统计学第四版一元线性回归课件

数据分析

(方法与案例)

作者贾俊平统计学统

计

学

Statistics数据分析

(方法与案例)

作者贾俊平统计学统计

不要过于教条地对待研究的结果，尤其当数据的质量受到怀疑时。

——DamodarN.Gujarati统计名言不要过于教条地对待研究的结果，统计名言第9章一元线性回归9.1变量间关系的度量9.2一元线性回归的估计和检验9.3利用回归方程进行预测9.4用残差检验模型的假定

regressionanalysis第9章一元线性回归9.1变量间关系的度量r学习目标相关关系的分析参数的最小二乘估计回归直线的拟合优度回归方程的显著性检验利用回归方程进行预测用残差证实模型的假定用Excel和SPSS进行回归学习目标相关关系的分析子代与父代一样吗？Galton被誉为现代回归和相关技术的创始人。1875年，Galton利用豌豆实验来确定尺寸的遗传规律。他挑选了7组不同尺寸的豌豆，并说服他在英国不同地区的朋友每一组种植10粒种子，最后把原始的豌豆种子(父代)与新长的豌豆种子(子代)进行尺寸比较当结果被绘制出来之后，他发现并非每一个子代都与父代一样，不同的是，尺寸小的豌豆会得到更大的子代，而尺寸大的豌豆却得到较小的子代。Galton把这一现象叫做“返祖”(趋向于祖先的某种平均类型)，后来又称之为“向平均回归”。一个总体中在某一时期具有某一极端特征(低于或高于总体均值)的个体在未来的某一时期将减弱它的极端性(或者是单个个体或者是整个子代)，这一趋势现在被称作“回归效应”。人们发现它的应用很广，而不仅限于从一代到下一代豌豆大小问题子代与父代一样吗？Galton被誉为现代回归和相关技术的创始子代与父代一样吗？正如Galton进一步发现的那样，平均来说，非常矮小的父辈倾向于有偏高的子代；而非常高大的父辈则倾向于有偏矮的子代。在第一次考试中成绩最差的那些学生在第二次考试中倾向于有更好的成绩(比较接近所有学生的平均成绩)，而第一次考试中成绩最好的那些学生在第二次考试中则倾向于有较差的成绩(同样比较接近所有学生的平均成绩)。同样，平均来说，第一年利润最低的公司第二年不会最差，而第一年利润最高的公司第二年则不会是最好的如果把父代和子代看作两个变量，找出这两个变量的关系，并根据这种关系建立适当的数学模型，就可以根据父代的数值预测子代的取值，这就是经典的回归方法要解决的问题。学完本章的内容你会对回归问题有更深入的理解子代与父代一样吗？正如Galton进一步发现的那样，平均来说回归分析研究什么？研究某些实际问题时往往涉及到多个变量。在这些变量中，有一个变量是研究中特别关注的，称为因变量，而其他变量则看成是影响这一变量的因素，称为自变量假定因变量与自变量之间有某种关系，并把这种关系用适当的数学模型表达出来，那么，就可以利用这一模型根据给定的自变量来预测因变量，这就是回归要解决的问题在回归分析中，只涉及一个自变量时称为一元回归，涉及多个自变量时则称为多元回归。如果因变量与自变量之间是线性关系，则称为线性回归(linearregression)；如果因变量与自变量之间是非线性关系则称为非线性回归(nonlinearregression)回归分析研究什么？研究某些实际问题时往往涉及到多个变量。在这

9.1变量间的关系9.1.1变量间是什么样的关系？9.1.2用散点图描述相关关系9.1.3用相关系数度量关系强度第9章一元线性回归9.1变量间的关系第9章一元线性回归怎样分析变量间的关系？建立回归模型时，首先需要弄清楚变量之间的关系。分析变量之间的关系需要解决下面的问题变量之间是否存在关系？如果存在，它们之间是什么样的关系？变量之间的关系强度如何？样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？怎样分析变量间的关系？建立回归模型时，首先需要弄清楚变量之间9.1.1变量间是什么样的关系？9.1变量间的关系9.1.1变量间是什么样的关系？9.1变量间的关xy函数关系是一一对应的确定关系设有两个变量x和y，变量y随变量x一起变化，并完全依赖于x

，当变量x取某个数值时，

y依确定的关系取相应的值，则称y是x的函数，记为y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量各观测点落在一条线上

xy函数关系是一一对应的确定关系相关关系

(几个例子)子女的身高与其父母身高的关系从遗传学角度看，父母身高较高时，其子女的身高一般也比较高。但实际情况并不完全是这样，因为子女的身高并不完全是由父母身高一个因素所决定的，还有其他许多因素的影响一个人的收入水平同他受教育程度的关系收入水平相同的人，他们受教育的程度也不可能不同，而受教育程度相同的人，他们的收入水平也往往不同。因为收入水平虽然与受教育程度有关系，但它并不是决定收入的惟一因素，还有职业、工作年限等诸多因素的影响农作物的单位面积产量与降雨量之间的关系在一定条件下，降雨量越多，单位面积产量就越高。但产量并不是由降雨量一个因素决定的，还有施肥量、温度、管理水平等其他许多因素的影响相关关系

(几个例子)子女的身高与其父母身高的关系相关关系

(correlation)一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定当变量

x取某个值时，变量y的取值对应着一个分布各观测点分布在直线周围

yx相关关系

(correlation)一个变量的取值不能由另一9.1.2用散点图描述相关关系9.1变量间的关系9.1.2用散点图描述相关关系9.1变量间的关系完全负线性相关完全正线性相关散点图

(scatterdiagram)不相关负线性相关正线性相关非线性相关完全负线性相关完全正线性相关用散点图描述变量间的关系

(例题分析)【例9-1】为研究销售收入与广告费用支出之间的关系，某医药管理部门随机抽取20家药品生产企业，得到它们的年销售收入和广告费用支出(万元)的数据如下。绘制散点图描述销售收入与广告费用之间的关系原始数据用散点图描述变量间的关系

(例题分析)【例9-1】为研究销售散点图

(销售收入和广告费用的散点图)散点图

(销售收入和广告费用的散点图)9.1.3用相关系数度量关系强度9.1变量间的关系9.1.3用相关系数度量关系强度9.1变量间的关相关系数

(correlationcoefficient)度量变量之间线性关系强度的一个统计量若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，简称为相关系数，记为r也称为Pearson相关系数

(Pearson’scorrelationcoefficient)样本相关系数的计算公式

计算相关系数Excel相关系数

(correlationcoefficient)相关系数的性质性质1：r的取值范围是[-1,1]|r|=1，为完全相关r=1，为完全正相关r=-1，为完全负正相关r=0，不存在线性相关关系-1r<0，为负相关0<r1，为正相关|r|越趋于1表示关系越强；|r|越趋于0表示关系越弱相关系数的性质性质1：r的取值范围是[-1,1]相关系数的性质性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间的相关系数相等，即rxy=ryx性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小性质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用于描述非线性关系。这意为着，r=0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有任何关系性质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不一定意味着x与y一定有因果关系相关系数的性质性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和相关系数的经验解释|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关0.5|r|<0.8时，可视为中度相关0.3|r|<0.5时，视为低度相关|r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为不相关上述解释必须建立在对相关系数的显著性进行检验的基础之上相关系数的经验解释|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相相关系数的显著性检验

(检验的步骤)1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系采用R.A.Fisher提出的t检验检验的步骤为提出假设：H0：；H1：0计算检验的统计量用Excel中的【TDIST】函数得双尾计算P值，并于显著性水平比较，并作出决策若P<，拒绝H0相关系数的显著性检验

(检验的步骤)1. 检验两个变量之间是相关系数的显著性检验

(例题分析)【例9-3】检验销售收入与广告费用之间的相关系数是否显著(0.05)提出假设：H0：；H1：0计算检验的统计量3.用Excel中的【TDIST】函数得双尾P=2.743E-09<0.05，拒绝H0，销售收入与广告费用之间的相关系数显著相关系数的显著性检验

(例题分析)【例9-3】检验销售收入与相关系数的显著性检验

(SPSS输出结果)第1步：选择【Analyze】【Correlate-Bivariate】第2步：将两个变量（本例为销售收入和广告费用）分别选入【Variables】。点击【OK】相关系数的显著性检验

(SPSS输出结果)第1步：选择【An

9.2一元线性回归的估计和检验9.2.1一元线性回归模型9.2.2参数的最小二乘估计9.2.3回归直线的拟合优度9.2.4显著性检验第9章一元线性回归9.2一元线性回归的估计和检验第9章一元线9.2.1一元线性回归模型9.2一元线性回归的估计和检验9.2.1一元线性回归模型9.2一元线性回归的估什么是回归分析？

(regressionanalysis)重点考察考察一个特定的变量(因变量)，而把其他变量(自变量)看作是影响这一变量的因素，并通过适当的数学模型将变量间的关系表达出来利用样本数据建立模型的估计方程对模型进行显著性检验进而通过一个或几个自变量的取值来估计或预测因变量的取值什么是回归分析？

(regressionanalysis)一元线性回归涉及一个自变量的回归因变量y与自变量x之间为线性关系被预测或被解释的变量称为因变量(dependentvariable)，用y表示用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independentvariable)，用x表示因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示一元线性回归涉及一个自变量的回归一元线性回归模型

(linearregressionmodel)描述因变量y如何依赖于自变量x和误差项

的方程称为回归模型一元线性回归模型可表示为y=b0+b1x+ey是x的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映了由于x的变化而引起的y的变化误差项

是随机变量反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响是不能由x和y之间的线性关系所解释的变异性0和1称为模型的参数一元线性回归模型

(linearregressionmo一元线性回归模型

(基本假定)

因变量x与自变量y之间具有线性关系在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的误差项满足正态性。是一个服从正态分布的随机变量，且期望值为0，即

~N(0,2)。对于一个给定的x值，y的期望值为E(y)=0+1x方差齐性。对于所有的x值，的方差一个特定的值，的方差也都等于2都相同。同样，一个特定的x值，y的方差也都等于2独立性。独立性意味着对于一个特定的x值，它所对应的ε与其他x值所对应的ε不相关；对于一个特定的x值，它所对应的y值与其他x所对应的y值也不相关一元线性回归模型

(基本假定)因变量x与自变量y之间具有线估计的回归方程

(estimatedregressionequation)总体回归参数和

是未知的，必须利用样本数据去估计用样本统计量和代替回归方程中的未知参数和，就得到了估计的回归方程一元线性回归中估计的回归方程为其中：是估计的回归直线在y轴上的截距，是直线的斜率，它表示对于一个给定的x的值，是y的估计值，也表示x每变动一个单位时，y的平均变动值

估计的回归方程

(estimatedregression9.2.2参数的最小二乘估计9.2一元线性回归的估计和检验9.2.2参数的最小二乘估计9.2一元线性回归的参数的最小二乘估计

(methodofleastsquares)德国科学家KarlGauss(1777—1855)提出用最小化图中垂直方向的误差平方和来估计参数

使因变量的观察值与估计值之间的误差平方和达到最小来求得和的方法。即用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小参数的最小二乘估计

(methodofleastsquKarlGauss的最小化图xy(xn,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)ei=yi-yi＾KarlGauss的最小化图xy(xn,yn)(x1参数的最小二乘估计

(

和的计算公式)

根据最小二乘法，可得求解和的公式如下参数的最小二乘估计

(和的计算公式)根参数的最小二乘估计

(例题分析)【例9-4】根据例9-1的数据，求销售收入与广告费用的估计的回归方程第1步：选择【工具】下拉菜单，并选择【数据分析】选项第2步：在分析工具中选择【回归】，选择【确定】第2步：当对话框出现时

在【Y值输入区域】设置框内键入Y的数据区域在【X值输入区域】设置框内键入X的数据区域在【置信度】选项中给出所需的数值在【输出选项】中选择输出区域在【残差】分析选项中选择所需的选项回归分析Excel参数的最小二乘估计

(例题分析)【例9-4】根据例9-1的数参数的最小二乘估计

(Excel输出结果)【例】求销售收入与广告费用的估计回归方程，并解释回归系数的含义参数的最小二乘估计

(Excel输出结果)【例】求销售收入与用SPSS进行回归第1步：选择【Analyze】下拉菜单，并选择【Regression-linear】选项，进入主对话框第2步：在主对话框中将因变量(本例为销售收入)选入【Dependent】，将自变量(本例为广告费用)选入【Independent(s)】第3步：点击【Save】在【PredictedValues】下选中【Unstandardized】(输出点预测值)在【Predictioninterval】下选中【Mean】和【Individual】(输出置信区间和预测区间)在【ConfidenceInterval】中选择所要求的置信水平(隐含值95%，一般不用改变)在【Residuals】下选中【Unstandardized】和【standardized】(输出残差和标准化残差)点击【Continue】回到主对话框。点击【OK】进行回归SPSS用SPSS进行回归第1步：选择【Analyze】下拉菜单，参数的最小二乘估计

(SPSS输出结果)参数的最小二乘估计

(SPSS输出结果)参数的最小二乘估计

(例题分析)参数的最小二乘估计

(例题分析)9.2.3回归直线的拟合优度9.2一元线性回归的估计和检验9.2.3回归直线的拟合优度9.2一元线性回归的变差因变量

y的取值是不同的，y取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面由于自变量x的取值不同造成的除x以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差来表示变差因变量y的取值是不同的，y取值的这种波动称为变差。误差分解图xyy误差分解图xyy误差平方和的分解

(误差平方和的关系)

SST=SSR+SSE总平方和(SST){回归平方和(SSR)残差平方和(SSE){{误差平方和的分解

(误差平方和的关系)SST=SSR误差平方和的分解

(三个平方和的意义)总平方和(SST—totalsumofsquares)反映因变量的n个观察值与其均值的总误差回归平方和(SSR—sumofsquaresofregression)反映自变量x的变化对因变量y取值变化的影响，或者说，是由于x与y之间的线性关系引起的y的取值变化，也称为可解释的平方和残差平方和(SSE—sumofsquaresoferror)反映除x以外的其他因素对y取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和误差平方和的分解

(三个平方和的意义)总平方和(SST—t判定系数R2

(coefficientofdetermination)回归平方和占总误差平方和的比例反映回归直线的拟合程度取值范围在[0,1]之间R21，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差决定系数平方根等于相关系数输出结果Excel判定系数R2

(coefficientofdeter估计标准误差

(standarderrorofestimate)实际观察值与回归估计值误差平方和的均方根反映实际观察值在回归直线周围的分散状况对误差项的标准差的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小

计算公式为输出结果Excel估计标准误差

(standarderrorofesti9.2.4显著性检验9.2一元线性回归的估计和检验9.2.4显著性检验9.2一元线性回归的估计和检线性关系的检验检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数k)残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-k-1)线性关系的检验检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著线性关系的检验

(检验的步骤)

提出假设H0：1=0线性关系不显著2.计算检验统计量F确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2求统计量的P值作出决策：若P<，拒绝H0。表明两个变量之间的线性关系显著输出结果Excel线性关系的检验

(检验的步骤)提出假设2.计算检验回归系数的检验和推断在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验采用t检验检验x与y之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量x对因变量y的影响是否显著理论基础是回归系数

的抽样分布回归系数的检验和推断在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性回归系数的检验和推断

(检验步骤)

提出假设H0:b1=0(没有线性关系)H1:b1

0(有线性关系)计算检验的统计量确定显著性水平，计算出统计量的P值，并做出决策P<，拒绝H0，表明自变量是影响因变量的一个显著因素回归系数的检验和推断

(检验步骤)提出假设确定显著性水回归系数的检验和推断

(b1和b0的置信区间)

b1在1-置信水平下的置信区间为

b0在1-置信水平下的置信区间为输出结果Excel回归系数的检验和推断

(b1和b0的置信区间)b1在1

9.3利用回归方程进行预测9.3.1平均值的置信区间9.3.2个别值的预测区间第9章一元线性回归9.3利用回归方程进行预测第9章一元线性回区间估计对于自变量

x的一个给定值x0，根据回归方程得到因变量y的一个估计区间区间估计有两种类型置信区间估计(confidenceintervalestimate)预测区间估计(predictionintervalestimate)区间估计对于自变量x的一个给定值x0，根据回归方程得到9.3.1平均值的置信区间9.3利用回归方程进行预测9.3.1平均值的置信区间9.3利用回归方程进行平均值的置信区间利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y的平均值的估计区间，这一估计区间称为置信区间(confidenceinterval)

E(y0)

在1-置信水平下的置信区间为式中：se为估计标准误差平均值的置信区间利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给个别值的预测区间利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间(predictioninterval)

y0在1-置信水平下的预测区间为注意！个别值的预测区间利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给置信区间和预测区间xpyxx预测上限置信上限预测下限置信下限置信区间和预测区间xpyxx预测上限置信上限预测下限置信下用SPSS进行回归第1步：选择【Analyze】下拉菜单，并选择【Regression-linear】选项，进入主对话框第2步：在主对话框中将因变量(本例为销售收入)选入【Dependent】，将自变量(本例为广告费用)选入【Independent(s)】第3步：点击【Save】在【PredictedValues】下选中【Unstandardized】(输出点预测值)在【Predictioninterval】下选中【Mean】和【Individual】(输出置信区间和预测区间)在【ConfidenceInterval】中选择所要求的置信水平(隐含值95%，一般不用改变)在【Residuals】下选中【Unstandardized】和【standardized】(输出残差和标准化残差)点击【Continue】回到主对话框。点击【OK】进行回归SPSS用SPSS进行回归第1步：选择【Analyze】下拉菜单，置信区间和预测区间

(例题分析)点预测值置信线预测线置信区间和预测区间

(例题分析)点预测值置信线预测线用SPSS做区间图

第1步：点击【Graphs】【Interactive-Scatterplot】第2步：点击【2DCoordine】，将各坐标轴变量拖入相应坐标轴第3步：点击【Fit】，在【method】下选择【Regression】，在【PredictionLines】下选择【Mean】和【Individual】。点击【确定】做区间图SPSS用SPSS做区间图第1步：点击【Graphs】【Inte置信区间和预测区间

(例题分析)置信区间和预测区间

(例题分析)

9.4用残差检验模型的假定9.4.1检验方差齐性9.4.2检验正态性第9章一元线性回归9.4用残差检验模型的假定第9章一元线性回9.4.1检验方差齐性9.4用残差检验模型的假定9.4.1检验方差齐性9.4用残差检验模型的假定残差

(residual)因变量的观测值与根据估计的回归方程求出的预测值之差，用e表示反映了用估计的回归方程去预测而引起的误差可用于确定有关误差项的假定是否成立用于检测有影响的观测值残差

(residual)因变量的观测值与根据估计的回归方程残差图

(residualplot)表示残差的图形关于x的残差图关于y的残差图标准化残差图用于判断误差的假定是否成立检测有影响的观测值残差图

(residualplot)表示残差的图形残差图

(形态及判别)(a)满意模式残差x0(b)非常数方差残差x0(c)模型不合适残差x0残差图

(形态及判别)(a)满意模式残差与标准化残差图

(例题分析)点预测值残差标准残差残差与标准化残差图

(例题分析)点预测值残差标准残差残差图

(例题分析)销售收入与广告费用回归的残差图残差图

(例题分析)销售收入与广告费用回归的残差图9.4.2检验正态性9.4用残差检验模型的假定9.4.2检验正态性9.4用残差检验模型的假定标准化残差

(standardizedresidual)残差除以它的标准差也称为Pearson残差或半学生化残差(semi-studentizedresiduals)计算公式为注意：Excel给出的标准残差的计算公式为这实际上是学生化删除残差(studentizeddeletedresiduals)标准化残差

(standardizedresidual)残标准化残差图

用以直观地判断误差项服从正态分布这一假定是否成立若假定成立，标准化残差的分布也应服从正态分布在标准化残差图中，大约有95%的标准化残差在-2到+2之间标准化残差图用以直观地判断误差项服从正态分布这一假定是否标准化残差图

(例题分析)销售收入与广告费用回归的标准化残差图标准化残差图

(例题分析)销售收入与广告费用回归的标准化残差标准化残差的直方图和正态概率图

(例题分析)销售收入与广告费用回归标准化残的直方图和正态概率图标准化残差的直方图和正态概率图

(例题分析)销售收入与广告费本章小结相关关系的分析参数的最小二乘估计回归直线的拟合优度回归方程的显著性检验利用回归方程进行预测用残差证实模型的假定用Excel和SPSS进行回归本章小结相关关系的分析结束THANKS结束THANKS数据分析

(方法与案例)

作者贾俊平统计学统

计

学

Statistics数据分析

(方法与案例)

作者贾俊平统计学统计

不要过于教条地对待研究的结果，尤其当数据的质量受到怀疑时。

——DamodarN.Gujarati统计名言不要过于教条地对待研究的结果，统计名言第9章一元线性回归9.1变量间关系的度量9.2一元线性回归的估计和检验9.3利用回归方程进行预测9.4用残差检验模型的假定

regressionanalysis第9章一元线性回归9.1变量间关系的度量r学习目标相关关系的分析参数的最小二乘估计回归直线的拟合优度回归方程的显著性检验利用回归方程进行预测用残差证实模型的假定用Excel和SPSS进行回归学习目标相关关系的分析子代与父代一样吗？Galton被誉为现代回归和相关技术的创始人。1875年，Galton利用豌豆实验来确定尺寸的遗传规律。他挑选了7组不同尺寸的豌豆，并说服他在英国不同地区的朋友每一组种植10粒种子，最后把原始的豌豆种子(父代)与新长的豌豆种子(子代)进行尺寸比较当结果被绘制出来之后，他发现并非每一个子代都与父代一样，不同的是，尺寸小的豌豆会得到更大的子代，而尺寸大的豌豆却得到较小的子代。Galton把这一现象叫做“返祖”(趋向于祖先的某种平均类型)，后来又称之为“向平均回归”。一个总体中在某一时期具有某一极端特征(低于或高于总体均值)的个体在未来的某一时期将减弱它的极端性(或者是单个个体或者是整个子代)，这一趋势现在被称作“回归效应”。人们发现它的应用很广，而不仅限于从一代到下一代豌豆大小问题子代与父代一样吗？Galton被誉为现代回归和相关技术的创始子代与父代一样吗？正如Galton进一步发现的那样，平均来说，非常矮小的父辈倾向于有偏高的子代；而非常高大的父辈则倾向于有偏矮的子代。在第一次考试中成绩最差的那些学生在第二次考试中倾向于有更好的成绩(比较接近所有学生的平均成绩)，而第一次考试中成绩最好的那些学生在第二次考试中则倾向于有较差的成绩(同样比较接近所有学生的平均成绩)。同样，平均来说，第一年利润最低的公司第二年不会最差，而第一年利润最高的公司第二年则不会是最好的如果把父代和子代看作两个变量，找出这两个变量的关系，并根据这种关系建立适当的数学模型，就可以根据父代的数值预测子代的取值，这就是经典的回归方法要解决的问题。学完本章的内容你会对回归问题有更深入的理解子代与父代一样吗？正如Galton进一步发现的那样，平均来说回归分析研究什么？研究某些实际问题时往往涉及到多个变量。在这些变量中，有一个变量是研究中特别关注的，称为因变量，而其他变量则看成是影响这一变量的因素，称为自变量假定因变量与自变量之间有某种关系，并把这种关系用适当的数学模型表达出来，那么，就可以利用这一模型根据给定的自变量来预测因变量，这就是回归要解决的问题在回归分析中，只涉及一个自变量时称为一元回归，涉及多个自变量时则称为多元回归。如果因变量与自变量之间是线性关系，则称为线性回归(linearregression)；如果因变量与自变量之间是非线性关系则称为非线性回归(nonlinearregression)回归分析研究什么？研究某些实际问题时往往涉及到多个变量。在这

9.1变量间的关系9.1.1变量间是什么样的关系？9.1.2用散点图描述相关关系9.1.3用相关系数度量关系强度第9章一元线性回归9.1变量间的关系第9章一元线性回归怎样分析变量间的关系？建立回归模型时，首先需要弄清楚变量之间的关系。分析变量之间的关系需要解决下面的问题变量之间是否存在关系？如果存在，它们之间是什么样的关系？变量之间的关系强度如何？样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？怎样分析变量间的关系？建立回归模型时，首先需要弄清楚变量之间9.1.1变量间是什么样的关系？9.1变量间的关系9.1.1变量间是什么样的关系？9.1变量间的关xy函数关系是一一对应的确定关系设有两个变量x和y，变量y随变量x一起变化，并完全依赖于x

，当变量x取某个数值时，

y依确定的关系取相应的值，则称y是x的函数，记为y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量各观测点落在一条线上

xy函数关系是一一对应的确定关系相关关系

(几个例子)子女的身高与其父母身高的关系从遗传学角度看，父母身高较高时，其子女的身高一般也比较高。但实际情况并不完全是这样，因为子女的身高并不完全是由父母身高一个因素所决定的，还有其他许多因素的影响一个人的收入水平同他受教育程度的关系收入水平相同的人，他们受教育的程度也不可能不同，而受教育程度相同的人，他们的收入水平也往往不同。因为收入水平虽然与受教育程度有关系，但它并不是决定收入的惟一因素，还有职业、工作年限等诸多因素的影响农作物的单位面积产量与降雨量之间的关系在一定条件下，降雨量越多，单位面积产量就越高。但产量并不是由降雨量一个因素决定的，还有施肥量、温度、管理水平等其他许多因素的影响相关关系

(几个例子)子女的身高与其父母身高的关系相关关系

(correlation)一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定当变量

x取某个值时，变量y的取值对应着一个分布各观测点分布在直线周围

yx相关关系

(correlation)一个变量的取值不能由另一9.1.2用散点图描述相关关系9.1变量间的关系9.1.2用散点图描述相关关系9.1变量间的关系完全负线性相关完全正线性相关散点图

(scatterdiagram)不相关负线性相关正线性相关非线性相关完全负线性相关完全正线性相关用散点图描述变量间的关系

(例题分析)【例9-1】为研究销售收入与广告费用支出之间的关系，某医药管理部门随机抽取20家药品生产企业，得到它们的年销售收入和广告费用支出(万元)的数据如下。绘制散点图描述销售收入与广告费用之间的关系原始数据用散点图描述变量间的关系

(例题分析)【例9-1】为研究销售散点图

(销售收入和广告费用的散点图)散点图

(销售收入和广告费用的散点图)9.1.3用相关系数度量关系强度9.1变量间的关系9.1.3用相关系数度量关系强度9.1变量间的关相关系数

(correlationcoefficient)度量变量之间线性关系强度的一个统计量若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，简称为相关系数，记为r也称为Pearson相关系数

(Pearson’scorrelationcoefficient)样本相关系数的计算公式

计算相关系数Excel相关系数

(correlationcoefficient)相关系数的性质性质1：r的取值范围是[-1,1]|r|=1，为完全相关r=1，为完全正相关r=-1，为完全负正相关r=0，不存在线性相关关系-1r<0，为负相关0<r1，为正相关|r|越趋于1表示关系越强；|r|越趋于0表示关系越弱相关系数的性质性质1：r的取值范围是[-1,1]相关系数的性质性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间的相关系数相等，即rxy=ryx性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小性质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用于描述非线性关系。这意为着，r=0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有任何关系性质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不一定意味着x与y一定有因果关系相关系数的性质性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和相关系数的经验解释|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关0.5|r|<0.8时，可视为中度相关0.3|r|<0.5时，视为低度相关|r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为不相关上述解释必须建立在对相关系数的显著性进行检验的基础之上相关系数的经验解释|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相相关系数的显著性检验

(检验的步骤)1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系采用R.A.Fisher提出的t检验检验的步骤为提出假设：H0：；H1：0计算检验的统计量用Excel中的【TDIST】函数得双尾计算P值，并于显著性水平比较，并作出决策若P<，拒绝H0相关系数的显著性检验

(检验的步骤)1. 检验两个变量之间是相关系数的显著性检验

(例题分析)【例9-3】检验销售收入与广告费用之间的相关系数是否显著(0.05)提出假设：H0：；H1：0计算检验的统计量3.用Excel中的【TDIST】函数得双尾P=2.743E-09<0.05，拒绝H0，销售收入与广告费用之间的相关系数显著相关系数的显著性检验

(例题分析)【例9-3】检验销售收入与相关系数的显著性检验

(SPSS输出结果)第1步：选择【Analyze】【Correlate-Bivariate】第2步：将两个变量（本例为销售收入和广告费用）分别选入【Variables】。点击【OK】相关系数的显著性检验

(SPSS输出结果)第1步：选择【An

9.2一元线性回归的估计和检验9.2.1一元线性回归模型9.2.2参数的最小二乘估计9.2.3回归直线的拟合优度9.2.4显著性检验第9章一元线性回归9.2一元线性回归的估计和检验第9章一元线9.2.1一元线性回归模型9.2一元线性回归的估计和检验9.2.1一元线性回归模型9.2一元线性回归的估什么是回归分析？

(regressionanalysis)重点考察考察一个特定的变量(因变量)，而把其他变量(自变量)看作是影响这一变量的因素，并通过适当的数学模型将变量间的关系表达出来利用样本数据建立模型的估计方程对模型进行显著性检验进而通过一个或几个自变量的取值来估计或预测因变量的取值什么是回归分析？

(regressionanalysis)一元线性回归涉及一个自变量的回归因变量y与自变量x之间为线性关系被预测或被解释的变量称为因变量(dependentvariable)，用y表示用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independentvariable)，用x表示因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示一元线性回归涉及一个自变量的回归一元线性回归模型

(linearregressionmodel)描述因变量y如何依赖于自变量x和误差项

的方程称为回归模型一元线性回归模型可表示为y=b0+b1x+ey是x的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映了由于x的变化而引起的y的变化误差项

是随机变量反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响是不能由x和y之间的线性关系所解释的变异性0和1称为模型的参数一元线性回归模型

(linearregressionmo一元线性回归模型

(基本假定)

因变量x与自变量y之间具有线性关系在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的误差项满足正态性。是一个服从正态分布的随机变量，且期望值为0，即

~N(0,2)。对于一个给定的x值，y的期望值为E(y)=0+1x方差齐性。对于所有的x值，的方差一个特定的值，的方差也都等于2都相同。同样，一个特定的x值，y的方差也都等于2独立性。独立性意味着对于一个特定的x值，它所对应的ε与其他x值所对应的ε不相关；对于一个特定的x值，它所对应的y值与其他x所对应的y值也不相关一元线性回归模型

(基本假定)因变量x与自变量y之间具有线估计的回归方程

(estimatedregressionequation)总体回归参数和

是未知的，必须利用样本数据去估计用样本统计量和代替回归方程中的未知参数和，就得到了估计的回归方程一元线性回归中估计的回归方程为其中：是估计的回归直线在y轴上的截距，是直线的斜率，它表示对于一个给定的x的值，是y的估计值，也表示x每变动一个单位时，y的平均变动值

估计的回归方程

(estimatedregression9.2.2参数的最小二乘估计9.2一元线性回归的估计和检验9.2.2参数的最小二乘估计9.2一元线性回归的参数的最小二乘估计

(methodofleastsquares)德国科学家KarlGauss(1777—1855)提出用最小化图中垂直方向的误差平方和来估计参数

使因变量的观察值与估计值之间的误差平方和达到最小来求得和的方法。即用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小参数的最小二乘估计

(methodofleastsquKarlGauss的最小化图xy(xn,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)ei=yi-yi＾KarlGauss的最小化图xy(xn,yn)(x1参数的最小二乘估计

(

和的计算公式)

根据最小二乘法，可得求解和的公式如下参数的最小二乘估计

(和的计算公式)根参数的最小二乘估计

(例题分析)【例9-4】根据例9-1的数据，求销售收入与广告费用的估计的回归方程第1步：选择【工具】下拉菜单，并选择【数据分析】选项第2步：在分析工具中选择【回归】，选择【确定】第2步：当对话框出现时

在【Y值输入区域】设置框内键入Y的数据区域在【X值输入区域】设置框内键入X的数据区域在【置信度】选项中给出所需的数值在【输出选项】中选择输出区域在【残差】分析选项中选择所需的选项回归分析Excel参数的最小二乘估计

(例题分析)【例9-4】根据例9-1的数参数的最小二乘估计

(Excel输出结果)【例】求销售收入与广告费用的估计回归方程，并解释回归系数的含义参数的最小二乘估计

(Excel输出结果)【例】求销售收入与用SPSS进行回归第1步：选择【Analyze】下拉菜单，并选择【Regression-linear】选项，进入主对话框第2步：在主对话框中将因变量(本例为销售收入)选入【Dependent】，将自变量(本例为广告费用)选入【Independent(s)】第3步：点击【Save】在【PredictedValues】下选中【Unstandardized】(输出点预测值)在【Predictioninterval】下选中【Mean】和【Individual】(输出置信区间和预测区间)在【ConfidenceInterval】中选择所要求的置信水平(隐含值95%，一般不用改变)在【Residuals】下选中【Unstandardized】和【standardized】(输出残差和标准化残差)点击【Continue】回到主对话框。点击【OK】进行回归SPSS用SPSS进行回归第1步：选择【Analyze】下拉菜单，参数的最小二乘估计

(SPSS输出结果)参数的最小二乘估计

(SPSS输出结果)参数的最小二乘估计

(例题分析)参数的最小二乘估计

(例题分析)9.2.3回归直线的拟合优度9.2一元线性回归的估计和检验9.2.3回归直线的拟合优度9.2一元线性回归的变差因变量

y的取值是不同的，y取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面由于自变量x的取值不同造成的除x以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差来表示变差因变量y的取值是不同的，y取值的这种波动称为变差。误差分解图xyy误差分解图xyy误差平方和的分解

(误差平方和的关系)

SST=SSR+SSE总平方和(SST){回归平方和(SSR)残差平方和(SSE){{误差平方和的分解

(误差平方和的关系)SST=SSR误差平方和的分解

(三个平方和的意义)总平方和(SST—totalsumofsquares)反映因变量的n个观察值与其均值的总误差回归平方和(SSR—sumofsquaresofregression)反映自变量x的变化对因变量y取值变化的影响，或者说，是由于x与y之间的线性关系引起的y的取值变化，也称为可解释的平方和残差平方和(SSE—sumofsquaresoferror)反映除x以外的其他因素对y取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和误差平方和的分解

(三个平方和的意义)总平方和(SST—t判定系数R2

(coefficientofdetermination)回归平方和占总误差平方和的比例反映回归直线的拟合程度取值范围在[0,1]之间R21，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差决定系数平方根等于相关系数输出结果Excel判定系数R2

(coefficientofdeter估计标准误差

(standarderrorofestimate)实际观察值与回归估计值误差平方和的均方根反映实际观察值在回归直线周围的分散状况对误差项的标准差的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小

计算公式为输出结果Excel估计标准误差

(standarderrorofesti9.2.4显著性检验9.2一元线性回归的估计和检验9.2.4显著性检验9.2一元线性回归的估计和检线性关系的检验检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数k)残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-k-1)线性关系的检验检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著线性关系的检验

(检验的步骤)

提出假设H0：1=0线性关系不显著2.计算检验统计量F确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2求统计量的P值作出决策：若P<，拒绝H0。表明两个变量之间的线性关系显著输出结果Excel线性关系的检验

(检验的步骤)提出假设2.计算检验回归系数的检验和推断在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验采用t检验检验x与y之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量x对因变量y的影响是否显著理论基础是回归系数

的抽样分布回归系数的检验和推断在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性回归系数的检验和推断

(检验步骤)

提出假设H0:b1=0(没有线性关系)H1:b1

0(有线性关系)计算检验的统计量确定显著性水平，计算出统计量的P值，并做出决策P<，拒绝H0，表明自变量是影响因变量的一个显著因素回归系数的检验和推断

(检验步骤)提出假设确定显著性水回归系数的检验和推断

(b1和b0的置信区间)

b1在1-置信水平下的置信区间为

b0在1-置信水平下的置信区间为输出结果Excel回归系数的检验和推断

(b1和b0的置信区间)b1在1

9.3利用回归方程进行预测9.3.1平均值的置信区间9.3.2个别值的预测区间第9章一元线性回归9.3利用回归方程进行预测第9章一元线性回区间估计对于自变量

x的一个给定值x0，根据回归方程得到因变量y的一个估计区间区间估计有两种类型置信区间估计(confidenceintervalestimate)预测区间估计(predictionintervalestimate)区间估计对于自变量x的一个给定值x0，根据回归方程得到9.3.1平均值的置信区间9.3利用回归方程进行预测9.3.1平均值的置信区间9.3利用回归方程进行平均值的置信区间利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y的平均值的估计区间，这一估计区间称为置信区间(confidenceinterval)

E(y0)

在1-置