概率统计学-随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布

为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的不同结果例

抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以用一个变量来描述例电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个变量X

来描述1§2.1随机变量的概念定义设E是一随机试验，Ω是它的样本空间，则称Ω上的单值实值函数X()为随机变量若

随机变量的概念2随机变量是上的映射，这个映射具有如下的特点：定义域:

Ω

随机性

:随机变量X

的可能取值不止一个，试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪个值概率特性:X

以一定的概率取某个值或某些值3随机变量的分类离散型随机变量非离散型随机变量—其中一种重要的类型为

连续性随机变量

任何随机现象可被随机变量描述

借助微积分方法深入讨论引入随机变量重要意义4随机变量的分布函数5定义设X为随机变量,对每个实数x,随机事件的概率定义了一个x的实值函数，称为随机变量X

的分布函数，记为F(x),即分布函数的性质6

F(x)单调不减，即（为什么）且

F(x)右连续，即（]ab]]（]7利用分布函数可以计算例8设

随机变量

X的分布函数：计算解§2.3离散型随机变量及其概率分布定义若随机变量X

的可能取值是有限多个或无穷可列多个，则称X

为离散型随机变量描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即离散型随机变量的概念10概率分布的性质11

F(x)是分段阶梯函数，在X

的可能取值

xk处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度

pk离散型随机变量的分布函数12•1•2••k•k+1•o•1•o•o•oF(X)13例设一汽车在开往目的地的途中需经过4盏信号灯，每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过。令

X

表示首次停下时已通过的信号灯的盏数，求X

的概率分布与p=0.4时的分布函数。出发地目的地解14•0•1•2•3•4xx]]]•]••kpk012340.60.4*0.60.42*0.60.43*0.60.4415•0•1•2•3•4xF(x)o•o•1•o•o•o16概率分布或分布函数可用来计算有关事件的概率例在上例中，分别用概率分布与分布函数计算下述事件的概率：1718Poisson定理说明：若X~B(n,p),则当n

较大，p

较小，而适中，则可以用近似公式(2)二项分布背景：n

重Bernoulli试验中，每次试验感兴趣的事件A

在n次试验中发生的次数——X是一离散型随机变量若P(A)=p,则二项分布的取值情况设.039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273•由图表可见,当

时，分布取得最大值此时的称为最可能成功次数xP•0•1•2•3•4•5•6•7•820设.01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20••xP•••••1•3•5•7•9••••0•2•4•6•8•10•20由图表可见,当时，分布取得最大值0.22

•21

二项分布中最可能出现次数则称为最可能出现的次数22当(n+1)p=整数时，在k=[(n+1)p]与

[(n+1)p]–1处的概率取得最大值对固定的n、p,P(X=k)的取值呈不对称分布；固定p,随着

n

的增大，其取值的分布趋于对称23例独立射击5000次，每次的命中率为0.001,求(1)最可能命中次数及相应的概率；

(2)命中次数不少于2次的概率.(2)令X表示命中次数，则X~B(5000,0.001)解

(1)

k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=524其中通过MatLab计算：cdf('bino',1,5000,0.001)=0.0404或计算和：pdf('bino',1,5000,0.001)=0.0336cdf('bino',0,5000,0.001)=0.0067Possion定理则对固定的

k设Poisson定理说明：若X~B(n,p),则当n

较大，p

较小，而适中，则可以用近似公式26解令X表示命中次数，则X~B(5000,0.001)令利用Poisson定理再求例

(2)27此结果也可通过MatLab计算Poisson分布pdf('poiss',0,5)=0.0067pdf('poiss',1,5)=0.0337得到在实际计算中，当n

=20,p=0.05时，可用上述公式近似计算；而当n

=100,p=0.01时,精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015按二项分布按Possion公式

kn=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01λ=np=128解

(1)设需要配备N

个维修工人,设X

为90台设备中发生故障的台数，则X~B(90,0.01)

设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设备发生故障的概率都是0.01.在通常情况下，一台设备发生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台设备.问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?(2)问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？例29令则30通过MatLab计算得到如果N=4:如果N=3:pdf('poiss',0,0.9)=0.4066pdf('poiss',1,0.9)=0.3659pdf('poiss',2,0.9)=0.1647pdf('poiss',3,0.9)=0.0494pdf('poiss',4,0.9)=0.0111…cdf('poiss',3,0.9)=0.9865cdf('poiss',4,0.9)=0.9977三个人共同负责90台设备发生故障不能及时维修的概率为32设30台设备中发生故障的台数为

Y~B(30,0.01)设每个人独立负责30台设备，第i个人负责的30台设备发生故障不能及时维修为事件Ai

则三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时维修为事件故

三个人共同负责90台设备比各自负责好！33在Poisson定理中，由此产生了一种离散型随机变量的概率分布—Poisson分布34(3)Poisson分布或或若其中是常数，则称

X服从参数为的Poisson分布，记作在一定时间间隔内：一匹布上的疵点个数；大卖场的顾客数；应用场合电话总机接到的电话次数；35一个容器中的细菌数；放射性物质发出的粒子数；一本书中每页印刷错误的个数；某一地区发生的交通事故的次数都可以看作是源源不断出现的随机质点流,若它们满足一定的条件，则称为