单层板的偏轴刚度(高教知识)课件

单层板的宏观力学分析

2.2单层板的偏轴刚度上节课内容回顾1全面分析单层板的宏观力学分析

2.2单层板的偏轴刚度上节课内容回顾2.2单层板的偏轴刚度单层板的偏轴刚度为单层非材料主方向上的刚度。在实际应用中，有时需要求的单层的偏轴应力-应变关系。

这是因为复合材料设计时，所取坐标系往往不与材料的正轴坐标系重合。例如：

当分析纤维缠绕的圆柱形壳体时，材料的正轴是缠绕的螺旋线方向，而材料中的应力状态（或应变状态）往往是偏轴下给出的，因此要求在偏轴方向与正轴方向进行应力（应变）的转换。

本节重点：

（1）平面应力状态下的应力转换和应变转换公式；（2）偏轴应力-应变关系的物理方程。2全面分析2.2单层板的偏轴刚度单层板的偏轴刚度为单层非材2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换-转换的术语设单层板单元体受面内偏轴正应力σx、σy和偏轴切应力ζxy作用，x和y分别表示两个任意的坐标轴方向，x轴和y轴称为偏轴，所用坐标系x-y称为偏轴坐标系。

单元体外法线方向x与材料主方向1之间的夹角为ϴ，称为单层方向角。规定自偏轴x转至正轴1的夹角ϴ逆时针为正，顺时针为负。3全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换-转换2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应力转换公式应力转换用于确定两个坐标系下弹性体内应力分量之间的关系。设单层板中单元体的应力状态如图所示，可分别用垂直于1轴或垂直于2轴的斜截面切出三角形分离体。垂直于1轴的横向斜截面上有σ1与ζ12，垂直于2轴的纵向斜截面上有σ2与ζ12。如图b，由静力平衡条件可导出应力转换公式。设斜截面面积为dA，该面法线与x轴的夹角为ϴ，令m=cosϴ，n=sinϴ。4全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应2.2单层板的偏轴刚度由∑1=0得。简化可得由∑2=0得到简化可得2.2.1应力转换和应变转换——应力转换公式5全面分析2.2单层板的偏轴刚度由∑1=0得。简化可得由∑2=0得到2.2单层板的偏轴刚度自行证明如下关系：如果将ϴ换为任意角度α，则应力转换公式适用于从任意坐标系向另一坐标系转换，把三个转换方程可以写成矩阵形式，如下应力转换矩阵应力负转换矩阵2.2.1应力转换和应变转换——应力转换公式6全面分析2.2单层板的偏轴刚度自行证明如下关系：如果将ϴ换为任意角2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应变转换公式平面应力状态下一点的应变状态，也用一定坐标系下的应变分量来表示的。研究应变的转换就是要研究不同坐标系下应变分量的转换。应变是一种几何量，所以应变转换夜视利用几何关系得到的，不涉及材料的性质及力的平衡。推导应力转换公式，就是由一定坐标系(x-y)下某一点的应变分量εx、εy、γxy推导在新坐标系（1-2）下的应变分量ε1、ε2、γ12，这里将材料主方向轴1-2暂时标为x’-y’轴。7全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应变转换公式在x-y坐标系下，设平面应力状态下一点D在该平面的应变分量，按应变的定义为式中，u、v分别是D点在x和Y方向的位移分量。在x’-y’坐标系下，8全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应变转换公式如图所示，D点有一微小位移矢量，其在x-y坐标系中的位移分量分别为u、v，而在x’-y’坐标系中的位移分量为u’、v’。

可建立如下几何关系在x-y和x’-y’坐标系的坐标转换也有类似关系显然，u和u’都是x和y的函数，又根据上式（红色框中），x和y是x’和y’的函数。求导得9全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应变转换公式10全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应变转换公式两式自行推导写成矩阵形式如下应变转换矩阵应变负转换矩阵11全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量建立单层板的偏轴应变-应力关系式，不需要像正轴一样。第一，偏轴下的简单试验比较困难，由于加载不是在材料的正轴方向，所以，一种外力要引起多种基本变形，从而不便由试验得到。第二，只要通过适当的应力和应变的转换完全可以导出偏轴下的应力-应变或应变-应力关系式。12全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量建立单层2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量推求从（a）到（d）的偏轴下的应力-应变关系，可将其分解为三个步骤：（1）从偏轴应变（a）到正轴应变（b）做正转换[Tε]（2）从正轴应变（b）到正轴应力（c）转换（利用正轴模量矩阵[Q]）（3）从正轴应力（c）到偏轴应力（d）做负转换13全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量推求从（2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量（1）从偏轴应变（a）到正轴应变（b）做正转换[Tε]（2）从正轴应变（b）到正轴应力（c）转换（利用正轴模量矩阵[Q]）14全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量（1）从2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量（3）利用应力负转换从正轴应力（c）到偏轴应力（d）做负转换偏轴下应力-应变关系的物理方程其中：15全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量（3）利本次课内容2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量偏轴模量矩阵的具体表达形式应力负转换矩阵正轴模量矩阵应变正转换矩阵将三个矩阵的乘积进行乘法运算得到偏轴模量与正轴模量之间的转换关系从这个公式中可以看出m=cosθ，n=sinθθ为复合材料单层板的纤维方向角，θ的正负号如前所述16全面分析本次课内容2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模将下面的转换关系式写成矩阵形式根据前面单层板正轴模量对称关系Qij=Qji又根据得到的偏轴模量与正轴模量之间的转换关系偏轴模量之间也有类似对称关系所以只需要列出六个偏轴模量的分量从六个关系式中可以看出，前四个偏轴模量转换关系是θ方向角的偶函数，而后两个关系式是θ角的奇函数17全面分析将下面的转换关系式写成矩阵形式根据前面单层板正轴模量对称关系还有一点需要说明六个偏轴模量的表达式，只适用于从正轴到偏轴的转换也就是只能由已知的正轴模量求单层板的方向角为θ的偏轴模量这个过程不能颠倒这六个关系式不能用于从某一偏轴到另一个偏轴的模量转换偏轴模量转换公式的步骤，是从正轴开始的，而且是在特定条件下推导出来的。原因并且正轴模量的分量只有四个Q11、Q22、Q12和Q66而任意坐标轴上的偏轴模量分量一般有六个分量比正轴方向下多出下标为“16”和“26”两个分量18全面分析还有一点需要说明六个偏轴模量的表达式，只适用于从正轴到偏轴的偏轴坐标系下的应力-应变关系公式如下下标为“16”和“26”的模量分量联系偏轴方向上的剪应变和正应力的耦合分量下标为“61”和“62”的模量分量联系偏轴方向上的正应变和剪应力的耦合分量这些分量在正交各向异性材料的正轴向是不存在的，均为零19全面分析偏轴坐标系下的应力-应变关系公式如下下标为“16”和“26”继续来看模量转换公式中的各个系数也就是系数m和n各个系数均为三角函数的四次方幂应力转换和应变转换公式中的各个系数均为三角函数的二次方幂从表面上看，偏轴模量具有六个分量，但由模量的转换公式可知，这六个分量只与四个独立常数Q11、Q22、Q12和Q66有关，所以偏轴模量实际上仍然只有四个独立的材料常数20全面分析继续来看模量转换公式中的各个系数也就是系数m和n各个系数均为矩阵表达形式为了提高模量转换公式的计算方便性，我们也可以将其进行降幂处理，通过三角函数的变形关系，将四次幂的系数转换成倍角三角函数的表达形式将四次幂系数的倍角三角函数表达形式代入到模量转换公式中经过整理归并，可以得到如下关系21全面分析矩阵表达形式为了提高模量转换公式的计算方便性，我们也可以将其这6个关系式是用倍角关系表示的偏轴模量的表达式式中的参量UiQ，是与单层方向角θ无关的正轴模量的线性组合，他们也是材料常数。表达式可以写成图中的关系形式这样我们就建立了偏轴模量的各个分量与倍角三角函数、复合材料单层板正轴模量线性组合UiQ之间的关系，同时又建立正轴模量的各个分量与UiQ之间的关系22全面分析这6个关系式是用倍角关系表示的偏轴模量的表达式式中的参量Ui先由正轴模量计算出参数UiQ再由UiQ通过方向角的倍角三角函数关系，计算偏轴模量的各个分量这样就多了一个计算复合材料单层板正轴模量线性组合UiQ的步骤，但是利用这种方式主要的优势就是不需要计算方向角θ的高次幂，所以整个的计算过程还是比较简易的。同时根据偏轴模量的各个分量与倍角三角函数、复合材料单层板正轴模量线性组合UiQ之间的关系，可以来讨论偏轴模量的一系列特性。根据两个关系式计算偏轴模量各个分量时需要先由正轴模量计算出参数UiQ再由UiQ通过方向角倍角三角函数，计算偏轴模量各分量23全面分析先由正轴模量计算出参数UiQ再由UiQ通过方向角的倍角三角函写出偏轴模量倍角三角函数的转换关系式如下，讨论偏轴模量分量的特性第一，对于前四个公式中存在常数项，均由U1Q和U4Q组合而成的常数项这几个常数项表示刚度的潜在能力，因为他们是不随铺层方向角θ变化的项，只与材料固有刚度特性有关，而与铺层方向无关。偏轴模量的倍角三角函数的表达式如下从式中看出，偏轴模量是由U1Q常数项加上θ角度的倍频变量和θ角度的4倍频变量决定的常数项具有固有刚度特性的意义，表示平均模量，只有在增加常数项的取值的情况下才能有效的增加偏轴模量的数值U2Q和U3Q均为两个倍角函数项的周期性幅值，当改变了方向角的时候，会使偏轴模量在某些方向上的数值增加，而在某些方向上会有所降低特征一24全面分析写出偏轴模量倍角三角函数的转换关系式如下，讨论偏轴模量分量的特征二第二，我们来看方框中的四个偏轴模量表达式包含倍角三角函数的项均为余弦值这两项中的倍角三角函数项均为正弦值所以前两项为偶函数，后两项为奇函数并且可以根据三角函数的周期性的特点求出下面的关系偏轴模量之间存在周期性镜像关系25全面分析特征二第二，我们来看方框中的四个偏轴模量表达式包含倍角三角函和中没有常数项，这两项不是独立的，存在微分关系特征三第三，我们看一下红色方框表示的这两个偏轴模量分量的表达式幅值均为U3Q，变化频率均为4θ，并且还可以看出这是偏轴模量分量之间经过加减运算关系所存在的特点。特征四26全面分析和中没有常数项，这两项注意到几种复合材料单层板的正轴模量分量如课本表2.1.2所示特征五可见Q11比Q22、Q12和Q66大得多计算偏轴模量时，正轴模量分量Q11起主要作用，复合材料单层板正轴模量线性组合UiQ均可以写成近似形式：以上学习的是复合材料单层板由正轴模量计算偏轴模量的转换关系式的推导过程。同时分析了不同偏轴模量分量的特征。下面来看一下复合材料单层板的偏轴柔量的定义及其特性。27全面分析注意到几种复合材料单层板的正轴模量分量如课本表2.1.2所示2.2单层板的偏轴刚度2.2.3单层板的偏轴柔量偏轴柔量是由偏轴应力给出偏轴应变的应变-应力关系式确定的确定偏轴柔量可以按照下图所示的步骤进行通过应力的正转换Tσ+与应变的负转换Tε-并且利用已知的柔量表示的正轴应变-应力关系式即得到偏轴坐标系下应变-应力关系式28全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.3单层板的偏轴柔量偏轴柔量2.2单层板的偏轴刚度2.2.3单层板的偏轴柔量总体也分为三个步骤进行（1）从图（a）到图（b）是从偏轴应力到正轴应力的正转换问题：写出偏轴应力到正轴应力的正转换公式！！29全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.3单层板的偏轴柔量总体也分2.2单层板的偏轴刚度2.2.3单层板的偏轴柔量总体也分为三个步骤进行（2）从图（b）到图（c）是从正轴应力求正轴应变的正轴坐标系下的应变-应力方程问题：写出从正轴应力求正轴应变的正轴坐标系下的应变-应力方程！！30全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.3单层板的偏轴柔量总体也分2.2单层板的偏轴刚度2.2.3单层板的偏轴柔量总体也分为三个步骤进行（3）从图（c）到图（d）是由正轴应变到偏轴应变的负转换的过程问题：写出由正轴应变到偏轴应变的负转换的过程！！31全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.3单层板的偏轴柔量总体也分采用以上三个步骤，完成了偏轴坐标系下的应变-应力的关系推导将三个矩阵的乘积写成如下形式利用这个方阵将偏轴坐标系下的应变-应力关系式写成如下形式也可以缩写为方阵可以用来表示称之为偏轴柔量矩阵或者叫做偏轴柔度矩阵。这个矩阵中的元素称为偏轴柔量32全面分析采用以上三个步骤，完成了偏轴坐标系下的应变-应力的关系推导将将偏轴柔量矩阵展开得到各个偏轴柔量分量的转换关系式建立正轴柔量、纤维铺层方向角θ与偏轴柔量之间的关系从这个关系式中注意到，其中的前四个式子均为方向角θ的偶函数，而最后两个关系式是θ方向角的奇函数ϴ的偶函数ϴ的奇函数同时还可以看出，这六个关系式中，除了方向角θ的余弦和正弦函数值之外，与偏轴柔量有关的正轴柔量参数值只有四个，也就是S11、S12、S22和S66这四个量，所以偏轴柔量表达式实际上仍只有四个独立的分量。33全面分析将偏轴柔量矩阵展开得到各个偏轴柔量分量的转换关系式建立正轴柔在幂函数形式表示的偏轴柔量公式中存在方向角θ的正弦或余弦函数的四次幂，这个计算过程比较繁琐可以继续采用偏轴模量的三角函数的倍角计算方法对其进行变形将以上的偏轴柔量表达式写成倍角函数的表达形式通过倍角函数表示的偏轴柔量表达式，方向角倍角的正弦或余弦仅仅只有一次幂，那么进行计算的过程比较方便34全面分析在幂函数形式表示的偏轴柔量公式中存在方向角θ的正弦或余弦函数还需要注意的是表达式中的参数Uis代表的是各个正轴柔量的线性组合形式称为柔量不变量通过对比可以看出偏轴柔量三角函数高次幂关系式偏轴模量三角函数高次幂关系式35全面分析还需要注意的是表达式中的参数Uis代表的是各个正轴柔量的线性偏轴柔量倍角三角函数关系式偏轴模量倍角三角函数关系式偏轴柔量倍角三角函数中的参数Uis表达式偏轴模量倍角三角函数中的参数UiQ表达式相应公式非常相似，仅仅是某些项的系数不同，这也是由于采用工程剪应变的缘故36全面分析偏轴柔量倍角三角函数关系式偏轴模量倍角三角函数关系式偏轴柔量对于计算偏轴柔量的两个关系式中对于正轴柔量的线性组合参数（柔量不变量）来讲如果材料特性和材质一定，正轴柔量的各个参数S11、S12、S22和S66均就确定了，那么相应的线性组合Uis就可以通过关系式计算出来，那么我们可以将几种典型复合材料的单层板的正轴柔量的线性组合列到一个表中对于偏轴柔量来讲，也存在偏轴模量中的各项特性问题：讲出偏轴柔量倍角计算公式中的偏轴柔量的几个参数特性！！37全面分析对于计算偏轴柔量的两个关系式中对于正轴柔量的线性组合参数（柔(1)对于前四个公式中，存在常数项，也就是偏轴柔量分量、、、中的第一项，均为

和组合而成的常数项。这几个常数项的意义表示柔度的潜在能力，因为他们是不随着铺层方向角θ来变化的项，只与材料的固有柔度特性有关，而与铺层方向无关。（2）我们来看、、和这四个偏轴柔量的表达式，其中和中的包含倍角三角函数的项均为余弦值，而和这两项中的倍角三角函数项均为正弦值，所以前两项为偶函数，后两项为奇函数。并且可以根据三角函数的周期性的特点求出下面的关系：38全面分析(1)对于前四个公式中，存在常数项，也就是偏轴柔量分量（3）和这两个偏轴柔量分量的表达式，这两项中的倍角三角函数的项，其幅值均为，变化频率均为4θ，并且还可以看出：这是偏轴柔量分量之间经过加减运算关系所存在的特点。（4）和中没有常数项，并且这两项不是独立的，他们与和之间存在微分关系。（5）对比正轴模量的各个分量的数据，其中Q11相对于其它值较大，可以有近似的关系，而正轴柔量的数据不存在这种近似关系，可以参考一下参考书中第32页的表2.1.2的数据特性，所以不可进行如同偏轴模量的近似计算。

还可以看出，偏轴模量和偏轴柔量之间存在互逆关系，两个矩阵之间互为逆矩阵，由于模量矩阵是对称的，所以柔量矩阵也是对称矩阵。39全面分析（3）正轴工程弹性常数是指在单轴应力或纯剪切应力的作用下的正轴单层样品，对其进行力学特性试验，测试得到的材料刚度性能的四个基本参数，也就是E1、E2、G12、v1这四个值，称之为正轴工程弹性常数。定义明确了偏轴模量和偏轴柔量的转换表达式的特征及其具体计算方法后首先学习复合材料单层板的偏轴工程弹性常数的概念及其相互关系之后对偏轴工程弹性常数的方向性进行系统讨论回顾正轴工程弹性常数的基本特性当构件处于正轴向单轴应力或纯剪切应力作用时，研究其拉伸、压缩、弯曲、扭转等基本变形条件下的刚度或强度时，实际测量的工程弹性常数可以直接引用。40全面分析正轴工程弹性常数是指在单轴应力或纯剪切应力的作用下的正轴单层2.2单层板的偏轴刚度2.2.4单层板的偏轴工程弹性常数如果复合材料单层板处于偏轴向坐标系下时，在上述受力或者变形情况下，往往需要引用偏轴工程弹性常数。而进行偏轴工程弹性常数的测量是非常困难的，其原因有两点：偏轴的角度可以任意的，测定无穷多个不同单层方向角的偏轴工程弹性常数很困难偏轴下单轴应力试验或纯剪切应力试验会产生多种变形的耦合基于以上两种情况的困难性，所以一般需要在偏轴应力-应变关系式已知的条件下，进行偏轴工程弹性常数的推求41全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.4单层板的偏轴工程弹性常数2.2单层板的偏轴刚度2.2.4单层板的偏轴工程弹性常数-偏轴工程弹性常数的定义首先看一下偏轴工程弹性常数的定义复合材料单层板在偏轴向受单轴应力或纯剪应力时的材料刚度性能参数根据正轴工程弹性常数的推导思路，首先回顾偏轴向的应变-应力关系，如下条件一：单轴应力状态条件二：纯剪切应力状态这三个条件，分别代入上面的关系式中，可以求出在X、Y轴方向上的偏轴弹性工程常数42全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.4单层板的偏轴工程弹性常数2.2单层板的偏轴刚度2.2.4单层板的偏轴工程弹性常数-偏轴工程弹性常数的定义首先我们设定举例矩阵计算相当于沿着偏轴X方向施加一个应力，将其代入偏轴应变-应力关系从这个式子可以看出，由于X轴方向的应力，引起该方向上的应变同时又引起了在偏轴Y轴方向上的应变和在偏轴XY平面内的剪切应变这分别是由偏轴向作用的拉压应力而引起的泊松耦合和拉剪耦合所导致的43全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.4单层板的偏轴工程弹性常数如同定义单层的正轴工程弹性常数一样，可以在X轴向定义如下拉压弹性模量泊松耦合系数拉剪耦合系数2.2单层板的偏轴刚度2.2.4单层板的偏轴工程弹性常数-偏轴工程弹性常数的定义44全面分析如同定义单层的正轴工程弹性常数一样，可以在X轴向定义如下拉压2.2单层板的偏轴刚度2.2.4单层板的偏轴工程弹性常数-偏轴工程弹性常数的定义类似的可以得到剪切弹性模量拉剪耦合系数剪拉耦合系数由于单层在偏轴向时呈现各向异性的性能，除了泊松耦合外，尚存在拉剪耦合或剪拉耦合。因而在偏轴向时，工程弹性常数有拉剪耦合系数和剪拉耦合系数。所有耦合系数都是无量纲的。耦合系数表示由一种外力引起另一种基本变形的应变与此种外力引起相应的基本变形的应变之比。在X轴、Y轴和xy平面内的全部工程弹性常数的计算公式45全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.4单层板的偏轴工程弹性常数本节课内容回顾46全面分析本节课内容回顾46全面分析单层板的宏观力学分析

2.2单层板的偏轴刚度上节课内容回顾47全面分析单层板的宏观力学分析

2.2单层板的偏轴刚度上节课内容回顾2.2单层板的偏轴刚度单层板的偏轴刚度为单层非材料主方向上的刚度。在实际应用中，有时需要求的单层的偏轴应力-应变关系。

这是因为复合材料设计时，所取坐标系往往不与材料的正轴坐标系重合。例如：

当分析纤维缠绕的圆柱形壳体时，材料的正轴是缠绕的螺旋线方向，而材料中的应力状态（或应变状态）往往是偏轴下给出的，因此要求在偏轴方向与正轴方向进行应力（应变）的转换。

本节重点：

（1）平面应力状态下的应力转换和应变转换公式；（2）偏轴应力-应变关系的物理方程。48全面分析2.2单层板的偏轴刚度单层板的偏轴刚度为单层非材2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换-转换的术语设单层板单元体受面内偏轴正应力σx、σy和偏轴切应力ζxy作用，x和y分别表示两个任意的坐标轴方向，x轴和y轴称为偏轴，所用坐标系x-y称为偏轴坐标系。

单元体外法线方向x与材料主方向1之间的夹角为ϴ，称为单层方向角。规定自偏轴x转至正轴1的夹角ϴ逆时针为正，顺时针为负。49全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换-转换2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应力转换公式应力转换用于确定两个坐标系下弹性体内应力分量之间的关系。设单层板中单元体的应力状态如图所示，可分别用垂直于1轴或垂直于2轴的斜截面切出三角形分离体。垂直于1轴的横向斜截面上有σ1与ζ12，垂直于2轴的纵向斜截面上有σ2与ζ12。如图b，由静力平衡条件可导出应力转换公式。设斜截面面积为dA，该面法线与x轴的夹角为ϴ，令m=cosϴ，n=sinϴ。50全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应2.2单层板的偏轴刚度由∑1=0得。简化可得由∑2=0得到简化可得2.2.1应力转换和应变转换——应力转换公式51全面分析2.2单层板的偏轴刚度由∑1=0得。简化可得由∑2=0得到2.2单层板的偏轴刚度自行证明如下关系：如果将ϴ换为任意角度α，则应力转换公式适用于从任意坐标系向另一坐标系转换，把三个转换方程可以写成矩阵形式，如下应力转换矩阵应力负转换矩阵2.2.1应力转换和应变转换——应力转换公式52全面分析2.2单层板的偏轴刚度自行证明如下关系：如果将ϴ换为任意角2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应变转换公式平面应力状态下一点的应变状态，也用一定坐标系下的应变分量来表示的。研究应变的转换就是要研究不同坐标系下应变分量的转换。应变是一种几何量，所以应变转换夜视利用几何关系得到的，不涉及材料的性质及力的平衡。推导应力转换公式，就是由一定坐标系(x-y)下某一点的应变分量εx、εy、γxy推导在新坐标系（1-2）下的应变分量ε1、ε2、γ12，这里将材料主方向轴1-2暂时标为x’-y’轴。53全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应变转换公式在x-y坐标系下，设平面应力状态下一点D在该平面的应变分量，按应变的定义为式中，u、v分别是D点在x和Y方向的位移分量。在x’-y’坐标系下，54全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应变转换公式如图所示，D点有一微小位移矢量，其在x-y坐标系中的位移分量分别为u、v，而在x’-y’坐标系中的位移分量为u’、v’。

可建立如下几何关系在x-y和x’-y’坐标系的坐标转换也有类似关系显然，u和u’都是x和y的函数，又根据上式（红色框中），x和y是x’和y’的函数。求导得55全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应变转换公式56全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应变转换公式两式自行推导写成矩阵形式如下应变转换矩阵应变负转换矩阵57全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量建立单层板的偏轴应变-应力关系式，不需要像正轴一样。第一，偏轴下的简单试验比较困难，由于加载不是在材料的正轴方向，所以，一种外力要引起多种基本变形，从而不便由试验得到。第二，只要通过适当的应力和应变的转换完全可以导出偏轴下的应力-应变或应变-应力关系式。58全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量建立单层2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量推求从（a）到（d）的偏轴下的应力-应变关系，可将其分解为三个步骤：（1）从偏轴应变（a）到正轴应变（b）做正转换[Tε]（2）从正轴应变（b）到正轴应力（c）转换（利用正轴模量矩阵[Q]）（3）从正轴应力（c）到偏轴应力（d）做负转换59全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量推求从（2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量（1）从偏轴应变（a）到正轴应变（b）做正转换[Tε]（2）从正轴应变（b）到正轴应力（c）转换（利用正轴模量矩阵[Q]）60全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量（1）从2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量（3）利用应力负转换从正轴应力（c）到偏轴应力（d）做负转换偏轴下应力-应变关系的物理方程其中：61全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量（3）利本次课内容2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量偏轴模量矩阵的具体表达形式应力负转换矩阵正轴模量矩阵应变正转换矩阵将三个矩阵的乘积进行乘法运算得到偏轴模量与正轴模量之间的转换关系从这个公式中可以看出m=cosθ，n=sinθθ为复合材料单层板的纤维方向角，θ的正负号如前所述62全面分析本次课内容2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模将下面的转换关系式写成矩阵形式根据前面单层板正轴模量对称关系Qij=Qji又根据得到的偏轴模量与正轴模量之间的转换关系偏轴模量之间也有类似对称关系所以只需要列出六个偏轴模量的分量从六个关系式中可以看出，前四个偏轴模量转换关系是θ方向角的偶函数，而后两个关系式是θ角的奇函数63全面分析将下面的转换关系式写成矩阵形式根据前面单层板正轴模量对称关系还有一点需要说明六个偏轴模量的表达式，只适用于从正轴到偏轴的转换也就是只能由已知的正轴模量求单层板的方向角为θ的偏轴模量这个过程不能颠倒这六个关系式不能用于从某一偏轴到另一个偏轴的模量转换偏轴模量转换公式的步骤，是从正轴开始的，而且是在特定条件下推导出来的。原因并且正轴模量的分量只有四个Q11、Q22、Q12和Q66而任意坐标轴上的偏轴模量分量一般有六个分量比正轴方向下多出下标为“16”和“26”两个分量64全面分析还有一点需要说明六个偏轴模量的表达式，只适用于从正轴到偏轴的偏轴坐标系下的应力-应变关系公式如下下标为“16”和“26”的模量分量联系偏轴方向上的剪应变和正应力的耦合分量下标为“61”和“62”的模量分量联系偏轴方向上的正应变和剪应力的耦合分量这些分量在正交各向异性材料的正轴向是不存在的，均为零65全面分析偏轴坐标系下的应力-应变关系公式如下下标为“16”和“26”继续来看模量转换公式中的各个系数也就是系数m和n各个系数均为三角函数的四次方幂应力转换和应变转换公式中的各个系数均为三角函数的二次方幂从表面上看，偏轴模量具有六个分量，但由模量的转换公式可知，这六个分量只与四个独立常数Q11、Q22、Q12和Q66有关，所以偏轴模量实际上仍然只有四个独立的材料常数66全面分析继续来看模量转换公式中的各个系数也就是系数m和n各个系数均为矩阵表达形式为了提高模量转换公式的计算方便性，我们也可以将其进行降幂处理，通过三角函数的变形关系，将四次幂的系数转换成倍角三角函数的表达形式将四次幂系数的倍角三角函数表达形式代入到模量转换公式中经过整理归并，可以得到如下关系67全面分析矩阵表达形式为了提高模量转换公式的计算方便性，我们也可以将其这6个关系式是用倍角关系表示的偏轴模量的表达式式中的参量UiQ，是与单层方向角θ无关的正轴模量的线性组合，他们也是材料常数。表达式可以写成图中的关系形式这样我们就建立了偏轴模量的各个分量与倍角三角函数、复合材料单层板正轴模量线性组合UiQ之间的关系，同时又建立正轴模量的各个分量与UiQ之间的关系68全面分析这6个关系式是用倍角关系表示的偏轴模量的表达式式中的参量Ui先由正轴模量计算出参数UiQ再由UiQ通过方向角的倍角三角函数关系，计算偏轴模量的各个分量这样就多了一个计算复合材料单层板正轴模量线性组合UiQ的步骤，但是利用这种方式主要的优势就是不需要计算方向角θ的高次幂，所以整个的计算过程还是比较简易的。同时根据偏轴模量的各个分量与倍角三角函数、复合材料单层板正轴模量线性组合UiQ之间的关系，可以来讨论偏轴模量的一系列特性。根据两个关系式计算偏轴模量各个分量时需要先由正轴模量计算出参数UiQ再由UiQ通过方向角倍角三角函数，计算偏轴模量各分量69全面分析先由正轴模量计算出参数UiQ再由UiQ通过方向角的倍角三角函写出偏轴模量倍角三角函数的转换关系式如下，讨论偏轴模量分量的特性第一，对于前四个公式中存在常数项，均由U1Q和U4Q组合而成的常数项这几个常数项表示刚度的潜在能力，因为他们是不随铺层方向角θ变化的项，只与材料固有刚度特性有关，而与铺层方向无关。偏轴模量的倍角三角函数的表达式如下从式中看出，偏轴模量是由U1Q常数项加上θ角度的倍频变量和θ角度的4倍频变量决定的常数项具有固有刚度特性的意义，表示平均模量，只有在增加常数项的取值的情况下才能有效的增加偏轴模量的数值U2Q和U3Q均为两个倍角函数项的周期性幅值，当改变了方向角的时候，会使偏轴模量在某些方向上的数值增加，而在某些方向上会有所降低特征一70全面分析写出偏轴模量倍角三角函数的转换关系式如下，讨论偏轴模量分量的特征二第二，我们来看方框中的四个偏轴模量表达式包含倍角三角函数的项均为余弦值这两项中的倍角三角函数项均为正弦值所以前两项为偶函数，后两项为奇函数并且可以根据三角函数的周期性的特点求出下面的关系偏轴模量之间存在周期性镜像关系71全面分析特征二第二，我们来看方框中的四个偏轴模量表达式包含倍角三角函和中没有常数项，这两项不是独立的，存在微分关系特征三第三，我们看一下红色方框表示的这两个偏轴模量分量的表达式幅值均为U3Q，变化频率均为4θ，并且还可以看出这是偏轴模量分量之间经过加减运算关系所存在的特点。特征四72全面分析和中没有常数项，这两项注意到几种复合材料单层板的正轴模量分量如课本表2.1.2所示特征五可见Q11比Q22、Q12和Q66大得多计算偏轴模量时，正轴模量分量Q11起主要作用，复合材料单层板正轴模量线性组合UiQ均可以写成近似形式：以上学习的是复合材料单层板由正轴模量计算偏轴模量的转换关系式的推导过程。同时分析了不同偏轴模量分量的特征。下面来看一下复合材料单层板的偏轴柔量的定义及其特性。73全面分析注意到几种复合材料单层板的正轴模量分量如课本表2.1.2所示2.2单层板的偏轴刚度2.2.3单层板的偏轴柔量偏轴柔量是由偏轴应力给出偏轴应变的应变-应力关系式确定的确定偏轴柔量可以按照下图所示的步骤进行通过应力的正转换Tσ+与应变的负转换Tε-并且利用已知的柔量表示的正轴应变-应力关系式即得到偏轴坐标系下应变-应力关系式74全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.3单层板的偏轴柔量偏轴柔量2.2单层板的偏轴刚度2.2.3单层板的偏轴柔量总体也分为三个步骤进行（1）从图（a）到图（b）是从偏轴应力到正轴应力的正转换问题：写出偏轴应力到正轴应力的正转换公式！！75全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.3单层板的偏轴柔量总体也分2.2单层板的偏轴刚度2.2.3单层板的偏轴柔量总体也分为三个步骤进行（2）从图（b）到图（c）是从正轴应力求正轴应变的正轴坐标系下的应变-应力方程问题：写出从正轴应力求正轴应变的正轴坐标系下的应变-应力方程！！76全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.3单层板的偏轴柔量总体也分2.2单层板的偏轴刚度2.2.3单层板的偏轴柔量总体也分为三个步骤进行（3）从图（c）到图（d）是由正轴应变到偏轴应变的负转换的过程问题：写出由正轴应变到偏轴应变的负转换的过程！！77全面分析2.2单层板的偏轴刚度2.2.3单层板的偏轴柔量总体也分采用以上三个步骤，完成了偏轴坐标系下的应变-应力的关系推导将三个矩阵的乘积写成如下形式利用这个方阵将偏轴坐标系下的应变-应力关系式写成如下形式也可以缩写为方阵可以用来表示称之为偏轴柔量矩阵或者叫做偏轴柔度矩阵。这个矩阵中的元素称为偏轴柔量78全面分析采用以上三个步骤，完成了偏轴坐标系下的应变-应力的关系推导将将偏轴柔量矩阵展开得到各个偏轴柔量分量的转换关系式建立正轴柔量、纤维铺层方向角θ与偏轴柔量之间的关系从这个关系式中注意到，其中的前四个式子均为方向角θ的偶函数，而最后两个关系式是θ方向角的奇函数ϴ的偶函数ϴ的奇函数同时还可以看出，这六个关系式中，除了方向角θ的余弦和正弦函数值之外，与偏轴柔量有关的正轴柔量参数值只有四个，也就是S11、S12、S22和S66这四个量，所以偏轴柔量表达式实际上仍只有四个独立的分量。79全面分析将偏轴柔量矩阵展开得到各个偏轴柔量分量的转换关系式建立正轴柔在幂函数形式表示的偏轴柔量公式中存在方向角θ的正弦或余弦函数的四次幂，这个计算过程比较繁琐可以继续采用偏轴模量的三角函数的倍角计算方法对其进行变形将以上的偏轴柔量表达式写成倍角函数的表达形式通过倍角函数表示的偏轴柔量表达式，方向角倍角的正弦或余弦仅仅只有一次幂，那么进行计算的过程比较方便80全面分析在幂函数形式表示的偏轴柔量公式中存在方向角θ的正弦或余弦函数还需要注意的是表达式中的参数Uis代表的是各个正轴柔量的线性组合形式称为柔量不变量通过对比可以看出偏轴柔量三角函数高次幂关系式偏轴模量三角函数高次幂关系式81全面分析还需要注意的是表达式中的参数Uis代表的是各个正轴柔量的线性偏轴柔量倍角三角函数关系式偏轴模量倍角三角函数关系式偏轴柔量倍角三角函数中的参数Uis表达式偏轴模量倍角三角函数中的参数UiQ表达式相应公式非常相似，仅仅是某些项的系数不同，这也是由于采用工程剪应变的缘故82全面分析偏轴柔量倍角三角函数关系式偏轴模量倍角三角函数关系式偏轴柔量对于计算偏轴柔量的两个关系式中对于正轴柔量的线性组合参数（柔量不变量）来讲如果材料特性和材质一定，正轴柔量的各个参数S11、S12、S22和S66均就确定了，那么相应的线性组合Uis就可以通过关系式计算出来，那么我们可以将几种典型复合材料的单层板的正轴柔量的线性组合列到一个表中对于偏轴柔量来讲，也存在偏轴模量中的各项特性问题：讲出偏轴柔量倍角计算公式中的偏轴柔量的几个参数特性！！83全面分析对于计算偏轴柔量的两个关系式中对于正轴柔量的线性组合参数（柔(1)对于前四个公式中，存在常数项，也就是偏轴柔量分量、、、中的第一项，均为

和组合而成的常数项。这几个常数项的意义表示柔度的潜在能力，因为他们是不随着铺层方向角θ来变化的项，只与材料的固有柔度特性有关，而与铺层方向无关。（2）我们来看、、和这四个偏轴柔量的表达式，其中和中的包含倍角三角函数的项均为余弦值，而和这两项中的倍角三角函数项均为正弦值，所以前两项为偶函数，后两项为奇函数。并且可以根据三角函数的周期性的特点求出下面的关系：84全面分析(1)对于前四个公式中，存在常数项，也就是偏轴柔量分量