多面体的欧拉定理课件

欧拉公式的发现与证明欧拉公式的1一、教材分析1．教材的地位与作用

欧拉公式是在学习了多面体（棱柱、棱锥、棱台）之后，作为研究性学习的课题而安排的，通过学习不仅可进一步探讨多面体的一般性质，还可让学生获得亲身参与研究探索的体验，激发学生的学习热情，拓展学生的视野。一、教材分析1．教材的地位与作用欧拉公式是在学习了多面22．教学目标

知识目标：

能力目标：1）理解欧拉公式的表达式及欧拉公式的证明；2）会用欧拉公式解决某些数学问题。1）通过探究欧拉公式的发现过程，培养学生观察与实践、联想与类比、抽象与概括的能力。2）通过欧拉公式的证明与应用，培养学生的逻辑推理能力和探究创新能力。2．教学目标知识目标：能力目标：1）理解欧拉公式的表达3通过研究欧拉公式的发现与证明，激发学生对科学的探究，培养学生良好的意志品格，激励学生大胆猜想，善于发现，勇于创新的精神。情感目标：通过研究欧拉公式的发现与证明，激发学生对科学的探究，培养学生43.教学重点与难点

重点：探究欧拉公式的发现过程。难点：欧拉公式的证明。3.教学重点与难点重点：探究欧拉公式的发现过程。难点：欧5二、教法分析从“七桥问题”入手，引导学生观察图形，一步一步地进行归纳和猜想，得出平面网络的定义及平面网络中点、线、面之间的数量关系：V+F-E=1，再联想类比，引申到空间中的多面体，研究多面体中点、线、面之间的数量关系，发现欧拉公式V+F-E=2二、教法分析从“七桥问题”入手，引导学生观察图形，一步6三、过程分析（一）引入课题1.介绍欧拉

2.七桥问题三、过程分析（一）引入课题1.介绍欧拉2.七桥问题7(二)探讨研究1．网络的定义2.观察平面网络图形，猜想V、E、F之间的规律3.证明猜想:V+F-E=14.联想：多面体中的V、F和E之间关系5.证明凸多面体中V+F-E=2(二)探讨研究1．网络的定义2.观察平面网络图形，猜想V、E8

欧拉（LeonhardEuler公元1707-1783年）出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文．如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清．欧拉还创设了许多数学符号，例如π，i，e，sin和cos，tg，Σ，f(x)等等。欧拉（LeonhardEuler公元179

由于过度工作，1735年，当欧拉还只有28岁时，就瞎了一只眼睛。766年，另外一只眼睛也瞎了，但是他仍然以高度的毅力坚韧不拔地从事数学研究，凭着记忆和心算解决了许多数学上的难题，为人类文明史谱写了许多光辉的篇章。欧拉的一生是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远值得我们学习。

由于过度工作，1735年，当欧拉还只有28岁时102.七桥问题

十八世纪，北欧的哥尼斯堡城建在普雷格尔河畔，河中有两个小岛，全城由七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图)。当时，那里的居民都热衷于一个有趣的数学游戏：一个游人怎么才能一次走遍七座桥，每座桥只经过一次，最后又回到出发点?2.七桥问题11这个问题的实质是陆地之间的连接，而与陆地的形状大小无关，因此他用点A、D表示两个小岛，点B、C表示河的左右两岸。再用连接两点的线表示桥，从而得到一个由4个点和、7条线组成的图形(如图)

利用这个图形，问题就变成能否一笔画出这个图形，并且最后返回起点的“一笔画”问题。这个问题的实质是陆地之间的连接，而与陆地的形状大小无关，因此12善于思索和研究问题的欧拉，简单而巧妙地解决了千百人为其绞尽脑汁而百思不得其解的难题，引起了人们的惊叹和赞赏。但欧拉并没有满足于七桥问题的解诀，而是以此为基础，研究了超出通常欧几里德几何范围的几何问题，从而奠定了称之为“网络论”的几何学科的基础。善于思索和研究问题的欧拉，简单而巧妙地解决了千百人为131．网络的定义：网络是由有限条线段组成的图形，每一条线段都有两个不同的端点。这些线段叫做网络的弧，它们的端点叫做网络的顶点。

在一个网络中，线段的长短曲直无关紧要，要紧的只是有几个点，两点间又有几条线段连接。(二)探讨研究1．网络的定义：网络是由有限条线段组成的图形，每一条线段14网络的弧必须有两个不同的端点，不能没有端点。

网络的弧必须有两个不同的端点，不能没有端点。15观察下列平面上的网络图形，填写下表，猜想V、E、F之间的规律。其中V表示网络的顶点数，E表示网络的弧（通常把它称为边数）F表示面数（也就是由边围成的区域的个数）。

顶点数V边数E面数F图（1）图（2）图（3）图（4）

观察下列平面上的网络图形，填写下表，猜想V、E、F之间16V顶点数E边数F面数V-E+F图（1）2211图（2）6501图（3）4741图（4）6941(1)(2)(3)(4)V顶点数E边数F面数V-E+F图（1）2211图（2）65017证明猜想：V+F-E=1

网络中去掉一条外边（假如有这样一条外边），这时E减少了1，F也减少了1，而V保持不变，因此经过这样的步骤后，V-E+F保持不变。如果网络中有一个“尾”顶点，就将这个点连同通向它的边同时去掉，则V减少1，E减少1，而F保持不变，因此经过这样的步骤后，V-E+F也保持不变。

现在假定你从一个已知网络出发，继续不断的去掉一切可能挪去的外边和“尾”点，最后你将得到一张只有一个顶点的网络，这时,V=1，E=0,F=0，V-E+F=1成立证明猜想：V+F-E=1网络中去掉一条外边（假如有这样一18联想：多面体中的顶点数V、面数F和棱数E，之间是否也有上述关系？观察图形，填出下表．V顶点数E棱数F面数图（1）图（2）图（3）图（4）（1）（2）（3）（4）联想：多面体中的顶点数V、面数F和棱数E，之间是否也有上述关19

假想一凸多面体用橡胶薄膜做成，内部是空的，先破掉一个面，把其余的面展平，并保持原表面的多边形边数不变，成为一个平面网络，这时V、E不变，只是F少1（多媒体演示），而前已证在平面上的网络中V+F-E=1．所以凸多面体中V+F-E=2

证明凸多面体中V+F-E=2假想一凸多面体用橡胶薄膜做成，内部是空的，先破掉一个面，20如果把组成足球的每一个面看成平面，足球就是一个多面体。欧拉公式的应用它有点象1996年诺贝尔化学奖获得者发现的C60．C60是由60个C原子构成的分子。如果把组成足球的每一个面看成平面，足球就是一个多面体。欧21例1：C60是由60个C原子构成的分子，如图9－104，这个多面体有60个顶点，以每一顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能计算出C60中有多少个五边形和六边形吗？解：设C60中五边形和六边形的个数分别为x个和y个．C60分子这个多面体的顶点数V=60，面数F=x＋y，由顶点出发得棱数E=(3×60)/2=90由多边形的边数得棱数E=（5x+6y）/2例1：C60是由60个C原子构成的分子，如图9－104，这个22因此解：设C60中五边形和六边形的个数分别为x个和y个．C60分子这个多面体的顶点数V=60，面数F=x＋y，由顶点出发得棱数E=

(3×60)/2=90由多边形的边数得棱数E=

（5x+6y）/2解方程（1）和（2）组成的方程组，得x=12，y=20于是我们可知，C60分子中有12个五边形，20个六边形因此解：设C60中五边形和六边形的个数分别为x个和y个．解方23思考题：为什么正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种。正多面体定义：每个面都是有同数边的正多边形，在每个顶点都有同数棱的凸多面体，叫正多面体。思考题：为什么正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十24证明：设各个面都是正n边形，每个顶点汇集m条棱先计算棱的总条数：（1）从边数出发计算，因为每个面有n条边，F个面就有nF条边，但由于每条边是两个面所公有，这里把每条棱按边数计算了两次，所以有：nF=2E（2）从顶点数出发计算，因为每个顶点处有m条边，V个顶点就有mV条边，但由于每条边有两个对端点，这里把每条棱按端点数计算了两次，所以有：mV=2E证明：设各个面都是正n边形，每个顶点汇集m条棱（1）从边数出25则

由（1）和（2）得代入（3）得因此

其中n,m都是正整数，且n≥3,m≥3由于n>3且m>3时不可能的（否则与（4）矛盾），因此，n,m中至少有一个等于3。1）

当n=3时，得：，所以2）当m=3时，得：，所以综合1）2），有则26综合1）2），有将代入（3）得：将上面5组解分别代入，得：F=4、8、20、6、12即正多面体共有5种：正四面体、正八面体、正二十面体、正六面体、正十二面体。综合1）2），有将27（四）归纳总结(1)

欧拉公式描述了凸多面体的顶点数、面数、棱数之间的一个规律，它的重要性体现在公式的发现过程、公式的推导证明过程中所蕴含着的数学思想方法。欧拉公式是在观念和方法上创新而的取得的。（四）归纳总结(1)

欧拉公式描述了凸多面体的顶点数、面28（五）布置作业（1）练习册：p391、2（2）思考题：上网检索了解欧拉公式证明的其它方法；并判断是否所有的多面体都适用欧拉公式，为什么？（五）布置作业29四、评价分析

（1）本节课介绍欧拉的生平，对激发学生学习数学的热情，培养学生对科学严谨的态度和敢于创新的精神有良好的启示作用。（2）本节课对欧拉公式的发现与证明过程的探究，使学生养成将实际问题转化为数学问题的应用意识，激发学生的创造欲望。使学生感悟“问题、猜想、类比、证明”探究式思维方法，提高学生的创造能力。四、评价分析（1）本节课介绍欧拉的生平，对激发学生学习数学30（3）课堂上学生的自主思考，集体讨论，可培养学生的协作意识和团队精神。（4）总结和思考题，把探究延续到课外，进一步培养学生的自主学习能力，提高学生的探究能力和创新能力。四、评价分析（3）课堂上学生的自主思考，集体讨论，可培养学生的协作意识和31再见！再见！32欧拉公式的发现与证明欧拉公式的33一、教材分析1．教材的地位与作用

欧拉公式是在学习了多面体（棱柱、棱锥、棱台）之后，作为研究性学习的课题而安排的，通过学习不仅可进一步探讨多面体的一般性质，还可让学生获得亲身参与研究探索的体验，激发学生的学习热情，拓展学生的视野。一、教材分析1．教材的地位与作用欧拉公式是在学习了多面342．教学目标

知识目标：

能力目标：1）理解欧拉公式的表达式及欧拉公式的证明；2）会用欧拉公式解决某些数学问题。1）通过探究欧拉公式的发现过程，培养学生观察与实践、联想与类比、抽象与概括的能力。2）通过欧拉公式的证明与应用，培养学生的逻辑推理能力和探究创新能力。2．教学目标知识目标：能力目标：1）理解欧拉公式的表达35通过研究欧拉公式的发现与证明，激发学生对科学的探究，培养学生良好的意志品格，激励学生大胆猜想，善于发现，勇于创新的精神。情感目标：通过研究欧拉公式的发现与证明，激发学生对科学的探究，培养学生363.教学重点与难点

重点：探究欧拉公式的发现过程。难点：欧拉公式的证明。3.教学重点与难点重点：探究欧拉公式的发现过程。难点：欧37二、教法分析从“七桥问题”入手，引导学生观察图形，一步一步地进行归纳和猜想，得出平面网络的定义及平面网络中点、线、面之间的数量关系：V+F-E=1，再联想类比，引申到空间中的多面体，研究多面体中点、线、面之间的数量关系，发现欧拉公式V+F-E=2二、教法分析从“七桥问题”入手，引导学生观察图形，一步38三、过程分析（一）引入课题1.介绍欧拉

2.七桥问题三、过程分析（一）引入课题1.介绍欧拉2.七桥问题39(二)探讨研究1．网络的定义2.观察平面网络图形，猜想V、E、F之间的规律3.证明猜想:V+F-E=14.联想：多面体中的V、F和E之间关系5.证明凸多面体中V+F-E=2(二)探讨研究1．网络的定义2.观察平面网络图形，猜想V、E40

欧拉（LeonhardEuler公元1707-1783年）出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文．如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清．欧拉还创设了许多数学符号，例如π，i，e，sin和cos，tg，Σ，f(x)等等。欧拉（LeonhardEuler公元1741

由于过度工作，1735年，当欧拉还只有28岁时，就瞎了一只眼睛。766年，另外一只眼睛也瞎了，但是他仍然以高度的毅力坚韧不拔地从事数学研究，凭着记忆和心算解决了许多数学上的难题，为人类文明史谱写了许多光辉的篇章。欧拉的一生是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远值得我们学习。

由于过度工作，1735年，当欧拉还只有28岁时422.七桥问题

十八世纪，北欧的哥尼斯堡城建在普雷格尔河畔，河中有两个小岛，全城由七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图)。当时，那里的居民都热衷于一个有趣的数学游戏：一个游人怎么才能一次走遍七座桥，每座桥只经过一次，最后又回到出发点?2.七桥问题43这个问题的实质是陆地之间的连接，而与陆地的形状大小无关，因此他用点A、D表示两个小岛，点B、C表示河的左右两岸。再用连接两点的线表示桥，从而得到一个由4个点和、7条线组成的图形(如图)

利用这个图形，问题就变成能否一笔画出这个图形，并且最后返回起点的“一笔画”问题。这个问题的实质是陆地之间的连接，而与陆地的形状大小无关，因此44善于思索和研究问题的欧拉，简单而巧妙地解决了千百人为其绞尽脑汁而百思不得其解的难题，引起了人们的惊叹和赞赏。但欧拉并没有满足于七桥问题的解诀，而是以此为基础，研究了超出通常欧几里德几何范围的几何问题，从而奠定了称之为“网络论”的几何学科的基础。善于思索和研究问题的欧拉，简单而巧妙地解决了千百人为451．网络的定义：网络是由有限条线段组成的图形，每一条线段都有两个不同的端点。这些线段叫做网络的弧，它们的端点叫做网络的顶点。

在一个网络中，线段的长短曲直无关紧要，要紧的只是有几个点，两点间又有几条线段连接。(二)探讨研究1．网络的定义：网络是由有限条线段组成的图形，每一条线段46网络的弧必须有两个不同的端点，不能没有端点。

网络的弧必须有两个不同的端点，不能没有端点。47观察下列平面上的网络图形，填写下表，猜想V、E、F之间的规律。其中V表示网络的顶点数，E表示网络的弧（通常把它称为边数）F表示面数（也就是由边围成的区域的个数）。

顶点数V边数E面数F图（1）图（2）图（3）图（4）

观察下列平面上的网络图形，填写下表，猜想V、E、F之间48V顶点数E边数F面数V-E+F图（1）2211图（2）6501图（3）4741图（4）6941(1)(2)(3)(4)V顶点数E边数F面数V-E+F图（1）2211图（2）65049证明猜想：V+F-E=1

网络中去掉一条外边（假如有这样一条外边），这时E减少了1，F也减少了1，而V保持不变，因此经过这样的步骤后，V-E+F保持不变。如果网络中有一个“尾”顶点，就将这个点连同通向它的边同时去掉，则V减少1，E减少1，而F保持不变，因此经过这样的步骤后，V-E+F也保持不变。

现在假定你从一个已知网络出发，继续不断的去掉一切可能挪去的外边和“尾”点，最后你将得到一张只有一个顶点的网络，这时,V=1，E=0,F=0，V-E+F=1成立证明猜想：V+F-E=1网络中去掉一条外边（假如有这样一50联想：多面体中的顶点数V、面数F和棱数E，之间是否也有上述关系？观察图形，填出下表．V顶点数E棱数F面数图（1）图（2）图（3）图（4）（1）（2）（3）（4）联想：多面体中的顶点数V、面数F和棱数E，之间是否也有上述关51

假想一凸多面体用橡胶薄膜做成，内部是空的，先破掉一个面，把其余的面展平，并保持原表面的多边形边数不变，成为一个平面网络，这时V、E不变，只是F少1（多媒体演示），而前已证在平面上的网络中V+F-E=1．所以凸多面体中V+F-E=2

证明凸多面体中V+F-E=2假想一凸多面体用橡胶薄膜做成，内部是空的，先破掉一个面，52如果把组成足球的每一个面看成平面，足球就是一个多面体。欧拉公式的应用它有点象1996年诺贝尔化学奖获得者发现的C60．C60是由60个C原子构成的分子。如果把组成足球的每一个面看成平面，足球就是一个多面体。欧53例1：C60是由60个C原子构成的分子，如图9－104，这个多面体有60个顶点，以每一顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能计算出C60中有多少个五边形和六边形吗？解：设C60中五边形和六边形的个数分别为x个和y个．C60分子这个多面体的顶点数V=60，面数F=x＋y，由顶点出发得棱数E=(3×60)/2=90由多边形的边数得棱数E=（5x+6y）/2例1：C60是由60个C原子构成的分子，如图9－104，这个54因此解：设C60中五边形和六边形的个数分别为x个和y个．C60分子这个多面体的顶点数V=60，面数F=x＋y，由顶点出发得棱数E=

(3×60)/2=90由多边形的边数得棱数E=

（5x+6y）/2解方程（1）和（2）组成的方程组，得x=12，y=20于是我们可知，C60分子中有12个五边形，20个六边形因此解：设C60中五边形和六边形的个数分别为x个和y个．解方55思考题：为什么正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种。正多面体定义：每个面都是有同数边的正多边形，在每个顶点都有同数棱的凸多面体，叫正多面体。思考题：为什么正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十56证明：设各个面都是正n边形，每个顶点汇集m条棱先计算棱的总条数：（1）从边数出发计算，因为每个面有n条边，F个面就有nF条边，但由于每条边是两个面所公有，这里把每条棱按边数计算了两次，所以有：nF=2E（2）从顶点数出发计算，因为每个顶点处有m条边，V个顶点就有mV条边，但由于每条边有两个对端点，这里把每条棱按端点数计算了两次，所以有：mV=2E证明：设各个面都是正n边形，每个顶点汇集m条棱（1）从边数出57则

由（1