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文档简介

点差法求圆锥曲线的

中点弦的斜率求椭圆_x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1以点𝑃(𝑚,𝑛)为中点的弦𝐴𝐵的斜率。（𝑃在椭圆内部）

点差法求椭圆的中点弦.求椭圆_x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1以点𝑃(𝑚,𝑛)为中点的弦𝐴𝐵的斜率。（𝑃在椭圆内部）解：设𝐴(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B_,_x001A_𝑦_x001B_1_x001B_)，𝐵(_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_,_x001A_𝑦_x001B_2_x001B_)为弦𝐴𝐵的坐标.因为点𝐴、𝐵在椭圆上，所以_x001A__x001A__x001A__x001A_𝑥_x001B_1_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_1_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1_x001B__x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1_x001B__x001B_两式相减得_x001A_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_+𝑥_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_−𝑥_x001B_2_x001B_)_x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_−_x001A_(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_+𝑦_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_−𝑦_x001B_2_x001B_)_x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=0整理得_x001A_(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_+𝑦_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_−𝑦_x001B_2_x001B_)

_x001B_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_+𝑥_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_−𝑥_x001B_2_x001B_)_x001B_=−_x001A__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_因为_x001A_(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_−𝑦_x001B_2_x001B_)

_x001B_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_−𝑥_x001B_2_x001B_)_x001B_=_x001A_𝑘_x001B_𝐴𝐵_x001B_，_x001A_(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_+𝑦_x001B_2_x001B_)

_x001B_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_+𝑥_x001B_2_x001B_)_x001B_=_x001A_𝑘_x001B_𝑂𝑃_x001B_=_x001A_𝑛_x001B_𝑚_x001B_

求椭圆_x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1以点𝑃(𝑚,𝑛)为中点的弦𝐴𝐵的斜率。（𝑃在椭圆内部）解：设𝐴(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B_,_x001A_𝑦_x001B_1_x001B_)，𝐵(_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_,_x001A_𝑦_x001B_2_x001B_)为弦𝐴𝐵的坐标.因为点𝐴、𝐵在椭圆上，所以_x001A__x001A__x001A__x001A_𝑥_x001B_1_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_1_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1_x001B__x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1_x001B__x001B_两式相减得_x001A_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_+𝑥_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_−𝑥_x001B_2_x001B_)_x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_−_x001A_(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_+𝑦_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_−𝑦_x001B_2_x001B_)_x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=0整理得_x001A_(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_+𝑦_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_−𝑦_x001B_2_x001B_)

_x001B_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_+𝑥_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_−𝑥_x001B_2_x001B_)_x001B_=−_x001A__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_因为_x001A_(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_−𝑦_x001B_2_x001B_)

_x001B_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_−𝑥_x001B_2_x001B_)_x001B_=_x001A_𝑘_x001B_𝐴𝐵_x001B_，_x001A_(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_+𝑦_x001B_2_x001B_)

_x001B_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_+𝑥_x001B_2_x001B_)_x001B_=_x001A_𝑘_x001B_𝑂𝑃_x001B_=_x001A_𝑛_x001B_𝑚_x001B_

求椭圆_x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1以点𝑃(𝑚,𝑛)为中点的弦𝐴𝐵的斜率。（𝑃在椭圆内部）解：设𝐴(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B_,_x001A_𝑦_x001B_1_x001B_)，𝐵(_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_,_x001A_𝑦_x001B_2_x001B_)为弦𝐴𝐵的坐标.因为点𝐴、𝐵在椭圆上，所以_x001A__x001A__x001A__x001A_𝑥_x001B_1_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_1_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1_x001B__x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1_x001B__x001B_两式相减得_x001A_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_+𝑥_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_−𝑥_x001B_2_x001B_)_x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_−_x001A_(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_+𝑦_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_−𝑦_x001B_2_x001B_)_x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=0

求椭圆_x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1以点𝑃(𝑚,𝑛)为中点的弦𝐴𝐵的斜率。（𝑃在椭圆内部）解：设𝐴(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B_,_x001A_𝑦_x001B_1_x001B_)，𝐵(_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_,_x001A_𝑦_x001B_2_x001B_)为弦𝐴𝐵的坐标.因为点𝐴、𝐵在椭圆上，所以_x001A__x001A__x001A__x001A_𝑥_x001B_1_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_1_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1_x001B__x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1_x001B__x001B_两式相减得_x001A_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_+𝑥_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_−𝑥_x001B_2_x001B_)_x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_−_x001A_(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_+𝑦_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_−𝑦_x001B_2_x001B_)_x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=0整理得_x001A_(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_+𝑦_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_−𝑦_x001B_2_x001B_)

_x001B_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_+𝑥_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_−𝑥_x001B_2_x001B_)_x001B_=−_x001A__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_因为_x001A_(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_−𝑦_x001B_2_x001B_)

_x001B_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_−𝑥_x001B_2_x001B_)_x001B_=_x001A_𝑘_x001B_𝐴𝐵_x001B_，_x001A_(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_+𝑦_x001B_2_x001B_)

_x001B_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_+𝑥_x001B_2_x001B_)_x001B_=_x001A_𝑘_x001B_𝑂𝑃_x001B_=_x001A_𝑛_x001B_𝑚_x001B_

求椭圆_x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1以点𝑃(𝑚,𝑛)为中点的弦𝐴𝐵的斜率。（𝑃在椭圆内部）分析：要求的_x001A_𝑘_x001B_𝐴𝐵_x001B_=_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B_−_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001B__x001A_𝑥_x001B_2_x001B_−_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001B_，以及已知点𝑃的坐标(_x001A__x001A_𝑥_x001B_1_x001B_+_x001A_𝑥_x001B_2_x001B__x001B_2_x001B_,_x001A__x001A_𝑦_x001B_1_x001B_+_x001A_𝑦_x001B_2_x001B__x001B_2_x001B_)都与𝐴、𝐵两点坐标相关系，而且其结构符合平方差公式，而𝐴、𝐵两点的坐标都满足椭圆，由此想到将𝐴、𝐵两点代入椭圆方程并作差来构造_x001A_𝑘_x001B_𝐴𝐵_x001B_求椭圆_x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1以点𝑃(𝑚,𝑛)为中点的弦𝐴𝐵的斜率。（𝑃在椭圆内部）解：设𝐴(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B_,_x001A_𝑦_x001B_1_x001B_)，𝐵(_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_,_x001A_𝑦_x001B_2_x001B_)为弦𝐴𝐵的坐标.因为点𝐴、𝐵在椭圆上，所以求椭圆_x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1以点𝑃(𝑚,𝑛)为中点的弦𝐴𝐵的斜率。（𝑃在椭圆内部）解：设𝐴(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B_,_x001A_𝑦_x001B_1_x001B_)，𝐵(_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_,_x001A_𝑦_x001B_2_x001B_)为弦𝐴𝐵的坐标.因为点𝐴、𝐵在椭圆上，所以_x001A__x001A__x001A__x001A_𝑥_x001B_1_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_1_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1_x001B__x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1_x001B__x001B_点差法求椭圆的中点弦.求椭圆_x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1以点𝑃(𝑚,𝑛)为中点的弦𝐴𝐵的斜率。（𝑃在椭圆内部）解：设𝐴(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B_,_x001A_𝑦_x001B_1_x001B_)，𝐵(_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_,_x001A_𝑦_x001B_2_x001B_)为弦𝐴𝐵的坐标.因为点𝐴、𝐵在椭圆上，所以_x001A__x001A__x001A__x001A_𝑥_x001B_1_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_1_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1_x001B__x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1_x001B__x001B_两式相减得_x001A_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_+𝑥_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_−𝑥_x001B_2_x001B_)_x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_−_x001A_(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_+𝑦_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_−𝑦_x001B_2_x001B_)_x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=0

求椭圆_x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1以点𝑃(𝑚,𝑛)为中点的弦𝐴𝐵的斜率。（𝑃在椭圆内部）解：设𝐴(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B_,_x001A_𝑦_x001B_1_x001B_)，𝐵(_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_,_x001A_𝑦_x001B_2_x001B_)为弦𝐴𝐵的坐标.因为点𝐴、𝐵在椭圆上，所以_x001A__x001A__x001A__x001A_𝑥_x001B_1_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_1_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1_x001B__x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1_x001B__x001B_两式相减得_x001A_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_+𝑥_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_−𝑥_x001B_2_x001B_)_x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_−_x001A_(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_+𝑦_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_−𝑦_x001B_2_x001B_)_x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=0整理得_x001A_(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_+𝑦_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_−𝑦_x001B_2_x001B_)

_x001B_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_+𝑥_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_−𝑥_x001B_2_x001B_)_x001B_=−_x001A__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_求椭圆_x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1以点𝑃(𝑚,𝑛)为中点的弦𝐴𝐵的斜率。（𝑃在椭圆内部）解：设𝐴(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B_,_x001A_𝑦_x001B_1_x001B_)，𝐵(_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_,_x001A_𝑦_x001B_2_x001B_)为弦𝐴𝐵的坐标.因为点𝐴、𝐵在椭圆上，所以_x001A__x001A__x001A__x001A_𝑥_x001B_1_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_1_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1_x001B__x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1_x001B__x001B_两式相减得_x001A_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_+𝑥_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_−𝑥_x001B_2_x001B_)_x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_−_x001A_(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_+𝑦_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_−𝑦_x001B_2_x001B_)_x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=0整理得_x001A_(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_+𝑦_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_−𝑦_x001B_2_x001B_)

_x001B_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_+𝑥_x001B_2_x001B_)(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_−𝑥_x001B_2_x001B_)_x001B_=−_x001A__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_因为_x001A_(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_−𝑦_x001B_2_x001B_)

_x001B_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_−𝑥_x001B_2_x001B_)_x001B_=_x001A_𝑘_x001B_𝐴𝐵_x001B_，_x001A_(_x001A_𝑦_x001B_1_x001B__x001A_+𝑦_x001B_2_x001B_)

_x001B_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_+𝑥_x001B_2_x001B_)_x001B_=_x001A_𝑘_x001B_𝑂𝑃_x001B_=_x001A_𝑛_x001B_𝑚_x001B_

点差法求椭圆的中点弦.求椭圆_x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x001A__x001A_𝑦_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑏_x001B_2_x001B__x001B_=1以点𝑃(𝑚,𝑛)为中点的弦𝐴𝐵的斜率。（𝑃在椭圆内部）解：设𝐴(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B_,_x001A_𝑦_x001B_1_x001B_)，𝐵(_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_,_x001A_𝑦_x001B_2_x001B_)为弦𝐴𝐵的坐标.因为点𝐴、𝐵在椭圆上，所以_x001A__x001A__x001A__x001A_𝑥_x001B_1_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_+_x0

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