正弦定理和余弦定理专题与解析

..正弦定理和余弦定理教学目标掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理1.正弦、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理公式eq\f<a,sinA>＝eq\f<b,sinB>＝eq\f<c,sinC>＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC常见变形<1>a＝2RsinA,b＝2RsinB,c＝2RsinC；<2>sinA＝eq\f<a,2R>,sinB＝eq\f<b,2R>,sinC＝eq\f<c,2R>；<3>a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；<4>asinB＝bsinA,bsinC＝csinB,asinC＝csinAcosA＝eq\f<b2＋c2－a2,2bc>；cosB＝eq\f<c2＋a2－b2,2ac>；cosC＝eq\f<a2＋b2－c2,2ab>2.S△ABC＝eq\f<1,2>absinC＝eq\f<1,2>bcsinA＝eq\f<1,2>acsinB＝eq\f<abc,4R>＝eq\f<1,2><a＋b＋c>·r<r是三角形内切圆的半径>,并可由此计算R,r.3.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数一解两解一解一解无解诊断自测1.判断正误<在括号内打"√"或"×"><1>三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.<><2>在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B.<><3>在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.<><4>当b2＋c2－a2>0时,△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时,△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时,△ABC为钝角三角形.<><5>在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.<>解析<1>三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.<3>已知三角时,不可求三边.<4>当b2＋c2－a2>0时,三角形ABC不一定为锐角三角形.答案<1>×<2>√<3>×<4>×<5>√2.<2016·全国Ⅰ卷>△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a＝eq\r<5>,c＝2,cosA＝eq\f<2,3>,则b＝<>A.eq\r<2> B.eq\r<3> C.2 D.3解析由余弦定理,得5＝b2＋22－2×b×2×eq\f<2,3>,解得b＝3eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<b＝－\f<1,3>舍去>>,故选D.答案D3.<2017·XX预测>在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若eq\f<b,\r<3>cosB>＝eq\f<a,sinA>,则cosB＝<>A.－eq\f<1,2> B.eq\f<1,2> C.－eq\f<\r<3>,2> D.eq\f<\r<3>,2>解析由正弦定理知eq\f<sinB,\r<3>cosB>＝eq\f<sinA,sinA>＝1,即tanB＝eq\r<3>,由B∈<0,π>,所以B＝eq\f<π,3>,所以cosB＝coseq\f<π,3>＝eq\f<1,2>,故选B.答案B4.在△ABC中,A＝60°,AB＝2,且△ABC的面积为eq\f<\r<3>,2>,则BC的长为<>A.eq\f<\r<3>,2> B.eq\r<3> C.2eq\r<3> D.2解析因为S＝eq\f<1,2>×AB×ACsinA＝eq\f<1,2>×2×eq\f<\r<3>,2>AC＝eq\f<\r<3>,2>,所以AC＝1,所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3,所以BC＝eq\r<3>.答案B5.在△ABC中,acosA＝bcosB,则这个三角形的形状为________.解析由正弦定理,得sinAcosA＝sinBcosB,即sin2A＝sin2B,所以2A＝2B或2A＝π－2B,即A＝B或A＋B＝eq\f<π,2>,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案等腰三角形或直角三角形考点一利用正、余弦定理解三角形[例1]<1>在△ABC中,已知a＝2,b＝eq\r<6>,A＝45°,则满足条件的三角形有<>A.1个B.2个 C.0个D.无法确定<2><2016·天津卷>在△ABC中,若AB＝eq\r<13>,BC＝3,∠C＝120°,则AC＝<>A.1 B.2 C.3 D.4<3><2015·XX卷>设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a＝eq\r<3>,sinB＝eq\f<1,2>,C＝eq\f<π,6>,则b＝________.解析<1>∵bsinA＝eq\r<6>×eq\f<\r<2>,2>＝eq\r<3>,∴bsinA<a<b.∴满足条件的三角形有2个.<2>在△ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c.则由c2＝a2＋b2－2abcosC,得13＝9＋b2＋3b,即b2＋3b－4＝0,解得b＝1,因此AC＝1.<3>因为sinB＝eq\f<1,2>且B∈<0,π>,所以B＝eq\f<π,6>或B＝eq\f<5π,6>.又C＝eq\f<π,6>,B＋C<π,所以B＝eq\f<π,6>,A＝π－B－C＝eq\f<2π,3>.又a＝eq\r<3>,由正弦定理得eq\f<a,sinA>＝eq\f<b,sinB>,即eq\f<\r<3>,sin\f<2π,3>>＝eq\f<b,sin\f<π,6>>,解得b＝1.答案<1>B<2>A<3>1[训练1]<1><2017·XX模拟>在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a＝eq\r<13>,b＝3,A＝60°,则边c＝<>A.1 B.2 C.4 D.6<2><2016·全国Ⅱ卷>△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA＝eq\f<4,5>,cosC＝eq\f<5,13>,a＝1,则b＝________.解析<1>a2＝c2＋b2－2cbcosA⇒13＝c2＋9－2c×3×cos60°,即c2－3c－4＝0,解得c＝4或c＝－1<舍去>.<2>在△ABC中,由cosA＝eq\f<4,5>,cosC＝eq\f<5,13>,可得sinA＝eq\f<3,5>,sinC＝eq\f<12,13>,sinB＝sin<A＋C>＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f<63,65>,由正弦定理得b＝eq\f<asinB,sinA>＝eq\f<21,13>.答案<1>C<2>eq\f<21,13>考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状<典例迁移>[例2]<经典母题>设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC＋ccosB＝asinA,则△ABC的形状为<>A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定解析由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A,∴sin<B＋C>＝sin2A,即sin<π－A>＝sin2A,sinA＝sin2A.∵A∈<0,π>,∴sinA>0,∴sinA＝1,即A＝eq\f<π,2>.答案B[迁移探究1]将本例条件变为"若2sinAcosB＝sinC",那么△ABC一定是<>A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形解析法一由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin<A＋B>＝sinAcosB＋cosAsinB,即sin<A－B>＝0,因为－π<A－B<π,所以A＝B.法二由正弦定理得2acosB＝c,由余弦定理得2a·eq\f<a2＋c2－b2,2ac>＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.答案B[迁移探究2]将本例条件变为"若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13",则△ABC<>A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形解析在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13,∴a∶b∶c＝5∶11∶13,故设a＝5k,b＝11k,c＝13k<k>0>,由余弦定理可得cosC＝eq\f<a2＋b2－c2,2ab>＝eq\f<25k2＋121k2－169k2,2×5×11k2>＝－eq\f<23,110><0,又∵C∈<0,π>,∴C∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>,π>>,∴△ABC为钝角三角形.答案C[迁移探究3]将本例条件变为"若a2＋b2－c2＝ab,且2cosAsinB＝sinC",试确定△ABC的形状.解法一利用边的关系来判断：由正弦定理得eq\f<sinC,sinB>＝eq\f<c,b>,由2cosAsinB＝sinC,有cosA＝eq\f<sinC,2sinB>＝eq\f<c,2b>.又由余弦定理得cosA＝eq\f<b2＋c2－a2,2bc>,∴eq\f<c,2b>＝eq\f<b2＋c2－a2,2bc>,即c2＝b2＋c2－a2,所以a2＝b2,所以a＝b.又∵a2＋b2－c2＝ab.∴2b2－c2＝b2,所以b2＝c2,∴b＝c,∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形.法二利用角的关系来判断：∵A＋B＋C＝180°,∴sinC＝sin<A＋B>,又∵2cosAsinB＝sinC,∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB,∴sin<A－B>＝0,又∵A与B均为△ABC的内角,所以A＝B.又由a2＋b2－c2＝ab,由余弦定理,得cosC＝eq\f<a2＋b2－c2,2ab>＝eq\f<ab,2ab>＝eq\f<1,2>,又0°<C<180°,所以C＝60°,∴△ABC为等边三角形.考点三和三角形面积有关的问题[例3]<2016·全国Ⅰ卷>△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC<acosB＋bcosA>＝c.<1>求C；<2>若c＝eq\r<7>,△ABC的面积为eq\f<3\r<3>,2>,求△ABC的周长.解<1>由已知及正弦定理得,2cosC<sinAcosB＋sinB·cosA>＝sinC,2cosCsin<A＋B>＝sinC,故2sinCcosC＝sinC.由C∈<0,π>知sinC≠0,可得cosC＝eq\f<1,2>,所以C＝eq\f<π,3>.<2>由已知,eq\f<1,2>absinC＝eq\f<3\r<3>,2>,又C＝eq\f<π,3>,所以ab＝6,由已知及余弦定理得,a2＋b2－2abcosC＝7,故a2＋b2＝13,从而<a＋b>2＝25.所以△ABC的周长为5＋eq\r<7>.[训练2]<2017·日照模拟>在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足<2a－b>cosC－ccosB＝0.<1>求角C的值；<2>若三边a,b,c满足a＋b＝13,c＝7,求△ABC的面积.解<1>根据正弦定理,<2a－b>cosC－ccosB＝0可化为<2sinA－sinB>cosC－sinCcosB＝0.整理得2sinAcosC＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin<B＋C>＝sinA.∵0<A<π,∴sinA≠0,∴cosC＝eq\f<1,2>.又∵0<C<π,∴C＝eq\f<π,3>.<2>由<1>知cosC＝eq\f<1,2>,又a＋b＝13,c＝7,∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝<a＋b>2－3ab＝169－3ab＝49,解得ab＝40.∴S△ABC＝eq\f<1,2>absinC＝eq\f<1,2>×40×sineq\f<π,3>＝10eq\r<3>.基础巩固题组<建议用时：40分钟>一、选择题1.<2017·XX模拟>在△ABC中,AB＝eq\r<3>,AC＝1,B＝30°,△ABC的面积为eq\f<\r<3>,2>,则C＝<>A.30° B.45° C.60° D.75°解析法一∵S△ABC＝eq\f<1,2>·AB·AC·sinA＝eq\f<\r<3>,2>,即eq\f<1,2>×eq\r<3>×1×sinA＝eq\f<\r<3>,2>,∴sinA＝1,由A∈<0°,180°>,∴A＝90°,∴C＝60°.故选C.法二由正弦定理,得eq\f<sinB,AC>＝eq\f<sinC,AB>,即eq\f<1,2>＝eq\f<sinC,\r<3>>,sinC＝eq\f<\r<3>,2>,又C∈<0°,180°>,∴C＝60°或C＝120°.当C＝120°时,A＝30°,S△ABC＝eq\f<\r<3>,4>≠eq\f<\r<3>,2><舍去>.而当C＝60°时,A＝90°,S△ABC＝eq\f<\r<3>,2>,符合条件,故C＝60°.故选C.答案C2.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,若A＝eq\f<2π,3>,a＝2,b＝eq\f<2\r<3>,3>,则B等于<>A.eq\f<π,3> B.eq\f<5π,6>C.eq\f<π,6>或eq\f<5π,6> D.eq\f<π,6>解析∵A＝eq\f<2π,3>,a＝2,b＝eq\f<2\r<3>,3>,∴由正弦定理eq\f<a,sinA>＝eq\f<b,sinB>可得,sinB＝eq\f<b,a>sinA＝eq\f<\f<2\r<3>,3>,2>×eq\f<\r<3>,2>＝eq\f<1,2>.∵A＝eq\f<2π,3>,∴B＝eq\f<π,6>.答案D3.<2017·XX诊断>在△ABC中,cos2eq\f<B,2>＝eq\f<a＋c,2c><a,b,c分别为角A,B,C的对边>,则△ABC的形状为<>A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形解析因为cos2eq\f<B,2>＝eq\f<a＋c,2c>,所以2cos2eq\f<B,2>－1＝eq\f<a＋c,c>－1,所以cosB＝eq\f<a,c>,所以eq\f<a2＋c2－b2,2ac>＝eq\f<a,c>,所以c2＝a2＋b2.所以△ABC为直角三角形.答案B4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则"a＞b"是"cos2A＜cos2B"的<>A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析因为在△ABC中,a＞b⇔sinA＞sinB⇔sin2A＞sin2B⇔2sin2A＞2sin2B⇔1－2sin2A＜1－2sin2B⇔cos2A＜cos2B.所以"a＞b"是"cos2A＜cos2B"的充分必要条件.答案C5.<2016·XX卷>在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b＝c,a2＝2b2<1－sinA>,则A＝<>A.eq\f<3π,4> B.eq\f<π,3> C.eq\f<π,4> D.eq\f<π,6>解析在△ABC中,由b＝c,得cosA＝eq\f<b2＋c2－a2,2bc>＝eq\f<2b2－a2,2b2>,又a2＝2b2<1－sinA>,所以cosA＝sinA,即tanA＝1,又知A∈<0,π>,所以A＝eq\f<π,4>,故选C.答案C二、填空题6.<2015·XX卷>设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a＝2,cosC＝－eq\f<1,4>,3sinA＝2sinB,则c＝________.解析由3sinA＝2sinB及正弦定理,得3a＝2b,又a＝2,所以b＝3,故c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<1,4>>>＝16,所以c＝4.答案47.<2017·XX九校联考>在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且a＝1,b＝eq\r<3>,则S△ABC＝________.解析因为角A,B,C依次成等差数列,所以B＝60°.由正弦定理,得eq\f<1,sinA>＝eq\f<\r<3>,sin60°>,解得sinA＝eq\f<1,2>,因为0°＜A＜180°,所以A＝30°或150°<舍去>,此时C＝90°,所以S△ABC＝eq\f<1,2>ab＝eq\f<\r<3>,2>.答案eq\f<\r<3>,2>8.<2016·北京卷>在△ABC中,A＝eq\f<2π,3>,a＝eq\r<3>c,则eq\f<b,c>＝________.解析在△ABC中,a2＝b2＋c2－2bc·cosA,将A＝eq\f<2π,3>,a＝eq\r<3>c代入,可得<eq\r<3>c>2＝b2＋c2－2bc·eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<1,2>>>,整理得2c2＝b2＋bc.∵c≠0,∴等式两边同时除以c2,得2＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<b,c>>>eq\s\up12<2>＋eq\f<b,c>,可解得eq\f<b,c>＝1.答案1三、解答题9.<2015·天津卷>在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3eq\r<15>,b－c＝2,cosA＝－eq\f<1,4>.<1>求a和sinC的值；<2>求coseq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2A＋\f<π,6>>>的值.解<1>在△ABC中,由cosA＝－eq\f<1,4>,可得sinA＝eq\f<\r<15>,4>.由S△ABC＝eq\f<1,2>bcsinA＝3eq\r<15>,得bc＝24,又由b－c＝2,解得b＝6,c＝4.由a2＝b2＋c2－2bccosA,可得a＝8.由eq\f<a,sinA>＝eq\f<c,sinC>,得sinC＝eq\f<\r<15>,8>.<2>coseq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2A＋\f<π,6>>>＝cos2A·coseq\f<π,6>－sin2A·sineq\f<π,6>＝eq\f<\r<3>,2><2cos2A－1>－eq\f<1,2>×2sinA·cosA＝eq\f<\r<15>－7\r<3>,16>.10.<2015·全国Ⅱ卷>在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD＝2DC.<1>求eq\f<sinB,sinC>；<2>若∠BAC＝60°,求∠B.解<1>由正弦定理得eq\f<AD,sinB>＝eq\f<BD,sin∠BAD>,eq\f<AD,sinC>＝eq\f<DC,sin∠CAD>.因为AD平分∠BAC,BD＝2DC,所以eq\f<sinB,sinC>＝eq\f<DC,BD>＝eq\f<1,2>.<2>因为∠C＝180°－<∠BAC＋∠B>,∠BAC＝60°,所以sinC＝sin<∠BAC＋∠B>＝eq\f<\r<3>,2>cosB＋eq\f<1,2>sinB.由<1>知2sinB＝sinC,所以tanB＝eq\f<\r<3>,3>,即∠B＝30°.能力提升题组<建议用时：20分钟>11.<2017·XX调研>在△ABC中,sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC,则A的取值范围是<>A.eq\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,\f<π,6>>> B.eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,6>,π>> C.eq\b\lc\<\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,\f<π,3>>> D.eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,3>,π>>解析由已知及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc,由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA,于是b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc,∴cosA≥eq\f<1,2>,在△ABC中,A∈<0,π>.由余弦函数的性质,得0<A≤eq\f<π,3>.答案C12.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若S△ABC＝2eq\r<3>,a＋b＝6,eq\f<acosB＋bcosA,c>＝2cosC,则c＝<>A.2eq\r<7> B.4 C.2eq\r<3> D.3eq\r<3>解析∵eq\f<acosB＋bcosA,c>＝2cosC,由正弦定理,得sinAcosB＋cosAsinB＝2sinCcosC,∴sin<A＋B>＝sinC＝2sinCcosC,由于0＜C＜π,sinC≠0,∴cosC＝eq\f<1,2>,∴C＝eq\f<π,3>,∵S△ABC＝2eq\r<3>＝eq\f<1,2>absinC＝eq\f<\r<3>,4>ab,∴ab＝8,又a＋b＝6,解得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<a＝2,,b＝4>>或eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<a＝4,,b＝2,>>c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋16－8＝12,∴c＝2eq\r<3>,故选C.答案C13.<2015·全国Ⅰ卷>在平面四边形ABCD中,∠A＝∠B＝∠C＝75°,BC＝2,则AB的取值范围是________.解析如图所示,延长BA与CD相交于点E,过点C作CF∥AD交AB于点F,则BF<AB<BE.在等腰三角形CBF中,∠FCB＝30°,CF＝BC＝2,∴BF＝eq\r<22＋22－2×2×2cos30°>＝eq\r<6>－eq\r<2>.在等腰三角形ECB中,∠CEB＝