低速翼型的气动特性c课件

第五章

低速翼型的气动特性退出第五章

低速翼型的气动特性退出§5.1翼型的几何参数§5.2低速翼型的流动特点及起动涡§5.3库塔—儒可夫斯基后缘条件和环量确定§5.4薄翼型理论§5.5任意翼型位流解法§5.6低速翼型的一般气动特性§5.1翼型的几何参数几何弦长、前缘半径、后缘角；翼面坐标、弯度分布、厚度分布§5.1翼型的几何参数几何弦长、前缘半径、后缘角；§5.1翼型的几何参数§5.1.1几何弦长

§5.1.2翼面无量纲坐标

§5.1.3弯度

§5.1.4厚度

§5.1.5前缘钝度及后缘尖锐度

§5.1翼型的几何参数§5.1.1几何弦长§5.1.2翼面无量纲坐标§5.1.6常用低速翼型编号法简介

1、NACA四位数字翼型，以NACA2412为例第一位数字2——第二位数字4——最末两位数字12——所有NACA四位数字翼型的2、NACA五位数字翼型，例如NACA23012翼型第一位数字2——第二位数字3——第三位数字表示后段中弧线的类型：0——直线，1——反弯曲线；

§5.1翼型的几何参数5.1.6常用低速翼型编号法简介1、NACA四位数字翼型(a)00迎角绕流(b)50迎角绕流§5.2低速翼型的流动特点及起动涡翼型绕流图画(a)00迎角绕流(b)50迎角绕流§5.2低速(c)150迎角绕流(d)200迎角绕流翼型绕流图画§5.2低速翼型的流动特点及起动涡(c)150迎角绕流(d)200迎角绕流翼型绕流

(a)小迎角无分离(b)厚翼型后缘分离(c)薄翼型前缘分离小迎角无分离时，粘性作用对翼面压力分布没有本质改变翼面压力分布§5.2低速翼型的流动特点及起动涡(a)小迎角无分离(§5.2低速翼型的流动特点及起动涡翼型的升力曲线

§5.2低速翼型的流动特点及起动涡翼型的升力曲线翼面邻近的闭曲线（L1）上速度环量Γ1，离翼型足够远的闭曲线（L）上速度环量Γ，翼型前缘、后缘点分别为A、B起动涡

——起动前的静止状态§5.2低速翼型的流动特点及起动涡翼面邻近的闭曲线（L1）上速度环量Γ1，离翼型足够远的闭曲线翼型前后驻点分别为O、O1起动涡

——刚起动的极短时间内，粘性尚未起作用§5.2低速翼型的流动特点及起动涡翼型前后驻点分别为O、O1起动涡

——刚起动的极短时间内，后缘绕流在上翼面出现分离，产生逆时针旋涡，后驻点O1移向后缘点B起动涡

——起动中，粘性起作用。§5.2低速翼型的流动特点及起动涡后缘绕流在上翼面出现分离，产生逆时针旋涡，后驻点O1移向后缘后驻点O1移至后缘点B时，后缘绕流分离形成的涡脱离翼面流向下游，形成起动涡，后缘处上下翼面流动平顺汇合流向下游。起动涡

——起动过程完结，翼型匀速前进§5.2低速翼型的流动特点及起动涡后驻点O1移至后缘点B时，后缘绕流分离形成的涡脱离翼面流向下由于远离翼面处流动不受粘性影响，所以Γ=0若设边界层和尾流中的环量为Γ3，则应有，Γ=Γ1+Γ2+Γ3于是Γ1=-（Γ2+Γ3）此时，如不计粘性影响，绕翼型的速度环量与起动涡的速度环量大小相等、方向相反，即Γ1=-Γ2

绕翼型环量的产生§5.2低速翼型的流动特点及起动涡由于远离翼面处流动不受粘性影响，所以绕翼型环量的产生§5.2绕翼型无粘位流的升力问题，遵循儒可夫斯基升力定理。根据该定理，直均流流过任意截面形状翼型的升力：Y=ρV∞Γ可见，确定速度环量是关键。

小迎角下，翼型绕流的压力分布及升力，与绕翼型的无粘位流的压力分布及升力无本质差别。因此，不计粘性作用，用绕翼型的无粘位流求解翼型压力分布及升力,是合理的近似。§5.3库塔—儒可夫斯基后缘条件和环量确定绕翼型无粘位流的升力问题，遵循儒可夫斯基升

就无粘位流而言，给定来流流速、迎角和翼型时，下面三种绕流情形都是可能的：(a)后驻点在上翼面，有逆时针后缘绕流；(b)后驻点在下翼面，有顺时针后缘绕流；(c)后驻点在后缘，无后缘绕流。这表明，如无其它物理要求，环量无法确定。§5.3库塔—儒可夫斯基后缘条件和环量确定就无粘位流而言，给定来流流速、迎角和翼型时，后驻点在翼面上而不在后缘时，绕尖后缘的流动流速理论上无穷大、压强负无穷，物理上这是不可能的；只有后驻点在后缘，不出现尖后缘绕流，上下翼面流动在后缘平顺汇合流向下游,后缘处流速为有限值，才合乎一般的物理要求。此时,有唯一的速度环量值与之相对应。

再者，从翼型实际绕流形成过程来看，粘性的作用消除了后缘绕流，上下翼面流动在后缘平顺汇合流向下游，产生了起动涡，使翼型绕流具有了明确的速度环量。

§5.3库塔—儒可夫斯基后缘条件和环量确定后驻点在翼面上而不在后缘时，绕尖后缘的流动流速理论上确定了无粘位流理论涉及的速度环量的唯一性，这是库塔—儒可夫斯基后缘条件的实质。

具体的库塔—儒可夫斯基后缘条件如下：(1)尖后缘翼型后缘角τ>0，后缘点是后驻点，V后上=V后下=0；后缘角τ=0,

后缘点处流速为有限值,

V后上=V后下；(2)实际小圆弧后缘翼型（见右图）VS上=VS下。简单讲，就是后缘无载荷：p后上=p后下§5.3库塔—儒可夫斯基后缘条件和环量确定确定了无粘位流理论涉及的速度环量的唯一性，这是库塔—儒可夫斯翼型低速无粘位流问题，一般可描述如下：

(1)§5.4薄翼型理论翼型低速无粘位流问题，一般可描述如下：(1)§5.4薄翼型绕流速度位Φ满足拉普拉斯方程，因此它可分解为直均来流速度位φ∞和翼型存在引起的扰动速度位φ，即于是，扰动速度位也满足拉普拉斯方程：（4）因有（2）（3）—扰动速度位的线性方程§5.4薄翼型理论翼型绕流速度位Φ满足拉普拉斯方程，因此它可分解为于是，扰动速体轴坐标系翼面上x、y方向的流速分量记为则边界条件为：（5）将代入（5）式得，（6）——翼面边界条件线化近似§5.4薄翼型理论体轴坐标系翼面上x、y方向的流速分量记为则边界条件为：（5）因翼型薄，弯度和迎角小，即视为一阶小量，则为二阶小量

；将（6）中的展开成如下级数，（7）其中也是二阶小量。保留一阶小量下，将（7）代入（6）得，,考虑到翼面坐标与厚度、弯度分布的关系，上式可写为，（8）这就是翼面边界条件的线性化近似表达式。——翼面边界条件线化近似（续）§5.4薄翼型理论因翼型薄，弯度和迎角小，即视为一阶小量，则根据伯努利方程，流场中任一点的压强系数为若只保留一阶小量，则有结果，

对翼面上的压强系数进一步近似，则有

——压强系数的线化近似§5.4薄翼型理论根据伯努利方程，流场中任一点的压强系数为若只保留一阶小量，则，————————————————————————————————————————————————————————————————，++迎角问题弯板问题厚度问题_________________________________________________________________________________________________________________________________，后缘条件后缘条件后缘条件——扰动速度位的线性叠加§5.4薄翼型理论，———————————————————————————————扰动速度位的线性叠加（续）§5.4薄翼型理论——扰动速度位的线性叠加（续）§5.4薄翼型理论图

迎角—弯板的面涡模拟

弦线上的面涡γ(ξ)，在弦线上诱导的y方向速度（即y方向的扰动速度）为

代入迎角—弯度问题的物面边界条件得确定面涡强度γ(ξ)的积分方程

无穷远边界条件：

库塔——儒可夫斯基后缘条件：

因涡面在无穷远的诱导速度为零，无穷远边界条件（10）自动满足，所以替代中弧线弯板作用的面涡强度分布γ(ξ)只需满足（9）和（11）条件。（9）（10）（11）面涡模拟——迎角弯板问题（升力问题）§5.4薄翼型理论图迎角—弯板的面涡模拟弦线上的面涡γ(ξ)，在弦线上面涡强度γ(ξ)的三角级数解

变量变换：则积分方程（9）化为：

将面涡强度γ(θ)展成如下三角级数（易知该三角级数满足后缘条件

））(12)将三角级数代入（12），并取θ由0到π的积分，得可得：，——迎角弯板问题（升力问题）（续）§5.4薄翼型理论面涡强度γ(ξ)的三角级数解变量变换：则积分方程（9）化升力问题的解其中，0是Cy=0时的迎角，称为零升迎角，其计算式如下，

升力系数力矩系数其中，mz0是Cy=0时的迎角，称为零升迎角，其计算式如下(13)(14)——迎角弯板问题（升力问题）（续）§5.4薄翼型理论升力问题的解其中，0是Cy=0时的迎角，称为零升迎角，其计薄翼型的厚度问题，可在其弦线上布面源的方法求解。

面源是平面的，故有

上式代入边界条件，得面源强度q(x)满足方程

于是，得翼面压强系数

（15）——厚度问题§5.4薄翼型理论薄翼型的厚度问题，可在其弦线上布面源的方法求解。面源是平面面源法大意在翼型表面布面涡或面源并与直均流叠加也可求解翼型的气动特性。关键在于确定合适的面涡强度分布(s)或面源强度分布q(s)。这就要求(s)、q(s)满足物面边界条件，对涡强度分布(s)还要满足后缘条件。对一般翼型而言，用数值计算方法可以求得满足要求的涡强度分布(s)或面源强度分布q(s)。

数值计算方法的大意是：将物面分割成数目足够多的有限小块，称为面元；每个面元就是一个强度待定的面涡或面源；每个面元上在选定的点上满足物面不可穿透条件——这样的点称为控制点（对涡分布还应加上后缘条件），以此可以确定面元强度并计算出压强、升力和力矩特性。

任意翼型位流数值解法

——面源法§5.5任意翼型位流解法面源法大意在翼型表面布面涡或面源并与直均流叠加也可求解翼面源法示例从下翼面后缘起，按逆时针方向，将翼面依次分成n个小段，每段用折线代替，其上布常值强度的面涡，强度为j（j=1：1：n），它们是待定的；每小段上选定控制点Pi(xi,yi)，i=1：1：n，对它们提边界条件。。

第j个面涡在第i个控制点处的扰动速度位为所有面涡在i控制点处引起的扰动速度位为

相应的法向扰动速度为

任意翼型位流数值解法

——面源法(续）§5.5任意翼型位流解法面源法示例从下翼面后缘起，按逆时针方向，将翼面依次分成n个于是在第i控制点处的边界条件为式中i为来流与第i个面涡外法线的夹角。

为满足后缘条件，应使下表面第一个控制点和上表面最后第n个控制点尽可能接近后缘，相应地就要求这两个面涡很短。后缘条件可近似表达成

（16）（17）由方程组（16）和条件（17）可求出面涡强度值j。然后求得各控制点处的切向速度和压强系数任意翼型位流数值解法

——面源法(续）§5.5任意翼型位流解法于是在第i控制点处的边界条件为式中i为来流与第i个面涡外法翼面压强分布不仅是结构设计和强度计算的主要外载荷依据，也可用来判断翼型绕流流态和近似确定升力和力矩特性。

如果已知翼型的压强分布,则小迎角时的升力系数和力矩系数可通过下列积分计算求得，

获取压强分布有两种基本的方法，一是实验测量，二是数值计算。在小迎角下有面元法，如果是薄翼还可用薄翼理论解析法，这类方法因没有考虑粘性作用会有一定误差；较大迎角下，翼型附面层分离，位流理论失效。尽管现在已有将位流计算和附面层计算结合起来的方法，可以计算出粘性作用下的压强分布、甚至包括有流动分离的情形，但在设计使用上仍主要依靠实验结果。

——翼面压强分布§5.6低速翼型的一般气动特性翼面压强分布不仅是结构设计和强度计算的主要外载荷依据

升力特性通常用升力曲线Cy-表示。升力特性中，升力线斜率、零升迎角和最大升力系数是三个基本参数。

升力线斜率实验结果表明，雷诺数Reb只要足够大，它对升力线斜率值的影响不大，参见下图。高雷诺数下有厚度的翼型的升力线斜率可用下面的经验公式粗估。———升力特性§5.6低速翼型的一般气动特性升力特性通常用升力曲线Cy-表示。升力特性中，升力零升迎角零升迎角是零升力线与弦线的夹角，正弯度时是一个小负数。理论和实验均表明，它主要与弯度大小有关，可用薄翼理论估算。

某些NACA系列翼型的零升迎角值可用如下公式估算：

①NACA四位数字翼型

例如，弯度为2%，零升迎角为-2；

②NACA五位数字翼型

例如，设计升力系数为0.3，零升迎角为-1.2。

———升力特性(续）§5.6低速翼型的一般气动特性零升迎角零升迎角是零升力线与弦线的夹角，正弯度时是最大升力系数最大升力系数与附面层的分离密切相关，因此翼表面光洁度和雷诺数对它有明显影响。常用低速翼型的最大升力系数之约为1.3至1.7，随雷诺数的增大而增大，一般由实验提供，见右图。

———升力特性(续）§5.6低速翼型的一般气动特性最大升力系数最大升力系数与附面层的———升力特性(续）力矩特性通常用曲线mz-Cy或mz1/4-Cy表示。理论和实验均表明，在迎角或升力系数不太大时，曲线mz-Cy接近一条直线，即

mz0为零升力矩，正弯度时是小负数；是力矩曲线的斜率，为负值。

在迎角或升力系数较大时，曲线mz-Cy出现弯曲，这也与附面层分离密切相关，见右图（mz1/4-Cy）。

力矩特性曲线———力矩特性§5.6低速翼型的一般气动特性力矩特性通常用曲线mz-Cy或mz1/4-Cy表示。m翼型的压心和焦点

压心是升力的作用点，即升力作用线与弦线的交点P,见右图,其弦向位置记为xP,定义式及中小迎角范围内的公式如下焦点F是这样的一个点，无论升力系数Cy为何值，对该点的力矩系数值恒为mz0，焦点F弦向位置记为xF,(也见右图):

压心P与焦点F的关系：

———力矩特性(续）§5.6低速翼型的一般气动特性翼型的压心和焦点压心是升力的作用点，即升力作用线与弦线的交低速时，翼型的阻力由粘性引起，分为两部分：由翼面粘性切应力造成的摩擦阻力，及由附面层存在改变位流压强分布引起的压差阻力。

飞机设计中常用Cy-Cx曲线表示翼型的升阻特性,该曲线称为极曲线，见右图。升力为零时的阻力系数，称为零升阻力系数Cx0，其值通常接近最小阻力系数Cxmin,失速前，极曲线近似为一条抛物线：

翼型的升力系数与阻力系数之比，称为翼型的升阻比，用K表示:

———阻力特性§5.6低速翼型的一般气动特性低速时，翼型的阻力由粘性引起，分为两部分：飞机§5.3思考题无粘流中平板翼型给定迎角下后缘点处的速度值为多少？退回§5.3思考题退回第五章

低速翼型的气动特性退出第五章

低速翼型的气动特性退出§5.1翼型的几何参数§5.2低速翼型的流动特点及起动涡§5.3库塔—儒可夫斯基后缘条件和环量确定§5.4薄翼型理论§5.5任意翼型位流解法§5.6低速翼型的一般气动特性§5.1翼型的几何参数几何弦长、前缘半径、后缘角；翼面坐标、弯度分布、厚度分布§5.1翼型的几何参数几何弦长、前缘半径、后缘角；§5.1翼型的几何参数§5.1.1几何弦长

§5.1.2翼面无量纲坐标

§5.1.3弯度

§5.1.4厚度

§5.1.5前缘钝度及后缘尖锐度

§5.1翼型的几何参数§5.1.1几何弦长§5.1.2翼面无量纲坐标§5.1.6常用低速翼型编号法简介

1、NACA四位数字翼型，以NACA2412为例第一位数字2——第二位数字4——最末两位数字12——所有NACA四位数字翼型的2、NACA五位数字翼型，例如NACA23012翼型第一位数字2——第二位数字3——第三位数字表示后段中弧线的类型：0——直线，1——反弯曲线；

§5.1翼型的几何参数5.1.6常用低速翼型编号法简介1、NACA四位数字翼型(a)00迎角绕流(b)50迎角绕流§5.2低速翼型的流动特点及起动涡翼型绕流图画(a)00迎角绕流(b)50迎角绕流§5.2低速(c)150迎角绕流(d)200迎角绕流翼型绕流图画§5.2低速翼型的流动特点及起动涡(c)150迎角绕流(d)200迎角绕流翼型绕流

(a)小迎角无分离(b)厚翼型后缘分离(c)薄翼型前缘分离小迎角无分离时，粘性作用对翼面压力分布没有本质改变翼面压力分布§5.2低速翼型的流动特点及起动涡(a)小迎角无分离(§5.2低速翼型的流动特点及起动涡翼型的升力曲线

§5.2低速翼型的流动特点及起动涡翼型的升力曲线翼面邻近的闭曲线（L1）上速度环量Γ1，离翼型足够远的闭曲线（L）上速度环量Γ，翼型前缘、后缘点分别为A、B起动涡

——起动前的静止状态§5.2低速翼型的流动特点及起动涡翼面邻近的闭曲线（L1）上速度环量Γ1，离翼型足够远的闭曲线翼型前后驻点分别为O、O1起动涡

——刚起动的极短时间内，粘性尚未起作用§5.2低速翼型的流动特点及起动涡翼型前后驻点分别为O、O1起动涡

——刚起动的极短时间内，后缘绕流在上翼面出现分离，产生逆时针旋涡，后驻点O1移向后缘点B起动涡

——起动中，粘性起作用。§5.2低速翼型的流动特点及起动涡后缘绕流在上翼面出现分离，产生逆时针旋涡，后驻点O1移向后缘后驻点O1移至后缘点B时，后缘绕流分离形成的涡脱离翼面流向下游，形成起动涡，后缘处上下翼面流动平顺汇合流向下游。起动涡

——起动过程完结，翼型匀速前进§5.2低速翼型的流动特点及起动涡后驻点O1移至后缘点B时，后缘绕流分离形成的涡脱离翼面流向下由于远离翼面处流动不受粘性影响，所以Γ=0若设边界层和尾流中的环量为Γ3，则应有，Γ=Γ1+Γ2+Γ3于是Γ1=-（Γ2+Γ3）此时，如不计粘性影响，绕翼型的速度环量与起动涡的速度环量大小相等、方向相反，即Γ1=-Γ2

绕翼型环量的产生§5.2低速翼型的流动特点及起动涡由于远离翼面处流动不受粘性影响，所以绕翼型环量的产生§5.2绕翼型无粘位流的升力问题，遵循儒可夫斯基升力定理。根据该定理，直均流流过任意截面形状翼型的升力：Y=ρV∞Γ可见，确定速度环量是关键。

小迎角下，翼型绕流的压力分布及升力，与绕翼型的无粘位流的压力分布及升力无本质差别。因此，不计粘性作用，用绕翼型的无粘位流求解翼型压力分布及升力,是合理的近似。§5.3库塔—儒可夫斯基后缘条件和环量确定绕翼型无粘位流的升力问题，遵循儒可夫斯基升

就无粘位流而言，给定来流流速、迎角和翼型时，下面三种绕流情形都是可能的：(a)后驻点在上翼面，有逆时针后缘绕流；(b)后驻点在下翼面，有顺时针后缘绕流；(c)后驻点在后缘，无后缘绕流。这表明，如无其它物理要求，环量无法确定。§5.3库塔—儒可夫斯基后缘条件和环量确定就无粘位流而言，给定来流流速、迎角和翼型时，后驻点在翼面上而不在后缘时，绕尖后缘的流动流速理论上无穷大、压强负无穷，物理上这是不可能的；只有后驻点在后缘，不出现尖后缘绕流，上下翼面流动在后缘平顺汇合流向下游,后缘处流速为有限值，才合乎一般的物理要求。此时,有唯一的速度环量值与之相对应。

再者，从翼型实际绕流形成过程来看，粘性的作用消除了后缘绕流，上下翼面流动在后缘平顺汇合流向下游，产生了起动涡，使翼型绕流具有了明确的速度环量。

§5.3库塔—儒可夫斯基后缘条件和环量确定后驻点在翼面上而不在后缘时，绕尖后缘的流动流速理论上确定了无粘位流理论涉及的速度环量的唯一性，这是库塔—儒可夫斯基后缘条件的实质。

具体的库塔—儒可夫斯基后缘条件如下：(1)尖后缘翼型后缘角τ>0，后缘点是后驻点，V后上=V后下=0；后缘角τ=0,

后缘点处流速为有限值,

V后上=V后下；(2)实际小圆弧后缘翼型（见右图）VS上=VS下。简单讲，就是后缘无载荷：p后上=p后下§5.3库塔—儒可夫斯基后缘条件和环量确定确定了无粘位流理论涉及的速度环量的唯一性，这是库塔—儒可夫斯翼型低速无粘位流问题，一般可描述如下：

(1)§5.4薄翼型理论翼型低速无粘位流问题，一般可描述如下：(1)§5.4薄翼型绕流速度位Φ满足拉普拉斯方程，因此它可分解为直均来流速度位φ∞和翼型存在引起的扰动速度位φ，即于是，扰动速度位也满足拉普拉斯方程：（4）因有（2）（3）—扰动速度位的线性方程§5.4薄翼型理论翼型绕流速度位Φ满足拉普拉斯方程，因此它可分解为于是，扰动速体轴坐标系翼面上x、y方向的流速分量记为则边界条件为：（5）将代入（5）式得，（6）——翼面边界条件线化近似§5.4薄翼型理论体轴坐标系翼面上x、y方向的流速分量记为则边界条件为：（5）因翼型薄，弯度和迎角小，即视为一阶小量，则为二阶小量

；将（6）中的展开成如下级数，（7）其中也是二阶小量。保留一阶小量下，将（7）代入（6）得，,考虑到翼面坐标与厚度、弯度分布的关系，上式可写为，（8）这就是翼面边界条件的线性化近似表达式。——翼面边界条件线化近似（续）§5.4薄翼型理论因翼型薄，弯度和迎角小，即视为一阶小量，则根据伯努利方程，流场中任一点的压强系数为若只保留一阶小量，则有结果，

对翼面上的压强系数进一步近似，则有

——压强系数的线化近似§5.4薄翼型理论根据伯努利方程，流场中任一点的压强系数为若只保留一阶小量，则，————————————————————————————————————————————————————————————————，++迎角问题弯板问题厚度问题_________________________________________________________________________________________________________________________________，后缘条件后缘条件后缘条件——扰动速度位的线性叠加§5.4薄翼型理论，———————————————————————————————扰动速度位的线性叠加（续）§5.4薄翼型理论——扰动速度位的线性叠加（续）§5.4薄翼型理论图

迎角—弯板的面涡模拟

弦线上的面涡γ(ξ)，在弦线上诱导的y方向速度（即y方向的扰动速度）为

代入迎角—弯度问题的物面边界条件得确定面涡强度γ(ξ)的积分方程

无穷远边界条件：

库塔——儒可夫斯基后缘条件：

因涡面在无穷远的诱导速度为零，无穷远边界条件（10）自动满足，所以替代中弧线弯板作用的面涡强度分布γ(ξ)只需满足（9）和（11）条件。（9）（10）（11）面涡模拟——迎角弯板问题（升力问题）§5.4薄翼型理论图迎角—弯板的面涡模拟弦线上的面涡γ(ξ)，在弦线上面涡强度γ(ξ)的三角级数解

变量变换：则积分方程（9）化为：

将面涡强度γ(θ)展成如下三角级数（易知该三角级数满足后缘条件

））(12)将三角级数代入（12），并取θ由0到π的积分，得可得：，——迎角弯板问题（升力问题）（续）§5.4薄翼型理论面涡强度γ(ξ)的三角级数解变量变换：则积分方程（9）化升力问题的解其中，0是Cy=0时的迎角，称为零升迎角，其计算式如下，

升力系数力矩系数其中，mz0是Cy=0时的迎角，称为零升迎角，其计算式如下(13)(14)——迎角弯板问题（升力问题）（续）§5.4薄翼型理论升力问题的解其中，0是Cy=0时的迎角，称为零升迎角，其计薄翼型的厚度问题，可在其弦线上布面源的方法求解。

面源是平面的，故有

上式代入边界条件，得面源强度q(x)满足方程

于是，得翼面压强系数

（15）——厚度问题§5.4薄翼型理论薄翼型的厚度问题，可在其弦线上布面源的方法求解。面源是平面面源法大意在翼型表面布面涡或面源并与直均流叠加也可求解翼型的气动特性。关键在于确定合适的面涡强度分布(s)或面源强度分布q(s)。这就要求(s)、q(s)满足物面边界条件，对涡强度分布(s)还要满足后缘条件。对一般翼型而言，用数值计算方法可以求得满足要求的涡强度分布(s)或面源强度分布q(s)。

数值计算方法的大意是：将物面分割成数目足够多的有限小块，称为面元；每个面元就是一个强度待定的面涡或面源；每个面元上在选定的点上满足物面不可穿透条件——这样的点称为控制点（对涡分布还应加上后缘条件），以此可以确定面元强度并计算出压强、升力和力矩特性。

任意翼型位流数值解法

——面源法§5.5任意翼型位流解法面源法大意在翼型表面布面涡或面源并与直均流叠加也可求解翼面源法示例从下翼面后缘起，按逆时针方向，将翼面依次分成n个小段，每段用折线代替，其上布常值强度的面涡，强度为j（j=1：1：n），它们是待定的；每小段上选定控制点Pi(xi,yi)，i=1：1：n，对它们提边界条件。。

第j个面涡在第i个控制点处的扰动速度位为所有面涡在i控制点处引起的扰动速度位为

相应的法向扰动速度为

任意翼型位流数值解法

——面源法(续）§5.5任意翼型位流解法面源法示例从下翼面后缘起，按逆时针方向，将翼面依次分成n个于是在第i控制点处的边界条件为式中i为来流与第i个面涡外法线的夹角。

为满足后缘条件，应使下表面第一个控制点和上表面最后第n个控制点尽可能接近后缘，相应地就要求这两个面涡很短。后缘条件可近似表达成

（16）（17）由方程组（16）和条件（17）可求出面涡强度值j。然后求得各控制点处的切向速度和压强系数任意翼型位流数值解法

——面源法(续）§5.5任意翼型位流解法于是在第i控制点处的边界条件为式中i为来流与第i个面涡外法翼面压强分布不仅是结构设计和强度计算的主要外载荷依据，也可用来判断翼型绕流流态和近似确定升力和力矩特性。

如果已知翼型的压强分布,则小迎角时的升力系数和力矩系数可通过下列积分计算求得，

获取压强分布有两种基本的方法，一是实验测量，二是数值计算。在小迎角下有面元法，如果是薄翼还可用薄翼理论解析法，这类方法因没有考虑粘性作用会有一定误差；较大迎角下，翼型附面层分离，位流理论失效。尽管现在已有将位流计算和附面层计算结合起来的方法，可以计算出粘性作用下的压强分布、甚至包括有流动分离的情形，但在设计使用上仍主要依靠实验结果。

——翼面压强分布§5.6低速翼型的一般气动特性翼面压强分布不仅是结构设计和强度计算的主要外载荷