宁夏银川一中2020届高三数学第一次模拟考试试题 理

1515宁夏银川一中2020届高三数学第一次模拟考试试题理本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22〜23题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2•选择题答案使用2B铅笔填涂如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域（内黑色线框）作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．已知复数z=3^i—2i（其中i为虚数单位），贝9|z|=A.3、吕B.3翻C.2込D.2竝设集合A=｛（x,y）|x2+y2=1｝，B=｛（x,y）|y=3x｝，贝VAnB的子集的个数是A.4B.3C.2D.1古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为A.20313B.A.20313B.58C—D.4.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面开始J4.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面开始J5.直观图AA，BzC的面积为A.C.阅读程序框图,如果输出的函数值在区间I；1】内,/输Ajc/则输入的实数X的取值范围是A.(—^,—2]B.[-2,-1]C.[—1,2]D.[2,+^)6.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的/输恥)/甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是A.2日和5日B.5日和6日C.6日和11日D.2日和11日x—y+220.9.设x,y满足条件<3x—y—6W0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,、x±0.y±0.32贝唁+b的最小值为25811A.百B.63C§D.4x2y2设F1‘匚是双曲线arbr1(a〉°,b>°)的左、右两个焦点’若双曲线右支上存在一点p，使(OP+OF2使(OP+OF2)・呼=°(°为坐标原点),且|PFJ=\$|PF2|A.牛B.辺+1C.\：‘3+12则双曲线的离心率为D.-3+111.在△ABC11.在△ABC中,AB•就BC・CACA・AB3=2=1贝sinA：sinB：sinC=A.5:3:4B.5:4:3C.\；5：$3:2D."寸5:2:\13若函数f(x)=X3—3x在(a,6—a2)上有最小值，贝V实数a的取值范围是A.(—5,1)B.[—\：5,1)C.[—2,1)D.(—\：5,—2]第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题〜第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.若a=log3,则2a+2-a=,414.—\3cos2x14.—\3cos2x,nn(才wxWy)的值域为.已知圆x2+y2=4,B(1,1)为圆内一点，P,Q为圆上动点，若PBQ=90。，则线段PQ中点的轨迹方程为.设0为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p〉0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|,贝直线0M的斜率的最大值为.三•解答(本小题满分12分)设S为数列｛a｝的前n项和，已知a>0,a^+2a=4S+3.nnnnnn求｛a｝的通项公式：n设匕=占，求数列｛b｝的前n项和.naannn+1(本小题满分12分)人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：幸福感指数[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10]男居民人数1020220125125女居民人数10101801751250.250.200,150.250.200,150.100,052—4—6——指数在相应小矩形边的最上面)，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；若居民幸福感指数不小于6,则认为其幸福.为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人都感到幸福)的对数，求X的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率).(本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，PA丄面ABCD,AD〃BC,ZBAD=90°,AC丄BD,BC=1,AD=PA=2,E,F分别为PB,AD的中点.(1)证明：AC丄EF；(2)求直线EF与平面PCD所成角的正弦值.(本小题满分12分)x2y2、J3已知椭圆一+1=1(a>b>0)的离心率e二，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面a2b22积为4.求椭圆的方程.设直线1与椭圆相交于不同的两点A,B，已知点A的坐标为(一。,0)，点Q(0,岭)在线段AB的垂直平分线上，且QA•QB=4，求的值.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lnx—ax2+(a—2)x.⑴若f(x)在x=l处取得极值，求a的值；(2)求函数y=f(x)在a]上的最大值.请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程，x=2+2cosa，在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为｛2为参数)，曲线C的1[y=2sina比较比较|1-4abl与2la-bl的大小，并说明理由.，x=2cosB，参数方程为｛cr•a(B为参数)，以0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.y=2+2sinB求曲线C和曲线C的极坐标方程；12nnn已知射线l：。=a(0〈a〈丁)，将射线l顺时针旋转石得到射线l：9=a—^，121626且射线l与曲线C交于0,P两点，射线l与曲线C交于0,Q两点，求|0P|・|0Q|的最大值.1122(本小题满分10分)选修4—5；不等式选讲.设不等式-2vlx-11-1x+2lv0的解集为M,且a,beM证明:—a+丄bv丄；364宁夏银川一中2020届高三第一次模拟数学(理科)参考答案及评分标准．选择1.B解:10z=1.B解:10z=3+i10(3-i)(3+i)(3-i)—2i=3—i—2i=3—3i,则|z|=3^2，故选B.A解：•.•集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=3x}・：X2+y2=1圆和指数函数y=3x图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A「A2则AnB的子集应为，{A1},{A2},{A1，a(25—1)2—1a(25—1)2—1A解：设这女子每天分别织布a尺，则数列{a}是等比数列，公比q=2.贝nn5520=5,解得%=31・・•&3=五^22=31・故选A.4.D［解析］如图①、②所示的平面图形和直观图.1、[3由②可知，A'B'=AB=4.D［解析］如图①、②所示的平面图形和直观图.1、[3由②可知，A'B'=AB=a,O'C'=qOC=丁a,在图②中作丄Nx②C'D'丄A'B'于D',贝yC'D'==^86a.AS8△A'B'C=|a'bz•C'D'=2乙66XaX‘a=a2.8165.B［解析］该程序的作用是计算分段函数5.B［解析］该程序的作用是计算分段函数f(x)=2，xG[—2,2]xG(—8,—2)U(2,+^)—1］，故选B.的函数值.又T输出的函数值在区间〔4，勺内，A—1］，故选B.C解：由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的，圆锥的底面半径为2,高为2,・•・圆锥的母线长为2范・•・几何体的平面部分面积为6X42-nX22=96-4n.圆锥的侧面积为nX2X2“』2=4j。n・・几何体的表面积为96-4"+4\运n.故选C.2D［解析］因为有且只有两个年级选择甲博物馆，所以参观甲博物馆的年级有C6种情况，其余年级均有5种选择，所以共有54种情况，根据乘法原理可得C6X54种情况，故选D.C［解析］1〜12日期之和为78，三人各自值班的日期之和相等，故每人值班四天的日期之和是26，甲在1日和3日都有值班，故甲余下的两天只能是10号和12号；而乙在8日和9日都有值班，8+9=17，所以11号只能是丙去值班了.余下还有2号、4号、5号、6号、7号五天，显然，6号只可能是丙去值班了.

当直线ax+by=z(a〉O,b〉0)过直线x—y+2=0与直线3x—y—6=0的交点(4,6)时，目标函数z=ax+by(a〉O,b>0)取得最大值12,.•・4a+6b=12,即2a+3b=6.3,2z3,22a+3b13,2z3,22a+3b1•••a+b=(a+b)・厂=6(12+計£)三4,当且仅当I"3即a3即a=2,b=1时,等号成立••••：+£的最小值为4,故选D.10.D［解析］2V|PF1|=/3|PF2|,AZPF.F2=30°.由双曲线的2aV(OP+OF)・FP=0,A(010.D［解析］2V|PF1|=/3|PF2|,AZPF.F2=30°.由双曲线的2a2222c=0F=c=0F,.・PF丄PF,RtAPFF中，211212定义得PF1—PF2=2a，・・・PF2=备，sin30°=2=》=£^=c^—y,・・・2a=c(\；3—c1),・・・-=V3+1,故选D.a1C［解析］由条件利用两个向量的数量积的定义可得2a2+2c2—2b2=3a2+3b2—3c2=6b2+6c2—6a2=k,由此求得a、b、c的值,利用正弦定理可得sinA：sinB：sinC的值.解:△△ABC中，TAB•就就•丛CA•胚cos(n—C)=AB^BC・cos(n—Bcos(n—C)=CA・AB・1cos(n—A)口ac•cosBab•cosCbc•cosA,a2+c2—b2aba2+b2—C22ac22abb2C2—a2bc2bc，即2a2+2c2—2b2=3a23b2—3c2=6b2+6c2—6a2,设2a2+2c2—2b2=3a2+3b2—3c2=6b2+6c2—6a2=k,求得a2=5k,b2=3k,C2=4k,・.a=\；5k,b=\：3k,c=\/4k=2冷k,・由正弦定理可得a：b：c=sinA：sinB：sinC=\：5:\；3:2,故选C.C［解析］f'(x)=3x2—3=0,解得x=±1,且x=1为函数的极小值点，x=—1为函数的极大值点.因为函数f(x)在区间(a,6—a2)上有最小值，所以函数f(x)的极小值点必在区间(a,6—a2)内，即实数a满足a<1<6—a2,且f(a)=a—3a三f(1)=—2.由a<1<6—a2,解得一\'5〈a〈1.不等式a=2—3a三f(1)=—2,所以a3—3a+220,所以a3—1—3(a—1)三0,所以(a—1)(a2+a—2)20,所以(a—1)2(a+2)20,即a三一2.故实数a的取值范围是［—2,1).故选=2•填空13.［解析］原式13.［解析］原式=24石3.14..［解析］依题意，f(x)=1—cos2(^+x)—冷3cos2x=sin2x—\'‘3cos2x+1=nnnnn2n1n2sin(2x—3)+1.当TWxWq时，石W2x—亍冬丁，14..［解析］依题意，f(x)=1—cos2(^+x)—冷3cos2x=sin2x—\'‘3cos2x+1=nnnnn2n1n2sin(2x—3)+1.当TWxWq时，石W2x—亍冬丁，^WsinQx—亍)冬1,此时f(x)的值是［2，3］15.解。设PQ的中点为N(x',y‘).在RtAPBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点,连接ON,则ON丄PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以X，汁y‘2+(x，－1)2+(y'—l)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2—x—y—l=0.t2p16.［解析］设P(2p，t),易知F(2,0),则由|PM|=2|MF|,t2得M(竿3),当t=0时，直线0M的斜率k=0,当tM0时，直线0M的斜率k=」Piti¥，当且仅当亍=曙时取等号，于是直线0m的斜率的最大值呻,11|2p三．解答17．(本小题满分12分)［解析］⑴根据数列的递推关系，利用作差法即可求｛a｝的通项公式:n(2)求出b=亠，利用裂项法即可求数列｛b｝的前n项和.nnaann+1解：(1)由a^+2a=4S+3,可知a2+2a=4S+310分nnnn+1n+1n+1两式相减得—a2+2(a—a)=4a,n+1nn+1nn+12分即2(a+a)=a2—a2=(a+a)(a—a),n+1nn+1nn+1nn+1nVa>0,n.a—a=2,n+1nVa2+2a=4a+3,.°.a=—1(舍)或a=3,111114分则｛a｝是首项为3,公差d=2的等差数列,n.*.{a}的通项公式a=3+2(n—1)=2n+1:nn6分(2)Va=2n+1,.bn==()aa(2n+1)(2n+3)22n+12n+3nn+18分.数列｛b｝的前n项和nTn=2Tn=2(3—5+5—7+…十2n+12n+3)=l(!—^)=3(2n+3)-12分(本小题满分12分)［解析］⑴频率分布直方图如图所示•所求的平均值为0.01X2X1+0.015X2X3+0.2X2X50.15X2X70.125X2X96.46.2分0.2X2X50.15X2X70.125X2X96.46.2分0.250.20O频率d；IT]S-；-E-O'QOJO0.055分5分0.15尸0.250.20O频率d；IT]S-；-E-O'QOJO0.055分5分0.15尸125＋125⑵男居民幸福的概率为爲5=0・5，女居民幸福的概率为175＋125500=0.6，故一对夫妻都幸福的概率为0.5X0.6=0.3.因此X的可能取值为0,1,2,3,4,且X〜B(4,0.3),于是P(X=k)=CkX0.3k(l—0.3)4-k(k=0,l,2,3,4),X的分布列为4X01234P0.24010.41160.26460.07560.0081.•・E(X)=np=4X0.3=1.2.12分(本小题满分12分)解：(1)易知AB,AD,AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设AB=t,则相关各点的坐标为：A(0,0,0),B(t,0,0),C(t,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(2,0,1),F(0,1,0).从而EF=(—2,1,—1),At=(t,1,0),BD=(—t,2,0).因为AC丄BD，所以AC•BD=—12+2+0=0.解得七=丫2或七=—\；2(舍去).3分于是EF=(—平，1,—1),Ac=G，'2,1,0).5分因为立・EF=—1+1+0=0,所以AC丄EF,即AC丄ef5分(2)由(1)知,PC=^/2,1,—2),PD=(0,2,—2).设n=(x,y,z)是平面PCD的一个法向量，则P\,''2x+y—2z=0〔2y—2z=0令z=\：2，则n=(1,\；2,“J2).10分设直线EF与平面PCD所成角为0,贝9sin贝9sin0=|cosVn,EF>|=5.即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为5.12分(本小题满分12分)1分得3a2=4c2,1分再由c2=a再由c2=a2-b2,得a=2b,由题意可知，■—x2ax2b=4,即ab=2.2解方程组a=2bab=2得a=2,b=1，所以椭圆的方程为才+y2=1.2分3分4分(2)由(1)可知A(-2,0).设B点的坐标为(x,y)，直线l的斜率为k,1,1则直线l的方程为y=k(x+2),5分'y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组<x2—+y2=1，I4TOC\o"1-5"\h\z由方程组消去y整理，得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0,6分由-2x116k2-42由-2x11+4k2，得7—1+4k2，人—1+4k2设线段AB的中点为M,则M的坐标为(-厂备，占厂)-8分1+4k21+4k2以下分两种情况：(1)当k=0时，点B的坐标为(2,0).线段AB的垂直平分线为y轴，于是9分c*\fEk壬、(2)当k丰0时，线段9分c*\fEk壬、(2)当k丰0时，线段AB的垂直平分线方程为「-1k1+4肝10分令x=0，解得•「丄10分QAgQB=_2x1QAgQB=_2x1-y0(y1-yo)1+4k21+4k21+4k21+4k2=4(16k4+15k2-1)_4TOC\o"1-5"\h\z(1+4k2)2'11分12分.整理得7际烧21故故土星11分12分.综上yo=综上yo=土2Q或叮土誓.(本小题满分12分)［解析］⑴因为f(x)=lnx—ax2+(a—2)x，所以函数的定义域为(0,+s).所以f(x)J—2ax+@—2)=1—2诅+(a—2)x=—(2xT)(ax+Dxxx因为f(x)在乂=1处取得极值，即f(l)=一(2—l)(