高中数学模拟汇编-三角函数与解三角形解答题专项训练(1有答案)

..高中数学模拟汇编---三角函数与解三角形解答题专项训练一．解答题〔共30小题1．〔2015•XX二模已知函数f〔x=sin〔﹣ωx〔ω＞0任意两个零点之间的最小距离为．〔Ⅰ若f〔α=,α∈[﹣π,π],求α的取值集合；〔Ⅱ求函数y=f〔x﹣cos〔ωx+的单调递增区间．2．〔2015•XX模拟已知函数f〔x=sin〔ωx+φ〔ω＞0,|φ|＜图象的相邻两对称轴间的距离为,若将函数f〔x的图象向左平移个单位后图象关于y轴对称．〔Ⅰ求使f〔x≥成立的x的取值范围；〔Ⅱ设g〔x=﹣cosωx,其中g′〔x是g〔x的导函数,若g〔x=,且,求cos2x的值．3．〔2015•XX模拟已知函数f〔x=sin〔ωx+φ〔ω＞0,|φ|＜图象的相邻两对称轴间的距离为,若将函数f〔x的图象向左平移个单位后图象关于y轴对称．〔Ⅰ求使f〔x≥成立的x的取值范围；〔Ⅱ设,其中g'〔x是g〔x的导函数,若g〔x=,且,求cosx的值．4．〔2015•XX模拟在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosC=csinA．〔Ⅰ求角C的大小；〔Ⅱ若a=3,△ABC的面积为,求的值．5．〔2015•XX一模已知向量=〔cosax,sinax,=〔cosax,﹣cosax,其中a＞0,若函数f〔x=的图象与直线y=m〔m＞0相切,且切点横坐标成公差为π的等差数列．〔1求a和m的值；〔2在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边．若,且a=4,求△ABC面积的最大值及此时b、c的值．6．〔2015•资阳模拟已知函数f〔x=msinxcosx+mcos2x+n〔m,n∈R在区间[0,]上的值域为[1,2]．〔Ⅰ求函数f〔x的单调递增区间；〔Ⅱ在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,当m＞0时,若f〔A=1,sinB=4sin〔π﹣C,△ABC的面积为,求边长a的值．7．〔2015•XX一模已知函数f〔x=cosx•sin〔x+﹣cos2x+．〔1求f〔x的最小正周期；〔2若f〔x＜m在上恒成立,求实数m的取值范围．8．〔2014•北京函数f〔x=3sin〔2x+的部分图象如图所示．〔Ⅰ写出f〔x的最小正周期及图中x0,y0的值；〔Ⅱ求f〔x在区间[﹣,﹣]上的最大值和最小值．9．〔2014•XX已知函数f〔x=sin〔ωx+φ〔ω＞0,﹣≤φ＜的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π．〔Ⅰ求ω和φ的值；〔Ⅱ若f〔=〔＜α＜,求cos〔α+的值．10．〔2014•XX某实验室一天的温度〔单位：℃随时间t〔单位：h的变化近似满足函数关系：f〔t=10﹣cost﹣sint,t∈[0,24．〔Ⅰ求实验室这一天上午8时的温度；〔Ⅱ求实验室这一天的最大温差．11．〔2014•XX某实验室一天的温度〔单位：℃随时间t〔单位：h的变化近似满足函数关系：f〔t=10﹣,t∈[0,24〔Ⅰ求实验室这一天的最大温差；〔Ⅱ若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温？12．〔2014•XX已知函数f〔x=Asin〔x+,x∈R,且f〔=．〔1求A的值；〔2若f〔θ+f〔﹣θ=,θ∈〔0,,求f〔﹣θ．13．〔2014•XX△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a=3,cosA=,B=A+．〔Ⅰ求b的值；〔Ⅱ求△ABC的面积．14．〔2014•东城区一模设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且．〔Ⅰ求的值；〔Ⅱ求tan〔A﹣B的最大值．15．〔2014•XX在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a≠b,c=,cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．〔Ⅰ求角C的大小；〔Ⅱ若sinA=,求△ABC的面积．16．〔2014•XX设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c,且b=3,c=1,A=2B．〔Ⅰ求a的值；〔Ⅱ求sin〔A+的值．17．〔2014•天津在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a﹣c=b,sinB=sinC,〔Ⅰ求cosA的值；〔Ⅱ求cos〔2A﹣的值．18．〔2014•广西△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B．19．〔2014•XX在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a＞c,已知•=2,cosB=,b=3,求：〔Ⅰa和c的值；〔Ⅱcos〔B﹣C的值．20．〔2014•XX在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且a+b+c=8．〔Ⅰ若a=2,b=,求cosC的值；〔Ⅱ若sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且△ABC的面积S=sinC,求a和b的值．21．〔2014•XX△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c．〔Ⅰ若a,b,c成等差数列,证明：sinA+sinC=2sin〔A+C；〔Ⅱ若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cosB的值．22．〔2014•北京如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在边BC上,且CD=2,cos∠ADC=．〔1求sin∠BAD；〔2求BD,AC的长．23．〔2014•XX如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=．〔Ⅰ求sin∠CED的值；〔Ⅱ求BE的长．24．〔2014•河东区二模在△ABC中,,．〔Ⅰ求sinA的值；〔Ⅱ设△ABC的面积,求BC的长．25．〔2014•XX如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=．〔Ⅰ求cos∠CAD的值；〔Ⅱ若cos∠BAD=﹣,sin∠CBA=,求BC的长．26．〔2014•南海区模拟已知函数〔其中ω为正常数,x∈R的最小正周期为π．〔1求ω的值；〔2在△ABC中,若A＜B,且,求．27．〔2014•河东区一模已知函数f〔x=sin〔π﹣xsin〔﹣x+cos2x〔1求函数f〔x的最小正周期；〔2当x∈[﹣,]时,求函数f〔x的单调区间．28．〔2014•XX模拟已知=〔cosωx+sinωx,cosωx,=〔cosωx﹣sinωx,2sinωx,其中ω＞0．设函数f〔x=•,且函数f〔x的周期为π．〔Ⅰ求ω的值；〔Ⅱ在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且a,b,c成等差数列,当f〔B=1时,判断△ABC的形状．29．〔2014•红桥区二模已知函数．〔Ⅰ求f〔x的最小正周期；〔Ⅱ求函数f〔x的单调增区间．30．〔2014•上海模拟已知向量=〔,sinx+cosx和向量=〔1,f〔x,且∥．〔1求函数f〔x的最小正周期和最大值；〔2已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若有f〔A﹣=,BC=,sinB=,求AC的长度．2015年三角函数与解三角形解答题专项训练参考答案与试题解析一．解答题〔共30小题1．〔2015•XX二模已知函数f〔x=sin〔﹣ωx〔ω＞0任意两个零点之间的最小距离为．〔Ⅰ若f〔α=,α∈[﹣π,π],求α的取值集合；〔Ⅱ求函数y=f〔x﹣cos〔ωx+的单调递增区间．考点：正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：〔Ⅰ首先根据任意两个零点之间的距离求出最小正周期,进一步确定α的集合．〔Ⅱ通过三角恒等变换求出正弦型函数的解析式,进一步利用整体思想求单调区间．解答：解：〔Ⅰ因为f〔x=sin〔﹣ωx=cosωx,任意两个零点之间的最小距离为,所以：f〔x的最小正周期为π,故T==π,又ω＞0,故ω=2由f〔α=,得cos2α=,所以,〔k∈Z,即又α∈[﹣π,π],所以．〔Ⅱ函数y=cos2x﹣cos〔2x+==令〔k∈Z,解得：所以函数的单调递增区间为：[]〔k∈Z．点评：本题考查的知识要点：正弦函数的最小正周期的求法,正弦型函数的单调区间．2．〔2015•XX模拟已知函数f〔x=sin〔ωx+φ〔ω＞0,|φ|＜图象的相邻两对称轴间的距离为,若将函数f〔x的图象向左平移个单位后图象关于y轴对称．〔Ⅰ求使f〔x≥成立的x的取值范围；〔Ⅱ设g〔x=﹣cosωx,其中g′〔x是g〔x的导函数,若g〔x=,且,求cos2x的值．考点：函数y=Asin〔ωx+φ的图象变换．专题：三角函数的求值．分析：〔Ⅰ由周期求得ω,由函数y=Asin〔ωx+φ的图象变换规律求得f〔x的解析式,结合正弦函数的图象和性质求得使f〔x≥成立的x的取值范围．〔Ⅱ由条件求得g〔x的解析式,．再根据,求得,再利用两角差的余弦公式求得cos〔2x=cos[〔2x+﹣]的值．解答：解：〔Ⅰ∵函数图象的相邻两对称轴间的距离,∴函数的周期T=π,,∴f〔x=sin〔2x+φ．将f〔x的图象向左平移个单位后得到的函数为,∵图象关于y轴对称,∴．又,∴,即,由得：,即,∴使的x的取值范围是．〔Ⅱ∵,∴．令得,解得,∴．∵,∴．∵,∴,∴,∴．点评：本题主要考查由函数y=Asin〔ωx+φ的部分图象求解析式,三角函数的恒等变换及化简求值,函数y=Asin〔ωx+φ的图象变换规律,正弦函数的图象和性质,属于中档题．3．〔2015•XX模拟已知函数f〔x=sin〔ωx+φ〔ω＞0,|φ|＜图象的相邻两对称轴间的距离为,若将函数f〔x的图象向左平移个单位后图象关于y轴对称．〔Ⅰ求使f〔x≥成立的x的取值范围；〔Ⅱ设,其中g'〔x是g〔x的导函数,若g〔x=,且,求cosx的值．考点：由y=Asin〔ωx+φ的部分图象确定其解析式；导数的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：〔Ⅰ由周期性求得ω,再根据函数y=Asin〔ωx+φ的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,求得f〔x的解析式,从而求得使f〔x≥成立的x的取值范围．〔Ⅱ由条件求得g〔x的解析式,再由g〔x=,求得sin〔x+的值,可得cos〔x+的值,再由cosx=cos[〔x+﹣],利用两角差的余弦公式求得结果．解答：解：〔Ⅰ∵函数图象的相邻两对称轴间的距离,∴函数的周期T=π,,∴f〔x=sin〔2x+φ,将f〔x的图象向左平移个单位后得到的函数为,∵图象关于y轴对称,∴,又,∴,即．由得：,即,∴使的x的取值范围是．〔Ⅱ∵,∴,令得,解得,所以．∵,∴,∵,∴,∴,∴．点评：本题主要考查由函数y=Asin〔ωx+φ的部分图象求解析式,函数y=Asin〔ωx+φ的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,两角差的余弦公式,属于基础题．4．〔2015•XX模拟在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosC=csinA．〔Ⅰ求角C的大小；〔Ⅱ若a=3,△ABC的面积为,求的值．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：〔Ⅰ已知等式利用正弦定理化简,由sinA不为0求出tanC的值,即可确定出角C的大小；〔Ⅱ利用三角形面积公式列出关系式,把a,sinC,以及已知面积代入求出b的值,再利用余弦定理求出c的值,求出cosA的值,利用平面向量的数量积运算法则即可确定出原式的值．解答：解：〔Ⅰ∵acosC=csinA,由正弦定理得：sinAcosC=sinCsinA,∵0＜A＜π,∴sinA＞0,∴cosC=sinC,即tanC=,又0＜C＜π,∴C=；〔Ⅱ∵a=3,△ABC的面积为,∴S=absinC=×3bsin=,∴b=2,由余弦定理得：c2=4+9﹣6=7,即c=,cosA==,则•=bccos〔π﹣A=2×〔﹣=﹣1．点评：此题考查了正弦、余弦定理,平面向量的数量积运算,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键．5．〔2015•XX一模已知向量=〔cosax,sinax,=〔cosax,﹣cosax,其中a＞0,若函数f〔x=的图象与直线y=m〔m＞0相切,且切点横坐标成公差为π的等差数列．〔1求a和m的值；〔2在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边．若,且a=4,求△ABC面积的最大值及此时b、c的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：〔1由两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算法则列出f〔x解析式,根据题意确定出函数的周期及最大值,即可求出a与m的值；〔2由确定出的解析式及f〔=,求出A的度数,利用三角形面积公式列出关系式,把sinA的值代入,表示出三角形ABC面积,利用余弦定理列出关系式,把cosA与a的值代入,并利用基本不等式求出bc的最大值,即可确定出三角形ABC面积的最大值,以及此时b与c的值．解答：解：〔1∵=〔cosax,sinax,=〔cosax,﹣cosax,∴f〔x=•=cos2ax﹣sinaxcosax=﹣sin〔2ax﹣,由题意,函数f〔x的周期为π,且最大〔或最小值为m,而m＞0,﹣1＜0,∴a=1,m=+1；〔2∵f〔=,∴sin〔A﹣=0,又A为△ABC的内角,∴A=,∴S△ABC=bcsinA=bc,∵cosA=,a=4,∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA,即b2+c2=16+bc≥2bc,当且仅当b=c时取等号,整理得：bc≤16,∴S△ABC=bc≤4,则当且仅当b=c=4时,△ABC的面积取得最大值4．点评：此题考查了余弦定理,平面向量的数量积运算,以及基本不等式的运用,熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．〔2015•资阳模拟已知函数f〔x=msinxcosx+mcos2x+n〔m,n∈R在区间[0,]上的值域为[1,2]．〔Ⅰ求函数f〔x的单调递增区间；〔Ⅱ在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,当m＞0时,若f〔A=1,sinB=4sin〔π﹣C,△ABC的面积为,求边长a的值．考点：余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：〔Ⅰ运用二倍角公式和两角和的正弦公式,化简f〔x,对m讨论,m＞0,m＜0,根据值域求得m,n,再求单调增区间；〔Ⅱ当m＞0时,求得A,再由正弦定理得到b=4c,由面筋公式,即可得到b,c再由余弦定理求得a．解答：解：〔Ⅰ===,当时,,则．由题意知m≠0,①若m＞0,则,解得m=2,n=﹣1,则,由〔k∈Z,得函数f〔x的单调递增区间是,k∈Z．②若m＜0,则,解得m=﹣2,n=4．则,由〔k∈Z,故函数f〔x的单调递增区间是,k∈Z；〔Ⅱ当m＞0时,由,所以．因为sinB=4sin〔π﹣C,所以sinB=4sinC,则b=4c,又△ABC面积为,所以,即bc=4,所以b=4,c=1,则,所以．点评：本题考查三角函数的化简和求值,考查三角函数的图象和性质,求单调区间和求值域,考查正弦、余弦定理和面积公式及运用,考查运算能力,属于中档题．7．〔2015•XX一模已知函数f〔x=cosx•sin〔x+﹣cos2x+．〔1求f〔x的最小正周期；〔2若f〔x＜m在上恒成立,求实数m的取值范围．考点：三角函数的最值；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：〔1由条件利用三角函数的恒等变换求得f〔x的解析式,再根据正弦函数的周期性求得f〔x的最小正周期．〔2由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f〔x的最大值,可得实数m的取值范围．解答：解：〔1∵函数f〔x=cosx•sin〔x+﹣cos2x+=cosx〔sinx+cosx﹣•+=sin2x﹣cos2x=sin〔2x﹣,∴函数的最小正周期为．〔2∵,∴,∴．∵f〔x＜m在上恒成立,∴．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,三角函数的周期性和求法,正弦函数的定义域和值域,函数的恒成立问题,属于基础题．8．〔2014•北京函数f〔x=3sin〔2x+的部分图象如图所示．〔Ⅰ写出f〔x的最小正周期及图中x0,y0的值；〔Ⅱ求f〔x在区间[﹣,﹣]上的最大值和最小值．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：〔Ⅰ由题目所给的解析式和图象可得所求；〔Ⅱ由x∈[﹣,﹣]可得2x+∈[﹣,0],由三角函数的性质可得最值．解答：解：〔Ⅰ∵f〔x=3sin〔2x+,∴f〔x的最小正周期T==π,可知y0为函数的最大值3,x0=；〔Ⅱ∵x∈[﹣,﹣],∴2x+∈[﹣,0],∴当2x+=0,即x=时,f〔x取最大值0,当2x+=,即x=﹣时,f〔x取最小值﹣3点评：本题考查三角函数的图象和性质,属基础题．9．〔2014•XX已知函数f〔x=sin〔ωx+φ〔ω＞0,﹣≤φ＜的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π．〔Ⅰ求ω和φ的值；〔Ⅱ若f〔=〔＜α＜,求cos〔α+的值．考点：函数y=Asin〔ωx+φ的图象变换；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：〔Ⅰ由题意可得函数f〔x的最小正周期为π求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称,结合﹣≤φ＜可得φ的值．〔Ⅱ由条件求得sin〔α﹣=．再根据α﹣的范围求得cos〔α﹣的值,再根据cos〔α+=sinα=sin[〔α﹣+],利用两角和的正弦公式计算求得结果．解答：解：〔Ⅰ由题意可得函数f〔x的最小正周期为π,∴=π,∴ω=2．再根据图象关于直线x=对称,可得2×+φ=kπ+,k∈z．结合﹣≤φ＜可得φ=﹣．〔Ⅱ∵f〔=〔＜α＜,∴sin〔α﹣=,∴sin〔α﹣=．再根据0＜α﹣＜,∴cos〔α﹣==,∴cos〔α+=sinα=sin[〔α﹣+]=sin〔α﹣cos+cos〔α﹣sin=+=．点评：本题主要考查由函数y=Asin〔ωx+φ的部分图象求函数的解析式,两角和差的三角公式、的应用,属于中档题．10．〔2014•XX某实验室一天的温度〔单位：℃随时间t〔单位：h的变化近似满足函数关系：f〔t=10﹣cost﹣sint,t∈[0,24．〔Ⅰ求实验室这一天上午8时的温度；〔Ⅱ求实验室这一天的最大温差．考点：函数y=Asin〔ωx+φ的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：〔Ⅰ直接根据f〔t的解析式求得f〔8的值．〔Ⅱ根据f〔t=10﹣2sin〔+t,t∈[0,24,求得函数f〔t取得最大值和最小值,从而得到这一天的最大温差．解答：解：〔Ⅰ∵f〔t=10﹣cost﹣sint,t∈[0,24．∴f〔8=10﹣cos﹣sin=10﹣×〔﹣﹣=10,故实验室这一天上午8时的温度为10℃．〔Ⅱ∵f〔t=10﹣cost﹣sint=10﹣2sin〔+t,t∈[0,24．∴＜+t＜,故当+t=,即t=14时,函数f〔t取得最大值为10+2=12,当+t=,即t=2时,函数f〔t取得最小值为10﹣2=8,故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．点评：本题主要考查函数y=Asin〔ωx+φ的图象特征,正弦函数的值域,属于中档题．11．〔2014•XX某实验室一天的温度〔单位：℃随时间t〔单位：h的变化近似满足函数关系：f〔t=10﹣,t∈[0,24〔Ⅰ求实验室这一天的最大温差；〔Ⅱ若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温？考点：函数y=Asin〔ωx+φ的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：〔Ⅰ利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f〔t10﹣2sin〔t+,t∈[0,24,利用正弦函数的定义域和值域求得f〔x的最大值及最小值,可得实验室这一天的最大温差．〔Ⅱ由题意可得,当f〔t＞11时,需要降温,由f〔t＞11,求得sin〔t+＜﹣,即≤t+＜,解得t的范围,可得结论．解答：解：〔Ⅰ∵f〔t=10﹣=10﹣2sin〔t+,t∈[0,24,∴≤t+＜,故当t+=时,函数取得最大值为10+2=12,当t+=时,函数取得最小值为10﹣2=8,故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．〔Ⅱ由题意可得,当f〔t＞11时,需要降温,由〔Ⅰ可得f〔t=10﹣2sin〔t+,由10﹣2sin〔t+＞11,求得sin〔t+＜﹣,即≤t+＜,解得10＜t＜18,即在10时到18时,需要降温．点评：本题主要考查函数y=Asin〔ωx+φ的图象特征,两角和差的正弦公式,正弦函数的定义域和值域,三角不等式的解法,属于中档题．12．〔2014•XX已知函数f〔x=Asin〔x+,x∈R,且f〔=．〔1求A的值；〔2若f〔θ+f〔﹣θ=,θ∈〔0,,求f〔﹣θ．考点：由y=Asin〔ωx+φ的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：〔1由函数f〔x的解析式以及f〔=,求得A的值．〔2由〔1可得f〔x=sin〔x+,根据f〔θ+f〔﹣θ=,求得cosθ的值,再由θ∈〔0,,求得sinθ的值,从而求得f〔﹣θ的值．解答：解：〔1∵函数f〔x=Asin〔x+,x∈R,且f〔=．∴Asin〔+=Asin=A•=,∴A=．〔2由〔1可得f〔x=sin〔x+,∴f〔θ+f〔﹣θ=sin〔θ++sin〔﹣θ+=2sincosθ=cosθ=,∴cosθ=,再由θ∈〔0,,可得sinθ=．∴f〔﹣θ=sin〔﹣θ+=sin〔π﹣θ=sinθ=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换,同角三角函数的基本关系,属于中档题．13．〔2014•XX△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a=3,cosA=,B=A+．〔Ⅰ求b的值；〔Ⅱ求△ABC的面积．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：〔Ⅰ利用cosA求得sinA,进而利用A和B的关系求得sinB,最后利用正弦定理求得b的值．〔Ⅱ利用sinB,求得cosB的值,进而根两角和公式求得sinC的值,最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：〔Ⅰ∵cosA=,∴sinA==,∵B=A+．∴sinB=sin〔A+=cosA=,由正弦定理知=,∴b=•sinB=×=3．〔Ⅱ∵sinB=,B=A+＞∴cosB=﹣=﹣,sinC=sin〔π﹣A﹣B=sin〔A+B=sinAcosB+cosAsinB=×〔﹣+×=,∴S=a•b•sinC=×3×3×=．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系,三角函数恒等变换的应用,注重了基础知识的综合运用．14．〔2014•东城区一模设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且．〔Ⅰ求的值；〔Ⅱ求tan〔A﹣B的最大值．考点：正弦定理；两角和与差的正切函数．分析：本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数,〔Ⅰ由正弦定理的边角互化,我们可将已知中,进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB,再利用弦化切的方法即可求的值．〔Ⅱ由〔Ⅰ的结论,结合角A,B,C为△ABC的内角,我们易得tanA=4tanB＞0,则tan〔A﹣B可化为,再结合基本不等式即可得到tan〔A﹣B的最大值．解答：解：〔Ⅰ在△ABC中,,由正弦定理得即sinAcosB=4cosAsinB,则；〔Ⅱ由得tanA=4tanB＞0当且仅当时,等号成立,故当时,tan〔A﹣B的最大值为．点评：在解三角形时,正弦定理和余弦定理是最常用的方法,正弦定理多用于边角互化,使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．15．〔2014•XX在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a≠b,c=,cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．〔Ⅰ求角C的大小；〔Ⅱ若sinA=,求△ABC的面积．考点：正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：〔Ⅰ△ABC中,由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin〔A+Bsin〔A﹣B=2•cos〔A+Bsin〔A﹣B．求得tan〔A+B的值,可得A+B的值,从而求得C的值．〔Ⅱ由sinA=求得cosA的值．再由正弦定理求得a,再求得sinB=sin[〔A+B﹣A]的值,从而求得△ABC的面积为的值．解答：解：〔Ⅰ∵△ABC中,a≠b,c=,cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB,∴﹣=sin2A﹣sin2B,即cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B,即﹣2sin〔A+Bsin〔A﹣B=2•cos〔A+Bsin〔A﹣B．∵a≠b,∴A≠B,sin〔A﹣B≠0,∴tan〔A+B=﹣,∴A+B=,∴C=．〔Ⅱ∵sinA=＜,C=,∴A＜,或A＞〔舍去,∴cosA==．由正弦定理可得,=,即=,∴a=．∴sinB=sin[〔A+B﹣A]=sin〔A+BcosA﹣cos〔A+BsinA=﹣〔﹣×=,∴△ABC的面积为=×=．点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用,属于中档题．16．〔2014•XX设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c,且b=3,c=1,A=2B．〔Ⅰ求a的值；〔Ⅱ求sin〔A+的值．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：综合题；三角函数的求值．分析：〔Ⅰ利用正弦定理,可得a=6cosB,再利用余弦定理,即可求a的值；〔Ⅱ求出sinA,cosA,即可求sin〔A+的值．解答：解：〔Ⅰ∵A=2B,,b=3,∴a=6cosB,∴a=6,∴a=2；〔Ⅱ∵a=6cosB,∴cosB=,∴sinB=,∴sinA=sin2B=,cosA=cos2B=2cos2B﹣1=﹣,∴sin〔A+=〔sinA+cosA=．点评：本题考查余弦定理、考查正弦定理,考查二倍角公式,考查学生的计算能力,属于中档题．17．〔2014•天津在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a﹣c=b,sinB=sinC,〔Ⅰ求cosA的值；〔Ⅱ求cos〔2A﹣的值．考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：〔Ⅰ已知第二个等式利用正弦定理化简,代入第一个等式表示出a,利用余弦定理表示出cosA,将表示出的a,b代入计算,即可求出cosA的值；〔Ⅱ由cosA的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值,进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简,将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：〔Ⅰ将sinB=sinC,利用正弦定理化简得：b=c,代入a﹣c=b,得：a﹣c=c,即a=2c,∴cosA===；〔Ⅱ∵cosA=,A为三角形内角,∴sinA==,∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣,sin2A=2sinAcosA=,则cos〔2A﹣=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理,同角三角函数间的基本关系,二倍角的正弦、余弦函数公式,以及两角和与差的余弦函数公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．〔2014•广西△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：由3acosC=2ccosA,利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC,利用tanB=tan[π﹣〔A+B]=﹣tan〔A+B即可得出．解答：解：∵3acosC=2ccosA,由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,∴3tanA=2tanC,∵tanA=,∴2tanC=3×=1,解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣〔A+C]=﹣tan〔A+C=﹣=﹣=﹣1,∵B∈〔0,π,∴B=点评：本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题．19．〔2014•XX在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a＞c,已知•=2,cosB=,b=3,求：〔Ⅰa和c的值；〔Ⅱcos〔B﹣C的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：〔Ⅰ利用平面向量的数量积运算法则化简•=2,将cosB的值代入求出ac=6,再利用余弦定理列出关系式,将b,cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13,联立即可求出ac的值；〔Ⅱ由cosB的值,利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值,由c,b,sinB,利用正弦定理求出sinC的值,进而求出cosC的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：〔Ⅰ∵•=2,cosB=,∴c•acosB=2,即ac=6①,∵b=3,∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB,即9=a2+c2﹣4,∴a2+c2=13②,联立①②得：a=3,c=2；〔Ⅱ在△ABC中,sinB===,由正弦定理=得：sinC=sinB=×=,∵a=b＞c,∴C为锐角,∴cosC===,则cos〔B﹣C=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理,平面向量的数量积运算,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理是解本题的关键．20．〔2014•XX在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且a+b+c=8．〔Ⅰ若a=2,b=,求cosC的值；〔Ⅱ若sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且△ABC的面积S=sinC,求a和b的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：〔Ⅰ由a+b+c=8,根据a=2,b=求出c的长,利用余弦定理表示出cosC,将三边长代入求出cosC的值即可；〔Ⅱ已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形,再利用正弦定理得到a+b=3c,与a+b+c=8联立求出a+b的值,利用三角形的面积公式列出关系式,代入S=sinC求出ab的值,联立即可求出a与b的值．解答：解：〔Ⅰ∵a=2,b=,且a+b+c=8,∴c=8﹣〔a+b=,∴由余弦定理得：cosC===﹣；〔Ⅱ由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC,整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC,∵sinAcosB+cosAsinB=sin〔A+B=sinC,∴sinA+sinB=3sinC,利用正弦定理化简得：a+b=3c,∵a+b+c=8,∴a+b=6①,∵S=absinC=sinC,∴ab=9②,联立①②解得：a=b=3．点评：此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．〔2014•XX△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c．〔Ⅰ若a,b,c成等差数列,证明：sinA+sinC=2sin〔A+C；〔Ⅱ若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cosB的值．考点：余弦定理；等差数列的通项公式；等差关系的确定．专题：三角函数的求值．分析：〔Ⅰ由a,b,c成等差数列,利用等差数列的性质得到a+c=2b,再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证；〔Ⅱ由a,b,c成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,将c=2a代入表示出b,利用余弦定理表示出cosB,将三边长代入即可求出cosB的值．解答：解：〔Ⅰ∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b,由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB,∵sinB=sin[π﹣〔A+C]=sin〔A+C,则sinA+sinC=2sin〔A+C；〔Ⅱ∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,将c=2a代入得：b2=2a2,即b=a,∴由余弦定理得：cosB===．点评：此题考查了余弦定理,等差、等比数列的性质,熟练掌握余弦定理是解本题的关键．22．〔2014•北京如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在边BC上,且CD=2,cos∠ADC=．〔1求sin∠BAD；〔2求BD,AC的长．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：根据三角形边角之间的关系,结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．解答：解：〔1在△ABC中,∵cos∠ADC=,∴sin∠ADC===,则sin∠BAD=sin〔∠ADC﹣∠B=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．〔2在△ABD中,由正弦定理得BD==,在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49,即AC=7．点评：本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键,难度不大．23．〔2014•XX如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=．〔Ⅰ求sin∠CED的值；〔Ⅱ求BE的长．考点：余弦定理的应用；正弦定理．专题：解三角形．分析：〔Ⅰ根据三角形边角之间的关系,结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．〔Ⅱ利用两角和的余弦公式,结合正弦定理即可得到结论．解答：解：〔Ⅰ设α=∠CED,在△CDE中,由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE,即7=CD2+1+CD,则CD2+CD﹣6=0,解得CD=2或CD=﹣3,〔舍去,在△CDE中,由正弦定理得,则sinα=,即sin∠CED=．〔Ⅱ由题设知0＜α＜,由〔Ⅰ知cosα=,而∠AEB=,∴cos∠AEB=cos〔=coscosα+sinsinα=,在Rt△EAB中,cos∠AEB=,故BE=．点评：本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键,难度不大．24．〔2014•河东区二模在△ABC中,,．〔Ⅰ求sinA的值；〔Ⅱ设△ABC的面积,求BC的长．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：〔Ⅰ由cosB,cosC分别求得sinB和sinC,再通过sinA=sin〔B+C,利用两角和公式,进而求得sinA．〔Ⅱ由三角形的面积公式及〔1中的sinA,求得AB•AC的值,再利用正弦定理求得AB,再利用正弦定理进而求得BC．解答：解：〔Ⅰ由,得,由,得．所以．〔Ⅱ由得,由〔Ⅰ知,故AB×AC=65,又,故,．所以．点评：本题主要考查了正弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用．属基础题．25．〔2014•XX如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=．〔Ⅰ求cos∠CAD的值；〔Ⅱ若cos∠BAD=﹣,sin∠CBA=,求BC的长．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：〔Ⅰ利用余弦定理,利用已知条件求得cos∠CAD的值．〔Ⅱ根据cos∠CAD,cos∠BAD的值分别,求得sin∠BAD和sin∠CAD,进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值,最后利用正弦定理求得BC．解答：解：〔Ⅰcos∠CAD===．〔Ⅱ∵cos∠BAD=﹣,∴sin∠BAD==,∵cos∠CAD=,∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin〔∠BAD﹣∠CAD=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=,∴由正弦定理知=,∴BC=•sin∠BAC=×=3点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用,三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．26．〔2014•南海区模拟已知函数〔其中ω为正常数,x∈R的最小正周期为π．〔1求ω的值；〔2在△ABC中,若A＜B,且,求．考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；y=Asin〔ωx+φ中参数的物理意义．专题：计算题．分析：〔1先借助诱导公式把角化成相同的角,即sin〔ωx+=cos[﹣〔ωx+]=cos[〔ωx+﹣]=cos〔ωx﹣,然后借助二倍角公式化成一个角一个函数的形式根据周期公式即可求出ω的值．〔2由三角函数值为可求出相应的两个