近世代数基本概念课件

近世代数基础(Abstractalgebra)高度的抽象是近世代数的显著特点,它的基本概念:群、环、域,对初学者也是很抽象的概念,因此,在本课程的学习中,大家要多注意实例,以加深对概念的正确理解。近世代数的习题,因抽象也都有一定的难度,但习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节,因此,应适当做一些习题,为克服做习题的困难,应注意教材内容和方法以及习题课内容。2018/11/25近世代数基础(Abstractalgebra)1引言近世代数理论的两个来源1)代数方程的解两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开方法解二次方程ax2+b+e=0。16世纪初欧洲文艺复兴时期之后,求解高次方程成为欧洲代数学研究的一个中心问题。1545年意大利数学家G.Cardano(卡尔达诺)在他的著作《大术》中给出了三、四次多项式的求根公式,此后的将近三个世纪中人们力图发现五次方程的一般求解方法,但是都失败了。直到1824年一位年青的挪威数学家NAbe才证明五次和五次以上的一般代数方程没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除2018/11/25引言近世代数理论的两个来源2引言近世代数理论的两个来源有理运算以及开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能求根。最终解决这一问题的是法国年青数学家Galois(18111832),Galois引入了扩域以及群的概念,并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论逐渐成为现代化数学研究的重要领域,这是近世代数产生的一个最重要的来源。2018/11/25引言近世代数理论的两个来源3引言近世代数理论的两个来源被誉为天才数学家的伽罗瓦是近世代数的创始人之一。他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答,解决了困扰数学罗家们长达数百年之久的问题。群论开辟了全全新的研究领域,以结构研究代替计算,把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式,并把数学运算归类,使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支,对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。2018/11/25引言近世代数理论的两个来源4引言近世代数理论的两个来源2)Hamilton四元数的发现长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法,后来发现可以把复数看成二元数(ab)=+b,其中产=-1。二元数按(4b)±(4=(士eb士,(b)c,=(ad+bege-bd的法则进行代数运算,二元数具有直观的几何意义;与平面上的点一一对应。二元数理论产生的一个直接问题是:是否存在三元数?经过长时间探索,力图寻求三元数的努力失败了。但是爱爱尔兰数学家W.Hamilton(1805-1865于1843年2018/11/25引言近世代数理论的两个来源5引言近世代数理论的两个来源成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算,但与以前的数系相比,四元数是一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点,它是近世代数的另个重要理论来源。2018/11/25引言近世代数理论的两个来源6第一章基本概念§1.集合§6.分配律§2映射■§7.一一映射、变换§3.代数运算§8.同态§4.结合律§9.同构、自同构§5.交换律§10.等价关系与集合的分类2018/11/25第一章基本概念7§1集合集合若干个固定事物的全体.组成集合的对象称为集合的元素。集合一般用大写字母A,B,C,…来表示。集合的元素一般用小写字母a,b,c,….表示。集合与元素的关系:若a是A的一个元素,则说a属于A,或说A包含a,记为a∈A;若a不属于A,或说A不包含a,记为a∈A.空集合一个没有元素的集合,记为0。子集若集合B的每一个元素都属于集合A,则说B是的子集,记为BcA:否则,B不是A的子集,记为BgAAcB今Vx,x∈A→x∈B.2018/11/25§1集合8§1集合真子集若B是的子集,且至少有一个A的元素不属于B,则说B是A的真子集,记为BcA.集合相等:A=B台→AB,且BcA以集合A的所有子集为元素的集合,称为A的幂集,记为P(A).如果集合包含有无穷多个元素,则记为A=∞如果集合包含n个元素,则记为|4=m且P()=2A和B的交集:A∩B={a∈A并且a∈B并集:A∪B={aa∈A或a∈B§1集合9§1集合两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去。设A1,A2,…,An是给定的集合.由A1,A2,…,An的一切元素所成的集合叫做A1,A2…,An的并;由A1,A2,…,A,的切公共元素所成的集合叫做A1,A2…,A的交A,A2,…,An的并和交分别记为:UA=AUA2U…UA,∩A=A∩A2n…nAx∈∪A分A,x∈Ax∈∩A分VA,x∈A2018/11/25§1集合10近世代数基本概念课件11近世代数基本概念课件12近世代数基本概念课件13近世代数基本概念课件14近世代数基本概念课件15近世代数基本概念课件16近世代数基本概念课件17近世代数基本概念课件18近世代数基本概念课件19近世代数基本概念课件20近世代数基本概念课件21近世代数基本概念课件22近世代数基本概念课件23近世代数基本概念课件24近世代数基本概念课件25近世代数基本概念课件26近世代数基本概念课件27近世代数基本概念课件28近世代数基本概念课件29近世代数基本概念课件30近世代数基本概念课件31近世代数基本概念课件32近世代数基本概念课件33近世代数基本概念课件34近世代数基本概念课件35近世代数基本概念课件36近世代数基本概念课件37近世代数基本概念课件38近世代数基本概念课件39近世代数基本概念课件40近世代数基本概念课件41近世代数基本概念课件42近世代数基本概念课件43近世代数基本概念课件44近世代数基本概念课件45近世代数基本概念课件46近世代数基本概念课件47近世代数基本概念课件48近世代数基本概念课件49近世代数基本概念课件50近世代数基本概念课件51近世代数基本概念课件52近世代数基本概念课件53近世代数基本概念课件54近世代数基本概念课件55近世代数基础(Abstractalgebra)高度的抽象是近世代数的显著特点,它的基本概念:群、环、域,对初学者也是很抽象的概念,因此,在本课程的学习中,大家要多注意实例,以加深对概念的正确理解。近世代数的习题,因抽象也都有一定的难度,但习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节,因此,应适当做一些习题,为克服做习题的困难,应注意教材内容和方法以及习题课内容。2018/11/25近世代数基础(Abstractalgebra)56引言近世代数理论的两个来源1)代数方程的解两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开方法解二次方程ax2+b+e=0。16世纪初欧洲文艺复兴时期之后,求解高次方程成为欧洲代数学研究的一个中心问题。1545年意大利数学家G.Cardano(卡尔达诺)在他的著作《大术》中给出了三、四次多项式的求根公式,此后的将近三个世纪中人们力图发现五次方程的一般求解方法,但是都失败了。直到1824年一位年青的挪威数学家NAbe才证明五次和五次以上的一般代数方程没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除2018/11/25引言近世代数理论的两个来源57引言近世代数理论的两个来源有理运算以及开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能求根。最终解决这一问题的是法国年青数学家Galois(18111832),Galois引入了扩域以及群的概念,并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论逐渐成为现代化数学研究的重要领域,这是近世代数产生的一个最重要的来源。2018/11/25引言近世代数理论的两个来源58引言近世代数理论的两个来源被誉为天才数学家的伽罗瓦是近世代数的创始人之一。他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答,解决了困扰数学罗家们长达数百年之久的问题。群论开辟了全全新的研究领域,以结构研究代替计算,把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式,并把数学运算归类,使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支,对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。2018/11/25引言近世代数理论的两个来源59引言近世代数理论的两个来源2)Hamilton四元数的发现长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法,后来发现可以把复数看成二元数(ab)=+b,其中产=-1。二元数按(4b)±(4=(士eb士,(b)c,=(ad+bege-bd的法则进行代数运算,二元数具有直观的几何意义;与平面上的点一一对应。二元数理论产生的一个直接问题是:是否存在三元数?经过长时间探索,力图寻求三元数的努力失败了。但是爱爱尔兰数学家W.Hamilton(1805-1865于1843年2018/11/25引言近世代数理论的两个来源60引言近世代数理论的两个来源成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算,但与以前的数系相比,四元数是一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点,它是近世代数的另个重要理论来源。2018/11/25引言近世代数理论的两个来源61第一章基本概念§1.集合§6.分配律§2映射■§7.一一映射、变换§3.代数运算§8.同态§4.结合律§9.同构、自同构§5.交换律§10.等价关系与集合的分类2018/11/25第一章基本概念62§1集合集合若干个固定事物的全体.组成集合的对象称为集合的元素。集合一般用大写字母A,B,C,…来表示。集合的元素一般用小写字母a,b,c,….表示。集合与元素的关系:若a是A的一个元素,则说a属于A,或说A包含a,记为a∈A;若a不属于A,或说A不包含a,记为a∈A.空集合一个没有元素的集合,记为0。子集若集合B的每一个元素都属于集合A,则说B是的子集,记为BcA:否则,B不是A的子集,记为BgAAcB今Vx,x∈A→x∈B.2018/11/25§1集合63§1集合真子集若B是的子集,且至少有一个A的元素不属于B,则说B是A的真子集,记为BcA.集合相等:A=B台→AB,且BcA以集合A的所有子集为元素的集合,称为A的幂集,记为P(A).如果集合包含有无穷多个元素,则记为A=∞如果集合包含n个元素,则记为|4=m且P()=2A和B的交集:A∩B={a∈A并且a∈B并集:A∪B={aa∈A或a∈B§1集合64§1集合两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去。设A1,A2,…,An是给定的集合.由A1,A2,…,An的一切元素所成的集合叫做A1,A2…,An的并;由A1,A2,…,A,的切公共元素所成的集合叫做A1,A2…,A的交A,A2,…,An的并和交分别记为:UA=AUA2U…UA,∩A=A∩A2n…nAx∈∪A分A,x∈Ax∈∩A分VA,x∈A2018/11/25§1集合65近世代数基本概念课件66近世代数基本概念课件67近世代数基本概念课件68近世代数基本概念课件69近世代数基本概念课件70近世代数基本概念课件71近世代数基本概念课件72近世代数基本概念课件73近世代数基本概念课件74近世代数基本概念课件75近世代数基本概念课件76近世代数基本概念课件77近世代数基本概念课件78近世代数基本概念课件79近世代数基本概念课件80近世代数基本概念课件81近世代数基本概念课件82近世代数基本概念课件83近世代数基本概念课件84近世代数基本概念课件85近世代数基本概念课件86近世代数基本概念课件87近世代数基本概念课件88近世代数基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