电路第七章一阶电路和二阶电路的时域分析课件

动态电路的方程及其初始条件7.1阶跃响应7.7一阶电路的零输入响应7.2冲激响应7.8一阶电路的零状态响应7.3一阶电路的全响应7.4二阶电路的零输入响应7.5二阶电路的零状态响应和全响应7.6首页第7章一阶电路和二阶电路的时域分析状态方程7.10动态电路的方程及其初始条件7.1阶跃响应7.7一阶电路的零输含有动态元件电容和电感的电路叫做动态电路。也可以说，用微分（积分）方程（组）描述的电路叫做动态电路。1.动态电路的概念和特点7.1动态电路的方程及其初始条件当动态电路状态发生改变时需要经历一个过渡过程。下页上页特点返回含有动态元件电容和电感的电路叫做动态电路。1.动态电路的概念稳态和瞬态的区别稳态（steadystate）瞬态（transition,transientprocess）电路上施加恒定或周期性激励，并且从施加激励起又过了很长时间后电路所达到的状态。电路从一个稳态改变到另一个稳态时所经历的变化过程。（又称为过渡过程、暂态过程）无规则（非恒定、非周期）激励作用于电路时整个电路不存在稳态，可以认为这样的电路一直处于瞬态。下页上页返回稳态和瞬态的区别稳态（steadystate）瞬态（tra例0ti电路过渡瞬间即可完成电阻电路下页上页+-usR1R2（t=0）i返回例0ti电路过渡瞬间即可完成电阻电路下页上页+usR1Ri=0,uC=Usi=0,uC=0k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳态：k动作前，电路处于稳态：电容电路下页上页k+–uCUsRCi(t=0)+-(t→)+–uCUsRCi+-前一个稳态过渡过程新的稳态t1USuct0?i电压、电流都要经历过渡期返回i=0,uC=Usi=0,uuL=0,i=Us/Ri=0,uL=0k接通电源后很长时间，电路达到新的稳态，电感视为短路：k动作前，电路处于稳态：电感电路下页上页k+–uLUsRi(t=0)+-L(t→)+–uLUsRi+-前一个稳态过渡过程新的稳态t1US/Rit0?uL电压、电流都要经历过渡期返回uL=0,i=Us/Ri=0,uL下页上页假设k动作前电路处于稳态：uL=0,i=Us/R若强行断开k，则在断开瞬间：uL→工程中不允许在无任何保护措施的情况下切断通电的电感性负载。注意k+–uLUsRI≠0+-返回下页上页假设k动作前电路处于稳态：uL=0,i过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件L、C，电路换路后能量分布需要发生变化，能量的储存和释放都需要一定的时间来完成，即能量不能跃变。相应地，电容电压和电感电流都不能跃变。电路结构、状态发生变化换路(commutation)支路接入或断开电路参数变化下页上页返回过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件L、C，电路换路后能应用KVL和电容的VCR得：若以电流为变量：2.动态电路的方程下页上页(t>0)+–uCUsRCi+-例RC电路返回应用KVL和电容的VCR得：若以电流为变量：2.动态电路的方应用KVL和电感的VCR得：若以电感电压为变量：下页上页(t>0)+–uLUsRi+-RL电路返回应用KVL和电感的VCR得：若以电感电压为变量：下页上页有源电阻电路一个动态元件一阶电路下页上页结论含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常系数微分方程，称一阶线性电路。结合戴维宁定理和诺顿定理，所有的一阶电路都可化成四种基本电路之一。返回有源一个动一阶电路下页上页结论含有一个动态元件电容或电二阶电路下页上页(t>0)+–uLUsRi+-CuC＋－RLC电路应用KVL和元件的VCR得：含有二个独立动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常系数微分方程，称二阶线性电路。返回二阶电路下页上页(t>0)+–uLUsRi+-CuC一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。二阶电路二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。下页上页结论返回高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性动态电路的分析方法下页上页返回电阻电路分析中所讲的求解电路的目标和基础依然适用于求解动态电路。只是在时域内获得到方程不再是线性代数方程组，而变成了线性微分（积分）方程（组）。求解微分微分方程（组）时，需要用到电路亦即方程的初始条件。对阶数较高的电路，工程上需要借助计算机求解。（计算机辅助分析，求得的是数值解）动态电路的分析方法下页上页返回电阻电路分析中所讲的求解

t=0＋与t=0－的概念换路发生在在t=0时刻0－

换路前一瞬间

0＋

换路后一瞬间3.电路的初始条件初始条件为t=0＋时u，i

及其各阶导数的值。下页上页注意0f(t)0－0＋t返回t=0＋与t=0－的概念换路发生在在t=0时刻0－t=0+

时刻iucC+-电容电压的初始条件0下页上页返回当i()为有限值时t=0+时刻iucC+-电容电压的初始条件0下页上q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)若换路瞬间电容电流为有限值，则电容电压（或电荷）在换路前后保持不变。q

=CuC下页上页结论返回q(0+)=q(0－)uC(0+)=uC(0电感电流的初始条件t=0+时刻0下页上页iLuL+-返回当u()为有限值时电感电流的初始条件t=0+时刻0下页上页iLuL+-L

(0＋)=L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)若换路瞬间电感电压为有限值，则电感电流（或磁链）在换路前后保持不变。下页上页结论返回L(0＋)=L(0－)iL(0＋)=iL(0－)L

(0+)=L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)换路定律电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件；换路定律反映了能量不能跃变。下页上页注意返回当电容电流为有限值时：当电感电压为有限值时：L(0+)=L(0－)iL(0+)=iL(0－)其它电路变量的初始值(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V(1)

由0－电路求

uC(0－)uC(0－)=8V(3)

由0+等效电路求

iC(0+)iC(0－)=0iC(0+)例1电路原已处于稳态，开关S在t=0时打开，求

iC(0+)。下页上页+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效电路+-10ViiC10k注意返回其它电路变量的初始值(2)由换路定律uC(0+)=iL(0+)=iL(0－)=2A例2电路原已处于稳态，t=0时闭合开关S,求

uL(0+)。先求应用换路定律:解下页上页iL+uL-L10VS14+-iL10V14+-由0+等效电路求

uL(0+)2A+uL-10V14+-注意返回iL(0+)=iL(0－)=2A例2电路原已处于稳态，例3电路原已处于稳态，t=0时闭合开关S。求闭合后瞬间的各支路电流和电感电压。解下页上页由0+等效电路得：iL+uL-LS2+-48V32CiL2+-48V32+－uC返回12A24V+-48V32+-iiC+-uL例3电路原已处于稳态，t=0时闭合开关S。求闭合后瞬间的求初始值的步骤:由换路前的稳态电路求出uC(0－)和iL(0－)；由换路定律得uC(0+)和iL(0+)；画出0+等效电路：

由0+等效电路求所需各变量在0+时刻的值。换路后的电路电容（感）用电压（流）源替代（电源分别取0+时刻电容电压、电感电流的值，方向与原方向相同）下页上页小结返回求初始值的步骤:由换路前的稳态电路求出uC(0－)和iL(07.2一阶电路的零输入响应换路后电路无外加激励，仅由动态元件初始储能所产生的响应。1.RC电路的零输入响应已知

uC

(0－)=U0零输入响应下页上页iS(t=0)+–uRC+–uCR返回uR=Ri7.2一阶电路的零输入响应换路后电路无外加激励，仅由动态元特征根特征方程RCp+1=0则下页上页代入初始值

uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0iS(t=0)+–uRC+–uCR返回特征根特征方程RCp+1=0则下页上页代入初始值下页上页由返回或可得：电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数：讨论tU0uC0I0ti0连续函数发生跃变下页上页由返回或可得：电压、电流是随时间按同一指数规律

=RC下页上页返回称为一阶电路的时间常数响应衰减的快慢与RC有关：大→过渡过程时间长小→过渡过程时间短U0tuc0

小

大有明确的物理含义=RC下页上页返回称为一阶电路的时间常数响应衰减—电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间；工程上认为,经过3－5

,过渡过程结束。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

下页上页注意返回—电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间；U0放电过程中的能量关系：设uC(0+)=U0，则放电结束后电容总共放出的能量为；电阻吸收（消耗）的总能量：下页上页返回电容放出的能量全部被电阻吸收放电过程中的能量关系：设uC(0+)=U0，则放电结束后电例1图示电路中的电容原有24V电压，t=0时S闭合，求S闭合后的电容电压和各支路电流。解+uC45F－i1t>0等效电路下页上页i3S3+uC265F—i2i1返回分流得：例1图示电路中的电容原有24V电压，t=0时S闭合，求S闭合2.RL电路的零输入响应特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值A=iL(0+)=I0t>0下页上页iLS(t=0)USL+–uLRR1+-iL+–uLR返回2.RL电路的零输入响应特征方程Lp+R=0特征根代tI0iL0连续函数发生跃变电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数：响应衰减快慢与L/R有关：下页上页讨论-RI0uLt0返回=L/RtI0iL0连续函数发生跃变电压、电流是随时间按同一指数规律放电过程中的能量关系：电感释放的能量全部被电阻吸收电阻吸收（消耗）的能量：下页上页返回放电过程中的能量关系：电感释放的能量全部被电阻吸收电阻吸收（iL

(0+)=iL(0－)=1AuV(0+)=－10000V，此高电压足以损坏电压表。例1电路原已处于稳态，t=0时打开开关S，求电压表两端电压uV。（电压表量程为50V）解下页上页iLS+–L=4HR=10VRV=10k10ViLLR10V+-返回续流二极管iL(0+)=iL(0－)=1AuV(0+)=例2电路原已处于稳态，t=0时开关S由1→2，求开关动作之后的电感电压和电流。解下页上页i+–uL66Ht>0iLS+–24V6H3446+－uL212返回例2电路原已处于稳态，t=0时开关S由1→2，求开关动作之后一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数：衰减快慢取决于时间常数；同一电路中所有响应具有相同的时间常数；在任意给定时刻t0，一阶电路零输入响应的取值和初始值成正比。下页上页小结返回一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初动态元件初始能量为零，由t>0电路中外加激励作用所产生的响应。方程：7.3一阶电路的零状态响应解答形式为：1.RC电路的零状态响应零状态响应非齐次方程特解齐次方程通解下页上页iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=0+–非齐次线性常系数微分方程返回动态元件初始能量为零，由t>0电路中外加激励作用所产生的响与输入激励的变化规律有关，是电路的稳态解；变化规律由电路参数和结构决定。的通解通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量，稳态分量）的特解下页上页返回与输入激励的变化规律有关，是电路的稳态解；变化规律由电路参数全解uC(0+)=A+US=0A=－US由初始条件uC(0+)=0定积分常数

A下页上页从以上式子可以得出：返回全解uC(0+)=A+US=0A=－US由初始条件-USuC”uC’UStuC0电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数。电容电压由两部分构成：连续函数ti0发生跃变稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）下页上页表明+返回-USuC”uC’UStuC0电压、电流是随时间按同一指数规响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；在任意给定时刻t0，响应取值与外加激励成正比；能量关系：电源提供能量：电阻消耗能量：电容储存能量：电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。下页上页表明RC+-US返回响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；电源提供能量：电源提例t=0时开关S闭合，已知

uC(0－)=0，求(1)电容电压和电流；(2)使uC达到80V时所用的充电时间。解(1)(2)设经过t1秒uC达到80V，则下页上页50010F+-100VS+－uCi返回例t=0时开关S闭合，已知uC(0－)=0，求(1)电容电2.RL电路的零状态响应已知iL(0－)=0，电路方程为：tiL0下页上页iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回2.RL电路的零状态响应已知iL(0－)=0，电路方程为：uLUSt0下页上页iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回uLUSt0下页上页iLS(t=0)US+–uRL+–u例电路原已处于稳态，t=0开关k打开，求t>0后iL、uL及电压u。解这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：下页上页iL+–uL2HUoReq+－t>0返回iLK+–uL2H102A105+–u例电路原已处于稳态，t=0开关k打开，求t>0后iL、u7.4一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。以RC电路为例，电路微分方程：1.全响应全响应下页上页iS(t=0)US+–uRC+–uCR解答为：

uC(t)=uC'+uC"返回uC'=US非齐次方程特解（=RC）齐次方程通解7.4一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激uC

(0－)=U0uC

(0+)=A+US=U0A=U0

-US由初始值定A下页上页强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)返回uC(0－)=U0uC(0+)=A+US=U0A=U2.全响应的两种分解方式uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0全响应

=

强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)着眼于电路的工作状态下页上页返回2.全响应的两种分解方式uC"-USU0暂态解uC'US稳态全响应=零状态响应

+

零输入响应着眼于因果关系下页上页零输入响应零状态响应S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0+S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0S(t=0)USC+–RuC(0－)=0返回全响应=零状态响应+零输入响应着眼于因果关系下页上零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0下页上页返回零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U例电路原已达稳态，t=0

时S打开，求t>0后的iL、uL。解RL电路全响应问题：零输入响应：零状态响应：全响应：下页上页iLS(t=0)+–24V0.6H4+－uL8返回例电路原已达稳态，t=0时S打开，求t>0后的iL、u3.三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：令

t=0+其解答一般形式为：下页上页特解返回3.三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方分析一阶电路问题由此转为求解电路的三个要素的问题，该方法称为三要素法。用t→的稳态电路求解用0+等效电路求解用Req和C（或L）的值求解下页上页直流激励时：返回稳态解初始值时间常数分析一阶电路问题由此转为求解电路的三个要素的问题，该方法称为例1已知：电路原已处于稳态，t=0

时开关合上，求换路后的uC(t)。解tuc2(V)0.6670下页上页1A213F+-uC返回例1已知：电路原已处于稳态，t=0时开关合上，求换路后的u例2电路原已处于稳态，t=0时开关闭合，求t>0后的iL、i1、i2。解法1下页上页iL+–20V0.5H55+–10Vi2i1代入三要素法公式，得返回其它未知量可根据KCL、KVL、VCR写出：例2电路原已处于稳态，t=0时开关闭合，求t>0后的iL、三个变量都用三要素法：下页上页0＋等效电路返回+–20V2A55+–10Vi2i1解法2三个变量都用三要素法：下页上页0＋等效电路返回+–20下页上页例3电路原已处于稳态，t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t)。+–1H0.25F52S10Vi解uc的三要素为：返回iL的三要素为：下页上页例3电路原已处于稳态，t=0时开关闭合，求换路后下页上页+–1H0.25F52S10Vi返回含有受控源的一阶电路也可以使用三要素法求解，请参阅教材例题。注意下页上页+–1H0.25F52S10Vi返回含有受7.5二阶电路的零输入响应uC(0+)=U0i(0+)=0已知：1.二阶电路的零输入响应以电容电压为变量：电路方程：以电感电流为变量：下页上页RLC+-iuc返回7.5二阶电路的零输入响应uC(0+)=U0i(0+特征方程：电路方程：以电容电压为变量时的初始条件：uC(0+)=U0i(0+)=0以电感电流为变量时的初始条件：i(0+)=0uC(0+)=U0下页上页返回方程求解（以电容电压方程为例）：特征方程：电路方程：以电容电压为变量时的初始条件：uC(0+2.特征根分布的三种情况特征根：下页上页返回两个不相等的负实根两个相等的负实根两个位于复平面左半平面的共轭复根2.特征根分布的三种情况特征根：下页上页返回两个不相等下页上页返回通过初始条件确定常数：方程的解：下页上页返回通过初始条件确定常数：方程的解：U0tuc注意到|p2|>|p1|下页上页0电容电压波形返回正值（绝对值较大）衰减慢负值（绝对值较小）衰减快U0tuc注意到|p2|>|p1|下页上页0电容电压过渡过程中i始终大于零下页上页电容电流（电感电流）波形返回正值衰减慢衰减快再令di/dt=0，即若tm是上式的解，则i在tm终时刻取得最大值解得：由于故过渡过程中i始终大于零下页上页电容电流（电感电流）波形返下页上页返回tmituc0结合i的起始值、终了值，可绘出其波形：U0下页上页返回tmituc0结合i的起始值、终了值，可绘下页上页返回电感电压波形uL可写为

由于故考虑到

下页上页返回电感电压波形uL可写为即t=2tm时uL

取极值。下页上页返回再令duL/dt=0，则解之得显然，t=tm时uL

等于零；即t=2tm时uL取极值。下页上页返回再令du2tmuL下页上页t返回tmituc0结合uL的起始值、终了值，可绘出其波形：U02tmuL下页上页t返回tmituc0结合uL的起始值能量转换关系0<t<tm

uC

减小，i

增加；t>tmuC减小，i

减小。下页上页RLC+-RLC+-tU0uCtm2tmuLi0返回能量转换关系0<t<tmuC减小，i下页上页返回上述结果和波形（比如uC单调下降，i取正值，uL的从正到负过零等）是在题目所做假设的条件下得出的，不具备普遍意义；具有普遍意义的是每个变量均可写为以下形式：基于上述表达式的结论是，换路后每个变量的波形至多过零一次，即符号至多改变一次；相应地，L或C的储能也不会发生多次振荡(功率发出或吸收至多经历三个阶段且总以发出收尾)。小结下页上页返回上述结果和波形（比如uC单调下降，i取正下页上页返回仿真波形举例：uC(0+)=100V,iL(0+)=0uL

i

ucpc(发出)pRpL下页上页返回仿真波形举例：uC(0+)=100V,i下页上页返回仿真波形举例：uC(0+)=100V,iL(0+)=100AuL

i

ucpc(发出)pRpL下页上页返回仿真波形举例：uC(0+)=100V,i下页上页返回仿真波形举例：uC(0+)=100V,iL(0+)=-100AuL

i

ucpc(发出)pRpL下页上页返回仿真波形举例：uC(0+)=100V,i下页上页返回仿真波形举例：uC(0+)=0,iL(0+)=-100AuL

i

ucpc(发出)pRpL下页上页返回仿真波形举例：uC(0+)=0,iL(0下页上页返回其中：衰减系数谐振角频率固有震荡频率p1、p2向量与负实轴的夹角下页上页返回其中：衰减系数下页上页返回应用欧拉公式得：初始条件→两个系数：uc

的解答形式：下页上页返回应用欧拉公式得：初始条件→两个系数：ucδωω0下页上页返回或者，直接设：由初始条件得：两种方法所得结果完全一致。δωω0下页上页返回或者，直接设：由初始条件得：两种

uc(0)

=U0;uC过零时对应t=-，2-，…，n-ωt-2-20U0uC下页上页返回uC波形是以为包络线的衰减正弦振荡。电容电压波形uc(0)=U0;uC过零时对应t=-ωt-2-20U0uCii=0过零时对应t=0，，2，…，n下页上页返回电容电流（电感电流）波形

i(0)

=0;uC的极值点就是i的过零点；ωt-2-20U0uCii=0过零时对应t=uL过零时对应t=，+，2+，...，n+i

的极值点就是uL的过零点；下页上页返回电感电压波形ωt-2-20U0uCi+uL(0)

=U0；uL过零时对应t=，+，2+，...，n下页上页返回-0uL

i

uc00C

发出的功率L

吸收的功率下页上页返回-0uLiuc00C发出的功下页上页返回-0uL

i

uc下页上页返回-0uLiuc0<t<<t<--<t<下页上页RLC+-RLC+-RLC+-返回能量转换关系：-0uL

i

uc0<t<<t<--<特例：R=0时uC(uL)、i均为等幅正弦振荡，两者相位相差90度。C和L之间的能量交换周而复始，永不衰减，永不停歇。t下页上页LC+-0返回特例：R=0时uC(uL)、i均为等幅正弦振荡，两者下页上页返回仿真波形举例：uC(0+)=100V,iL(0+)=0,R=0uL

i=uc=pc(发出)pRpL下页上页返回仿真波形举例：uC(0+)=100V,i下页上页返回仿真波形举例：uC(0+)=100V,iL(0+)=-100A,R=0uL

i=uc=pc(发出)pRpL下页上页返回仿真波形举例：uC(0+)=100V,i下页上页返回下页上页返回下页上页返回初始条件可写为：解得：所以：下页上页返回初始条件下页上页返回还可进一步求得：uC、uL、i均表现为非振荡放电，但已经达到属于非振荡和振荡放电之间的临界状态。电阻称为临界电阻。下页上页返回还可进一步求得：uC、uL、i均以上结论可推广应用于所有二阶电路。下页上页小结返回R大于临界电阻的电路称为过阻尼（overdamped）电路，对应的放电过程为非振荡放电：R等于临界电阻的电路称为临界阻尼（crtically-damped）电路，对应的放电过程为非振荡放电：R小于临界电阻的电路称为欠阻尼（underdamped）电路，对应的放电过程为振荡放电：以上结论可推广应用于所有二阶电路。下页上页小结返回R大7.6二阶电路的零状态响应和全响应已知uC(0－)=0、iL(0－)=0，US在t=0时接入。微分方程为：通解特解特解:

特征方程为:下页上页RLC+-uCiLUS+-例1.二阶电路的零状态响应返回7.6二阶电路的零状态响应和全响应已知uC(0－)=0、uC解答形式为：下页上页tuCUS0返回两个常数由初始条件确定。uC解答形式为：下页上页tuCUS0返回两个常数由初始2.二阶电路的全响应下页上页返回全响应=零状态响应

+

零输入响应2.二阶电路的全响应下页上页返回全响应=零状态响二阶电路含二个独立动态（储能）元件，是用二阶常系数微分方程所描述的电路；二阶电路中各个响应的性质取决于特征根，特征根取决于电路结构和参数，与激励和初值无关。下页上页小结返回二阶电路含二个独立动态（储能）元件，是用二阶常系数微分方程所7.7阶跃响应1.单位阶跃函数定义t(t)01单位阶跃函数的延迟t(t-t0)t001下页上页返回7.7阶跃响应1.单位阶跃函数定义t(t)01在电路中模拟开关的动作单位阶跃函数的作用下页上页SUSu(t)u(t)返回Isku(t)在电路中模拟开关的动作单位阶跃函数的作用下页上页SUS起始一个函数tf(t)0t0延迟一个函数下页上页tf(t)0t0返回起始一个函数tf(t)0t0延迟一个函数下页上页tf(用单位阶跃函数还可表示复杂的信号例1(t)tf(t)101t0tf(t)0t0-(t-t0)例2下页上页返回f(t)1t10243解解用单位阶跃函数还可表示复杂的信号例1(t)tf(t)1例31t1f(t)0下页上页返回解例31t1f(t)0下页上页返回解2.一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。阶跃响应下页上页iC+–uCRuC(0－)=0返回2.一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零t01it0i下页上页tuC10返回注意两种写法有区别t01it0i下页上页tuC10返回注意两种写法有区别tiC0激励在t=t0

时加入，则响应从t=t0开始。t-t0(t-t0)-t不要写为：下页上页iC(t-t0)C+–uCRt0注意返回tiC0激励在t=t0时加入，t-t0(t-求图示电路中的电流iC（t）。例下页上页10k10kus+-ic100FuC(0－)=00.510t(s)us(V)05k0.5us+-ic100FuC(0－)=0返回解求图示电路中的电流iC（t）。例下页上页10k10ku应用叠加定理可将电压源分解成两个。两个电源分别单独作用时对应的戴维宁等效电路：下页上页5k+-ic100F5k+-ic100F5k+-ic100F戴维宁等效电路中iC在电压源作用下的阶跃响应为：返回应用叠加定理可将电压源分解成两个。两个电源分别单独作用时对应由齐次性和叠加性得实际响应为：下页上页5k+-ic100F5k+-ic100F返回由齐次性和叠加性得实际响应为：下页上页5k+ic1007.8冲激响应1.单位冲激函数定义t(t)10单位脉冲函数的极限/21/tp(t)-/2下页上页返回7.8冲激响应1.单位冲激函数定义t(t)10单位脉单位冲激函数的延迟t(t-t0)t00（1）单位冲激函数的性质冲激函数对时间的积分等于阶跃函数下页上页返回单位冲激函数的延迟t(t-t0)t00（1）单位冲激冲激函数的“筛分性”

同理例t(t)10f(t)f(0)

f(t)在t0处连续f(0)(t)注意下页上页返回冲激函数的“筛分性”同理例t(t)10f(t)f(0)uc不是冲激函数,否则KCL不成立分二个时间段考虑冲激响应电容充电，方程为(1)

t

在

0－

→

0+间例12.一阶电路的冲激响应激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应。冲激响应求单位冲激电流激励下的RC电路的零状态响应。解注意下页上页返回uC(0－)=0iCR(t)C+-uCuc不是冲激函数,否则KCL不成立分二个时间段考虑冲激响电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。0结论(2)t>0+

为零输入响应（RC放电）iCRC+uC－下页上页返回电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。0结论(2)t>0uCt0iCt10下页上页返回uCt0iCt10下页上页返回例2求单位冲激电压激励下的RL电路的零状态响应。分二个时间段考虑冲激响应解L+-iLR+-uLiL不是冲激函数,否则KVL不成立。注意0下页上页返回(1)

t

在

0－

→

0+间方程为例2求单位冲激电压激励下的RL电路的零状态响应。分二个时间段电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。结论(2)t>0+

RL放电LiLR+-uL下页上页返回电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。结论(2)t>iLt0uLt10下页上页返回iLt0uLt10下页上页返回零状态R(t)3.单位阶跃响应和单位冲激响应关系单位阶跃响应单位冲激响应h(t)s(t)单位冲激(t)单位阶跃(t)激励响应下页上页返回零状态R(t)3.单位阶跃响应和单位冲激响应关系单位阶跃响电路变换零状态R(t)4*.动态电路中的“线性”激励响应下页上页返回零状态R(s)激励响应在复频域内（亦即采用在运算电路后），激励和响应之间的关系又变为代数关系：所列出的方程形式为“响应的线性组合=激励的线性组合”，解方程所得结果的形式为“响应=激励的线性组合”。时域复频域拉普拉斯变换拉普拉斯变换电路变换零状态R(t)4*.动态电路中的“线性”激励响应下页上页返回在复频域内，若只存在单个激励，则响应可写为传递函数与激励的乘积：若存在多个激励，则响应可写为激励的线性组合：单位冲激信号的拉普拉斯变换等于1，所以在复频域内单位冲激响应H(s)就等于传递函数G(s)。又因为频域内相乘对应时域内卷积：所以，多个激励作用时动态电路的响应可以写作单个激励与对应冲激响应的卷积的叠加。下页上页返回在复频域内，若只存在单个激励，则响应可写为先求单位阶跃响应：求:is(t)为单位冲激时电路响应uC(t)和iC(t).例解uC(0+)=0uC()=R

=RC

iC(0+)=1iC()=0再求单位冲激响应,令：下页上页返回令uC(0－)=0iCRiS(t)C+-uC先求单位阶跃响应：求:is(t)为单位冲激时电路响应uC(0下页上页返回0下页上页返回uCRt0iC1t0uCt0冲激响应阶跃响应iCt10下页上页返回uCRt0iC1t0uCt0冲激响应阶跃响应iCt10下页1.状态与状态变量状态是系统理论中的一个概念。在电路理论中，状态是指在某给定时刻电路必须具备的最少量的信息，它们和从该时刻开始的输入一起，能决定该电路在此后任何时刻的性状。状态变量电路的一组独立变量X=[x1,x2……xn]T，它们在任何时刻的值能够完全反映该时刻电路的状态。独立的电容电压（或电荷），电感电流（或磁通链）可做电路的状态变量。下页上页7.10状态方程返回1.状态与状态变量状态是系统理论中的一个概念。在电路理论中，求解电路的状态变量法：下页上页借助于状态变量所建立一组联系状态变量和激励函数的一阶微分方程组，称为状态方程。写出状态方程后，由状态变量初始值X(t0)和激励e(t)，就可以完全确定t>t0后电路的响应。返回状态变量之间必须是互相独立；状态变量数和独立储能元件数有关。有几个独立的储能元件，就有几个状态变量；状态变量的选择不唯一，一般选择电容电压和电感电流为状态变量。注意求解电路的状态变量法：下页上页借助于状态变量所建选uc和iL为状态变量：整理得每一个状态方程中只允许出现一个状态变量的一阶导数。简单电路的方程可采用直观编写，复杂电路方程编写需要借助“特有树”。下页上页2.状态方程的列写

RLCe(t)+iLiC+-uC-uo返回选uc和iL为状态变量：整理得每一个状态方程中只允许出现一可写成矩阵形式：状态方程是联立的一阶微分方程组；各方程左端为状态变量的一阶导数；各方程右端只含状态变量和激励；激励和初始条件都给定时状态方程才能求解。下页上页特点返回一般形式可写成矩阵形式：状态方程是联立的一阶微分方程组；下页上页输出方程下页上页

RLCe(t)+iLiC+-uC-uC描述电路中感兴趣的量与状态变量和输入量之间的关系方程（组）。返回3.输出方程及列写输出方程下页上页RLCe(t)+iLiC+-uC-u输出方程是代数方程；将各状态当作已知量后（即根据替代定理用电源替换L、C之后），总可以通过求解电阻电路写出输出方程。一般形式：下页上页特点返回输出方程是代数方程；一般形式：下页上页特点返回下页上页例列出电路的状态方程及以两个结点电压为输出变量的输出方程。L1CuS+iL1iS+-uC-R1R2iL2L21212解对结点①列KCL方程：返回对两个回路列KVL方程：下页上页例列出电路的状态方程及以两个结点电压为输出变量的下页上页整理成矩阵形式：返回下页上页整理成矩阵形式：返回下页上页结点电压可写为：整理并写成矩阵形式有：返回下页上页结点电压可写为：整理并写成矩阵形式有：返回动态电路的方程及其初始条件7.1阶跃响应7.7一阶电路的零输入响应7.2冲激响应7.8一阶电路的零状态响应7.3一阶电路的全响应7.4二阶电路的零输入响应7.5二阶电路的零状态响应和全响应7.6首页第7章一阶电路和二阶电路的时域分析状态方程7.10动态电路的方程及其初始条件7.1阶跃响应7.7一阶电路的零输含有动态元件电容和电感的电路叫做动态电路。也可以说，用微分（积分）方程（组）描述的电路叫做动态电路。1.动态电路的概念和特点7.1动态电路的方程及其初始条件当动态电路状态发生改变时需要经历一个过渡过程。下页上页特点返回含有动态元件电容和电感的电路叫做动态电路。1.动态电路的概念稳态和瞬态的区别稳态（steadystate）瞬态（transition,transientprocess）电路上施加恒定或周期性激励，并且从施加激励起又过了很长时间后电路所达到的状态。电路从一个稳态改变到另一个稳态时所经历的变化过程。（又称为过渡过程、暂态过程）无规则（非恒定、非周期）激励作用于电路时整个电路不存在稳态，可以认为这样的电路一直处于瞬态。下页上页返回稳态和瞬态的区别稳态（steadystate）瞬态（tra例0ti电路过渡瞬间即可完成电阻电路下页上页+-usR1R2（t=0）i返回例0ti电路过渡瞬间即可完成电阻电路下页上页+usR1Ri=0,uC=Usi=0,uC=0k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳态：k动作前，电路处于稳态：电容电路下页上页k+–uCUsRCi(t=0)+-(t→)+–uCUsRCi+-前一个稳态过渡过程新的稳态t1USuct0?i电压、电流都要经历过渡期返回i=0,uC=Usi=0,uuL=0,i=Us/Ri=0,uL=0k接通电源后很长时间，电路达到新的稳态，电感视为短路：k动作前，电路处于稳态：电感电路下页上页k+–uLUsRi(t=0)+-L(t→)+–uLUsRi+-前一个稳态过渡过程新的稳态t1US/Rit0?uL电压、电流都要经历过渡期返回uL=0,i=Us/Ri=0,uL下页上页假设k动作前电路处于稳态：uL=0,i=Us/R若强行断开k，则在断开瞬间：uL→工程中不允许在无任何保护措施的情况下切断通电的电感性负载。注意k+–uLUsRI≠0+-返回下页上页假设k动作前电路处于稳态：uL=0,i过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件L、C，电路换路后能量分布需要发生变化，能量的储存和释放都需要一定的时间来完成，即能量不能跃变。相应地，电容电压和电感电流都不能跃变。电路结构、状态发生变化换路(commutation)支路接入或断开电路参数变化下页上页返回过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件L、C，电路换路后能应用KVL和电容的VCR得：若以电流为变量：2.动态电路的方程下页上页(t>0)+–uCUsRCi+-例RC电路返回应用KVL和电容的VCR得：若以电流为变量：2.动态电路的方应用KVL和电感的VCR得：若以电感电压为变量：下页上页(t>0)+–uLUsRi+-RL电路返回应用KVL和电感的VCR得：若以电感电压为变量：下页上页有源电阻电路一个动态元件一阶电路下页上页结论含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常系数微分方程，称一阶线性电路。结合戴维宁定理和诺顿定理，所有的一阶电路都可化成四种基本电路之一。返回有源一个动一阶电路下页上页结论含有一个动态元件电容或电二阶电路下页上页(t>0)+–uLUsRi+-CuC＋－RLC电路应用KVL和元件的VCR得：含有二个独立动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常系数微分方程，称二阶线性电路。返回二阶电路下页上页(t>0)+–uLUsRi+-CuC一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。二阶电路二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。下页上页结论返回高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性动态电路的分析方法下页上页返回电阻电路分析中所讲的求解电路的目标和基础依然适用于求解动态电路。只是在时域内获得到方程不再是线性代数方程组，而变成了线性微分（积分）方程（组）。求解微分微分方程（组）时，需要用到电路亦即方程的初始条件。对阶数较高的电路，工程上需要借助计算机求解。（计算机辅助分析，求得的是数值解）动态电路的分析方法下页上页返回电阻电路分析中所讲的求解

t=0＋与t=0－的概念换路发生在在t=0时刻0－

换路前一瞬间

0＋

换路后一瞬间3.电路的初始条件初始条件为t=0＋时u，i

及其各阶导数的值。下页上页注意0f(t)0－0＋t返回t=0＋与t=0－的概念换路发生在在t=0时刻0－t=0+

时刻iucC+-电容电压的初始条件0下页上页返回当i()为有限值时t=0+时刻iucC+-电容电压的初始条件0下页上q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)若换路瞬间电容电流为有限值，则电容电压（或电荷）在换路前后保持不变。q

=CuC下页上页结论返回q(0+)=q(0－)uC(0+)=uC(0电感电流的初始条件t=0+时刻0下页上页iLuL+-返回当u()为有限值时电感电流的初始条件t=0+时刻0下页上页iLuL+-L

(0＋)=L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)若换路瞬间电感电压为有限值，则电感电流（或磁链）在换路前后保持不变。下页上页结论返回L(0＋)=L(0－)iL(0＋)=iL(0－)L

(0+)=L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)换路定律电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件；换路定律反映了能量不能跃变。下页上页注意返回当电容电流为有限值时：当电感电压为有限值时：L(0+)=L(0－)iL(0+)=iL(0－)其它电路变量的初始值(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V(1)

由0－电路求

uC(0－)uC(0－)=8V(3)

由0+等效电路求

iC(0+)iC(0－)=0iC(0+)例1电路原已处于稳态，开关S在t=0时打开，求

iC(0+)。下页上页+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效电路+-10ViiC10k注意返回其它电路变量的初始值(2)由换路定律uC(0+)=iL(0+)=iL(0－)=2A例2电路原已处于稳态，t=0时闭合开关S,求

uL(0+)。先求应用换路定律:解下页上页iL+uL-L10VS14+-iL10V14+-由0+等效电路求

uL(0+)2A+uL-10V14+-注意返回iL(0+)=iL(0－)=2A例2电路原已处于稳态，例3电路原已处于稳态，t=0时闭合开关S。求闭合后瞬间的各支路电流和电感电压。解下页上页由0+等效电路得：iL+uL-LS2+-48V32CiL2+-48V32+－uC返回12A24V+-48V32+-iiC+-uL例3电路原已处于稳态，t=0时闭合开关S。求闭合后瞬间的求初始值的步骤:由换路前的稳态电路求出uC(0－)和iL(0－)；由换路定律得uC(0+)和iL(0+)；画出0+等效电路：

由0+等效电路求所需各变量在0+时刻的值。换路后的电路电容（感）用电压（流）源替代（电源分别取0+时刻电容电压、电感电流的值，方向与原方向相同）下页上页小结返回求初始值的步骤:由换路前的稳态电路求出uC(0－)和iL(07.2一阶电路的零输入响应换路后电路无外加激励，仅由动态元件初始储能所产生的响应。1.RC电路的零输入响应已知

uC

(0－)=U0零输入响应下页上页iS(t=0)+–uRC+–uCR返回uR=Ri7.2一阶电路的零输入响应换路后电路无外加激励，仅由动态元特征根特征方程RCp+1=0则下页上页代入初始值

uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0iS(t=0)+–uRC+–uCR返回特征根特征方程RCp+1=0则下页上页代入初始值下页上页由返回或可得：电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数：讨论tU0uC0I0ti0连续函数发生跃变下页上页由返回或可得：电压、电流是随时间按同一指数规律

=RC下页上页返回称为一阶电路的时间常数响应衰减的快慢与RC有关：大→过渡过程时间长小→过渡过程时间短U0tuc0

小

大有明确的物理含义=RC下页上页返回称为一阶电路的时间常数响应衰减—电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间；工程上认为,经过3－5

,过渡过程结束。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

下页上页注意返回—电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间；U0放电过程中的能量关系：设uC(0+)=U0，则放电结束后电容总共放出的能量为；电阻吸收（消耗）的总能量：下页上页返回电容放出的能量全部被电阻吸收放电过程中的能量关系：设uC(0+)=U0，则放电结束后电例1图示电路中的电容原有24V电压，t=0时S闭合，求S闭合后的电容电压和各支路电流。解+uC45F－i1t>0等效电路下页上页i3S3+uC265F—i2i1返回分流得：例1图示电路中的电容原有24V电压，t=0时S闭合，求S闭合2.RL电路的零输入响应特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值A=iL(0+)=I0t>0下页上页iLS(t=0)USL+–uLRR1+-iL+–uLR返回2.RL电路的零输入响应特征方程Lp+R=0特征根代tI0iL0连续函数发生跃变电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数：响应衰减快慢与L/R有关：下页上页讨论-RI0uLt0返回=L/RtI0iL0连续函数发生跃变电压、电流是随时间按同一指数规律放电过程中的能量关系：电感释放的能量全部被电阻吸收电阻吸收（消耗）的能量：下页上页返回放电过程中的能量关系：电感释放的能量全部被电阻吸收电阻吸收（iL

(0+)=iL(0－)=1AuV(0+)=－10000V，此高电压足以损坏电压表。例1电路原已处于稳态，t=0时打开开关S，求电压表两端电压uV。（电压表量程为50V）解下页上页iLS+–L=4HR=10VRV=10k10ViLLR10V+-返回续流二极管iL(0+)=iL(0－)=1AuV(0+)=例2电路原已处于稳态，t=0时开关S由1→2，求开关动作之后的电感电压和电流。解下页上页i+–uL66Ht>0iLS+–24V6H3446+－uL212返回例2电路原已处于稳态，t=0时开关S由1→2，求开关动作之后一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数：衰减快慢取决于时间常数；同一电路中所有响应具有相同的时间常数；在任意给定时刻t0，一阶电路零输入响应的取值和初始值成正比。下页上页小结返回一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初动态元件初始能量为零，由t>0电路中外加激励作用所产生的响应。方程：7.3一阶电路的零状态响应解答形式为：1.RC电路的零状态响应零状态响应非齐次方程特解齐次方程通解下页上页iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=0+–非齐次线性常系数微分方程返回动态元件初始能量为零，由t>0电路中外加激励作用所产生的响与输入激励的变化规律有关，是电路的稳态解；变化规律由电路参数和结构决定。的通解通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量，稳态分量）的特解下页上页返回与输入激励的变化规律有关，是电路的稳态解；变化规律由电路参数全解uC(0+)=A+US=0A=－US由初始条件uC(0+)=0定积分常数

A下页上页从以上式子可以得出：返回全解uC(0+)=A+US=0A=－US由初始条件-USuC”uC’UStuC0电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数。电容电压由两部分构成：连续函数ti0发生跃变稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）下页上页表明+返回-USuC”uC’UStuC0电压、电流是随时间按同一指数规响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；在任意给定时刻t0，响应取值与外加激励成正比；能量关系：电源提供能量：电阻消耗能量：电容储存能量：电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。下页上页表明RC+-US返回响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；电源提供能量：电源提例t=0时开关S闭合，已知

uC(0－)=0，求(1)电容电压和电流；(2)使uC达到80V时所用的充电时间。解(1)(2)设经过t1秒uC达到80V，则下页上页50010F+-100VS+－uCi返回例t=0时开关S闭合，已知uC(0－)=0，求(1)电容电2.RL电路的零状态响应已知iL(0－)=0，电路方程为：tiL0下页上页iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回2.RL电路的零状态响应已知iL(0－)=0，电路方程为：uLUSt0下页上页iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回uLUSt0下页上页iLS(t=0)US+–uRL+–u例电路原已处于稳态，t=0开关k打开，求t>0后iL、uL及电压u。解这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：下页上页iL+–uL2HUoReq+－t>0返回iLK+–uL2H102A105+–u例电路原已处于稳态，t=0开关k打开，求t>0后iL、u7.4一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。以RC电路为例，电路微分方程：1.全响应全响应下页上页iS(t=0)US+–uRC+–uCR解答为：

uC(t)=uC'+uC"返回uC'=US非齐次方程特解（=RC）齐次方程通解7.4一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激uC

(0－)=U0uC

(0+)=A+US=U0A=U0

-US由初始值定A下页上页强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)返回uC(0－)=U0uC(0+)=A+U