《微分几何》考试试卷与参考答案

学习资料收集于网络，仅供参考学习资料收集于网络，仅供参考《微分几何》结业考试试卷题号题号一二三四总分得分密（，错误打×。每题2分，共10分）姓名 1、等距变换一定是保角变. （ ）姓2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确. （ ）3二微方A(u,v)du22B(u,v)dudvB(u,v)dv20总示上两曲.（ ）4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短. （ ）次 5坐标曲线网是正交网的充要条件是F0这里F是第一基本. （ 层封 二填空题（每空3分，共33分）1、已知r{cos3x,sin3x,cos2x}，0x2

，则 ， ， ， ， .

2、已知曲面的第一基本形式为Iv(du2dv2)，v0，求坐标曲线的测地曲率.2、已知曲面r{ucosi,0，0v业 2

，则它的第一基本形式专 为 ，第二基本形式为 ，高斯曲率K 平均曲率H 点) 处沿方向du:dv2线 的法曲率 ，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为 三计算题（每小题12分，共24分）1、求曲面zx3y3的渐近曲线.校学读报学习资料314学习资料收集于网络，仅供参考学习资料收集于网络，仅供参考学习资料学习资料（每小题11分，共33分）1、设空间两条曲线和C的曲率处处不为零，若曲线和C对应点的主法线互相平行，求证曲线和C.3、问曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线吗？为什么？2、给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角.求证是一条平面曲线.《微分几何》参考答案一、判断题：1. 2. 3. 4. 5.二、填空题：①1{3cosx,3sinx,4} ②{sinx,cosx,0} ③1{4cosx,4sinx,3}

线的测地曲率 gu

v2E Gv2E G2v vu2G E

1

（8分）5④ 625sin2x

⑤ 825sin2x

5⑥du2(u236)dv2

12

u2u236

线的测地曲率 gv四、综合题：

0 （12分）⑧ 36(u236)2

⑨0

241517

37 11

6,63737

1.设空间两条曲线和C的曲率处处不为零，若曲线和C可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线和C在对应点的切线夹固定角三、计算题：1、求曲面zx3y3的渐近曲线. 证设:rr(s)，:rr(s)，则由//知，解设r{u,v,u3v3}

rr 1

从而0，0

d9u49v49u49v41vu

dsds

0则ru2}ru

{0,1,3v2}，n

|rr|u v

{3u2,3v2,1}

constant，即 cos, Cr {0,0,6u}，ruu

0，rvv

{0,0,6v}6u

这表明曲线和C在对应点的切线夹固定角. （11分）9u49v41L9u49v41uu

9u49v41

，Mnruv

0，Nnr vv

（6分）

给出曲面上一条曲率线，设法向量成定角.求证是一条平面曲线.因渐近曲线的微分方程为 Ldu22MdudvNdv20 证设:rr(u,v)，:uu(s),vv(s)，其中s是的自然参数，记即udu2vdv2或udu vdv0

rn，则rncos，两边求导，得nrdnds

0， （4分） 渐近曲线为u3v3C或 (u)3v3C

（12分）

由为曲率线知dn//dr

dn//d

，因此nrdnr dr0 。2 2 2 21 2

ds ds

ds n ds若 0，则为平面曲线； （6分）2Iv(du2dv2v0，求坐标曲线的测地

若n0，则因为曲面上的一条曲率线，故dnn

dr.而曲率.解EGvF0

0，

1 （4分

nn0，所以dn0，即n为常向量.于是为平面曲线.（11分）n问曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的u v 曲线是测地线吗？为什么？答：曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上曲线是测地线. （3分）事实上，设:ui

du1 du2 ui(s) (i 1,2)，则的切向量为 r du

du2

1ds

2 ds记a1 ，a2 ，da1 aiduj，Da2da2ds ds ij

2aidujiji,j i,j则曲线的