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必修五基本不等式归纳教师版必修五基本不等式归纳教师版必修五基本不等式归纳教师版资料仅供参考文件编号：2022年4月必修五基本不等式归纳教师版版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：基本不等式

知识点：基本不等式

1．如果（当且仅当时取“=”号）.

2．如果（当且仅当时取“=”号）.

在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

①一正：函数的解析式中，各项均为正数；

②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。说明：利用基本不等式求条件最值的方法(1)消元法．通过代换消去其中一个变量，将其转化为求函数的最大(小)值问题．(2)配凑法．根据已知条件配凑基本不等式所满足的条件．(3)构造法．通过不等式的放缩将所给等量关系变为不等式．类型一：利用（配凑法）求最值

1．求下列函数的最大（或最小）值.

（1）求的最小值；解析：函数，由于，则，即有当且仅当即时，有最小值1若解析：

（3）解析：（4）若实数a,b满足a+b=2,求3a+3b的最小值。解析：因为，所以的最小值为6，当且仅当时等号成立。（5）设x,y满足x+4y=40,且x>0,y>0则lgx+lgy最大值是（）解析：因为所以。（6）已知lgx+lgy＝1，的最小值是______.解析：由得且即所以当且仅当即等号成立因此最小值为2。类型二：含“1”的式子求最值

2．已知且，求的最小值.

解析：∵∴，当且仅当时，等号成立则的最小值是16。变式1：若答案：变式2：求函数答案：9类型三：求分式的最值问题3.已知，求的最小值解析：∵∴当时取得等号∴最大值为3。变式1：求函数答案：变式2：求函数答案;类型四：求负数范围的最值问题4.解析:∵∴∴（当且仅当时取等号）故最大值为。变式1：求答案:的值域答案：变式3：已知答案：1类型五：利用转化思想和方程消元思想求最值例5.若正数a,b满足（1）ab的取值范围是（2）a+b的取值范围是解析：（1）∵正数满足，∴，即解得：，即，当且仅当时取等号，∵正数满足，∴，即，解得，当且仅当时取等号，∴变式1：若x，y>0满足答案：18变式2：已知x，y>0满足答案：4补充：正数满足，则的最小值是______解析：由得，再由为正数得所以当且仅当即时等号成立，所以最小值是。类型六：求参数范围运用基本不等式求参数取值范围的方法(1)若已知等式，则要用基本不等式进行放缩，得出不等式，解该不等式．(2)若已知不等式，则要先将字母参数分离出来，转化为求函数的最值(恒成立问题)，若a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min；若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max.而求函数的最值时可能用到基本不等式．例1：已知函数f(x)＝eq\f(x2＋ax＋11,x＋1)(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．解：对任意x∈N*，f(x)≥3，即eq\f(x2＋ax＋11,x＋1)≥3恒成立，即a≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8,x)))＋3.设g(x)＝x＋eq\f(8,x)，x∈N*，则x＋eq\f(8,x)≥4eq\r(2)，当且仅当x＝2eq\r(2)时取等号．又g(2)＝6，g(3)＝eq\f(17,3).g(2)>g(3)，所以g(x)min＝eq\f(17,3).所以－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8,x)))＋3≤－eq\f(8,3)，所以a≥－eq\f(8,3)，故a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，＋∞)).2.已知函数f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．解：f(x)＝4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)(x>0，a>0)，当且仅当4x＝eq\f(a,x)，即x＝eq\f(\r(a),2)时等号成立，此时f(x)取得最小值4eq\r(a).又由已知x＝3时，f(x)min＝4eq\r(a)，所以eq\f(\r(a),2)＝3，即a＝36.答案：363．设a>0，b>0，且等式eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)－eq\f(k,a＋b)＝0恒成立，求实数k的最小值．解：由于eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)－eq\f(k,a＋b)＝0，且a>0，b>0.所以k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋2.因为a>0，b>0，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋2≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2＝4，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b时，等号成立．因为等式eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)－eq\f(k,a＋b)＝0恒成立，所以k≥4.因此实数k的最小值为4. 4.若对任意x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，求a的取值范围．答案：作业1、设x,y为正数,则的最小值为(B)A.6B.9C.12D.152、若为实数，且，则的最小值是（B） （A）18 （B）6 （C） （D）3.设正数、满足，则的最大值是（C）4.已知a,b为正实数，且的最小值为（D） A． B．6 C．3－ D．3+5.设且则必有(B)(A)(B)(C)(D)6．下列结论正确的是 (B)A.当且时，B.时，C．当时，的最小值为2D.时，无最大值7.若，，，，则下列不等式成立的是（B）8.函数的最小值是1．9.已知两个正实数满足关系式,则的最大值是______2_______.10.已知，则的最大值是11.已知，且，则的最大值________12.若正数满足，则的取值范围是13.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：。（1）在该时段内，当汽