高中数学必修一第一章集合与函数概念综合素能检测与解析

..高中数学必修一第一章集合与函数概念综合素能检测及解析本试卷分第Ⅰ卷<选择题>和第Ⅱ卷<非选择题>两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷<选择题共60分>一、选择题<本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的。>1．已知集合A＝{0,1,2,3,4,5},B＝{1,3,6,9},C＝{3,7,8},则<A∩B>∪C等于<>A．{0,1,2,6,8}B．{3,7,8}C．{1,3,7,8}D．{1,3,6,7,8}[答案]C[解析]A∩B＝{1,3},<A∩B>∪C＝{1,3,7,8},故选C.2．<09·XX文>定义在R上的偶函数f<x>满足：对任意的x1,x2∈[0,＋∞><x1≠x2>,有eq\f<f<x2>－f<x1>,x2－x1><0,则<>A．f<3><f<－2><f<1>B．f<1><f<－2><f<3>C．f<－2><f<1><f<3>D．f<3><f<1><f<－2>[答案]A[解析]若x2－x1>0,则f<x2>－f<x1><0,即f<x2><f<x1>,∴f<x>在[0,＋∞>上是减函数,∵3>2>1,∴f<3><f<2><f<1>,又f<x>是偶函数,∴f<－2>＝f<2>,∴f<3><f<－2><f<1>,故选A.3．已知f<x>,g<x>对应值如表.x01－1f<x>10－1x01－1g<x>－101则f<g<1>>的值为<>A．－1B．0C．1D．不存在[答案]C[解析]∵g<1>＝0,f<0>＝1,∴f<g<1>>＝1.4．已知函数f<x＋1>＝3x＋2,则f<x>的解析式是<>A．3x＋2B．3x＋1C．3x－1D．3x＋4[答案]C[解析]设x＋1＝t,则x＝t－1,∴f<t>＝3<t－1>＋2＝3t－1,∴f<x>＝3x－1.5．已知f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2x－1<x≥2>,－x2＋3x<x<2>>>,则f<－1>＋f<4>的值为<>A．－7B．3C．－8D．4[答案]B[解析]f<4>＝2×4－1＝7,f<－1>＝－<－1>2＋3×<－1>＝－4,∴f<4>＋f<－1>＝3,故选B.6．f<x>＝－x2＋mx在<－∞,1]上是增函数,则m的取值范围是<>A．{2}B．<－∞,2]C．[2,＋∞>D．<－∞,1][答案]C[解析]f<x>＝－<x－eq\f<m,2>>2＋eq\f<m2,4>的增区间为<－∞,eq\f<m,2>],由条件知eq\f<m,2>≥1,∴m≥2,故选C.7．定义集合A、B的运算A*B＝{x|x∈A,或x∈B,且x∉A∩B},则<A*B>*A等于<>A．A∩BB．A∪BC．AD．B[答案]D[解析]A*B的本质就是集合A与B的并集中除去它们的公共元素后,剩余元素组成的集合．因此<A*B>*A是图中阴影部分与A的并集,除去A中阴影部分后剩余部分即B,故选D.[点评]可取特殊集合求解．如取A＝{1,2,3},B＝{1,5},则A*B＝{2,3,5},<A*B>*A＝{1,5}＝B.8．<XX梅县东山中学2009～2010高一期末>定义两种运算：ab＝eq\r<a2－b2>,a⊗b＝eq\r<<a－b>2>,则函数f<x>＝为<>A．奇函数B．偶函数C．奇函数且为偶函数D．非奇函数且非偶函数[答案]A[解析]由运算与⊗的定义知,f<x>＝eq\f<\r<4－x2>,\r<<x－2>2>－2>,∵4－x2≥0,∴－2≤x≤2,∴f<x>＝eq\f<\r<4－x2>,<2－x>－2>＝－eq\f<\r<4－x2>,x>,∴f<x>的定义域为{x|－2≤x<0或0<x≤2},又f<－x>＝－f<x>,∴f<x>为奇函数．9．<08·天津文>已知函数f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋2,x≤0,,－x＋2,x>0,>>则不等式f<x>≥x2的解集为<>A．[－1,1]B．[－2,2]C．[－2,1]D．[－1,2][答案]A[解析]解法1：当x＝2时,f<x>＝0,f<x>≥x2不成立,排除B、D；当x＝－2时,f<x>＝0,也不满足f<x>≥x2,排除C,故选A.解法2：不等式化为eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x≤0,x＋2≥x2>>或eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x>0,－x＋2≥x2>>,解之得,－1≤x≤0或0<x≤1,即－1≤x≤1.10．调查了某校高一一班的50名学生参加课外活动小组的情况,有32人参加了数学兴趣小组,有27人参加了英语兴趣小组,对于既参加数学兴趣小组,又参加英语兴趣小组的人数统计中,下列说法正确的是<>A．最多32人B．最多13人C．最少27人D．最少9人[答案]D[解析]∵27＋32－50＝9,故两项兴趣小组都参加的至多有27人,至少有9人．11．设函数f<x><x∈R>为奇函数,f<1>＝eq\f<1,2>,f<x＋2>＝f<x>＋f<2>,则f<5>＝<>A．0B．1C.eq\f<5,2>D．5[答案]C[解析]f<1>＝f<－1＋2>＝f<－1>＋f<2>＝eq\f<1,2>,又f<－1>＝－f<1>＝－eq\f<1,2>,∴f<2>＝1,∴f<5>＝f<3>＋f<2>＝f<1>＋2f<2>＝eq\f<5,2>.12．已知f<x>＝3－2|x|,g<x>＝x2－2x,F<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<g<x>,若f<x>≥g<x>,,f<x>,若f<x><g<x>.>>则F<x>的最值是<>A．最大值为3,最小值－1B．最大值为7－2eq\r<7>,无最小值C．最大值为3,无最小值D．既无最大值,又无最小值[答案]B[解析]作出F<x>的图象,如图实线部分,知有最大值而无最小值,且最大值不是3,故选B.第Ⅱ卷<非选择题共90分>二、填空题<本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上>13．<2010·XX,1>设集合A＝{－1,1,3},B＝{a＋2,a2＋4},A∩B＝{3},则实数a＝________.[答案]－1[解析]∵A∩B＝{3},∴3∈B,∵a2＋4≥4,∴a＋2＝3,∴a＝－1.14．已知函数y＝f<n>满足f<n>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2<n＝1>,3f<n－1><n≥2>>>,则f<3>＝________.[答案]18[解析]由条件知,f<1>＝2,f<2>＝3f<1>＝6,f<3>＝3f<2>＝18.15．已知函数f<x>＝eq\r<2－ax><a≠0>在区间[0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是________．[答案]<0,2][解析]a<0时,f<x>在定义域上是增函数,不合题意,∴a>0.由2－ax≥0得,x≤eq\f<2,a>,∴f<x>在<－∞,eq\f<2,a>]上是减函数,由条件eq\f<2,a>≥1,∴0<a≤2.16．国家规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．某人出版了一本书,共纳税420元,则这个人的稿费为________．[答案]3800元[解析]由于4000×11%＝440>420,设稿费x元,x<4000,则<x－800>×14%＝420,∴x＝3800<元>．三、解答题<本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤>17．<本题满分12分>设集合A＝{x|a≤x≤a＋3},集合B＝{x|x<－1或x>5},分别就下列条件求实数a的取值范围：<1>A∩B≠∅,<2>A∩B＝A.[解析]<1>因为A∩B≠∅,所以a<－1或a＋3>5,即a<－1或a>2.<2>因为A∩B＝A,所以A⊆B,所以a>5或a＋3<－1,即a>5或a<－4.18．<本题满分12分>二次函数f<x>的最小值为1,且f<0>＝f<2>＝3.<1>求f<x>的解析式；<2>若f<x>在区间[2a,a＋1]上不单调,求a的取值范围．[解析]<1>∵f<x>为二次函数且f<0>＝f<2>,∴对称轴为x＝1.又∵f<x>最小值为1,∴可设f<x>＝a<x－1>2＋1<a>0>∵f<0>＝3,∴a＝2,∴f<x>＝2<x－1>2＋1,即f<x>＝2x2－4x＋3.<2>由条件知2a<1<a＋1,∴0<a<eq\f<1,2>.19．<本题满分12分>图中给出了奇函数f<x>的局部图象,已知f<x>的定义域为[－5,5],试补全其图象,并比较f<1>与f<3>的大小．[解析]奇函数的图象关于原点对称,可画出其图象如图．显见f<3>>f<1>．20．<本题满分12分>一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别为40cm与60cm现将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,问怎样剪法,才能使剩下的残料最少？[解析]如图,剪出的矩形为CDEF,设CD＝x,CF＝y,则AF＝40－y.∵△AFE∽△ACB.∴eq\f<AF,AC>＝eq\f<FE,BC>即∴eq\f<40－y,40>＝eq\f<x,60>∴y＝40－eq\f<2,3>x.剩下的残料面积为：S＝eq\f<1,2>×60×40－x·y＝eq\f<2,3>x2－40x＋1200＝eq\f<2,3><x－30>2＋600∵0<x<60∴当x＝30时,S取最小值为600,这时y＝20.∴在边长60cm的直角边CB上截CD＝30cm,在边长为40cm的直角边AC上截CF＝20cm时,能使所剩残料最少．21．<本题满分12分><1>若a<0,讨论函数f<x>＝x＋eq\f<a,x>,在其定义域上的单调性；<2>若a>0,判断并证明f<x>＝x＋eq\f<a,x>在<0,eq\r<a>]上的单调性．[解析]<1>∵a<0,∴y＝eq\f<a,x>在<－∞,0>和<0,＋∞>上都是增函数,又y＝x为增函数,∴f<x>＝x＋eq\f<a,x>在<－∞,0>和<0,＋∞>上都是增函数．<2>f<x>＝x＋eq\f<a,x>在<0,eq\r<a>]上单调减,设0<x1<x2≤eq\r<a>,则f<x1>－f<x2>＝<x1＋eq\f<a,x1>>－<x2＋eq\f<a,x2>>＝<x1－x2>＋eq\f<a<x2－x1>,x1x2>＝<x1－x2><1－eq\f<a,x1x2>>>0,∴f<x1>>f<x2>,∴f<x>在<0,eq\r<a>]上单调减．22．<本题满分14分>设函数f<x>＝|x－a|,g<x>＝ax.<1>当a＝2时,解关于x的不等式f<x><g<x>．<2>记F<x>＝f<x>－g<x>,求函数F<x>在<0,a]上的