数学物理方法：第八章 分离变数法

第八章分离变数法分离变数法是解定解问题的一种常用方法，适合各种常见有界区域上的边值问题基本方法：通过变数分离，把偏微分方程分解成几个常微分方程，将定解问题转化为常微分方程的本征值问题。理论基础：迭加原理线性定解问题满足迭加原理泛定方程和定解条件都是线性的定解问题称为线性定解问题。§8·1齐次方程的分离变数法齐次方程[例1]两端固定弦的自由振动第一步：分离变量设代入泛定方程和边界条件：分离变量第二步：解本征值问题？满足边界条件的常微分方程有非零解（1）应排除通解：（2）也应排除设通解：解得：（3）设通解：解得：X（x）要有非零解故只有当才有非零解：称为本征值称为本征函数第三步：解另一个（时间变量）常微分方程得到定解问题的分离变量形式特解通解：称为本征振动每一个n，对应一种驻波；n=1为基波。第四步：将所有特解{un（x，t）}迭加第五步：由初始条件确定迭加系数An、Bn将和展为傅里叶级数比较系数[例2]两端自由杆的自由纵振动设[解]代入泛定方程和边界条件：分离变量解本征值问题：？满足边界条件的常微分方程有非零解（1）通解：（2）应排除设通解：解得：（3）设通解：X（x）要有非零解本征值：本征函数：通解：将和展为傅里叶级数比较系数[例3]杆的导热。设初始杆的一端温度为零，另一端为u0。杆上温度梯度均匀，一端保持零度不变，另一端与外界绝热。求杆温度设[解]代入泛定方程和边界条件：分离变量解本征值问题：？满足边界条件的常微分方程有非零解（1）通解：应排除（2）应排除设通解：解得：（3）设通解：X（x）要有非零解本征值：本征函数：通解：将右边展为傅里叶级数比较系数：[例4]稳定温度场的分布横截面为矩形的散热片，一边（y=b）处于高温热源（温度U）；其它三边处于冷却介质（温度u0）。求截面上温度分布。令定解问题变为：[解]：设代入泛定方程和边界条件：（1）通解：应排除解本征值问题：（2）应排除设通解：解得：（3）设通解：X（x）要有非零解本征值：本征函数：通解：将边界条件代入将右边展为傅里叶正弦级数比较系数：[例5]均匀静电场中放入圆柱形导体。求空间的电场。+++++++++++++++++[解]设电场沿x方向电势u（x，y）泛定方程：边界条件：自然周期性边界条件：用平面极坐标设解本征值问题：（1）（2）通解：通解：设显然对任何m，自然周期性边界条件均不满足：应排除（3）设通解：自然周期性边界条件要求：必须取：本征值：本征函数：（代入）（欧拉型常微分方程）作变量代换由边界条件确定系数§8·2非齐次波动方程和输运方程一、傅里叶级数法用分离变数法解波动方程、输运方程时所得到的解通常是傅里叶级数形式，这就提示我们求解时可直接将解写成傅里叶级数形式：傅里叶级数的基本函数族由齐次边界条件确定：可以应用傅里叶级数法解非齐次方程[例1]两端固定弦的受迫振动。设单位长度受横向力F（x，t），力密度设将非齐次项展为傅里叶正弦级数：代入泛定方程：比较系数得：由初始条件可以应用拉普拉斯变换解以上常微分方程········[解二]应用迭加原理设将非齐次项展为傅里叶正弦级数：代入泛定方程：比较系数得：由初始条件应用拉普拉斯变换解常微分方程··········[例2]杆的受迫纵向振动设力密度设右边已是傅里叶余弦级数，比较系数：代入泛定方程：由初始条件解常微分方程应用拉普拉斯变换解以上常微分方程········应用拉普拉斯变换······若用迭加法二、冲量定理法（齐次化原理）1、齐次化原理设

满足齐次方程的定解问题则非齐次方程的定解问题的解为：[证明]先证明u满足齐次初始条件再证明u满足非齐次方程2、物理思想（冲量定理法）将方程右边持续作用的非齐次项看作是许多相继发生的瞬时作用的迭加该瞬时作用力引起的振动为后瞬时作用力为零单位质量上的瞬时作用力在时间内：满足定解问题：令满足定解问题：u（x，t）的定解问题就等于一系列瞬时作用产生的的迭加。3、应用范围和条件（1）可应用于求解非齐次波动方程和非齐次输运方程。（2）对边界条件没有特别限制，可以是第一、二、三类边界条件。（3）初始条件必须是齐次（零值）如果初始条件是非齐次（非零值），可应用迭加原理将u（x，t）分为两项：分离变数法冲量定理法[例1]求解[解]先求解设比较系数：代入泛定方程：常微分方程的解为：由初始条件：比较系数：[例2]求解[解]先求解设比较系数：代入泛定方程：常微分方程的解为：由初始条件：将右边展为傅里叶正弦级数，Cn即展开系数§8·3非齐次边界条件的处理原则：利用迭加原理令：先找v使它满足非齐次边界条件，再求w满足齐次边界条件的定解问题。关键：如何确定合适的

v

？一、一般方法：1、第一类非齐次边界条件（1）设：代入边界条件得：解得：令：（2）（3）将（2）、（3）代入（1），可以得到w（x，t）的定解问题：2、第二类非齐次边界条件（1）令：（2）设：代入边界条件得：解得：（3）将（2）、（3）代入（1），可以得到w（x，t）的定解问题：[例]弦的一端(x=0)固定,另一端(x=l)受迫作谐振动,弦的初始位移和初始速度均为零。求弦的振动。[解]定解问题为令：w（x，t）满足定解问题：能否有更好的方法？关键怎样选v（x，t）？取v（x，t）为满足原泛定方程和边界条件的一个特解，则能使w（x，t）既满足原泛定方程又满足齐次边界条件。二、特殊处理方法设代入泛定方程：代入边界条件：解常微分方程：将代入原定解问题得到w（x，t）的定解问题用分离变数法求解可得：由初始条件：§8·4泊松方程S是V的边界与时间无关，不适合用冲量定理法方法：（特解法）考虑空间区域V内，泊松方程第一类边值问题1、先求出方程的一个特解（不管边界条件）：得到拉普拉斯方程第一类边值问题：3、解出w（x，y，z）2、应用迭加原理，令代入原方程和边界条件：[例1]在圆域上求解泊松方程[解]为求特解设比较系数：应用极坐标令：得w的定解问题：在极坐标中用分离变数法求得一般解为：w在圆域内处处有限，而在