华东理工大学复变函数复习课件

1复习与回顾

1复习与回顾

分式线性映射的性质1.一一对应性2.保角性3.保圆性说明:

如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周;有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线.如果4.保对称性分式线性映射的性质1.一一对应性2.保角性3.保圆性说明:3

(I)当二圆弧上没有点映射成无穷远点时,这二圆

弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域;

(II)当二圆弧交点中的一个映射成无穷远点时,这

二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.3

(I)当二圆弧上没有点映射成无穷远点时,这二圆

4映射的角形区如图所示x1-ii-1C1C2y(z)OC2'C1'Ouv(w)4映射的角形区如图所示x1-ii-1C1C2y(z)OC2'华东理工大学复变函数复习课件00.0因此所求映射为:00.0因此所求映射为:7基本公式：已知相异三点：已知条件分式线性映射公式7基本公式：已知相异三点：已知条件分式线性映射公式))一、幂函数))一、幂函数特殊地:)0沿正实轴剪开的w平面特殊地:)0沿正实轴剪开的w平面华东理工大学复变函数复习课件11001)002)11001)002)120000特殊地:120000特殊地:13解

000??例13解000??例14例

求一函数,它把新月形域:|z|<1,|z-i/2|>1/2保角映射成上半平面.·14例求一函数,它把新月形域:|z|<1,|z-i/2|>求将区域映射为上半平面的一个共形映射.求将区域映射为上半平面的一个共形映射.16分式线性：1.有两个交点的弧段映射成角形区域2.半圆映射成某一个象限3.将线段映射成射线4.只有一个交点的弧段映射成带型区域。16分式线性：1.有两个交点的弧段映射成角形区域2.半圆映17初等函数映射：角型区域对应角型区域（或有隔阂的复平面）时利用幂函数（角度增加）或根式函数（角度减少）2.横向带型区域映射成角型区域（或上半平面，或有隔阂复平面利用指数函数反之利用对数函数因此对于这种情况，经常需要对带状区域平移旋转压缩17初等函数映射：角型区域对应角型区域（或有隔阂的复平面）2华东理工大学复变函数复习课件19复习19复习20第一章：

20第一章：

21利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数的三角表示式再利用欧拉公式复数可以表示成复数的指数表示式复数的三角表示和指数表示21利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数的三角表示式例求下列方程所表示的曲线:例求下列方程所表示的曲线:23积商幂方根23积商幂方根华东理工大学复变函数复习课件25复变函数的极限

和连续性一、函数的极限二、函数的连续性25复变函数的极限

和连续性一、函数的极限二、函数的连续性26定理三例如,26定理三例如,例1例128第二章

1.

能够利用C-R条件判断函数解析性

2.知道对数函数，幂函数，三角函数的定义，导数，及相应运算

3.能够利用已知函数求出相应调和函数28第二章

1.能够利用C-R条件判断函数解析性

2.29··在一点解析·在一点可导仅在此点满足导数定义此点和其某领域内点点满足导数定义一点解析一点可导，反之不对

29··在一点解析·在一点可导仅在此点满足导数定义此点和其某30在区域内可导在区域内解析因为区域为开集，故点点可导点点解析反之显然30在区域内可导在区域内解析因为区域为开集，故点点可导31可导（解析）充要条件定理推论：31可导（解析）充要条件定理推论：二、典型例题例1判定下列函数在何处可导,在何处解析:二、典型例题例1判定下列函数在何处可导,在何处解证证华东理工大学复变函数复习课件35初等函数一指数函数的定义:加法定理解析性周期性35初等函数一指数函数的定义:加法定理解析性周期性36二.对数函数36二.对数函数37注解37注解38注意：他们是无界函数四、三角函数奇偶性周期性解析性38注意：他们是无界函数四、三角函数奇偶性周期性解析性39(注意：这是与实变函数完全不同的)39(注意：这是与实变函数完全不同的)4040414142定理区域D内的函数解析

虚部为实部的共轭调和函数.

共轭调和函数42定理区域D内的函数解析虚部为实部的共轭调和函华东理工大学复变函数复习课件华东理工大学复变函数复习课件45第四章.幂级数能够利用收敛半径的公式求得收敛半径；2.能够将解析函数在给定点展开成泰勒公式；3.能够在解析环域将函数展开成洛朗级数。45第四章.幂级数46一、复数列的极限二、级数46一、复数列的极限二、级数必要条件必要条件48绝对收敛与条件收敛定理三48绝对收敛与条件收敛定理三下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.三、典型例题例1例2例4下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.三、典型例题例150定理四设幂级数的收敛半径为那末(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,是收敛圆内的解析函数

.(1)3.复变幂级数在收敛圆内的性质50定理四设幂级数的收敛半径为那末(2)在收敛圆内的导数可将51(3)在收敛圆内可以逐项积分,简言之:在收敛圆内,幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导,逐项积分.(常用于求和函数)即51(3)在收敛圆内可以逐项积分,简言之:在收敛圆内,52例4求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:所以52例4求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:53例6计算解53例6计算解54定理（泰勒级数展开定理）2.泰勒(Taylor)级数展开定理54定理（泰勒级数展开定理）2.泰勒(Taylor)级数展553.简单初等函数的泰勒展开式

以上三个在复平面上收敛一下两个收敛域为单位圆盘内，圆周上发散553.简单初等函数的泰勒展开式以上三个在复平面上收敛563.洛朗级数展开定理定理563.洛朗级数展开定理定理57负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时收敛Laurent级数收敛57负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时收敛Lauren华东理工大学复变函数复习课件59第五章:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点Laurent级数的特点存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有有限个负幂项关于的最高幂为59第五章:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点Laurent级60即定义5.4

设z0是f(z)的孤立奇点,C是在z0的充分小邻域内包含z0在其内部的分段光滑正向Jordan曲线,积分称为f(z)在z0点的留数(Residue),记做函数f(z)在孤立奇点z0点的留数即是其在以z0为中心的圆环域内Laurent级数-1次幂项的系数.60即定义5.4设z0是f(z)的孤立奇点,C是在z61留数计算规则(1)如果为的可去奇点,则成Laurent级数,求(2)如果为的本性奇点,展开则需将)(zf61留数计算规则(1)如果为的可去奇点,则成Lauren62如果为的1级极点,那么法则5.1(3)如果为的极点,则有如下计算规则法则5.2设及在都解析.

如果那么为f(z)的1级极点,并且62如果为的1级极点,那么法则5.63如果为的级极点,取正整数法则5.3那么63如果为的级极点,取正645.2.4函数在无穷远点的留数定义5.6设z=是f(z)的孤立奇点,即f(z)在z=的去心邻域内解析,称积分为f(z)在z=的留数,并记做其中表示圆周的负向(即顺时针方向).易见f(z)在内Laurent展开式项的系数645.2.4函数在无穷远点的留数定义5.6设z=65法则5.5设是有理分式,且多项式Q(z)的次数比P(z)的次数至少高2次，则求无穷远点留数的方法.

法则5.4设f(z)在内解析，则65法则5.5设6666华东理工大学复变函数复习课件6868华东理工大学复变函数复习课件积分计算总结70积分计算总结70积分（已知曲线参数方程）71积分（已知曲线参数方程）7172定理（当被积函数解析）积分类型（第一类，被积函数解析）72定理（当被积函数解析）积分类型（第一类，被积函数解析）73例3此方法使用了微积分中“分部积分法”73例3此方法使用了微积分中“分部积分法”74积分类型（第二类，被积函数有有限奇点）对于封闭路径，如果被积函数不解析，有有限奇点，则要判断函数奇点位置以及个数，而后利用复闭合定理或留数定理。定理

(留数基本定理)设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析,C是D内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向Jordan曲线,则74积分类型（第二类，被积函数有有限奇点）对于封闭路径，如果75那末

复合闭路定理75那末复合闭路定理76高阶导公式前提条件与柯西积分公式相同

Cauchy积分公式被积函数在曲线C内只有一个奇点，分子完全解析如果要用复闭合定理，则需一下定理最终计算结果76高阶导公式前提条件与柯西积分公式相同Cauchy积分77三、典型例题例1解77三、典型例题例1解787879根据复合闭路定理79根据复合闭路定理808081定理5.10

(留数基本定理)设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析,C是D内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向Jordan曲线,则根据留数基本定理,函数在闭曲线f(z)上的积分可归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的计算问题.81定理5.10(留数基本定理)设函数f(z)在区82例5.12

求在z=0处的留数，并求其中C是的正向.解易见z=0是函数f(z)的本性奇点，并且因此于是，根据留数基本定理82例5.12求83定理5.11设函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点则f(z)在所有各孤立奇点留数的总和等于零，即83定理5.11设函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤84例5.15计算积分其中C是的正向.f(z)有7个孤立奇点,5个1级极点在C内部,1个1级解设在扩充复平面内极点z=3和可去奇点z=在C外部.由可知,84例5.15计算积分85只需要计算f(z)在z=3和z=的留数.

根据,而所以根据和,注本题采用这种方法要比直接应用留数基本定理简便一些.85只需要计算f(z)在z=3和z=的留数.根据86积分类型（第三类实数积分）

用实例说明类型种类，利用留数计算86积分类型（第三类实数积分）用实例说明类型种类，利用留87第七章，第八章

知道Fourier变换存在定理，能够利用Fourier变换算出某些特殊无穷限积分。2.d-函数性质。熟悉Fourier变换与Laplace变换性质，并利用其计算相应变换。卷积利用留数计算Laplace逆变换能够利用Laplace变换解含有初值的微积分方程。87第七章，第八章知道Fourier变换存在定理，能够利用888889Fourier变换的性质(1)线性性质(2)位移性质

频移性质(3)原像微分性质

像函数微分性质:

(6)对称性质(7)相似性质(5)积分性质（3）原像微分性质象函数的微分性质

（1）线性性质

（5）相似性质Laplace变换的性质（4）象原函数的积分性质

象函数的积分性质

（2）位移性质延迟性质89Fourier变换的性质(1)线性性质(2)位90Fourier变换Laplace变换90Fourier变换Laplace变换91（1）Fourier卷积定理：(2)拉氏变换的卷积定理

则若ℒℒℒℒ91（1）Fourier卷积定理：(2)拉氏变换的卷积定理92定理8.3设是的所有孤立奇点(有限个)，除这些点外,处处解析,且利用留数求Laplace逆变换的公式且他们全部位于直线Re(s)=b(>0)的左侧，且当因此92定理8.3设是的所有孤立奇点(有限个)，除这些点华东理工大学复变函数复习课件9394复习与回顾

1复习与回顾

分式线性映射的性质1.一一对应性2.保角性3.保圆性说明:

如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周;有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线.如果4.保对称性分式线性映射的性质1.一一对应性2.保角性3.保圆性说明:96

(I)当二圆弧上没有点映射成无穷远点时,这二圆

弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域;

(II)当二圆弧交点中的一个映射成无穷远点时,这

二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.3

(I)当二圆弧上没有点映射成无穷远点时,这二圆

97映射的角形区如图所示x1-ii-1C1C2y(z)OC2'C1'Ouv(w)4映射的角形区如图所示x1-ii-1C1C2y(z)OC2'华东理工大学复变函数复习课件00.0因此所求映射为:00.0因此所求映射为:100基本公式：已知相异三点：已知条件分式线性映射公式7基本公式：已知相异三点：已知条件分式线性映射公式))一、幂函数))一、幂函数特殊地:)0沿正实轴剪开的w平面特殊地:)0沿正实轴剪开的w平面华东理工大学复变函数复习课件104001)002)11001)002)1050000特殊地:120000特殊地:106解

000??例13解000??例107例

求一函数,它把新月形域:|z|<1,|z-i/2|>1/2保角映射成上半平面.·14例求一函数,它把新月形域:|z|<1,|z-i/2|>求将区域映射为上半平面的一个共形映射.求将区域映射为上半平面的一个共形映射.109分式线性：1.有两个交点的弧段映射成角形区域2.半圆映射成某一个象限3.将线段映射成射线4.只有一个交点的弧段映射成带型区域。16分式线性：1.有两个交点的弧段映射成角形区域2.半圆映110初等函数映射：角型区域对应角型区域（或有隔阂的复平面）时利用幂函数（角度增加）或根式函数（角度减少）2.横向带型区域映射成角型区域（或上半平面，或有隔阂复平面利用指数函数反之利用对数函数因此对于这种情况，经常需要对带状区域平移旋转压缩17初等函数映射：角型区域对应角型区域（或有隔阂的复平面）2华东理工大学复变函数复习课件112复习19复习113第一章：

20第一章：

114利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数的三角表示式再利用欧拉公式复数可以表示成复数的指数表示式复数的三角表示和指数表示21利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数的三角表示式例求下列方程所表示的曲线:例求下列方程所表示的曲线:116积商幂方根23积商幂方根华东理工大学复变函数复习课件118复变函数的极限

和连续性一、函数的极限二、函数的连续性25复变函数的极限

和连续性一、函数的极限二、函数的连续性119定理三例如,26定理三例如,例1例1121第二章

1.

能够利用C-R条件判断函数解析性

2.知道对数函数，幂函数，三角函数的定义，导数，及相应运算

3.能够利用已知函数求出相应调和函数28第二章

1.能够利用C-R条件判断函数解析性

2.122··在一点解析·在一点可导仅在此点满足导数定义此点和其某领域内点点满足导数定义一点解析一点可导，反之不对

29··在一点解析·在一点可导仅在此点满足导数定义此点和其某123在区域内可导在区域内解析因为区域为开集，故点点可导点点解析反之显然30在区域内可导在区域内解析因为区域为开集，故点点可导124可导（解析）充要条件定理推论：31可导（解析）充要条件定理推论：二、典型例题例1判定下列函数在何处可导,在何处解析:二、典型例题例1判定下列函数在何处可导,在何处解证证华东理工大学复变函数复习课件128初等函数一指数函数的定义:加法定理解析性周期性35初等函数一指数函数的定义:加法定理解析性周期性129二.对数函数36二.对数函数130注解37注解131注意：他们是无界函数四、三角函数奇偶性周期性解析性38注意：他们是无界函数四、三角函数奇偶性周期性解析性132(注意：这是与实变函数完全不同的)39(注意：这是与实变函数完全不同的)1334013441135定理区域D内的函数解析

虚部为实部的共轭调和函数.

共轭调和函数42定理区域D内的函数解析虚部为实部的共轭调和函华东理工大学复变函数复习课件华东理工大学复变函数复习课件138第四章.幂级数能够利用收敛半径的公式求得收敛半径；2.能够将解析函数在给定点展开成泰勒公式；3.能够在解析环域将函数展开成洛朗级数。45第四章.幂级数139一、复数列的极限二、级数46一、复数列的极限二、级数必要条件必要条件141绝对收敛与条件收敛定理三48绝对收敛与条件收敛定理三下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.三、典型例题例1例2例4下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.三、典型例题例1143定理四设幂级数的收敛半径为那末(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,是收敛圆内的解析函数

.(1)3.复变幂级数在收敛圆内的性质50定理四设幂级数的收敛半径为那末(2)在收敛圆内的导数可将144(3)在收敛圆内可以逐项积分,简言之:在收敛圆内,幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导,逐项积分.(常用于求和函数)即51(3)在收敛圆内可以逐项积分,简言之:在收敛圆内,145例4求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:所以52例4求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:146例6计算解53例6计算解147定理（泰勒级数展开定理）2.泰勒(Taylor)级数展开定理54定理（泰勒级数展开定理）2.泰勒(Taylor)级数展1483.简单初等函数的泰勒展开式

以上三个在复平面上收敛一下两个收敛域为单位圆盘内，圆周上发散553.简单初等函数的泰勒展开式以上三个在复平面上收敛1493.洛朗级数展开定理定理563.洛朗级数展开定理定理150负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时收敛Laurent级数收敛57负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时收敛Lauren华东理工大学复变函数复习课件152第五章:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点Laurent级数的特点存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有有限个负幂项关于的最高幂为59第五章:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点Laurent级153即定义5.4

设z0是f(z)的孤立奇点,C是在z0的充分小邻域内包含z0在其内部的分段光滑正向Jordan曲线,积分称为f(z)在z0点的留数(Residue),记做函数f(z)在孤立奇点z0点的留数即是其在以z0为中心的圆环域内Laurent级数-1次幂项的系数.60即定义5.4设z0是f(z)的孤立奇点,C是在z154留数计算规则(1)如果为的可去奇点,则成Laurent级数,求(2)如果为的本性奇点,展开则需将)(zf61留数计算规则(1)如果为的可去奇点,则成Lauren155如果为的1级极点,那么法则5.1(3)如果为的极点,则有如下计算规则法则5.2设及在都解析.

如果那么为f(z)的1级极点,并且62如果为的1级极点,那么法则5.156如果为的级极点,取正整数法则5.3那么63如果为的级极点,取正1575.2.4函数在无穷远点的留数定义5.6设z=是f(z)的孤立奇点,即f(z)在z=的去心邻域内解析,称积分为f(z)在z=的留数,并记做其中表示圆周的负向(即顺时针方向).易见f(z)在内Laurent展开式项的系数645.2.4函数在无穷远点的留数定义5.6设z=158法则5.5设是有理分式,且多项式Q(z)的次数比P(z)的次数至少高2次，则求无穷远点留数的方法.

法则5.4设f(z)在内解析，则65法则5.5设15966华东理工大学复变函数复习课件16168华东理工大学复变函数复习课件积分计算总结163积分计算总结70积分（已知曲线参数方程）164积分（已知曲线参数方程）71165定理（当被积函数解析）积分类型（第一类，被积函数解析）72定理（当被积函数解析）积分类型（第一类，被积函数解析）166例3此方法使用了微积分中“分部积分法”73例3此方法使用了微积分中“分部积分法”167积分类型（第二类，被积函数有有限奇点）对于封闭路径，如果被积函数不解析，有有限奇点，则要判断函数奇点位置以及个数，而后利用复闭合定理或留数定理。定理

(留数基本定理)设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析,C是D内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向Jordan曲线,则74积分类型（第二类，被积函数有有限奇点）对于封闭路径，如果168那末

复合闭路定理75那末复合闭路定理169高阶导公式前提条件与柯西积分公式相同

Cauchy积分公式被积函数在曲线C内只有一个奇点，分子完全解析如果要用复闭合定理，则需一下定理最终计算结果76高阶导公式前提条件与柯西积分公式相同Cauchy积分170三、典型例题例1解77三、典型例题例1解17178172根据复合闭路定理79根据复合闭路定理17380174定理5.10

(留数基本定理)设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析,C是D内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向Jordan曲线,则根据留数基本定理,函数在闭曲线f(z)上的积分可归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的计算问题.81定理5.10(留数基本定理)设函数f(z)在区175例5.12

求在z=0处的留数，并求其中C是的正向.解易见z=0是函数f(z)的本性奇点，并且因此于是，根据留数基本定理82例5.12求176定理5.11设函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点则f(z)在所有各孤立奇点留数的总和等于零，