《高中数学中分类思想的应用（论文）5200字》

第高中数学中分类思想的应用目录TOC\o"1-2"\h\u164151绪论 1321111.1研究目的 160701.2国内研究现状 248401.3研究内容 2166862分类思想及其特征 274162.1转化和划归思想 2172062.2数形结合思想 370053分类思想在高中数学中的应用 328663.1分类思想在高中函数中的应用 320503.2分类思想在高中几何中的应用 4197393.3分类思想在高中数列中的应用 5107274结论 613098参考文献 6摘要：分类讨论思想是重要的数学思想方法之一，不仅可以指导学生有效地解题，更能有效地提高学生思考问题的条理性，严谨性，缤密性，完整性，促进学生思维能力的发展和数学素养的提高，因此，开展分类讨论思想的研究和应用，具有重要的意义。本文通过对分类思想的分析，总结出了分类思想的特点以及其在高中数学中的几种应用，期望能够对高中数学的教学发展有一定的促进作用。关键词：分类思想；高中属性；应用1绪论1.1研究目的数学思想方法是数学知识的精髓，是解决数学问题和其他问题的金钥匙。开展分类讨论思想在高中数学中的研究与应用，不仅有利于教师教学水平的整体提高，更会对学生的学习有良好的促进作用。其中(1)在教师方面，现代教学教育论认为：数学知识本身是非常重要的，但是对学生后续的学习起到长期作用的是数学思想方法。因此，教师在平时的教学中，不仅要注重基础知识、基本技能的讲授，更要把数学思想方法在平时教学中的渗透作为重点。但是，部分教师在平常的教学中，对教材的把握并不是那么精准，以至于对分类讨论思想的讲解不到位，渗透不及时，这对学生全面理解分类讨论思想是没有益处的。通过本文的工作，将有利于教师对分类讨论思想的整体理解，从而有利于教师在平时的教学中逐步渗透分类讨论思想，提高教师的教学水平和教学效果。(2)在学生方面，经过初中的学习，高中生虽然具备一定的分类讨论知识，但他们所知道的分类讨论方面的知识却是零散的，模糊不清的。例如，很多学生对分类讨论的原则，分类讨论的步骤以及分类讨论的结论作答方式还不是特别清楚。通过本文的工作，可以让学生懂得分类讨论的实质是:“化整为零，各个击破，再积零为整，不仅可以让学生掌握解题的方法，更可以培养学生的发散性思维能力和创新能力，对全面提升学生的数学素养具有良好的促进作用。1.2国内研究现状对于数学思想方法的研究，尤其是对分类讨论思想方法的研究并不是外国的专利。分类讨论思想在我国古典数学的建立与发展过程中已经起到了重要的作用，这一思想方法集中体现在我国古代最早的数学著作《九章算术》中。首先，《九章算术》书名的由来就是分类讨论思想最直接的体现。它把与口常生产、生活有关的246个问题按照性质和解法的不同划分为九类。另外，《九章算术》第八章“方程”中首次引进并使用了负数，在人类历史上第一次扩充了数系，使“数”有了更加合理的分类，第二章“粟米”中用其率术与反其率术分类探讨了两个不定方程的求解等等，这一系列问题都是分类讨论思想的具体应用。在近些年，我国数学家，数学教育家也在孜孜不断地进行着数学思想方法方面的研究工作，并且取得了一系列优秀的成果。我国数学方法论的倡导者，著名数学家徐利治教授在1983年发表了《数学方法论选讲》，并提出了许多独到的见解，为我国数学思想方法的研究作了开创性和奠基性的工作。1985年郑毓信教授出版了《数学方法论入门》，为进一步推动数学思想方法的研究作了积极的贡献101989年，王仲春，李元中，顾莉蕾教授等出版了《数学思维与数学方法论》，对数学思维以及数学思想方法进行了系统的论述。1990年，朱学志，周金才，高沛田教授出版《数学的历史，思想和方法》阐述了数学思想方法并对其演变进行了分析。进入21世纪，探讨数学思想方法的论文更是层出不穷，相应地，也有一部分专家，学者和一线教师也在进行着数学方法论与教学实践的探究，旨在促进我国教育教学质量的提高。1.3研究内容为了更清晰地了解学生学习分类讨论思想时的现状并探究对学生分类讨论思想理解与运用水平产生影响的因素，以便指导学生更好地理解和运用分类讨论思想，本文基于分类讨论思想理论分析，归纳出了分类思想的特征何其在高中数学中的应用。2分类思想及其特征2.1转化和划归思想所谓转化与化归思想，是指通过一系列的转化与化归，把待解决的问题转化为在已有范围内可解的问题的一种思维方式国。转化与化归思想的实质就是把待解决的问题转化为已解决或易解决的问题。转化与化归思想是高中数学中十分重要的数学思想。除极个别比较简单的数学问题外，每个问题的解决都离不开转化与化归思想。在高中数学中，常用到以下转化形式:陌生与熟悉的转化、函数与方程的转化、数与形的转化、空间与平面的转化、变量与常量的转化、抽象与具体的转化等等回。我们在转化问题时，可以转化它的条件，也可以转化它的结论，也可以条件结论同时转化。同样，可以等价转化，也可以非等价转化。若在迫不得已的情况下进行非等价转化时，应加上与之相应的附加条件，以保持转化的等价性，或者对所得的结论作必要的验证。我们在进行转化与化归时应注意以下五条原则：(1)熟悉化原则高中生经过一定时间的学习，已经熟练掌握了一些问题的解法。将陌生的问题转化为学生熟悉的问题，有利于学生用已熟悉的知识和经验来解决陌生的问题。(2)简单化原则复杂问题往往是由与之相关联的一个个简单问题发展而来的，将复杂问题转化为简单问题，便于引导学生找到解决问题的方法。(3)和谐统一性原则化归应尽量使要解决的问题在表现形式上更趋于和谐，在量、形、关系方面更趋于统一，使问题的条件、结构与结论表现得更匀称和恰当。我们把这一原则称为和谐统一性原则。例如，分数(式)的加减运算要化为同分母的分数(式)相加减，就是这一原则的简单体现。(4)具体化原则将抽象的问题转化为比较熟悉的问题，可以使学生更容易把握其中的数量关系，从而更加有利于问题的解决。(5)正难则反原则当一个数学问题从正面解决比较困难或者无法取得进展时，可考虑从问题的反面出发，从而使问题得以解决。用反证法证明数学问题就是这一原则的具体体现。2.2数形结合思想数形结合是将抽象的数学语言与直观的图形结合，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而优化解题途径。数形结合作为高中数学中一种重要的思想方法，在学生平时的学习以及高考中都得到了广泛的应用。数形结合思想方法的应用形式主要有以下三种:(1)“从数到形，以形助数”。对于给定的纯代数问题，根据已知条件画出相应的图形，使图形能够充分反映出相应的数量关系，从而可以简捷地解决问题。虽然用图形分析问题可以使问题变得更加简单，但要注意，画图的时候应力求准确，观察图形应力求仔细，否则，会导致不必要的失误，甚至错误。“由形到数”的转化一般比较明显，而“由数到形”的转化往往需要转化的意识，因此，“由数到形”的转化是高中数学中数形结合思想教学的重点。(2)“从形到数，以数助形”。即根据图像的特征，列出相应的数量关系式，用代数方法解决相应的几何问题。(3)“数形结合，相互转化，相互补充”。对于一些复杂的问题，如果只单独的从以上二者之一进行考虑，问题就会难以解决。此时，就需要“数”与“形”相互结合，相互转化。3分类思想在高中数学中的应用3.1分类思想在高中函数中的应用函数是高中数学的重头戏，其变化方式更是灵活多变。因此，针对函数内容所开展的教学活动向来是很受教师们重视的。学生们如果能够将函数部分的知识内容掌握到位，必将为整个高中数学学习奠定基础，稳固半壁江山。既然函数问题形式多样，内容繁杂，逐个记忆研究自然是不现实的。如果能够找到方法，统一适用，必定可以让函数知识的学习过程事半功倍。例如，在对函数知识进行延伸时，为学生们设计了这样一道题目:关于x的方程ax=-x2+2x+a(a>0且a≠1)有多少个解?学生们的初步思路形成都是很顺利的，即分别构造函数y=ax和y=-x2+2x+a，通过确定两个函数图像的交点个数来得出最后答案。而难点就在于交点个数应当如何确定。由于字母a的存在，使得函数)=a`的单调性并不唯一为此，就需要分a>1和0<a<1两种情况进行讨论，综合考虑二者结论得出题目的最终答案。经过分别作图(如图3-1和图3-2所示)发现，两个函数的交点数量始终为2个，答案得以确定。通过这个练习，学生们找到了借助分类讨论的方法来对函数问题中的不确定部分进行把控的方式。图3-1图3-2说到函数问题的难度，很大程度上都会体现在问题内涵的灵活多变上。在很多比较复杂的函数问题中，经常会出现多种方向的可能性。这样一来，学生们的思维就很容易被这些可能性所打乱，造成分析解答的困难。如果学生们能够在函数问题的思考中掌握分类讨论的规律方法，便能坦然面对眼前的复杂局面，冷静分析，针对每一种可能性分别进行有效处理。3.2分类思想在高中几何中的应用分类讨论的规律方法并不仅仅适用于代数类问题，于几何问题当中同样应用广泛。既然是几何问题，就离不开图形的加入，图形之间的位置关系也就成为了很多问题的讨论焦点。然而，很多几何问题当中的条件叙述并不明确，也就为分类讨论方法的使用提供了前提基础。学生们既要善于从已知条件中发现多种可能性的存在，更要善于运用分类讨论的方法全面解答问题。例如，在一次阶段测验中曾经出现过这样一道平面几何题目:如图3所示，在平面直角坐标系中，有一个点C(1,0)，以它为圆心的圆与坐标纵轴相切，一条直线Z与该圆相切，切点为点D，且点A(-1,0)在这条直线上。(1)直线Z的解析式是什么?(2)直线Z上是否存在一个点P，使得△APC是一个等腰三角形?图3-3这道题目的正确率并不高，主要问题都出在第(2)问的解答上。对于△APC中的哪两条边等长，很多学生都是想当然地加以确定，而没有进行分类讨论。经过讲解，学生们意识到，对于这种不确定的题目条件，必须厘清思路，找准分类标准逐一进行讨论，方能保证结论的完整。具体至这道题，就应当根据点P,C,A分别为三角形顶点逐个进行讨论。很多比较复杂的几何问题，并不是在图形的层面上独立存在的，而是常常与方程、函数甚至数列等代数问题联系在一起。这样一来，就为当前的几何问题增加了很多分析的难度。特别是在条件氛围比较模糊的时候，学生们必须准确找到关键节点，并以之作为分类依据，对几何问题进行有效分析。 3.3分类思想在高中数列中的应用数列问题一直是高中生感到难度很大的数学问题之一虽然从概念与公式的角度来看，数列问题的内容明确清晰，但是，真正进入到问题解答环节时，便会发现，数学问题的变化方式着实灵活，综合程度也很高，对学生们的思维能力提出了相当强的要求一方面，学生们要将数列的基础知识掌握到位，融会贯通，另一方面，还要有能力对复杂问题进行条理清晰的分析，将每一种可能都考虑到位。例如，在数列内容的教学中，我特意引入了如下题目:数列{耐是一个等比数列，它的首项是2，公比是0.5，前n项和是Sn。(1)请用Sn来表示Sn+1；(2)能否找到合适的k与c，使得Sk+1很显然，第(2)问是学生们感到困难的地方，要使得条件成立，只需要c−(32Sk−2)c−Sk<0。由Sk=41−1对于数列问题的关注，不能仅仅集中在公式与定理的简单应用上，更要训练学生们在繁杂情形之下厘清头绪，寻找分析关键点的能力。当学生们能够站在一定的高度上来审视数列问题，及时发现其中的分析焦点之所在时，也就能够很好地确定解答方向及用力重点，解题过程自然顺利许多。4结论高中数学中的知识数量大，知识难度高，对学生们的学习能力提出了很高的要求。为了妥善应对各种知识内容，学生们必须学会用巧劲儿，从看似杂乱无章的内容要点当中找出共性，提炼总结，得出可以普适于多