二元函数的极限

关于二元函数的极限第一页，共三十八页，2022年，8月28日回忆一元函数的极限.设y=f(x),当x

不论是从x0的左边还是从x0的右边无限接近于x0时,对应的函数值无限接近于数A.表示如图xyA0f(x)f(x)y=f(x)x0xxxx0就是>0,>0.当0<|x–x0|<时,有|f(x)–A

|<.第二页，共三十八页，2022年，8月28日设二元函数z=f(X)=f(x,y),定义域为D.如图Dz=f(x,y)XX如果当X在D内变动并无限接近于X0时(从任何方向,以任何方式),对应的函数值f(X)无限接近于数A,则称A为当X趋近于X0时f(X)的极限.MX0Ayzxof(X)第三页，共三十八页，2022年，8月28日类似于一元函数,f(X)无限接近于数A可用|f(X)–A|<刻划.而平面上的点X=(x,y)无限接近于点X0=(x0,y0)则可用它们之间的距离第四页，共三十八页，2022年，8月28日设二元函数z=f(P)=f

(x,y).定义域为D.P0=(x0,y0)是D的一个聚点.A为常数.若>0,>0,当对应的函数值满足|f(P)–A|<则称A

为z=f(P)的,当P趋近于P0时(二重)极限.记作或也可记作f(P)A(PP0),或,

f

(x,y)A(xx0,yy0)定义1第五页，共三十八页，2022年，8月28日注定义中要求X0是定义域D的聚点,这是为了保证P0的任意近傍总有点P使得f(P)存在,进而才有可能判断|f(P)–A|是否小于的问题.若D是一区域.则只须要求就可保证P0是D的一个聚点.第六页，共三十八页，2022年，8月28日说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二重极限的几何意义：>0，P0

的去心邻域ºU(P0,)。在ºU(P0,)内，函数的图形总在平面及之间。第七页，共三十八页，2022年，8月28日例1用“”定义验证极限证明

因为

第八页，共三十八页，2022年，8月28日先限制在点（2，1）的的方邻域

内讨论，则有

所以第九页，共三十八页，2022年，8月28日于是

，取，则当时，就有

由二元函数极限定义知

第十页，共三十八页，2022年，8月28日例求证证当时，原结论成立．第十一页，共三十八页，2022年，8月28日例2．设证明

证明：

对函数的自变量作极坐标变换

这时等价于对任何都有.由于

第十二页，共三十八页，2022年，8月28日因此，，只须取，当时，不管取什么值都有所以

第十三页，共三十八页，2022年，8月28日定理16.5

的充要条件是：对于的任一子集,只要是的聚点，就有

推论1设是的聚点.若不存在，则也不存在

第十四页，共三十八页，2022年，8月28日推论2设是它们的聚点，但,则不存在

若存在极限第十五页，共三十八页，2022年，8月28日推论3极限存在的充要条件是：对于中任一满足条件且的点列，它所对应的函数列都收敛.

上述定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数的海涅归结原则第十六页，共三十八页，2022年，8月28日注意：是指

P

以任何方式趋于P0.一元中多元中第十七页，共三十八页，2022年，8月28日确定极限不存在的方法：(1)

令),(yxP沿)(00xxkyy-+=趋向于),(000yxP，

若极限值与k有关，则可断言极限不存在；

(2)

找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx®®存在，但

两者不相等，此时也可断言),(yxf在点),(000yxP

处极限不存在．

第十八页，共三十八页，2022年，8月28日例3.

设f(x,y)=证明f(x,y)在(0,0)点的极限不存在.证:

只须证明当X沿不同的线路趋于(0,0)时,函数f(x,y)对应的极限也不同即可.第十九页，共三十八页，2022年，8月28日考察X=(x,y)沿平面直线y=kx趋于(0,0)的情形.如图对应函数值xoy第二十页，共三十八页，2022年，8月28日从而,当X=(x,y)沿y=kx

趋于(0,0)时,函数极限请考察当X=(x,y)沿x

轴,沿y

轴趋于(0,0)的情形.当k不同时,极限也不同.因此,f(x,y)在(0,0)的极限不存在.第二十一页，共三十八页，2022年，8月28日沿x

轴,y=0.函数极限=0沿y

轴,x=0.函数极限=0但不能由此断定该二重极限为0第二十二页，共三十八页，2022年，8月28日例4

二元函数

请看p95图16-7，沿任何直线趋于原点时都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限沿抛物线的值趋于而不趋于零，尽管当就是零，因为当趋于原点时

所以该极限不存在.第二十三页，共三十八页，2022年，8月28日非正常极限

极限的定义

设二元函数为定义在上的二元函数，为的一个聚点，如果使得当

时，都有则称在上当时，存在非正常极限记作

点

或

第二十四页，共三十八页，2022年，8月28日仿此可类似地定义与例5

设函数

证明

证明：

因为

，只要取，当时，都有

第二十五页，共三十八页，2022年，8月28日由此推得即

所以

第二十六页，共三十八页，2022年，8月28日二元函数极限的性质性质４（四则运算）与一元函数运算相同

除了这些相似性之外，我们也指出，多元函数的极限较之一元函数的极限而云，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。第二十七页，共三十八页，2022年，8月28日例求解二元函数的极限运算举例第二十八页，共三十八页，2022年，8月28日例求极限解其中第二十九页，共三十八页，2022年，8月28日二.

累次极限中的两个自变量以任何方式趋于时的极限，我们称它为二重极限.与依一定次序趋于与时的极限，称为累次极限.

对于两个自变量对于二元函数在与依一定次序趋于与时的累次极限有两个

和

第三十页，共三十八页，2022年，8月28日例6设,求在点解当时，有

从而有

同理可得

的两个累次极限.第三十一页，共三十八页，2022年，8月28日1.两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序.

例7

函数

关于原点的两个累次极限分别是

与.第三十二页，共三十八页，2022年，8月28日2.两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在例如设

两个累次极限都存在

且相等.

但二重极限却不存在.

第三十三页，共三十八页，2022年，8月28日3.二重极限存在也不能保证累次极限存在，即二重极限存在时,

两个累次极限可以不存在.

例8

函数

由于，故由定义知二重极限存在,且

但对任何，当时的第二项不存在极限

第三十四页，共三十八页，2022年，8月28日同理对任何，当时的第一项不存在极限，从而两个累次极限都不存在.第三十五页，共三十八页，2022年，8月28日定理16.6