高级中学高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 新人教A必修4

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义编辑ppt定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0运算律：设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb复习实数与向量积编辑pptθ=180°θ=90°回顾向量夹角的定义已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。θ=0°特殊情况OBAθ编辑ppt例如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点！找向量夹角必须保证向量有相同的起点编辑ppt我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算

W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角向量的夹角？新课引入编辑ppt我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算

W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角新课引入在问题中，功是一个标量，它由力和位移两个向量确定。这启示我们，能否把功看成是这两个向量的一种运算结果呢？编辑ppt规定:零向量与任一向量的数量积为数0。

数量积(向量的乘法)定义：说明：(1)两向量相乘(数量积)结果是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定,怎么决定？(2)a·b不能写成a×b

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b.

a·b=|a||b|cosθ，编辑ppt编辑ppt物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功．θsF，过点B作垂直于直线OA，垂足为，则|b|cosθOABabOABab|b|cosθ叫向量b在a方向上的投影．θ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0BOAab数量积的几何意义数量积a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。编辑ppt数量积的重要性质:说明：“向量方等于向量模方”是向量和向量模相互转化的重要依据，今后常用。编辑ppt平面向量数量积的运算律已知向量和实数，则向量的数量积满足：（1）（交换律）（2）（数乘结合律）（3）（分配律）注意：数量积运算不满足结合律编辑ppt1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=02．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠03.若a≠0，a·b=0,则b=04.若a·b=0,则a·b中至少有一个为05.若b≠0，a·b=b·c,则a=c6.若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立7.对任意向量a,b,c,有(a·b)·c≠a·(b·c)8.对任一向量a,有a2=|a|2

练习：判断正误(√）(×）(×）(×）(×）(×）(×）(√）编辑ppt平面向量的数量积及运算律例2.求证：（1）（2）证明：（1）（2）向量满足完全平方公式、平方差公式编辑ppt编辑ppt例4.已知与的夹角为60°，求：（1）在方向上的投影；（2）在方向上的投影；（3）=2=3当且仅当为何值时，与互相垂直？编辑ppt1.a·b=|a||b|cosθ2.

数量积几何意义3.重要性质课堂小结4.

运算律编辑ppt课堂练习:1.在△ABC中,=a,=b,a·b<0,则△ABC是_____三角形BABC2.已知|a|=4,е为单位向量,它们的夹角为则a