想继电器特性非线性特性的尺度系数53死区继电器特性死区继电器特性54非线性控制系统分析实用版课件55具有饱和特性的非线性系统A＝a时A∞

时负倒描述函数轨迹=实轴上（-1/k,-∞)具有饱和特性的非线性系统A＝a时A∞时负倒描述函数轨迹56一个同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。1非线性系统概述常见的典型非线性特征有以下几种：利用非线性特性改造非线性d=conv(conv([10],[0.具有理想继电器特性的非线性系统譬如，测量元件的最大测量范围与最小测量范能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。利用非线性特性改造非线性虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外。死区＋继电特性非线性系统的描述函数法分析=N1Asint+N2Asint与系统结构参数、初始条件构，从而大大增加了工程使用的困难。具有理想继电器特性的非线性系统[z]=solve('-pi/4*z/sqrt(z-1)=-3.等效为一个死区加饱和的非线性特性，分解为两个具有完全相同的线性区斜率k=2和不同死区宽度1=1及2=2的死区特性的并联相减。描述函数不仅适合于分段线性系统，也适合于一般非线性系统，只要能求出非线性环节的描述函数。t=lnx0/(x01)时，x(t)为无穷大。设t=0，系统的初始状态为x0具有死区特性的非线性系统A＝a时A∞时负倒描述函数轨迹=实轴上（-∞,-1/k)。一个同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。具有死区特性的57具有间隙特性的非线性系统负倒描述函数为G平面上一条曲线。A∞时具有间隙特性的非线性系统负倒描述函数为A∞时58具有理想继电器特性的非线性系统负倒描述函数轨迹为整个负实轴具有理想继电器特性的非线性系统负倒描述函数轨迹为整个负实轴59具有滞环继电器特性的非线性系统负倒描述函数为第三象限内平行于横轴的一组直线。具有滞环继电器特性的非线性系统负倒描述函数为第三象限内平行于60例6-3：判断系统是否有自持振荡，若有，则求其振幅和频率。解：例6-3：判断系统是否有自持振荡，若有，则求其振幅和频率。61非线性控制系统分析实用版课件62非线性控制系统分析实用版课件63非线性环节：例6-4：判断系统是否有自持振荡，若有，则求其振幅和频率。非线性环节：例6-4：判断系统是否有自持振荡，若有，则求其64线性环节：线性环节：65非线性控制系统分析实用版课件66非线性控制系统分析实用版课件67自振频率：自振振幅：自振频率：自振振幅：68

补充:一、结构图的等效变换1由于在讨论自振及稳定性时，只研究由系统内部产生的周期运动，并不考虑外作用，因此在将结构简化时，可以认为所有外作用均为零，只考虑系统的封闭回路。2与线性系统等效变换一样，简化的原则是信号的等效变换。补充:69

70

71

72

73二、非线性特性的应用非线性阻尼控制

非线性因素对线性系统的性能会带来不利的影响，如有目的的引入非线性环节，可使系统性能大幅度提高，甚至达纯到线性系统无法实现的效果.二、非线性特性的应用非线性阻尼控制非线性因素对线性系统的74非线性阻尼下的阶跃响应未引入微分反馈引入微分反馈非线性阻尼非线性阻尼下的阶跃响应未引入微分反馈引入微分反馈非线性阻尼75K①试分析系统稳定性；②如果系统出现自持振荡，如何消除之？K＝20，死区继电器特性M＝3，a＝l。三、改善非线性系统性能举例K①试分析系统稳定性；K＝20，死区继电器特性M＝3，a＝l76不能返回到a。（5）在此应用相对描述函数的概念。[100*2^(1/2)]系统稳定；将系统的运动过程形象化为相平面上一个点的移动，通过研究点移动的轨迹获得系统的运动规律的全部信息。当微小扰动使振幅A增大到c点时，c点“(-1,j0)”被G(j)轨迹包围，n=[000460];（3）在程序文件方式下执行以下MATLAB程如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环;或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点。第6章非线性系统分析这与线性元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的[z]=solve('-pi/4*z/sqrt(z-1)=-3.=N1Asint+N2Asint稳定？不稳定？当N1和N2是复数时，该结论仍成立。设非线性元件的输出为奇对称函数间隙特性的特点是：当输入量的变化方向改变时，输出量保方法不受阶次的限制，且所得结果也比较符合实际，故得到了广泛应用。掌握非线性环节描述函数的求法及用描述函数法分析非线性系统的稳定性方法；必须首先求出这两个非线性环节串联后等效的非线性特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。A＝a=1A∞G(j)轨迹与负实轴交点频率值G(j)轨迹与负倒描述函数有两个交点：a——不稳定自振交点b——稳定自振交点不能返回到a。A＝a=1A∞G(j)轨迹与负实轴交点频77a——不稳定自振交点b——稳定自振交点A1＝1.11A2＝2.3如要求稳定a——不稳定自振交点b——稳定自振交点A1＝1.11A2＝2781）改变G(j)——调整KK1）改变G(j)——调整KK792）改变N(A):调整死区继电器特性的死区a或输出幅值M取a=1、M=22）改变N(A):调整死区继电器特性的死区a或输出幅值M取a80自振分析

(定量)自振必要条件：例1

分析系统的稳定性(M=1)，求自振参数。解作图分析，系统一定自振。由自振条件：得：比较实/虚部：自振分析(定量)自振必要条件：例1分析系统的稳定性(M=81分析：可以调节K,t实现要求的自振运动。解代入比较模和相角得例6-5

系统如右，欲产生的周期信号,试确定K、t的值。分析：可以调节K,t实现要求的自振运动。解代入比较模和相82例6-6

非线性系统结构图如右图所示，

已知：自振时,调整K使。求此时的K值和自振参数(A,w)以及输出振幅Ac。(2)定性分析K增大后自振参数(A,w)的变化规律。解(1)(2)依图分析：

例6-6非线性系统结构图如右图所示，解(1)(2)依图分83例6-7非线性系统结构图如右图所示，已知：时，系统是否自振？确定使系统自振的K值范围；求K=2时的自振参数。(2)G3(s)=s时，分析系统的稳定性。解先将系统结构图化为典型结构解法II特征方程法解法I

等效变换法例6-7非线性系统结构图如右图所示，解先将系统结构图化为84例6-8非线性系统结构图如右图所示，用描述函数法说明系统是否自振，并确定使系统稳定的初值(A)范围。解将系统结构图等效变换，求等效G*(s)例6-8非线性系统结构图如右图所示，用描述函数法说明系统是85G*(jw)

从稳定区穿到不稳定区的点—

不是自振点分析可知：使系统稳定的初始扰动范围为令G*(jw)从稳定区穿到不稳定区的点—不是自振点分析可86解将两非线性环节等效合并，结构图化为例6-9非线性系统如图所示，分析系统是否存在自振；若存在自振，确定输出端信号c(t)的振幅和频率。依自振条件比较虚实部解将两非线性环节等效合并，结构图化为例6-9非线性系统如87分析可知：系统存在自振分析可知：系统存在自振88利用线性部分改造非线性例2用局部反馈消弱非线性特性的影响例1改变线性部分的参数利用非线性特性改造非线性例4间隙特性的改造例3饱和+死区

非线性特性的利用例5为特定目的引入非线性环节例6在测速反馈中引入死区演示

演示

演示利用线性部分改造非线性例2用局部反馈消弱非线性特性的影响例89小结１、非线性系统的基本概念２、典型非线性３、描述函数的概念和典型非线性的描述函数４、描述函数分析方法描述函数法的核心是计算非线性特性的描述函数和它的负倒特性分析系统的稳定性和自持振荡。５、非线性的应用和非线性校正。小结１、非线性系统的基本概念90相平面法适用于一、二阶非线性系统的分析，是时域分析法在非线性系统中的推广。方法的重点将二阶非线性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量的两个一阶微分方程。然后依据这一对方程，设法求出其在上述两变量构成的相平面中的轨线，并由此对系统的时间响应进行判别。6.3

相平面法相平面法6.3相平面法91相平面法所得结果比较精确和全面。但是对于高于二阶的系统，需要讨论变量空间中的曲面结构，从而大大增加了工程使用的困难。

相平面法所得结果比较精确和全面。但是对于高92相平面法的实质：将系统的运动过程形象化为相平面上一个点的移动，通过研究点移动的轨迹获得系统的运动规律的全部信息。即对一瞬间，系统处于一定状态时，可用几个变量来表示，如二阶系统，可用两个变量来描述相应的状态，在平面上可定出一个点，随时间变化，就形成一轨线，称相轨迹，这个平面称为相平面。相平面法的实质：将系统的运动过程形象化为相平面上一个点的移动93相轨迹的绘制：二阶系统：1.解析法2.等倾线法相轨迹的绘制：二阶系统：1.解析法2.等倾线法94等倾线法：等倾线即为相轨迹上切线的斜率切线方向场等倾线法：等倾线即为相轨迹上切线的斜率切线方向场95解例3系统方程，用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。等倾斜线方程解例3系统方程，用等倾斜线法绘制96非线性控制系统分析实用版课件97根与相轨迹j0j0j0节点稳定焦点中心不稳定节点不稳定焦点鞍点j0j0j0根与相轨迹j0j0j0节点稳定焦点中心不稳定节点不稳定焦点鞍98相轨迹的特征：2.通过x轴时，相轨迹与x轴垂直

时，相轨迹：从左

右（随x增加）时，相轨迹：从右

左（随x减小）1.相轨迹的特征：2.通过x轴时，相轨迹与x轴垂直时，相轨迹994.奇点只可能出现在x轴上，对线性系统而言，奇点就是原点（平衡点）

3.4.奇点只可能出现在x轴上，对线性系统而言，奇点就是原点（平100奇点和奇线

实奇点：奇点位于对应的线性工作区域内。

虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外。奇点：相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇点。

奇点和奇线实奇点：奇点位于对应的线性工作区域内。奇点：相101极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环，或从极限环卷出。极限环内部（或外部）的相轨迹，总是不可能穿过极限环而进入它的外部（或内部）。

极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，所有极限环附近102（1）稳定极限环（1）稳定极限环103（2）不稳定极限环

在极限环附近的相轨迹是从极限环发散出去。在这种情况下，如果相轨迹起始于极限环内，则该相轨迹收敛于极限环内的奇点，如果相轨迹起始于极限环外，则该相轨迹发散至无穷远。（2）不稳定极限环104（3）半稳定极限环

如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环;或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点。（3）半稳定极限环105非线性控制系统分析实用版课件106非线性系统相平面分析随动系统分段线性化非线性系统相平面分析随动系统分段线性化107非线性控制系统分析实用版课件108①①109②②110非线性控制系统分析实用版课件1118.4

用MATLAB进行非线性控制系统分析通过具体例子，介绍MATLAB在描述函数法分析中的应用。在计算机辅助分析中用到了相对描述函数的概念。非线性系统自振时

8.4用MATLAB进行非线性控制系统分析通过具体例子，112死区＋继电特性的非线性控制系统例：已知死区＋继电特性的非线性控制系统如图所示，其中继电特性参数为M＝1.7，死区特性参数为△＝0.7，应用描述函数法作系统分析系统是否存在自振？若有自振须求出自振的振幅x与角频率ω。死区＋继电特性的非线性控制系统例：已知死区＋继电特性的非线性113解：1.方法一（1）带死区的继电型非线性环节的描述函数为

其负倒数函数为

解：1.方法一114当X为变量，由△开始增加时，曲线从负无穷处出发沿负实轴增加，相角始终为－π，所以曲线位于平面的负实轴上，幅值大小随着X的增加先减后增，在X增加到时，有极大值当X为变量，由△开始增加时，曲线从负无穷处115作曲线。（2）在图上作曲线，当ω＝140时，曲线穿过实轴。（3）当M＝1.7，△＝0.7时，曲线的端点值为因此，曲线与在处两次相交，两次相交的X值分别为作曲线。（2）在图上作116死区＋继电特性非线性系统的描述函数法分析死区＋继电特性非线性系统的描述函数法分析117扰动作用使得系统的运动脱离A点。而在B点邻域两边的运动，基于奈氏稳定性判据而形成自持振荡。振荡频率与振荡幅值如图可知分别为对于A点邻域，被曲线包围的段上，是增幅的，不被曲线包围的段上，是减幅的。因此在A点邻，扰动作用使得系统的运动脱离A点。而在B点邻域两边的运动，基于118

2.方法二：MATLAB软件辅助分析（1）线性部分的频率特性为：

（2）死区继电特性的描述函数及相对描述函数：2.方法二：MATLAB软件辅助分析119（3）在程序文件方式下执行以下MATLAB程序OK1.m，在同一复平面上绘制非线性特性的相对负倒描述函数与线性部分的Nyquist曲线。

（3）在程序文件方式下执行以下MATLAB程120%MATLAB

PROGRAM

OK1.mclearsymstxyzcmx;m=1.7;c=0.7;forx=0.71:0.1:7x=c*4/(pi*x)*sqrt(1-(c/x)^2);y=0;z=-1/x+j*y;plot(-1/x,y,'k*')holdon

%MATLABPROGRAMOK1.m121endn=[000460];d=conv(conv([10],[0.011]),[0.0051]);g=1.7/0.7*tf(n,d);forw=50:1:400nyquist(g,[w,w+1])holdonend

end122运行该程序，在同一复平面上绘制非线性特性的相对负倒描述函数与线性部分的Nyquist曲线如下图所示。

相对负倒描述函数与Nyquist曲线运行该程序，在同一复平面上绘制非线性特性的相对负倒描述函123

由于死区+继电特性的描述函数是自振振幅X的实函数，其相对负倒描述函数也是自振振幅X的实函数，其虚部为零，曲线在负实轴上，与系统线性部分Nyquist曲线的交点也在横坐标上。由于死区+继电特性的描述函数是自振振幅X的实函数，其相对负124分母有理化后，运行以下程序，由上式分子虚部为零求

symswn;n=simple(j*(1-0.01*j*w)*(1-0.005*j*w))（4）利用交点在横坐标上，其虚部为零，求交点的角频率与交点的交点的角频率分母有理化后，运行以下程序，由上式分子虚部为零求（4）利用125运行结果为

n=i+3/200*w-1/20000*i*w^2交点虚部为零，运行以下程序求交点的角频率ω

[w]=solve('1-1/20000*w^2=0')运行结果为

w=[100*2^(1/2)][-100*2^(1/2)]即交点的角频率ω＝141.4rad/s。运行结果为126运行以下程序，将ω＝141.4rad/s代入线性部分的频率特

symsw;w=141.4;g=2.43*460/(j*w*(0.01*j*w+1)*(0.005*j*w+1));A=abs(g)程序运行结果：

A=3.7271即交点的

性计算交点的运行以下程序，将ω＝141.4rad/s代入线性部分的频率特127（5）在此应用相对描述函数的概念。非线性系统自振时有

symsz;[z]=solve('-pi/4*z/sqrt(z-1)=-3.7271');c=0.7;[x]=sqrt(z)*c;x=vpa(x,3)运行以下程序，由，求自振的振幅X。（5）在此应用相对描述函数的概念。非线性系统自振时有运行128程序运行结果：x=[.717][3.24]

(6)所得结果与方法一非常近似。程序运行结果：x=[.717]129本章小结

本章介绍了经典控制理论中研究非线性控制系统的两种常用方法：描述函数法和相平面分析法。描述函数法主要用于分析非线性系统的自持振荡。利用本方法时，首先应检查系统是否满足应用描述函数法的限制条件，参阅。

本章小结本章介绍了经典控制理论中研究非线性控制系统的两种常130

描述函数法的一个很大的特点是：分析不受系统阶数的限制。在系统存在一个以上非线性元件，且彼此之间又没有有效的低通滤波器隔开的情况下，一般可以把非线性元件结合在一起，并用一个等效的描述函数来描述。

131相平面分析法是研究一、二阶非线性系统的一种图解方法。相平面图清楚地表示了系统在不同初始条件下的自由运动。本章基本要求：了解非线性系统的特点；掌握非线性环节描述函数的求法及用描述函数法分析非线性系统的稳定性方法；熟悉相轨迹的概念和性质，掌握相轨迹的绘制方法。

相平面分析法是研究一、二阶非线性系统的一种图解方法。相平面图132典型非线性特性常见的典型非线性特征有以下几种：

1.饱和非线性

2.死区特性

3.具有不灵敏区的饱和特性

4.继电特性

5.间隙特性

典型非线性特性常见的典型非线性特征有以下几种：133具有不灵敏区的饱和特性在很多情况下，系统的元件同时存在死区特性和饱和限幅特性。譬如，测量元件的最大测量范围与最小测量范围都是有限的。具有不灵敏区的饱和特性如图c所示。具有不灵敏区的饱和特性134继电特性由于继电器吸合电压与释放电压不等,使其特性中包含了死区、回环及饱和特性，如图所示。0<i<a时，触头不动；i>ma时，触头吸合；i<ma时，触头释放。继电特性0<i<a时，触头不动；135

微小扰动分析法当微小扰动使振幅A增大到c点时，c点“(-1,j0)”被G(j)轨迹包围，

系统不稳定；振幅A继续增大；不能返回到a。

微小扰动分析法当微小扰动使振幅A增大到c点时，c点“(-1136分析可知：系统存在自振分析可知：系统存在自振137（3）半稳定极限环

如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环;或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点。（3）半稳定极限环138运行该程序，在同一复平面上绘制非线性特性的相对负倒描述函数与线性部分的Nyquist曲线如下图所示。

相对负倒描述函数与Nyquist曲线运行该程序，在同一复平面上绘制非线性特性的相对负倒描述函139

由于死区+继电特性的描述函数是自振振幅X的实函数，其相对负倒描述函数也是自振振幅X的实函数，其虚部为零，曲线在负实轴上，与系统线性部分Nyquist曲线的交点也在横坐标上。由于死区+继电特性的描述函数是自振振幅X的实函数，其相对负1406.1

非线性系统概述

6.2

描述函数法

6.3

非线性系统分析与应用

6.4

MATLAB应用实例

第6章非线性系统分析6.1非线性系统概述6.2描述函数法6.3非1416.1

非线性系统概述自动控制系统中所包含的非线性特性可以分为两类。非本质非线性

能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。本质非线性

用小偏差线性化方法不能解决的非线性。6.1非线性系统概述自动控制系统中所包含的非线性特性可以分142典型非线性特性常见的典型非线性特征有以下几种：

1.饱和非线性

2.死区特性

3.具有不灵敏区的饱和特性

4.继电特性

5.间隙特性

典型非线性特性常见的典型非线性特征有以下几种：143饱和非线性实际的放大器只能在一定的输入范围内保持输出量和输入量之间的线性关系。当输入量超出该范围时，其输出量则保持为一个常值。饱和非线性特性如图a所示。饱和非线性144死区特性一般的测量元件、执行机构都具有不灵敏区特性。只有在输入信号大到一定程度以后才会有输出。一般的机械系统、电机等,都不同程度地存在死区。这种只有当输入量超过一定值后才有输出的特性称为死区特性，如图b所示。死区特性145具有不灵敏区的饱和特性在很多情况下，系统的元件同时存在死区特性和饱和限幅特性。譬如，测量元件的最大测量范围与最小测量范围都是有限的。具有不灵敏区的饱和特性如图c所示。具有不灵敏区的饱和特性146（磁敏传感器）霍尔元件霍尔元件+UH（磁敏传感器）霍尔元件霍尔元件+UH147继电特性由于继电器吸合电压与释放电压不等,使其特性中包含了死区、回环及饱和特性，如图所示。0<i<a时，触头不动；i>ma时，触头吸合；i<ma时，触头释放。继电特性0<i<a时，触头不动；148间隙特性间隙特性的特点是：当输入量的变化方向改变时，输出量保持不变，一直到输入量的变化超出一定数值（间隙）后，输出量才跟着变化。间隙特性如图e所示。间隙特性149间隙特性:间隙又称回环。传动机构的间隙是一种常见的回环非线性特性，如图所示。间隙特性:间隙又称回环。传动机构的间隙是一种常见的回环非线150在齿轮传动中,由于间隙存在,当主动齿轮方向改变时,从动轮保持原位不动,直到间隙消除后才改变转动方向。铁磁元件中的磁滞现象也是一种回环特性。间隙特性对系统影响较为复杂,一般来说,它将使系统稳态误差增大，频率响应的相位迟后也增大,从而使系统动态性能恶化。采用双片弹性齿轮(无隙齿轮)可消除间隙对系统的不利影响。在齿轮传动中,由于间隙存在,当主动齿轮方151

非线性系统的基本特征数学模型：非线性微分方程

主要特点：1.稳定性问题稳定性除了同系统的结构形式和参数有关外，还与外作用及初始条件有关。2.时间响应非线性系统的时间响应与输入信号的大小和初始条件有关。非线性系统的基本特征数学模型：非线性微分方程152设t=0，系统的初始状态为x0

10x(t)tx0>1x0<1ln

x0x01设t=0，系统的初始状态为x010x(t)tx0>1x153相应的时间响应随初始条件而变。当x0>1，t<lnx0/(x01)时，随t增大，x(t)递增；t=lnx0/(x01)时，x(t)为无穷大。当x0<1时，x(t)递减并趋于0。由上例可见，初始条件不同，自由运动的稳定性亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。10x(t)tx0>1x0<1ln

x0x01相应的时间响应随初始条件而变。由上例可见，1543.自持振荡问题产生某一固定振幅和频率的振荡（一种稳定的周期运动）。非线性系统出现的这种周期运动称为自持振荡或简称为自振。4.对正弦输入信号的响应非线性系统对正弦输入信号的响应比较复杂，其稳态输出除了包含与输入频率相同的信号外，还可能有与输入频率成整数倍的高次谐波分量。3.自持振荡问题155非线性系统与线性系统的比较线性系统非线性系统①数学模型线性微分方程（迭加原理）非线性微分方程（不能用迭加原理）②稳定性与系统结构参数有关

与系统结构参数、初始条件外部输入有关③运动状态稳定或不稳定稳定、不稳定、自持振荡

④研究重点稳定性、动态及静态性能稳定性、自持振荡⑤研究方法传函、频率法等相平面法、描述函数法、波波夫法，李亚普诺夫法等⑥典型环节比例惯性积分微分振荡等饱和、死区、间隙、继电器等非线性系统与线性系统的比较线性系统非线性系统①数学模型156减后增，在X增加到时，有极大值极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环，或从极限环卷出。当微小扰动使振幅A减小到作曲线。１、非线性系统的基本概念这与线性元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的方法不受阶次的限制，且所得结果也比较符合实际，故得到了广泛应用。K＝20，死区继电器特性M＝3，a＝l。（4）利用交点在横坐标上，其虚部为零，求交点的角频率交点虚部为零，运行以下程序求交点的角频率ω例6-9非线性系统如图所示，分析系统是否存在自振；描述函数法的一个很大的特点是：分析不受系统阶数的限制。t=lnx0/(x01)时，x(t)为无穷大。运行该程序，在同一复平面上绘制非线性特性的相对负倒描述函数与线性部分的Nyquist曲线如下图所示。虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外。当X为变量，由△开始增加时，曲线从负无穷处出饱和非线性特性如图a所示。利用非线性特性改造非线性振幅A减小；具有不灵敏区的饱和特性

非线性系统的分析方法目前，工程上广泛应用的分析和设计非线性控制系统的方法是描述函数法和相平面分析法。

描述函数法

是一种近似方法，相当于线性理论中频率法的推广。方法不受阶次的限制，且所得结果也比较符合实际，故得到了广泛应用。

减后增，在X增加到时，有极157相平面分析法适用于一、二阶非线性系统的分析，方法的重点是将二阶非线性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量的两个一阶微分方程。然后依据这一对方程，设法求出其在上述两变量构成的相平面中的轨线，并由此对系统的时间响应进行判别。

相平面分析法1586.2描述函数法

基本思想：当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。

描述函数法的基本概念6.2描述函数法基本思想：当系统满足一定的假设条件时，系159描述函数法主要用来分析在无外作用的情况下，非线性系统的稳定性和自振荡问题。这种方法不受系统阶次的限制，对系统的初步分析和设计十分方便，获得了广泛应用。描述函数法是一种近似的分析方法，它的应用有一定的限制条件。

描述函数法主要用来分析在无外作用的情况下，非线性系统的稳定160应用描述函数法分析非线性系统时，要求元件和系统必须满足以下条件：

(1)非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性环节和一个线性部分相串联的典型形式；(2)非线性环节的输入输出特性是中心对称的，即y(x)＝-y(-x)；(3)系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。应用描述函数法分析非线性系统时，要求元件和系统161描述函数的定义针对一任意非线性系统，设输入x=Asinωt,输出波形为y(t)，则可以将y(t)表示为富氏级数形式

描述函数的定义162

设非线性元件的输出为奇对称函数设非线性元件的输出为奇对称函数163谐波线性化的处理方法是：以输出y(t)的基波分量近似地代替整个输出。亦即略去输出的高次谐波，将输出表示为

谐波线性化的处理方法是：以输出y(t)的基波分量近164这意味着一个非线性元件在正弦输入下，其输出也是一个同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。这与线性元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的相似性，故称上述近似处理为谐波线性化。

这意味着一个非线性元件在正弦输入下，其输出也是165描述函数法的定义：输入为正弦函数时，输出的基波分量与输入正弦量的复数比。其数学表达式为

描述函数法的定义：输入为正弦函数时，输出的基波分量166虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外。=N1Asint+N2Asint求此时的K值和自振参数(A,w)以及输出振幅Ac。一个同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环;或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点。交点虚部为零，运行以下程序求交点的角频率ω当微小扰动使振幅A减小到f点，f点“(-1,j0)”被G(j)轨迹包围，求K=2时的自振参数。[w]=solve('1-1/20000*w^2=0')振幅（A）？可归化为下图所示的典型结构。d点，d点“(-1,j0)”未被G(j)[z]=solve('-pi/4*z/sqrt(z-1)=-3.非线性系统的时间响应与输入信号的大小和初始条件有关。2）改变N(A):调整死区继电器特性的死区a或输出幅值M此时也可以将复杂的非线件特性分解为若干个简单非线性特性的组合，即串并联，再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线件特件的描述函数。具有滞环继电器特性的非线性系统当微小扰动使振幅A增大到c点时，c点“(-1,j0)”被G(j)轨迹包围，(2)定性分析K增大后自振参数(A,w)的变化规律。（2）死区继电特性的描述函数及相对描述函数：典型非线性特性的描述函数理想继电器特性的描述函数将y(t)傅氏展开得虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外。典型非线性特性的描述函167斜对称、奇函数A0=An=0斜对称、奇函数A0=An=0168理想继电器特性死区继电器特性理想继电器特性死区继电器特性169y(t)ωty(t)ωty(t)ωtωty(t)y(t)ωty(t)ωty(t)ωtωty(t)170滞环继电器特性饱和特性滞环继电器特性饱和特性171死区特性死区饱和特性死区特性死区饱和特性172间隙、滞环特性间隙、滞环特性173一般非线性

描述函数不仅适合于分段线性系统，也适合于一般非线性系统，只要能求出非线性环节的描述函数。我们举一个例子:因为它是单值、奇对称的，，先求出：

一般非线性描述函数不仅适合于分段线性系统，也适合于一174所以

所以175和非线性特性求出输出，然后由积分式求出，最后由求出。

概括起来，求描述函数的过程是：先根据已知的输入和非线性特性求出输出，然后由积分式求176(2)G3(s)=s时，分析系统的稳定性。通过具体例子，介绍MATLAB在描述函数法分析中的应用。具有不灵敏区的饱和特性１、非线性系统的基本概念解法II特征方程法（2）不稳定极限环用小偏差线性化方法不能解决的非线性。(2)非线性环节的输入输出特性是中心对称的，即y(x)＝-y(-x)；（2）死区继电特性的描述函数及相对描述函数：然后依据这一对方程，设法求出其在上述两变饱和非线性特性如图a所示。例1分析系统的稳定性(M=1)，求自振参数。节和一个线性部分相串联的典型形式；其在上述两变量构成的相平面中的轨线，并由此对系统和非线性特性求出输出，然后由积分式求出，最后由求出。若干个非线性环节并联后的总的描述函数，等于各非线性环节描述函数之和。具有不灵敏区的饱和特性如图c所示。极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环，或从极限环卷出。7，死区特性参数为△＝0.[z]=solve('-pi/4*z/sqrt(z-1)=-3.以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线性特性，完全可以利用这种力法求出其描述函数，但计算也复杂得多。此时也可以将复杂的非线件特性分解为若干个简单非线性特性的组合，即串并联，再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线件特件的描述函数。 组合非线性特性的描述 1．非线性特性的并联计算设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是单值函数，即它们的描述函数都是实数。(2)G3(s)=s时，分析系统的稳定性。177x(t)y1(t)y11(t)N1y12(t)N2

y1(t)=

y11(t)+y12(t)=

N1Asint+N2Asint

=(N1+N2)Asint

N=(N1+N2)

总的描述函数若干个非线性环节并联后的总的描述函数，等于各非线性环节描述函数之和。当N1和N2是复数时，该结论仍成立。 x(t)y1(t)y11(t)N1y12(t)N2y1(t178△0M△0kxy++xk0M△y例6-1

一个具有死区的非线性环节，求描述函数N(A)。△0M△0kxy+xk0M△y例6-1一179解：该死区非线性特性可分解为一个死区继电器特性和一个典型死区特性的并联，描述函数为2．非线性特性的串联计算必须首先求出这两个非线性环节串联后等效的非线性特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。x(t)N1y(t)N2z(t)解：该死区非线性特性可分解为一个死区继电器特180120x

y例6-2

求图所示两个非线性特性串联后总的描述函数N(A)。k1=1120xz120

z

yk2=2k=2120xy例6-2求图所示两181等效为一个死区加饱和的非线性特性，分解为两个具有完全相同的线性区斜率k=2和不同死区宽度1=1及2=2的死区特性的并联相减。等效为一个死区加饱和的非线性特性，分解为两个具有完全相同的线182两个非线环节并联使非线性特性发生改变示例两个非线环节并联使非线性特性发生改变示例183

非线性系统的描述函数分析法基本假设可归化为下图所示的典型结构。

当讨论自振及稳定性时，只研究由系统内部造成的周期运动，不考虑外力作用，因此，认为外作用为0。非线性系统的描述函数分析法基本假设当讨论自振及稳定性时184非线性部分输出中的高次谐波振幅小于基波振幅。线性部分的低通滤波效应较好，高次谐波可忽略。非线性部分输出中的高次谐波振幅小于基波振幅。185非线性系统的稳定性(乃奎斯特判据)若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是G(j)

轨迹不包围复平面的(-1,j0)。负倒描述函数（描述函数负倒特性)线性系统(-1,j0)?非线性系统的稳定性(乃奎斯特判据)负倒描述函数（描述函数负186其负倒数函数为从稳定区穿到不稳定区的点—不是自振点返回到b。时，相轨迹：从左右（随x增加）(2)定性分析K增大后自振参数(A,w)的变化规律。构，从而大大增加了工程使用的困难。i>ma时，触头吸合；（3）在程序文件方式下执行以下MATLAB程将二阶非线性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量的两在系统存在一个以上非线性元件，且彼此之间又没有有效的低通滤波器隔开的情况下，一般可以把非线性元件结合在一起，并用一个等效的描述函数来描述。当X为变量，由△开始增加时，曲线从负无穷处出z=-1/x+j*y;解将两非线性环节等效合并，结构图化为因此，曲线与在处两次相交，两次相交的X值分别为（3）半稳定极限环7时，曲线的端点值为极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环，或从极限环卷出。symsz;clear节和一个线性部分相串联的典型形式；设：系统开环的线性部分G(j)稳定其负倒数函数为设：系统开环的线性部分G(j)稳定187③G(j)与负倒描述函数相交

闭环系统出现自持振荡(极限环振荡)

稳定？不稳定？

振幅（A）？

频率()？③G(j)与负倒描述函数相交188

微小扰动分析法当微小扰动使振幅A增大到c点时，c点“(-1,j0)”被G(j)轨迹包围，

系统不稳定；振幅A继续增大；不能返回到a。

微小扰动分析法当微小扰动使振幅A增大到c点时，c点“(-1189当微小扰动使振幅A减小到d点，d点“(-1,j0)”未被G(j)轨迹包围，

系统稳定；振幅A继续减小；不能返回到a。a点为不稳定自振交点。当微小扰动使振幅A减小到190当微小扰动使振幅A增大到e点时，e点“(-1,j0)”未被G(j)轨迹包围，系统稳定；振幅A减小；返回到b。

当微小扰动使振幅A增大到e点191当微小扰动使振幅A减小到f点，f点“(-1,j0)”被G(j)轨迹包围，

系统不稳定； 振幅A增大； 返回到b。b点为稳定自振交点。当微小扰动使振幅A减小到f点，f点“(-1,j0)”被G(j192基准负倒数描述函数理想继电器特性非线性特性的尺度系数基准负倒数描述函数理想继电器特性非线性特性的尺度系数193死区继电器特性死区继电器特性194非线性控制系统分析实用版课件195具有饱和特性的非线性系统A＝a时A∞

时负倒描述函数轨迹=实轴上（-1/k,-∞)具有饱和特性的非线性系统A＝a时A