机械CAD-CAM(第二版)机械CAD-CAM(第二版)第4章三维建模技术课件

第4章三维建模技术4.1概述4.2线框建模4.3曲面建模4.4实体建模4.5特征建模第4章三维建模技术4.1概述4.1概述

1．几何建模

拓扑信息是指一个物体的拓扑元素（顶点、边和表面）的数量、类型以及相互之间的邻接关系。拓扑元素之间可以采用九种拓扑关系表示，如图4-1所示。4.1概述

1．图4-1拓扑关系图4-1拓扑关系2．几何建模技术的发展

在三维造型阶段，几何建模技术经历了三次技术革命。20世纪60年代，在二维造型基础上引入三维造型，CAD系统只是极为简单的线框造型系统。这种初期的线框造型系统只能表达基本的几何信息，不能有效地表达几何数据间的拓扑关系。由于缺乏形体的表面信息，CAE及CAM均无法实现。2．几何建模技术的发展

在三维造型阶段，几何建模4.2线框建模

1．线框建模原理

线框建模是CAD/CAM发展中应用得最早的三维建模方法。线框模型通过点、线（直线、曲线）描述物体的外形、交线和棱线，并在计算机内生成二维和三维图像，如图4-2所示。线框模型在计算机内存储的数据结构共有两个表：一为顶点表（如表4-1所示），记录各点坐标值；另一个为棱线表（如表4-2所示），记录每条棱线所连接的两顶点。4.2图4-2物体的线框模型图4-2物体的线框模型表4-1顶点表

表4-2棱线表

2．线框建模的优缺点

三维线框建模在计算机内部以边表、点表来描述和表达物体，因而线框模型的数据量较少，数据结构简单，占用CPU时间短，存储方面开销低；同时构造模型时操作简便，用户几乎无需培训，系统的使用犹如人工绘图的延伸。2．线框建模的优缺点

三维线框建模在计算机内部以由于线框建模缺少面的信息，因而有以下缺点：

（1）存在二义性（如图4-3所示），即使用一种数据表示的一种图形，有时也可能看成另外一种图形。由于线框建模缺少面的信息，因而有以下缺点：

图4-3线框模型的二义性图4-3线框模型的二义性（2）由于没有面的信息，不能消除隐藏线和隐藏面。（3）线框模型给出的不是连续的几何信息（只有顶点和棱边），不能明确地定义给定的点与形体之间的关系（点在形体内部、外部和表面上）。因此，不能用线框模型处理计算机图形学和CAD中的多数问题，如剖切、消隐、渲染、物性分析、干涉检查、加工处理等。（2）由于没有面的信息，不能消除隐藏线和隐藏面。4.3曲面建模

1．曲面建模原理

曲面建模是通过对物体的各个表面或曲面进行描述而构

成曲面的一种建模方法。如果说线框模型是用“铁丝”构造物体的话，则曲面建模就是拿一张张的表皮对这些“铁丝”进行

蒙皮。建模时，先将复杂的外表面分解成若干个基本曲面元素，再通过这些基本曲面元素的拼接构成所要的曲面。图

4-4所示为曲面的拼接过程。4.3曲面建模

1．曲面建模原理图4-4曲面的拼接过程图4-4曲面的拼接过程中常用曲面生成方法可以分为以下几种类型：

(1)基本曲面。一般有圆柱面、圆锥面、球面、环面等，有些造型系统提供这些基本曲面，有些造型系统则不提供，而是通过拉伸、回转、扫描等造型方法生成这些基本

曲面。中常用曲面生成方法可以分为以下几种类型：

(1)(2)规则曲面。常见的有平面、直纹面、回转面、柱状面等。平面常用三点定义，常用来作剖切平面。直纹面如图4-5所示，它的导线是两条不同的空间曲线，母线是直线，其端点必须沿着导线移动，可表示非扭曲的曲面。造型系统中用专门的命令生成直纹面。回转面如图4-6所示，先绘制一平面线框图，再绕一轴线旋转生成。柱状面如图4-7所示，先绘制一平面曲线，然后沿垂直于该面的方向拉伸而成。柱状面具有相同的截面。(2)规则曲面。常见的有平面、直纹面、回转面、图4-5直纹面图4-5直纹面图4-6回转面图4-6回转面图4-7柱状面图4-7柱状面(3)自由曲面。常见的自由曲面有Bézier曲面、B样条曲面、Coons曲面等。Bézier曲面如图4-8所示，它是一组空间输入点的近似曲面，但并不通过给定的点，不具备局部控制功能。B样条曲面如图4-9所示，它也是一组输入点的近似曲面，但可局部控制。Coons曲面如图4-10所示，它由封闭的边界曲线构成。(3)自由曲面。常见的自由曲面有Bézier曲面、图4-8Bézier曲面图4-8Bézier曲面图4-9B样条曲面图4-9B样条曲面图4-10Coons曲面图4-10Coons曲面(4)派生曲面。派生曲面包括圆角曲面(如图4-11所示)、等距曲面(如图4-12所示)、过渡曲面等。派生曲面是在已经存在的曲面或实体上生成的曲面，在造型系统中由专门的命令生成这些曲面。(4)派生曲面。派生曲面包括圆角曲面(如图4-11图4-11圆角曲面图4-11圆角曲面图4-12等距曲面图4-12等距曲面2．曲面建模特点

表面模型是在线框模型的基础上，增加有关面边（环边）信息以及表面特征、棱边的连接方向等内容，从而可以满足面面求交，线、面消隐，明暗色彩图，数控加工等应用问

题的需要。

表面建模可用于二维工程图的表达形式、三维实体或曲面的草图输入记录，或者作为某些线框网格的输出记录。图4-13所示为表面模型的一个例子。2．曲面建模特点

表面模型是在线框模型的基础上，图4-13表面模型应用举例图4-13表面模型应用举例曲面模型与线框模型相比，多了一个面表，记录了边与面之间的拓扑关系，但仍旧缺乏面与体之间的拓扑关系，无法区别面的哪一侧是体内还是体外。它的缺点是只能表示物体的表面及其边界，还不是实体模型。因此，曲面模型不能实行剖切，不能计算物性，不能检查物体间的碰撞和干涉等。曲面模型与线框模型相比，多了一个面表，记录了边与面之3．常见的曲线、曲面模型

1）Bézier曲线与曲面

1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bézier）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。同期，法国雪铁龙（Citroen）汽车公司的德·卡斯特里奥（deCastelijau）

也独立地研究出与Bézier类似的方法。3．常见的曲线、曲面模型

1）Bézier曲（1）Bézier曲线的定义。

Bézier曲线的构造方法是：用两个端点和若干个不在曲线上但能够决定曲线形状的点来定义曲线。给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则Bézier参数曲线上

各点坐标的插值公式是（4-1）（1）Bézier曲线的定义。

Bézier曲线其中，Pi构成该Bézier曲线的特征多边形，Bi，n(t)是n次Bernstein基函数：

（4-2）Bézier曲线实例如图4-14所示。其中，Pi构成该Bézier曲线的特征多边形，Bi，图4-14三次Bézier曲线图4-14三次Bézier曲线（2）Bézier曲线的性质。

①端点性质：Bézier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。Bézier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。

②对称性：Bézier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。

③凸包性：Bézier曲线的形状由特征多边形确定，它总落在由特征多边形的各控制点形成的凸包内，如图4-15所示。（2）Bézier曲线的性质。

①端点性质：图4-15Bézier曲线的凸包性图4-15Bézier曲线的凸包性④几何不变性:Bézier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点Pi(i=0，1，…，n)的位置有关，它不依赖坐标系的选择。⑤不具有局部控制能力：修改特征多边形一个顶点或改变顶点数量时，将影响整条曲线，对曲线要全部重新计算。④几何不变性:Bézier曲线的位置与形状与其特（3）Bézier曲面。

基于Bézier曲线的讨论可以方便地给出Bézier曲面的定义和性质，Bézier曲线的一些算法也可以很容易地扩展到Bézier曲面的情况。

给定(n+1)×(m+1)个排成网格的控制顶点Pij（i=0，1，…，n;j=0，1，…，m），利用基函数Bi，n(u)、

Bj，m(v)可构造一张曲面片：（4-3）（3）Bézier曲面。

基于Bézier曲线的式中:称该曲面为n×m次Bézier曲面。当n=m=3时，双三次Bézier曲面由16个控制网格点构造（如图4-16所示）：(4-4)式中:称该曲面为n×m次Bézier曲面。(4-4)Bézier曲线的其它性质可推广到Bézier曲面：

①Bézier曲面特征网格的四个角点正好是Bézier曲面的四个角点，即

②Bézier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bézier曲面的四条边界。

③几何不变性。

④对称性。

⑤凸包性。Bézier曲线的其它性质可推广到Bézier曲面：图4-16双三次Bézier曲面及边界信息图4-16双三次Bézier曲面及边界信息2）B样条曲线与曲面

（1）B样条曲线的定义。

B样条曲线是在Bézier曲线基础上发展起来的样条曲线。样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定连续条件。该类曲线在汽车车身设计、飞机表面设计以及船壳设计中有着广泛的应用。2）B样条曲线与曲面

（1）B样条曲线的定义B样条曲线采用特征多边形及权函数定义曲线。权函数是B样条基函数，局部可方便修改。已知n+1个控制点Pi(i=0，1，…，n)（也称为特征多边形的顶点），k阶B样条曲线的表达式是

（4-5）B样条曲线采用特征多边形及权函数定义曲线。权函数是B样式中，Ni,k(u)是调和函数，也称为基函数，按照递归公式可定义为式中,ti是节点值，T=［t0,t1,…,tL+2k－1］构成了k阶B样条函数的节点矢量。式中，Ni,k(u)是调和函数，也称为基函数，按照B样条曲线具有下列特点：

①B样条曲线形状比Bézier曲线更接近于它的控制多边形。控制多边形的各顶点构成的凸包区域比同一组顶点定义的Bézier曲线凸包区域要小，具有更强的凸包性。B样条曲线恒位于它的凸包内。B样条曲线具有下列特点：

①B样条曲线形状比B②B样条曲线的首尾端点不通过控制多边形的首末两个

端点。

③局部调整性。k次B样条曲线上一点只被相邻的k个顶点所控制，与其它控制点无关；一个控制点的移动只会影响该曲线的k个节点区间，对整个曲线的其它部分没有影响。②B样条曲线的首尾端点不通过控制多边形的首末两个

端点（2）B样条曲面。

B样条曲面也可视为由B样条曲线网格绘制而成。通用B样条曲面方程为

双三次B样条曲面方程为（4-6）（4-7）（2）B样条曲面。

B样条曲面也可视为由B样条曲3）NURBS曲线与曲面

（1）NURBS方法的提出及其特点。

NURBS即非均匀有理B样条（NonUniformRationalBSpline），这种方法的提出是为了找到与描述自由型曲线与曲面的B样条方法相统一的、又能精确表示二次曲线弧与二次

曲面的数学方法。NURBS方法主要有以下四个特点：3）NURBS曲线与曲面

（1）NURBS方法①NURBS不仅可以表示自由曲线和曲面，还可以精确地表示圆锥曲线和规则曲线。所以,NURBS为计算机辅助几何设计（CAGD）提供了统一的数学描述方法。

②NURBS具有影响曲线、曲面形状的权因子，故可以设计相当复杂的曲线和曲面形状，若运用恰当，更便于设计者实现自己的设计意图。①NURBS不仅可以表示自由曲线和曲面，还可以精③NURBS方法是非有理B样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理B样条曲线和曲面的性质及其相应的计算方法可直接推广到NURBS曲线和曲面。

④计算稳定且快速。

（2）NURBS曲线的定义。

一条k次NURBS曲线定义为（4-8）③NURBS方法是非有理B样条方法在四维空间的直接推广其中,ωi(i=0,1,…,n)称为权，与控制顶点di(i=0,1,…,n)相关联。ω0、ωn>0,ωi≥0(i=1,2,…,n－1)可防止分母为零、保留凸包性质及曲线不致退化。di(i=0,1,…,n)为控制顶点。Ni,k(u)是由节点U=［u0,u1,…,un+k+1］决定的k次B样条基函数。对于非周期NURBS曲线，两端点的重复度可取为k+1，即u0=u1=…=uk,un+1=un+2=…=un+k+1，且在大多数实际应用中，节点值分别取为0与1，因此，有曲线定义域u∈［uk,un+1］=［0,1］。其中,ωi(i=0,1,…,n)称为权，与控制顶（3）NURBS曲面的定义。

由双参数变量分段有理多项式定义的NURBS曲面为（4-9）这里控制顶点dij(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)呈拓扑矩形阵列，形成一个控制网格。（3）NURBS曲面的定义。

由双参数变量分段有4.4实体建模

1．实体建模原理

实体建模技术是20世纪70年代后期、80年代初期逐渐发展完善并推向市场的。实体建模是利用一些基本体素，如长方体、圆柱体、球体、锥体、圆环体以及扫描体、放样体、

旋转体、拉伸体等，通过集合运算（拼合或布尔运算，如求和、求差、求交）生成复杂形体的一种建模技术。4.4实体建模

1．实体建模2．三维实体表示方法

1）实体几何构造法（CSG，ConstructiveSolidGeometry）CSG法是一种用体素拼合构成物体的方法，是目前最常见、最重要的方法之一。用CSG法表示一个物体可用二叉树的形式加以表达，如图4-17所示。2．三维实体表示方法

1）实体几何构造法（CS图4-17中，CSG树的树叶分为两种：一种是基本体素，如长方体、圆柱等；另一种是体素作运动变换时的参数，如平移参数Δx等。图中节点表示某种运算。有两类运算子：一类是运动运算子，如平移、旋转等；另一类是集合运算子，指并、交及差，分别用记号∪*、∩*、-*表示。图4-17中，CSG树的树叶分为两种：一种是基本体图4-17定义形体的CSG树图4-17定义形体的CSG树CSG表示的优点有：

（1）数据结构比较简单，数据量比较小，内部数据的管理比较容易。

（2）CSG表示可方便地转换成边界（Brep）表示。

（3）CSG方法表示的形体的形状比较容易修改。CSG表示的优点有：

（1）数据结构比较简单CSG表示的缺点有：

（1）对形体的表示受体素的种类和对体素操作种类的限制，也就是说，CSG方法表示形体的覆盖域有较大的局限性。（2）对形体的局部操作不易实现，例如，不能对基本体素的交线倒圆角。

（3）由于形体的边界几何元素（点、边、面）是隐含地表示在CSG中的，故显示与绘制CSG表示的形体需要较长的时间。CSG表示的缺点有：

（1）对形体的表示受体2）边界表示法（BRep，BoundaryRepresentation）

边界表示也称为BR表示或B-Rep表示，是几何造型中最

成熟、无二义的表示法。一个物体可以表达为它的有限数量的边界表面的集合，表面可能是平面，也可能是曲面，每个表面又可用它边界的边及顶点加以表示，如图4-18所示。2）边界表示法（BRep，BoundaryRe图4-18边界表示法模型图4-18边界表示法模型B-Rep法的主要优点是：

（1）对形体的点、边、面等几何元素是显式表示的，使得绘制B-Rep表示的形体的速度较快，而且比较容易确定几何元素间的连接关系。

（2）容易支持对物体的各种局部操作，比如进行倒角时，不必修改形体的整体数据结构，而只需提取被倒角的边和与它相邻两面的有关信息，即可进行倒角运算。

（3）便于在数据结构上附加各种非几何信息，如精度、表面粗糙度等。B-Rep法的主要优点是：

（1）对形体的点、B-Rep法的缺点是：

（1）B-Rep数据结构复杂，需要大量的存储空间，维护内部数据结构的程序比较复杂。

（2）修改形体的操作与CSG表示法相比难以实现。

（3）B-Rep表示不一定对应一个有效形体，需要有专门的程序来保证B-Rep形体的有效性和正则性。B-Rep法的缺点是：

（1）B-Rep数据结3）CSG与B-Rep混合表示模型

通过上面的介绍可知，上述实体构造方法各有优缺点：形体表示以特征表示和构造的实体几何表示（CSG）最为方便，但是从计算机对形体的管理和操作运算角度看，以边

界表示（B-Rep）最为实用。所以，近年来大型CAD系统都采用多种模型表示的方法。图4-19所示为一混合模型的典型架构。3）CSG与B-Rep混合表示模型

通过上面的介图4-19混合表示模型的典型架构图4-19混合表示模型的典型架构4）扫描表示法

图4-20给出了用平移扫描产生实体的例子。图4-20（a）所示的是一圆环，通过平移操作产生如图4-20（b）所示的空心管。使用这种方法，用户建立任意的二维图形以后，可用

平移扫描产生各种等截面的物体。4）扫描表示法

图4-20给出了用平移扫描产生实图4-20平移扫描图4-20平移扫描图4-21所示是用旋转扫描产生一实体的例子。可以先定义一个平面图形，然后令此图形绕旋转轴旋转形成一个新的物体。用旋转扫描可以产生旋转对称体。图4-21所示是用旋转扫描产生一实体的例子。可以先定义图4-21旋转扫描图4-21旋转扫描图4-22广义扫描图4-22广义扫描广义扫描将一个平面区域（该区域可以在运动过程中按一定的规则变化）沿任意的空间轨迹线移动，生成一个三维物体，如图4-22所示。广义扫描的造型能力很强，它完全包

含平移扫描和旋转扫描，但由于广义扫描的集合构造算法非常复杂，因此仍把平移扫描和旋转扫描从广义扫描中独立出来，单独处理。广义扫描将一个平面区域（该区域可以在运动过程中按一定的规4.5特征建模

1．特征建模的特点

与传统的几何造型相比，它有着十分显著的优点：

（1）特征建模着眼于更好地表达产品的完整技术和生产信息，为建立产品的集成信息模型服务。4.5特征建模

1．特征建模（2）它使产品设计工作在更高的层次上进行，设计人员操作的对象是产品的功能要素，其可以将更多的精力用于创造性构思上。

（3）特征建模有助于加强产品设计、分析、工艺准备、加工、检验各部门之间的联系，为开发新一代的基于统一产品信息模型的CAD/CAPP/CAM集成系统创造条件。（2）它使产品设计工作在更高的层次上进行，设计人员2．特征定义

随着特征技术由工艺规划向设计、检验和工程分析方面拓展，特征定义趋向于更一般化，例如：用于描述零件和装配体的语义组，它将功能、设计和制造信息组合在一起；一个几何形状或形体要素，它至少具有一种CIM功能；产品信息的载体，它可以在设计和制造或者其它工程任务之间辅助设计或进行通信；任何用于设计、工程分析和制造的推理的客观对象等。2．特征定义

随着特征技术由工艺规划向设计、检验3．特征的构成体系

（1）造型特征：零件上有一定拓扑关系的一组几何元素所构成的一个特定形状，具有特定的功能及特定的加工方法集。形状特征可以分为基本特征和附加特征。其中基本特征用于构造零件的主体形状（如圆柱体、圆锥体等），附加特征用于对基本特征进行局部修饰（如倒角、键槽、退刀槽、中心孔等）。3．特征的构成体系

（1）造型特征：零件上有（2）精度特征：用于表达零件各要素尺寸公差、形状公差、位置公差和表面粗糙度等精度要求信息。需特别指出的是，一般形位公差除公差项目名、公差值、基准外，还应包含公差检测原则（如包容原则、最大实体原则等）。精度特征是形成零件质量指标的主要依据。（2）精度特征：用于表达零件各要素尺寸公差、形状公（3）管理特征：用于描述零件的管理信息，如标题栏中的设计者、批量、件数、零件编码及与其它产品的借用与通用关系、日期、零件生产管理中MRPⅡ所需信息，设计过程管理(包括版本管理，使用者权限设定与管理，审定等)，并为PDM提供所需的信息。（3）管理特征：用于描述零件的管理信息，如标题栏中（4）技术要求特征：用于描述零件的性能、功能等相关信息，说明外观要求、搬运要求等无法在图纸上标注的要求，零件运行过程中的工况条件（常规、极限），载荷与约束条件，为CAE提供模拟信息，为性能实验、分析计算、优化、有限元前处理提供条件。（4）技术要求特征：用于描述零件的性能、功能等相关（5）材料特征：用于描述零件材料的类型、理化指标及热处理等特殊要求、表面处理的信息集合。

（6）装配特征：用于表达零件在装配过程中所需用的信息，如与其它零件之配合、配作等关系，装配尺寸链信息、父项子项的信息。例如，组成产品的零部件之间在装配中的关系可分为层次关系和装配关系。（5）材料特征：用于描述零件材料的类型、理化指标及4．特征建模系统实现模式

特征识别：首先建立一个几何模型，然后用程序处理这个几何模型，自动地发现并提取特征。

基于特征的设计：直接用特征来定义零件的几何结构，几何模型可以由特征生成。图4-23所示为两种方法的示意图。4．特征建模系统实现模式

特征识别：首先建立图4-23特征建模方法示意图图4-23特征建模方法示意图1）特征识别

许多应用程序(如工艺规划、NC编程、成组技术编码等)所要求的输入信息包含几何构造和特征两方面。现已开发出各种技术方法，可以直接从几何模型数据库中获得这些输入信息。这些方法常被看做特征识别，它将几何模型的某部分与预定义的特征相比较，进而识别出相匹配的特征实例。1）特征识别

许多应用程序(如工艺规划、NC特征识别常包含以下几个过程：

（1）搜寻特征库，以匹配拓扑/几何模式。

（2）从数据库中提取已识别的特征。

（3）确定特征参数（如孔直径、槽深度等）。

（4）完成特征的几何模型（如边/面延展、封闭等）。（5）将简单的特征组合，以获得高层特征。特征识别常包含以下几个过程：

（1）搜寻特征2）基于特征的设计

在基于特征的设计方法中，特征从一开始就加入在产品模型中，特征的定义被放入一个库中，通过定义尺寸、位置参数和各种属性值可以建立特征实例。

两种主要的基于特征的设计方法是特征分割造型和特征合成法。2）基于特征的设计

在基于特征的设计5．基于特征的参数化建模系统

基于上述应用背景，国内外对参数化设计做了大量的研究。目前，参数化技术大致可分为如下三种方法：①基于几何约束的数学方法；②基于几何原理的人工智能方法；③基

于特征模型的建模方法。5．基于特征的参数化建模系统

基于上述应用背景，6．变量化设计

变量化设计是一种设计方法，该方法采用约束驱动方式来改变由几何约束和工程约束混合构成的几何模型。变量化设计可以用于公差分析、运动机构协调、设计优化、初步方案设计选型等，尤其适合在概念设计阶段使用。6．变量化设计

变量化设计是一种设计方法，7.基于Pro/E的产品造型设计应用实例

1)Pro/E软件简介

Pro/EngineerWildfire(简称Pro/E)是美国PTC公司推出的一套包含从设计到制造全过程的机械自动化软件。Pro/E软件以参数化著称，是参数化技术的最早应用者，在目前的三维造型软件领域中占据着重要地位，广泛应用于电子、机械、汽车、家电等行业，它集零件设计、产品装配、模具开发、NC加工、钣金设计等功能于一体。7.基于Pro/E的产品造型设计应用实例

1)Pro/E采用了模块方式，可以分别进行草图绘制、零件制作、装配设计、钣金设计、加工处理等，保证用户可以按照自己的需要进行选择使用。其主要特性有参数化设计、基于

特征建模、单一数据库。

Pro/E的形状特征主要有实体特征、曲面特征、辅助特征、修饰特征、用户自定义特征和钣金特征等。Pro/E采用了模块方式，可以分别进行草图绘制、零件2）Pro/E软件建模实例

以图4-24所示管接头为例，其三维建模主要步骤如下：（1）使用【拉伸特征】工具创建水平圆柱，如图4-25

所示。

（2）使用【平面】工具设置基准平面DTM1，使用【拉伸特征】工具创建45°斜圆柱，如图4-26所示。2）Pro/E软件建模实例

以图4-24所示管图4-24管接头零件参考尺寸图4-24管接头零件参考尺寸图4-25创建水平圆柱图4-25创建水平圆柱图4-26设置基准平面DTM1并创建45°斜圆柱图4-26设置基准平面DTM1并创建45°斜圆柱（3）使用【拉伸特征】工具创建水平方向f18圆柱，

如图4-27所示。使用类似方法创建另外两个f18圆柱，如图

4-28所示。（3）使用【拉伸特征】工具创建水平方向f18圆柱，

图4-27创建f18圆柱1图4-27创建f18圆柱1图4-28创建f18圆柱2图4-28创建f18圆柱2（4）使用【拉伸】工具创建12×12×16“凸台”，如图

4-29所示。图4-29创建的“凸台”（4）使用【拉伸】工具创建12×12×16“凸台”，（5）使用【孔】工具创建孔，如图4-30所示。图4-29创建的“凸台”（5）使用【孔】工具创建孔，如图4-30所示。图4（6）使用【倒角】工具，在三个端接头创建“2×60°”、“2×45°”倒角，如图4-31所示。

（7）使用【倒圆角】工具，在端口边缘、管分支处建立圆角。

（8）保存文件，完成管接头三维建模。（6）使用【倒角】工具，在三个端接头创建“2×60°图4-31创建的倒角图4-31创建的倒角第4章三维建模技术4.1概述4.2线框建模4.3曲面建模4.4实体建模4.5特征建模第4章三维建模技术4.1概述4.1概述

1．几何建模

拓扑信息是指一个物体的拓扑元素（顶点、边和表面）的数量、类型以及相互之间的邻接关系。拓扑元素之间可以采用九种拓扑关系表示，如图4-1所示。4.1概述

1．图4-1拓扑关系图4-1拓扑关系2．几何建模技术的发展

在三维造型阶段，几何建模技术经历了三次技术革命。20世纪60年代，在二维造型基础上引入三维造型，CAD系统只是极为简单的线框造型系统。这种初期的线框造型系统只能表达基本的几何信息，不能有效地表达几何数据间的拓扑关系。由于缺乏形体的表面信息，CAE及CAM均无法实现。2．几何建模技术的发展

在三维造型阶段，几何建模4.2线框建模

1．线框建模原理

线框建模是CAD/CAM发展中应用得最早的三维建模方法。线框模型通过点、线（直线、曲线）描述物体的外形、交线和棱线，并在计算机内生成二维和三维图像，如图4-2所示。线框模型在计算机内存储的数据结构共有两个表：一为顶点表（如表4-1所示），记录各点坐标值；另一个为棱线表（如表4-2所示），记录每条棱线所连接的两顶点。4.2图4-2物体的线框模型图4-2物体的线框模型表4-1顶点表

表4-2棱线表

2．线框建模的优缺点

三维线框建模在计算机内部以边表、点表来描述和表达物体，因而线框模型的数据量较少，数据结构简单，占用CPU时间短，存储方面开销低；同时构造模型时操作简便，用户几乎无需培训，系统的使用犹如人工绘图的延伸。2．线框建模的优缺点

三维线框建模在计算机内部以由于线框建模缺少面的信息，因而有以下缺点：

（1）存在二义性（如图4-3所示），即使用一种数据表示的一种图形，有时也可能看成另外一种图形。由于线框建模缺少面的信息，因而有以下缺点：

图4-3线框模型的二义性图4-3线框模型的二义性（2）由于没有面的信息，不能消除隐藏线和隐藏面。（3）线框模型给出的不是连续的几何信息（只有顶点和棱边），不能明确地定义给定的点与形体之间的关系（点在形体内部、外部和表面上）。因此，不能用线框模型处理计算机图形学和CAD中的多数问题，如剖切、消隐、渲染、物性分析、干涉检查、加工处理等。（2）由于没有面的信息，不能消除隐藏线和隐藏面。4.3曲面建模

1．曲面建模原理

曲面建模是通过对物体的各个表面或曲面进行描述而构

成曲面的一种建模方法。如果说线框模型是用“铁丝”构造物体的话，则曲面建模就是拿一张张的表皮对这些“铁丝”进行

蒙皮。建模时，先将复杂的外表面分解成若干个基本曲面元素，再通过这些基本曲面元素的拼接构成所要的曲面。图

4-4所示为曲面的拼接过程。4.3曲面建模

1．曲面建模原理图4-4曲面的拼接过程图4-4曲面的拼接过程中常用曲面生成方法可以分为以下几种类型：

(1)基本曲面。一般有圆柱面、圆锥面、球面、环面等，有些造型系统提供这些基本曲面，有些造型系统则不提供，而是通过拉伸、回转、扫描等造型方法生成这些基本

曲面。中常用曲面生成方法可以分为以下几种类型：

(1)(2)规则曲面。常见的有平面、直纹面、回转面、柱状面等。平面常用三点定义，常用来作剖切平面。直纹面如图4-5所示，它的导线是两条不同的空间曲线，母线是直线，其端点必须沿着导线移动，可表示非扭曲的曲面。造型系统中用专门的命令生成直纹面。回转面如图4-6所示，先绘制一平面线框图，再绕一轴线旋转生成。柱状面如图4-7所示，先绘制一平面曲线，然后沿垂直于该面的方向拉伸而成。柱状面具有相同的截面。(2)规则曲面。常见的有平面、直纹面、回转面、图4-5直纹面图4-5直纹面图4-6回转面图4-6回转面图4-7柱状面图4-7柱状面(3)自由曲面。常见的自由曲面有Bézier曲面、B样条曲面、Coons曲面等。Bézier曲面如图4-8所示，它是一组空间输入点的近似曲面，但并不通过给定的点，不具备局部控制功能。B样条曲面如图4-9所示，它也是一组输入点的近似曲面，但可局部控制。Coons曲面如图4-10所示，它由封闭的边界曲线构成。(3)自由曲面。常见的自由曲面有Bézier曲面、图4-8Bézier曲面图4-8Bézier曲面图4-9B样条曲面图4-9B样条曲面图4-10Coons曲面图4-10Coons曲面(4)派生曲面。派生曲面包括圆角曲面(如图4-11所示)、等距曲面(如图4-12所示)、过渡曲面等。派生曲面是在已经存在的曲面或实体上生成的曲面，在造型系统中由专门的命令生成这些曲面。(4)派生曲面。派生曲面包括圆角曲面(如图4-11图4-11圆角曲面图4-11圆角曲面图4-12等距曲面图4-12等距曲面2．曲面建模特点

表面模型是在线框模型的基础上，增加有关面边（环边）信息以及表面特征、棱边的连接方向等内容，从而可以满足面面求交，线、面消隐，明暗色彩图，数控加工等应用问

题的需要。

表面建模可用于二维工程图的表达形式、三维实体或曲面的草图输入记录，或者作为某些线框网格的输出记录。图4-13所示为表面模型的一个例子。2．曲面建模特点

表面模型是在线框模型的基础上，图4-13表面模型应用举例图4-13表面模型应用举例曲面模型与线框模型相比，多了一个面表，记录了边与面之间的拓扑关系，但仍旧缺乏面与体之间的拓扑关系，无法区别面的哪一侧是体内还是体外。它的缺点是只能表示物体的表面及其边界，还不是实体模型。因此，曲面模型不能实行剖切，不能计算物性，不能检查物体间的碰撞和干涉等。曲面模型与线框模型相比，多了一个面表，记录了边与面之3．常见的曲线、曲面模型

1）Bézier曲线与曲面

1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bézier）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。同期，法国雪铁龙（Citroen）汽车公司的德·卡斯特里奥（deCastelijau）

也独立地研究出与Bézier类似的方法。3．常见的曲线、曲面模型

1）Bézier曲（1）Bézier曲线的定义。

Bézier曲线的构造方法是：用两个端点和若干个不在曲线上但能够决定曲线形状的点来定义曲线。给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则Bézier参数曲线上

各点坐标的插值公式是（4-1）（1）Bézier曲线的定义。

Bézier曲线其中，Pi构成该Bézier曲线的特征多边形，Bi，n(t)是n次Bernstein基函数：

（4-2）Bézier曲线实例如图4-14所示。其中，Pi构成该Bézier曲线的特征多边形，Bi，图4-14三次Bézier曲线图4-14三次Bézier曲线（2）Bézier曲线的性质。

①端点性质：Bézier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。Bézier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。

②对称性：Bézier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。

③凸包性：Bézier曲线的形状由特征多边形确定，它总落在由特征多边形的各控制点形成的凸包内，如图4-15所示。（2）Bézier曲线的性质。

①端点性质：图4-15Bézier曲线的凸包性图4-15Bézier曲线的凸包性④几何不变性:Bézier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点Pi(i=0，1，…，n)的位置有关，它不依赖坐标系的选择。⑤不具有局部控制能力：修改特征多边形一个顶点或改变顶点数量时，将影响整条曲线，对曲线要全部重新计算。④几何不变性:Bézier曲线的位置与形状与其特（3）Bézier曲面。

基于Bézier曲线的讨论可以方便地给出Bézier曲面的定义和性质，Bézier曲线的一些算法也可以很容易地扩展到Bézier曲面的情况。

给定(n+1)×(m+1)个排成网格的控制顶点Pij（i=0，1，…，n;j=0，1，…，m），利用基函数Bi，n(u)、

Bj，m(v)可构造一张曲面片：（4-3）（3）Bézier曲面。

基于Bézier曲线的式中:称该曲面为n×m次Bézier曲面。当n=m=3时，双三次Bézier曲面由16个控制网格点构造（如图4-16所示）：(4-4)式中:称该曲面为n×m次Bézier曲面。(4-4)Bézier曲线的其它性质可推广到Bézier曲面：

①Bézier曲面特征网格的四个角点正好是Bézier曲面的四个角点，即

②Bézier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bézier曲面的四条边界。

③几何不变性。

④对称性。

⑤凸包性。Bézier曲线的其它性质可推广到Bézier曲面：图4-16双三次Bézier曲面及边界信息图4-16双三次Bézier曲面及边界信息2）B样条曲线与曲面

（1）B样条曲线的定义。

B样条曲线是在Bézier曲线基础上发展起来的样条曲线。样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定连续条件。该类曲线在汽车车身设计、飞机表面设计以及船壳设计中有着广泛的应用。2）B样条曲线与曲面

（1）B样条曲线的定义B样条曲线采用特征多边形及权函数定义曲线。权函数是B样条基函数，局部可方便修改。已知n+1个控制点Pi(i=0，1，…，n)（也称为特征多边形的顶点），k阶B样条曲线的表达式是

（4-5）B样条曲线采用特征多边形及权函数定义曲线。权函数是B样式中，Ni,k(u)是调和函数，也称为基函数，按照递归公式可定义为式中,ti是节点值，T=［t0,t1,…,tL+2k－1］构成了k阶B样条函数的节点矢量。式中，Ni,k(u)是调和函数，也称为基函数，按照B样条曲线具有下列特点：

①B样条曲线形状比Bézier曲线更接近于它的控制多边形。控制多边形的各顶点构成的凸包区域比同一组顶点定义的Bézier曲线凸包区域要小，具有更强的凸包性。B样条曲线恒位于它的凸包内。B样条曲线具有下列特点：

①B样条曲线形状比B②B样条曲线的首尾端点不通过控制多边形的首末两个

端点。

③局部调整性。k次B样条曲线上一点只被相邻的k个顶点所控制，与其它控制点无关；一个控制点的移动只会影响该曲线的k个节点区间，对整个曲线的其它部分没有影响。②B样条曲线的首尾端点不通过控制多边形的首末两个

端点（2）B样条曲面。

B样条曲面也可视为由B样条曲线网格绘制而成。通用B样条曲面方程为

双三次B样条曲面方程为（4-6）（4-7）（2）B样条曲面。

B样条曲面也可视为由B样条曲3）NURBS曲线与曲面

（1）NURBS方法的提出及其特点。

NURBS即非均匀有理B样条（NonUniformRationalBSpline），这种方法的提出是为了找到与描述自由型曲线与曲面的B样条方法相统一的、又能精确表示二次曲线弧与二次

曲面的数学方法。NURBS方法主要有以下四个特点：3）NURBS曲线与曲面

（1）NURBS方法①NURBS不仅可以表示自由曲线和曲面，还可以精确地表示圆锥曲线和规则曲线。所以,NURBS为计算机辅助几何设计（CAGD）提供了统一的数学描述方法。

②NURBS具有影响曲线、曲面形状的权因子，故可以设计相当复杂的曲线和曲面形状，若运用恰当，更便于设计者实现自己的设计意图。①NURBS不仅可以表示自由曲线和曲面，还可以精③NURBS方法是非有理B样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理B样条曲线和曲面的性质及其相应的计算方法可直接推广到NURBS曲线和曲面。

④计算稳定且快速。

（2）NURBS曲线的定义。

一条k次NURBS曲线定义为（4-8）③NURBS方法是非有理B样条方法在四维空间的直接推广其中,ωi(i=0,1,…,n)称为权，与控制顶点di(i=0,1,…,n)相关联。ω0、ωn>0,ωi≥0(i=1,2,…,n－1)可防止分母为零、保留凸包性质及曲线不致退化。di(i=0,1,…,n)为控制顶点。Ni,k(u)是由节点U=［u0,u1,…,un+k+1］决定的k次B样条基函数。对于非周期NURBS曲线，两端点的重复度可取为k+1，即u0=u1=…=uk,un+1=un+2=…=un+k+1，且在大多数实际应用中，节点值分别取为0与1，因此，有曲线定义域u∈［uk,un+1］=［0,1］。其中,ωi(i=0,1,…,n)称为权，与控制顶（3）NURBS曲面的定义。

由双参数变量分段有理多项式定义的NURBS曲面为（4-9）这里控制顶点dij(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)呈拓扑矩形阵列，形成一个控制网格。（3）NURBS曲面的定义。

由双参数变量分段有4.4实体建模

1．实体建模原理

实体建模技术是20世纪70年代后期、80年代初期逐渐发展完善并推向市场的。实体建模是利用一些基本体素，如长方体、圆柱体、球体、锥体、圆环体以及扫描体、放样体、

旋转体、拉伸体等，通过集合运算（拼合或布尔运算，如求和、求差、求交）生成复杂形体的一种建模技术。4.4实体建模

1．实体建模2．三维实体表示方法

1）实体几何构造法（CSG，ConstructiveSolidGeometry）CSG法是一种用体素拼合构成物体的方法，是目前最常见、最重要的方法之一。用CSG法表示一个物体可用二叉树的形式加以表达，如图4-17所示。2．三维实体表示方法

1）实体几何构造法（CS图4-17中，CSG树的树叶分为两种：一种是基本体素，如长方体、圆柱等；另一种是体素作运动变换时的参数，如平移参数Δx等。图中节点表示某种运算。有两类运算子：一类是运动运算子，如平移、旋转等；另一类是集合运算子，指并、交及差，分别用记号∪*、∩*、-*表示。图4-17中，CSG树的树叶分为两种：一种是基本体图4-17定义形体的CSG树图4-17定义形体的CSG树CSG表示的优点有：

（1）数据结构比较简单，数据量比较小，内部数据的管理比较容易。

（2）CSG表示可方便地转换成边界（Brep）表示。

（3）CSG方法表示的形体的形状比较容易修改。CSG表示的优点有：

（1）数据结构比较简单CSG表示的缺点有：

（1）对形体的表示受体素的种类和对体素操作种类的限制，也就是说，CSG方法表示形体的覆盖域有较大的局限性。（2）对形体的局部操作不易实现，例如，不能对基本体素的交线倒圆角。

（3）由于形体的边界几何元素（点、边、面）是隐含地表示在CSG中的，故显示与绘制CSG表示的形体需要较长的时间。CSG表示的缺点有：

（1）对形体的表示受体2）边界表示法（BRep，BoundaryRepresentation）

边界表示也称为BR表示或B-Rep表示，是几何造型中最

成熟、无二义的表示法。一个物体可以表达为它的有限数量的边界表面的集合，表面可能是平面，也可能是曲面，每个表面又可用它边界的边及顶点加以表示，如图4-18所示。2）边界表示法（BRep，BoundaryRe图4-18边界表示法模型图4-18边界表示法模型B-Rep法的主要优点是：

（1）对形体的点、边、面等几何元素是显式表示的，使得绘制B-Rep表示的形体的速度较快，而且比较容易确定几何元素间的连接关系。

（2）容易支持对物体的各种局部操作，比如进行倒角时，不必修改形体的整体数据结构，而只需提取被倒角的边和与它相邻两面的有关信息，即可进行倒角运算。

（3）便于在数据结构上附加各种非几何信息，如精度、表面粗糙度等。B-Rep法的主要优点是：

（1）对形体的点、B-Rep法的缺点是：

（1）B-Rep数据结构复杂，需要大量的存储空间，维护内部数据结构的程序比较复杂。

（2）修改形体的操作与CSG表示法相比难以实现。

（3）B-Rep表示不一定对应一个有效形体，需要有专门的程序来保证B-Rep形体的有效性和正则性。B-Rep法的缺点是：

（1）B-Rep数据结3）CSG与B-Rep混合表示模型

通过上面的介绍可知，上述实体构造方法各有优缺点：形体表示以特征表示和构造的实体几何表示（CSG）最为方便，但是从计算机对形体的管理和操作运算角度看，以边

界表示（B-Rep）最为实用。所以，近年来大型CAD系统都采用多种模型表示的方法。图4-19所示为一混合模型的典型架构。3）CSG与B-Rep混合表示模型

通过上面的介图4-19混合表示模型的典型架构图4-19混合表示模型的典型架构4）扫描表示法

图4-20给出了用平移扫描产生实体的例子。图4-20（a）所示的是一圆环，通过平移操作产生如图4-20（b）所示的空心管。使用这种方法，用户建立任意的二维图形以后，可用

平移扫描产生各种等截面的物体。4）扫描表示法

图4-20给出了用平移扫描产生实图4-20平移扫描图4-20平移扫描图4-21所示是用旋转扫描产生一实体的例子。可以先定义一个平面图形，然后令此图形绕旋转轴旋转形成一个新的物体。用旋转扫描可以产生旋转对称体。图4-21所示是用旋转扫描产生一实体的例子。可以先定义图4-21旋转扫描图4-21旋转扫描图4-22广义扫描图4-22广义扫描广义扫描将一个平面区域（该区域可以在运动过程中按一定的规则变化）沿任意的空间轨迹线移动，生成一个三维物体，如图4-22所示。广义扫描的造型能力很强，它完全包

含平移扫描和旋转扫描，但由于广义扫描的集合构造算法非常复杂，因此仍把平移扫描和旋转扫描从广义扫描中独立出来，单独处理。广义扫描将一个平面区域（该区域可以在运动过程中按一定的规4.5特征建模

1．特征建模的特点

与传统的几何造型相比，它有着十分显著的优点：

（1）特征建模着眼于更好地表达产品的完整技术和生产信息，为建立产品的集成信息模型服务。4.5特征建模

1．特征建模（2）它使产品设计工作在更高的层次上进行，设计人员操作的对象是产品的功能要素，其可以将更多的精力用于创造性构思上。

（3）特征建模有助于加强产品设计、分析、工艺准备、加工、检验各部门之间的联系，为开发新一代的基于统一产品信息模型的CAD/CAPP/CAM集成系统创造条件。（2）它使产品设计工作在更高的层次上进行，设计人员2．特征定义

随着特征技术由工艺规划向设计、检验和工程分析方面拓展，特征定义趋向于更一般化，例如：用于描述零件和装配体的语义组，它将功能、设计和制造信息组合在一起；一个几何形状或形体要素，它至少具有一种CIM功能；产品信息的载体，它可以在设计和制造或者其它工程任务之间辅助设计或进行通信；任何用于设计、工程分析和制造的推理的客观对象等。2．特征定义

随着特征技术由工艺规划向设计、检验3．特征的构成体系

（1）造型特征：零件上有一定拓扑关系的一组几何元素所构成的一个特定形状，具有特定的功能及特定的加工方法集。形状特征可以分为基本特征和附加特征。其中基本特征用于构造零件的主体形状（如圆柱体、圆锥体等），附加特征用于对基本特征进行局部修饰（如倒角、键槽、退刀槽、中心孔等）。3．特征的构成体系

（1）造型特征：零件上有（2）精度特征：用于表达零件各要素尺寸公差、形状公差、位置公差和表面粗糙度等精度要求信息。需特别指出的是，一般形位公差除公差项目名、公差值、基准外，还应包含公差检测原则（如包容原则、最大实体原则等）。精度特征是形成零件质量指标的主要依据。（2）精度特征：用于表达零件各要素尺寸公差、形状公（3）管理特征：用于描述零件的管理信息，如标题栏中的设计者、批量、件数、零件编码及与其它产品的借用与通用关系、日期、零件生产管理中MRPⅡ所需信息，设计过程管理(包括版本管理，使用者权限设定与管理，审定等)，并为PDM提供所需的信息。（3）管理特征：用于描述零件的管理信息，如标题栏中（4）技术要求特征：用于描述零件的性能、功能等相关信息，说明外观要求、搬运要求等无法在图纸上标注的要求，零件运行过程中的工况条件（常规、极限），载荷与约束条件，为C