追与问题讲座与练习答案

..追及问题精讲知识导航追及路程＝甲走的路程—乙走的路程＝甲的速度×追及时间—乙的速度×追及时间＝〔甲的速度—乙的速度×追及时间＝速度差×追及时间.例1：甲、乙两地相距240千米,一列慢车从甲地出发,每小时行60千米．同时一列快车从乙地出发,每小时行解析：追及路程即为两地距离240千米速度差90－60=30〔千米所以追及时间240÷30=8〔小时.[巩固1]下午放学时,弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后,哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家,哥哥出发后,经过几分钟可以追上弟弟？〔假定从学校到家有足够远,即哥哥追上弟弟时,仍没有回到家解析：若经过5分钟,弟弟已到了A地,此时弟弟已走了40×5=200〔米；哥哥每分钟比弟弟多走20米,几分钟可以追上这20040×5÷〔60－40=10〔分答：哥哥10分钟可以追上弟弟.[巩固2]甲、乙二人都要从北京去天津,甲行驶10千米后乙才开始出发,乙每小时行驶15千米,甲每小时行驶10千米,问：乙经过多长时间能追上甲？解析：出发时甲、乙二人相距10千米,以后两人的距离每小时都缩短15－10=5〔千米,即两人的速度的差〔简称速度差,所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上：10÷<15－10>=2〔小时答：还需要2个小时.[巩固3]解放军某部先遣队,从营地出发,以每小时6千米的速度向某地前进,12小时后,部队有急事,派通讯员骑摩托车以每小时78千米解析：追及路程就是先遣队12小时行驶的路程。〔6×12÷〔78－6=1<小时>．答：通讯员1小时能赶上先谴队.例2：小明步行上学,每分钟行70米．离家12分钟后,爸爸发现小明的文具盒忘在家中,爸爸带着文具盒,立即骑自行车以每分钟280解析：如图：当爸爸开始追小明时,小明已经离家：70×12=840<米>,即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米,我们把这个距离叫做"路程差",爸爸出发后,两人同时走,每过280－70=210<米>,也就是爸爸与小明的速度差为280－70=210<米/分>,爸爸追及的时间：840÷210=4<分钟>．当爸爸追上小明时,小明已经出发12+4=16<分钟>,此时离家的距离是：70×16=1120<米>[巩固1]哥哥和弟弟在同一所学校读书．哥哥每分钟走65米,弟弟每分钟走40米,有一天弟弟先走5解析：哥哥出发的时候弟弟走了：40×5=200〔米,哥哥追弟弟的追及时间为：200÷<65－40>=8〔分钟,所以家离学校的距离为：8×65=520〔米.答：他们家离学校有520米。[巩固2]小明以每分钟50米的速度从学校步行回家,12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明,结果在距学校1000米解析：小强出发的时候小明走了50×12=600〔米,被小强追上时小明又走了：〔1000－600÷50=8〔分钟,说明小强8分钟走了1000米所以小强的速度为：1000÷8=125〔米/分钟.答：小强骑自行车的速度是125米/分钟。例3:小强每分钟走70米,小季每分钟走60米,两人同时从同一地点背向走了3分钟,小强掉头去追小季,追上小季时小强共走了多少米？解析：小强走的时间是两部分,一部分是和小季背向走的时间,另一部分是小强追他的时间,要求追及时间,就要求出他们的路程差．路程差是两人相背运动的总路程：〔60+70×3=390<米>追及时间为：390÷<70－60>=39<分钟>小强走的总路程为：70×〔39+3=2940<米>答：追上小季时小强共走了2940米[巩固]小聪和小明从学校到相距2400米的电影院去看电影．小聪每分钟行60米解析：要求小明每分钟走多少米,就要先求小明所走的路程<已知>和小明所用的时间；要求小明所用的时间,就要先求小聪所用的时间,小聪所用的时间是：2400÷60=40〔分钟小明所用的时间是：40－10=30<分钟>,小明每分钟走的米数是：2400÷30=80<米>．答：小明每分钟走80米例4:王芳和李华放学后,一起步行去体校参加排球训练,王芳每分钟走110米,李华每分钟走70米,出发5分钟后,王芳返回学校取运动服,在学校又耽误了2分钟,然后追赶李华．求多少分钟后追上李华？解析：已知二人出发5分钟后,王芳返回学校取运动服,这样用去了5分钟,在学校又耽误了2分钟,王芳一共耽误了5×2+2=12〔分钟李华在这段时间比王芳多走：70×12=840<米>速度差为：110－70=40<米/分>王芳追上李华的时间是：840÷40=21〔分钟答：王芳追上李华的时间是21分钟。[巩固1]小王、小李共同整理报纸,小王每分钟整理72份,小李每分钟整理60份,小王迟到了1分钟,当小王、小李整理同样多份的报纸时,正好完成了这批任务．一共有多少份报纸？解析：本题可用追及问题思路解题,类比如下：路程差：小王迟到1分钟这段时间,小李整理报纸的份数〔60份,速度差：72－60=12〔份/分钟．此时可求两人整理同样多份报纸时,小王所用时间,即追及时间是60÷12=5〔分钟．共整理报纸：5×72×2=720〔份答：一共有720份报纸[巩固2]甲、乙两车同时从A地向B地开出,甲每小时行38千米,乙每小时行34千米,开出1小时后,甲车因有紧急任务返回A地；到达A地后又立即向B地开出追乙车,当甲车追上乙车时,两车正好都到达B地,求A、B两地的路程．解析：根据题意画出线段图：从图中可以看出,当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的路程,那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间,而追及时间正好是甲车从A地到B地所用的时间,由此可以求出A、B两地的路程,追及路程为：34×2=68<千米>;追及时间为：68÷〔38－34=17<小时>.A、B两地的路程为：38×17=646<千米>.答：A、B两地的路程是646千米。例5:甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地,甲车每小时行50千米,乙车每小时行40千米．途中甲车出故障停车修理了3小时,结果甲车比乙车迟到1小时到达B地．A、B两地间的路程是多少？解析：由于甲车在途中停车3小时,比乙车迟到1小时,说明行这段路程甲车比乙车少用2小时．可理解成甲车在途中停车2小时,两车同时到达,也就是乙车比甲车先行2小时,两车同时到达B地,所以,也可以用追及问题的数量关系来解答．即：行这段路程甲车比乙车少用的时间是：3－1=2<小时>,乙车2小时行的路程是：40×2=80<千米>,甲车每小时比乙车多行的路程是：50－40=10<千米>,甲车所需的时间是：80÷10=8<小时>,A、B两地间的路程是：50×8=400<千米>．答：A、B两地间的路程是400千米。[巩固1]甲、乙两车分别从A、B两地出发,同向而行,乙车在前,甲车在后．已知甲车比乙车提前出发1小时,甲车的速度是96千米/小时,乙车每小时行80千米．甲车出发5小时后追上乙车,求A、B两地间的距离．解析：由已知可求出甲、乙两车的追及时间,利用追及问题的公式求解．追及时间为：5－1=4<小时>,追及路程为：〔96－80×4=64<千米>,A、B两地间的距离为：96+64=160<千米>答：A、B两地间的距离160千米。[巩固2]一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发,向同一个方向前进,摩托车在前,每小时行28千米,汽车在后,每小时行解析：先求出汽车每小时比摩托车多行驶的路程<速度差>,再求出两地相距的路程,即：〔65－28×4=148<千米>.答：甲乙两地相距148千米例6：小明的家住学校的南边,小芳的家在学校的北边,两家之间的路程是1410米,每天上学时,如果小明比小芳提前3分钟出发,两人可以同时到校．已知小明的速度是70米/分钟,小芳的速度是80解析：小明比小芳提前3分钟出发,则多走70×3=210〔米．两家之间的所剩路程是1410－210=1200<米>,两人的速度和是70+80=150〔米,走完所剩路程需：1200÷〔70+80=8〔分小明家距离学校70×〔8+3=770〔米．答：小明家距离学校有770米。[巩固]学校和部队驻地相距16千米,小宇和小宙由学校骑车去部队驻地,小宇每小时行12千米,小宙每小时行15千米．当小宇走了3千米后,小宙才出发．当小宙追上小宇时,距部队驻地还有多少千米？解析：追及时间：3÷〔15－12=1<小时>,此时距部队驻地还有：16－15=1<千米>．当小宙追上小宇时,距部队驻地还有1例7：甲、乙两列火车同时从A地开往B地,甲车8小时可以到达,乙车每小时比甲车多行20千米,比甲车提前2小时到达．求A、B两地间的距离．解析：这道题的路程差比较隐蔽,需要仔细分析题意,乙到达时,甲车离终点还有两小时的路程,因此路程差是甲车两小时的路程．方法一：如图：甲车8小时可以到达,乙车比甲车提前2小时到达,因此：乙车到达时用了：8－2=6〔小时>,此时路程差为：20×6=120<千米>,此时路程差就是甲车2小时的路程,所以甲车速度为：120÷2=60<千米/小时>,A、B两地间的距离：60×8=480<千米>方法二：如图：假设两车都行了8小时,则甲车刚好到达,乙车则超出了：20×8=160<千米>这段路程正好是乙车2小时走的,因此乙车速度：160÷2=80<千米/小时>乙车到达时用了：8－2=6<小时>A、B两地间的距离：80×6=480<千米>答：A、B两地间的距离是480千米。例8：龟、兔进行1000米的赛跑．小兔斜眼瞅瞅乌龟,心想："我小兔每分钟能跑100米,而你乌龟每分钟只能跑10米,哪是我的对手．"解析：⑴乌龟胜利了．因为兔子醒来时,乌龟离终点只有40米乌龟需要40÷10=4<分钟>就能到达终点,而兔子离终点还有500米,需要500÷100=5<分钟>⑵乌龟跑到终点还要40÷10=4<分钟>,而小兔跑到终点还要1000÷2÷100=5<分钟>,慢1分钟．当胜利者乌龟跑到终点时,小兔离终点还有：100×1=100<米>．[巩固]上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气,于是向乌龟再次下战书,比赛之前,为了表示它的大度,它让乌龟先跑10分钟,但是兔子不知道乌龟经过锻炼,速度已经提高到5倍,那么这一次谁将获得胜利呢？解析：由乌龟速度提高到5倍,可知乌龟现在的速度为<米/分>,乌龟先跑10分钟,即兔子开始跑时,乌龟已经跑了50×10=500<米>,还剩1000－500=500<米>,需要500÷50=10<分钟>就可以到达终点,而兔子到达终点需要的时间是：1000÷100=10<分钟>,所以,兔子和乌龟同时到达终点．答：兔子和乌龟同时到达终点．例9：军事演习中,"我"海军英雄舰追及"敌"军舰,追到A岛时,"敌"舰已在10分钟前逃离,"敌"舰每分钟行驶1000米,"我"海军英雄舰每分钟行驶1470米,在距离"敌"舰600米处可开炮射击,问"我"解析："我"舰追到A岛时,"敌"舰已逃离10分钟了,因此,在A岛时,"我"舰与"敌"舰的距离为10000米。.又因为"我"舰在距离"敌"舰600米处即可开炮射击,即"我"舰只要追上"敌"舰9400,即可开炮射击.所以,在这个问题中,不妨把〔1000×10÷〔1470－1000=20〔分钟,经过20分钟可开炮射击"敌"舰.[巩固]<第二届"走进美妙数学花园">在一条笔直的高速公路上,前面一辆汽车以90千米/小时的速度行驶,后面一辆汽车以108千米/小时的速度行驶．后面的汽车刹车突然失控,向前冲去<车速不变解析：这是一道"追及问题"．根据追及问题的公式,追及时间,路程差÷时间差．由题意知,追及时间为5秒钟,也就是5÷〔60×60小时两车相距距离为路程差,速度差为108－90=18<千米/时>,也就是18000米/所以路程差为：18000×5÷3600=25<米>,所以,在这辆车鸣笛时两车相距25米答：在这辆车鸣笛时两车相距25米例10：小红和小蓝练习跑步,若小红让小蓝先跑20米,则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟,则小红跑6解析：小红让小蓝先跑20米,则20米就是小红、小蓝二人的路程差,小红跑5秒钟追上小蓝,5秒就是追及时间,据此可求出他们的速度差为20÷5=4<米若小红让小蓝先跑4秒,则小红6秒可追上小蓝,在这个过程中,追及时间为6秒,根据上一个条件,由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差,这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程,路程差就等于4×6=24<米>就是小蓝在4秒内跑了24米综合列式计算如下：小蓝的速度为：20÷5×6÷4=6<米/秒>,小红的速度为：6+4=10<米/秒>[巩固]甲、乙二人练习跑步,若甲让乙先跑10米,则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟,则甲跑4秒钟就能追上乙．问：甲、乙二人的速度各是多少？解析：若甲让乙先跑10米,则10米就是甲、乙二人的路程差,5秒就是追及时间,据此可求出他们的速度差为10÷5=2<米/秒>；若甲让乙先跑2秒,则甲跑4秒可追上乙,在这个过程中,追及时间为4秒,因此路程差就等于2×4=8<米>,即乙在2秒内跑了8乙的速度为：10÷5×4÷2=4〔米甲的速度为：10÷5+4=6<米/秒>例11：甲、乙二人分别从A、B两地同时出发,如果两人同向而行,甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行,6分钟可相遇,又已知乙每分钟行50米,求A、B两地的距离解析：先画图如下：若设甲、乙二人相遇地点为C,甲追及乙的地点为D,则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟,因此,甲走C到D之间的路程,用时间应为：26－6=20〔分.同时,由上图可知,C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和,为50×〔26+6=1600〔米.所以,甲的速度为1600÷20=80〔米/分,由此可求出A、B间的距离：50×〔26+6÷〔26－6=80〔米/分,〔80+50×6=780〔米答：A、B两地的距离是780米。例12：甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去,已知学校到少年宫的距离是2400米．甲到少年宫后立即返回学校,在距离少年宫300米处遇到乙,此时他们离开学校已经解析：根据题意,画线段图如下：方法一：30分钟内,二人的路程和：2400×2=4800<米>,因此速度和为：4800÷30=160<米/分>；又知道30分钟甲的路程为：2400+300=2700<米>,所以甲速度为：2700÷30=90<米/分>,则乙速度为：160－90=70<米/分>．方法二：30分钟内,甲的路程为2400+300=2700<米>,乙走的路程为：2400－2100=300<米>,因此甲的速度为：2700÷30=90<米/分>,乙的速度为：〔2400－300÷30=70<米/分>答：甲每分钟走90米,乙每分钟走70米.课后练习1、甲地和乙地相距40千米,平平和兵兵由甲地骑车去乙地,平平每小时行14千米,兵兵每小时行17千米,当平平走了6千米后,兵兵才出发,当兵兵追上平平时,距乙地还有多少千米？解析：平平走了6千米后,兵兵才出发,这6千米就是平平和兵兵相距的路程．由于兵兵每小时比平平多走17－14=3<千米>,要求兵兵几小时可以追上6千米,也就是求6千米里包含着几个3千米,用6÷3=2<小时>．因为甲地和乙地相距40千米,兵兵每小时行17千米,2小时走了17×2=34<千米>,所以兵兵追上平平时,距乙地还有40－34=6<千米答：距乙地还有6千米2、一辆慢车从甲地开往乙地,每小时行40千米,开出5小时后,一辆快车以每小时90千米的速度也从甲地开往乙地．在甲乙两地的中点处快车追上慢车,甲乙两地相距多少千米？解析：慢车先行的路程是：40×5=200<千米>,快车每小时追上慢车的千米数是：90－40=50<千米>,追及的时间是：200÷50=4<小时>,快车行至中点所行的路程是：90×4=360<千米>,甲乙两地间的路程是：360×2=720<千米>．答：甲乙两地相距720千米3、四年级同学从学校出发到公园春游,每分钟走72米,15分钟以后,学校有急事要通知学生,派李老师骑自行车从学校出发9分钟追上同学们,李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们？解析：同学们15分钟走72×15=1080〔米,即路程差．然后根据速度差＝路程差÷追及时间,可以求出李老师和同学们的速度差,又知道同学们的速度是每分钟72米,就可以得出李老师的速度．即1080÷9+72=192〔米．答：李老师每分钟要行192米才可以准时追上同学们4、小李骑自行车每小时行13千米,小王骑自行车每小时行15千米．小李出发后2小时,小王在小李的出发地点前面6千米处出发,小李几小时可以追上小王？解析：小李2小时走：13×2=26〔千米,又知小王在小李的出发地点前面6千米处出发,则知道两人的路程差是26－6=20〔千米．每小时小王追上小李15－13=2〔千米,则20千米里面有几个2千米,则追及时间就是几小时,即：20÷2=105、自行车队出发12分钟后,通信员骑摩托车去追他们,在距出发点9千米处追上了自行车队,然后通信员立即返回出发点；随后又返回去追自行车队,再追上时恰好离出发点18解析：在第一次追上自行车队与第二次追上自行车队之间,摩托车所走的路程为<189>千米,而自行车所走的路程为<189>千米,所以,摩托车的速度是自行车速度的3倍<<189><189>>；摩托车与自行车的速度差是自行车速度的2倍,再根据第一次摩托车开始追自行车队时,车队已出发了12分钟,也即第一次追及的路程差等于自行车在12分钟内所走的路程,所以追及时间等于1226<分钟>；联系摩托车在距出发点9千米的地方追上自行车队可知：摩托车在6分钟内走了9千米的路程,于是摩托车和自行车的速度都可求出了．列式为：〔189〔1893倍,12〔316<分钟>,摩托车的速度为：961.5<千米/