圆周运动专题复习-临界问题课件

圆周运动中的临界问题圆周运动中的临界问题1任务:1、掌握处理圆周运动的基本思路和方法；2、掌握圆周运动中极值临界问题的临界条件，会用临界条件处理实际问题。3、牛顿第二定律在曲线运动中的具体应用

任务:1、掌握处理圆周运动的基本思路和方法；3、牛顿第二定2圆周运动非匀速圆周运动匀速圆周运动角速度、周期、频率不变，线速度、向心加速度、向心力的大小不变，方向时刻改变；合外力不指向圆心，与速度方向不垂直；合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直，且指向圆心。合外力沿着半径方向的分量提供向心力，改变速度方向；沿着速度方向的分量，改变速度大小。特点：性质：变速运动；非匀变速曲线运动；条件：向心力就是物体作圆周运动的合外力。当速率增大时，合外力与速度方向的夹角为锐角；反之，为钝角。圆周运动非匀速匀速角速度、周期、频率不变，合外力不指向圆心，3例1、在山东卫视的《全运向前冲》节目中，有一个“大转盘”的关卡。如图所示，一圆盘正在绕一通过它中心O且垂直于盘面的竖直轴逆时针匀速转动，在圆盘上有一名质量为m的闯关者（可是为质点）到转轴的距离为d，已知闯关者与圆盘间的摩擦因素为μ，且闯关者与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。为了使闯关者与圆盘保持相对静止，求圆盘的转动角速度的取值范围。一、匀速圆周运动中的极值问题1、滑动与静止的临界问题例1、在山东卫视的《全运向前冲》节目中，有一个“大转盘”4如图所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m＝0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m，若A与转盘间的最大静摩擦力为Fm＝2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围(取g＝10m/s2)．【答案】2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s如图所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6kg的物体A静止5如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向两个用细线相连的小物体A、B的质量均为m，它们到转轴的距离分别为rA=20cm，rB=30cm。A、B与圆盘间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，（g=10m/s2）求：（1）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度；（2）当A开始滑动时，圆盘的角速度如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向两68．如图所示，OO′为竖直轴，MN为固定在OO′上的水平光滑杆，有两个质量相同的金属球A、B套在水平杆上，AC和BC为抗拉能力相同的两根细线，C端固定在转轴OO′上．当绳拉直时，A、B两球转动半径之比恒为2∶1，当转轴的角速度逐渐增大时 ()A．AC先断B．BC先断C．两线同时断D．不能确定哪根线先断解析A8．如图所示，OO′为竖直轴，MN为固定在OO′上的水平光滑72、绳子中的临界问题））30°45°ωCABL例：如图所示，两绳子系一个质量为m=0.1kg的小球，上面绳子长L=2m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°与45°。问球的角速度满足什么条件，两绳子始终张紧？2.4rad/s≤ω≤3.16rad/s2、绳子中的临界问题））30°45°ωCABL例：如图所示，8如图所示，直角架ABC和AB连在竖直方向上，B点和C点各系一细绳，两绳共吊着一个质量1千克的小球于D点，且BDCD，ABD=300，BD=40厘米，当直角架以AB为轴，以10弧度/秒的角速度匀速转动时，绳BD的张力为_______牛，绳CD的张力为_______牛。如图所示，直角架ABC和AB连在竖直方向上，B点和C点各系一93、脱离与不脱离的临界问题）37°可看成质点的质量为m的小球随圆锥体一起做匀速圆周运动，细线长为L，求：（1）当时绳子的拉力；（2）当时绳子的拉力；3、脱离与不脱离的临界问题）37°可看成质点的质量为m的小球10图3-5例：如图3-5所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的铁块．电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转动．则电机对地面的最大压力和最小压力之差为___.（1）若m在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动?（2）当角速度ω为何值时，铁块在最高点与电机恰无作用力?（3）本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图。若电机的质量为M，则ω多大时，电机可以“跳”起来?此情况下，对地面的最大压力是多少?图3-5例：如图3-5所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m11二、竖直平面内的圆周运动的临界问题——球绳模型教学目标:1、掌握在竖直平面内做圆周运动的几种常见模型及其做圆周运动的临界条件，会用临界条件处理实际问题。2、体会牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用二、竖直平面内的圆周运动的临界问题——球绳模型教学目标:1、12模型1

：绳球模型不可伸长的细绳长为L，拴着可看成质点的质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动。

oALvABv0试分析：

当小球在最高点B的速度为v0

时，绳的拉力与速度的关系？模型1：绳球模型不可伸长的细绳长为L，拴着可看成质点13v1o思考：小球过最高点的最小速度是多少?

最高点：v2当v=v0，对绳子的拉力刚好为0，小球刚好能够通过（到）最高点、刚好能做完整的圆周运动；mgT思考：当v=v0、v>v0、v<v0时分别会发生什么现象？当v<v0，小球偏离原运动轨迹，不能通过最高点；当v>v0，对绳子的有拉力，小球能够通过最高点。v1o思考：小球过最高点的最小速度是多少?最高点：v2当v14思考：要使小球做完整的圆周运动，在最低点的速度有什么要求？oALvABvB由机械能守恒可的：当VB取得最小值时，即：VA取得最小值即：结论：要使小球做完整的圆周运动，在最低点的速度思考：要使小球做完整的圆周运动，在最低点的速度有什么要求？o15例：长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确的是：（）A.小球过最高点时速度为零B.小球开始运动时绳对小球的拉力为mC.小球过最高点时绳对小的拉力mgD.小球过最高点时速度大小为D变型题1：给小球多大的水平初速度，才能使绳在小球运动过程中始终绷紧？例：长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另一端固定于某16小球将做什么运动？小球将做什么运动？17变型题2：在倾角为α=30°的光滑斜面上用细绳拴住一小球，另一端固定，其细线长为0.8m，现为了使一质量为0.2kg的小球做圆周运动，则小球在最低点的速度至少为多少？变型题2：在倾角为α=30°的光滑斜面上用细绳拴住一小球，另18在“水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不会流下来，为什么？对杯中水：GFNFN=0水恰好不流出表演“水流星”，需要保证杯子在圆周运动最高点的线速度不得小于即：实例一：水流星重力的效果——全部提供向心力在“水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周运动，在最高点时，杯19思考：过山车为什么在最高点也不会掉下来？实例二：过山车思考：过山车为什么在最高点也不会掉下来？实例二：过山车20拓展：物体沿竖直内轨运动

有一竖直放置、内壁光滑圆环，其半径为r，质量为m的小球沿它的内表面做圆周运动时，分析小球在最高点的速度应满足什么条件？思考：小球过最高点的最小速度是多少?当v=v0，对轨道刚好无压力，小球刚好能够通过最高点；当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点。当v>v0，对轨道有压力，小球能够通过最高点；mgFN

要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度必须满足：Av0拓展：物体沿竖直内轨运动有一竖直放置、内壁光滑圆环，其半21规律总结：无支持物物体在圆周运动过最高点时，轻绳对物体只能产生沿绳收缩方向向下的拉力，或轨道对物体只能产生向下的弹力；若速度太小物体会脱离圆轨道——无支持物模型③不能过最高点的条件：V<V临界(实际上小球尚未到达最高点时就脱离了轨道)．④使小球做完整的圆周运动，在轨道的最低点的速度应满足：规律总结：无支持物物体在圆周运动过最高点时，轻绳对物体只能产22例2、如图所示，质量为m=100g的小物块（可视为质点），从距地面高h=2.0m的斜轨道上由静止开始下滑，与斜轨道相接的是半径r=0.4m的光滑圆轨道，已知斜面的倾角为45°，与物体间的动摩擦因数为0.2.(g=10m/s2）问：物块运动到圆轨道的最低点时对轨道的压力为多大？物体能否运动到圆轨道的最高点？)45°（E变型题3、若在半圆的右侧加上匀强电场，并使物体带上负电，已知物体受到的电场力等于其重力的√3倍，则物体又能否运动到圆轨道的最高点呢？点拨：将复合场等效为重力场，找到“力学最高点”。例2、如图所示，质量为m=100g的小物块（可视为质点），从23归纳总结

解决千变万化的圆周运动的问题，基本思路方法一般有两条途径：一、牛顿运动定律；二、功能的关系。归纳总结解决千变万化的圆周运动的问题，基本思路方法一般有两24模型二：球杆模型：小球在轻质杆或管状轨道弹力作用下的圆周运动，过最高点时杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力；（管状轨道的口径略大于小球的直径)模型二：球杆模型：25长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动。

试分析：（1）当小球在最低点A的速度为v2时，杆的受力与速度的关系怎样？（2）当小球在最高点B的速度为v1时，杆的受力与速度的关系怎样？AB长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小球在竖直平面内做26F3mgF2v2v1o思考:在最高点时，何时杆表现为拉力？何时表现为支持力？试求其临界速度。AB最高点：拉力支持力临界速度：当v<v0，杆对球有向上的支持力；当v>v0，杆对球有向下的拉力。mgF1此时最低点的速度为：F3mgF2v2v1o思考:在最高点时，何时杆表现为拉力？何27问：当v2的速度等于0时，杆对球的支持力为多少？F支=mg此时最低点的速度为：结论：使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度问：当v2的速度等于0时，杆对球的支持力为多少？F支=mg此28拓展：物体在管型轨道内的运动如图，有一内壁光滑、竖直放置的管型轨道，其半径为R，管内有一质量为m的小球有做圆周运动，小球的直径刚好略小于管的内径。思考：在最高点时，什么时候外管壁对小球有压力，什么时候内管壁对小球有支持力?什么时候内外管壁都没有压力？小球在最低点的速度v至少多大时，才能使小球在管内做完整的圆周运动？临界速度：当v<v0，内壁对球有向上的支持力；当v>v0，外壁对球有向下的压力。使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度：拓展：物体在管型轨道内的运动如图，有一内壁光滑、竖直放置的管29圆周运动专题复习——临界问题课件30圆周运动专题复习——临界问题课件31例题:轻杆长为2L，水平转轴装在中点O，两端分别固定着小球A和B。A球质量为m，B球质量为2m，在竖直平面内做圆周运动。⑴当杆绕O转动到某一速度时，A球在最高点，如图所示，此时杆A点恰不受力，求此时O轴的受力大小和方向；⑵保持⑴问中的速度，当B球运动到最高点时，求O轴的受力大小和方向；⑶在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？请计算说明。解析：⑴A端恰好不受力，则B球：⑵杆对B球无作用力，对A球:由牛顿第三定律，B球对O轴的拉力，竖直向下。由牛顿第三定律，A球对O轴的拉力，竖直向下。例题:轻杆长为2L，水平转轴装在中点O，两端分别固定着小球A32若B球在上端A球在下端，对B球：对A球：联系得:若A球在上端，B球在下端，对A球：对B球：联系得显然不成立，所以能出现O轴不受力的情况，此时⑶在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？请计算说明。若B球在上端A球在下端，对B球：对A球：联系得:若A球在上端33图3-6四、圆周运动的周期性利用圆周运动的周期性把另一种运动（例如匀速直线运动、平抛运动）联系起来。圆周运动是一个独立的运动，而另一个运动通常也是独立的，分别明确两个运动过程，注意用时间相等来联系。在这类问题中，要注意寻找两种运动之间的联系，往往是通过时间相等来建立联系的。同时，要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。例1：如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，则小球的初速度v＝_________，圆盘转动的角速度ω＝_________。【审题】小球做的是平抛运动，在小球做平抛运动的这段时间内，圆盘做了一定角度的圆周运动。图3-6四、圆周运动的周期性例1：如图所示，半径为R的圆盘绕34图3-7例2：如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落.要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件？【审题】下落的小球P做的是自由落体运动，小球Q做的是圆周运动，若要想碰，必须满足时间相等这个条件。图3-7例2：如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当35圆周运动中的临界问题圆周运动中的临界问题36任务:1、掌握处理圆周运动的基本思路和方法；2、掌握圆周运动中极值临界问题的临界条件，会用临界条件处理实际问题。3、牛顿第二定律在曲线运动中的具体应用

任务:1、掌握处理圆周运动的基本思路和方法；3、牛顿第二定37圆周运动非匀速圆周运动匀速圆周运动角速度、周期、频率不变，线速度、向心加速度、向心力的大小不变，方向时刻改变；合外力不指向圆心，与速度方向不垂直；合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直，且指向圆心。合外力沿着半径方向的分量提供向心力，改变速度方向；沿着速度方向的分量，改变速度大小。特点：性质：变速运动；非匀变速曲线运动；条件：向心力就是物体作圆周运动的合外力。当速率增大时，合外力与速度方向的夹角为锐角；反之，为钝角。圆周运动非匀速匀速角速度、周期、频率不变，合外力不指向圆心，38例1、在山东卫视的《全运向前冲》节目中，有一个“大转盘”的关卡。如图所示，一圆盘正在绕一通过它中心O且垂直于盘面的竖直轴逆时针匀速转动，在圆盘上有一名质量为m的闯关者（可是为质点）到转轴的距离为d，已知闯关者与圆盘间的摩擦因素为μ，且闯关者与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。为了使闯关者与圆盘保持相对静止，求圆盘的转动角速度的取值范围。一、匀速圆周运动中的极值问题1、滑动与静止的临界问题例1、在山东卫视的《全运向前冲》节目中，有一个“大转盘”39如图所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m＝0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m，若A与转盘间的最大静摩擦力为Fm＝2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围(取g＝10m/s2)．【答案】2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s如图所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6kg的物体A静止40如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向两个用细线相连的小物体A、B的质量均为m，它们到转轴的距离分别为rA=20cm，rB=30cm。A、B与圆盘间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，（g=10m/s2）求：（1）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度；（2）当A开始滑动时，圆盘的角速度如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向两418．如图所示，OO′为竖直轴，MN为固定在OO′上的水平光滑杆，有两个质量相同的金属球A、B套在水平杆上，AC和BC为抗拉能力相同的两根细线，C端固定在转轴OO′上．当绳拉直时，A、B两球转动半径之比恒为2∶1，当转轴的角速度逐渐增大时 ()A．AC先断B．BC先断C．两线同时断D．不能确定哪根线先断解析A8．如图所示，OO′为竖直轴，MN为固定在OO′上的水平光滑422、绳子中的临界问题））30°45°ωCABL例：如图所示，两绳子系一个质量为m=0.1kg的小球，上面绳子长L=2m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°与45°。问球的角速度满足什么条件，两绳子始终张紧？2.4rad/s≤ω≤3.16rad/s2、绳子中的临界问题））30°45°ωCABL例：如图所示，43如图所示，直角架ABC和AB连在竖直方向上，B点和C点各系一细绳，两绳共吊着一个质量1千克的小球于D点，且BDCD，ABD=300，BD=40厘米，当直角架以AB为轴，以10弧度/秒的角速度匀速转动时，绳BD的张力为_______牛，绳CD的张力为_______牛。如图所示，直角架ABC和AB连在竖直方向上，B点和C点各系一443、脱离与不脱离的临界问题）37°可看成质点的质量为m的小球随圆锥体一起做匀速圆周运动，细线长为L，求：（1）当时绳子的拉力；（2）当时绳子的拉力；3、脱离与不脱离的临界问题）37°可看成质点的质量为m的小球45图3-5例：如图3-5所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的铁块．电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转动．则电机对地面的最大压力和最小压力之差为___.（1）若m在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动?（2）当角速度ω为何值时，铁块在最高点与电机恰无作用力?（3）本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图。若电机的质量为M，则ω多大时，电机可以“跳”起来?此情况下，对地面的最大压力是多少?图3-5例：如图3-5所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m46二、竖直平面内的圆周运动的临界问题——球绳模型教学目标:1、掌握在竖直平面内做圆周运动的几种常见模型及其做圆周运动的临界条件，会用临界条件处理实际问题。2、体会牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用二、竖直平面内的圆周运动的临界问题——球绳模型教学目标:1、47模型1

：绳球模型不可伸长的细绳长为L，拴着可看成质点的质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动。

oALvABv0试分析：

当小球在最高点B的速度为v0

时，绳的拉力与速度的关系？模型1：绳球模型不可伸长的细绳长为L，拴着可看成质点48v1o思考：小球过最高点的最小速度是多少?

最高点：v2当v=v0，对绳子的拉力刚好为0，小球刚好能够通过（到）最高点、刚好能做完整的圆周运动；mgT思考：当v=v0、v>v0、v<v0时分别会发生什么现象？当v<v0，小球偏离原运动轨迹，不能通过最高点；当v>v0，对绳子的有拉力，小球能够通过最高点。v1o思考：小球过最高点的最小速度是多少?最高点：v2当v49思考：要使小球做完整的圆周运动，在最低点的速度有什么要求？oALvABvB由机械能守恒可的：当VB取得最小值时，即：VA取得最小值即：结论：要使小球做完整的圆周运动，在最低点的速度思考：要使小球做完整的圆周运动，在最低点的速度有什么要求？o50例：长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确的是：（）A.小球过最高点时速度为零B.小球开始运动时绳对小球的拉力为mC.小球过最高点时绳对小的拉力mgD.小球过最高点时速度大小为D变型题1：给小球多大的水平初速度，才能使绳在小球运动过程中始终绷紧？例：长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另一端固定于某51小球将做什么运动？小球将做什么运动？52变型题2：在倾角为α=30°的光滑斜面上用细绳拴住一小球，另一端固定，其细线长为0.8m，现为了使一质量为0.2kg的小球做圆周运动，则小球在最低点的速度至少为多少？变型题2：在倾角为α=30°的光滑斜面上用细绳拴住一小球，另53在“水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不会流下来，为什么？对杯中水：GFNFN=0水恰好不流出表演“水流星”，需要保证杯子在圆周运动最高点的线速度不得小于即：实例一：水流星重力的效果——全部提供向心力在“水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周运动，在最高点时，杯54思考：过山车为什么在最高点也不会掉下来？实例二：过山车思考：过山车为什么在最高点也不会掉下来？实例二：过山车55拓展：物体沿竖直内轨运动

有一竖直放置、内壁光滑圆环，其半径为r，质量为m的小球沿它的内表面做圆周运动时，分析小球在最高点的速度应满足什么条件？思考：小球过最高点的最小速度是多少?当v=v0，对轨道刚好无压力，小球刚好能够通过最高点；当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点。当v>v0，对轨道有压力，小球能够通过最高点；mgFN

要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度必须满足：Av0拓展：物体沿竖直内轨运动有一竖直放置、内壁光滑圆环，其半56规律总结：无支持物物体在圆周运动过最高点时，轻绳对物体只能产生沿绳收缩方向向下的拉力，或轨道对物体只能产生向下的弹力；若速度太小物体会脱离圆轨道——无支持物模型③不能过最高点的条件：V<V临界(实际上小球尚未到达最高点时就脱离了轨道)．④使小球做完整的圆周运动，在轨道的最低点的速度应满足：规律总结：无支持物物体在圆周运动过最高点时，轻绳对物体只能产57例2、如图所示，质量为m=100g的小物块（可视为质点），从距地面高h=2.0m的斜轨道上由静止开始下滑，与斜轨道相接的是半径r=0.4m的光滑圆轨道，已知斜面的倾角为45°，与物体间的动摩擦因数为0.2.(g=10m/s2）问：物块运动到圆轨道的最低点时对轨道的压力为多大？物体能否运动到圆轨道的最高点？)45°（E变型题3、若在半圆的右侧加上匀强电场，并使物体带上负电，已知物体受到的电场力等于其重力的√3倍，则物体又能否运动到圆轨道的最高点呢？点拨：将复合场等效为重力场，找到“力学最高点”。例2、如图所示，质量为m=100g的小物块（可视为质点），从58归纳总结

解决千变万化的圆周运动的问题，基本思路方法一般有两条途径：一、牛顿运动定律；二、功能的关系。归纳总结解决千变万化的圆周运动的问题，基本思路方法一般有两59模型二：球杆模型：小球在轻质杆或管状轨道弹力作用下的圆周运动，过最高点时杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力；（管状轨道的口径略大于小球的直径)模型二：球杆模型：60长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动。

试分析：（1）当小球在最低点A的速度为v2时，杆的受力与速度的关系怎样？（2）当小球在最高点B的速度为v1时，杆的受力与速度的关系怎样？AB长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小球在竖直平面内做61F3mgF2v2v1o思考:在最高点时，何时杆表现为拉力？何时表现为支持力？试求其临界速度。AB最高点：拉力支持力临界速度：当v<v0，杆对球有向上的支持力；当v>v0，杆对球有向下的拉力。mgF1此时最低点的速度为：F3mgF2v2v1o思考:在最高点时，何时杆表现为拉力？何62问：当v2的速度等于0时，杆对球的支持力为多少？F支=mg此时最低点的速度为：结论：使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度问：当v2的速度等于0时，杆对球的支持力为多少？F支=mg此63拓展：物体在管型轨道内的运动如图，有一内壁光滑、竖直放置的管型轨道，其半径为R，管内有一质量为m的小球有做圆周运动，小球的直径刚好略小于管的内径。思考：在