1青岛科技大学高数试卷1011高数A2A卷

2020/2020

学年

学期高等数学A2（A卷） 课程考试试题拟题学院（系）: 数理学院 拟题人:赵立宽适用专业: 机电，信息，应物等专业 校对人: 江莉（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每题3分，共15分）z

y ，则 。x x一阶线性微分方程dy2y3ex的通解为 。dxLx2y2

1，那么曲线积分(x22x。L函数f(x)xsinx展开为x的幂级数是 。5．已知向量a(2,1,1),b(1,1,3)，那么ab 二、选择题（每题3分，共15分）f(x,y)

x2y2在点（0，0）处（ 。A偏导数存在(B)持续但偏导数不存在(C)可微(D)持续且偏导数存在二重积分1dx

f(x,y)dy互换积分顺序可化是（ 。0) 1dy

x3f(x,y)dx (B) 1dy

f(x,y)dx0 y 0 3y(C) 1y

yf(x,y)dx (D) 1y

f(x,y)dx0 y 0 y曲面zx2y1在点（1,1,2）处的切平面方程是（ 。(A) 2xyz10 (B) x2yz1(C) xyz10 (D) xyz10若级数ann1

收敛，那么级数(ann0

an2

（ 。(A)绝对收敛(B)发散 (C)收敛 (D)敛散性不能确信x4,2x0以4为周期的函数在[2,2)上的表达式为f(x) ，其傅里叶级数2x2,0x2的和函数为s(x),则s(2)（ 。(A)1 (B)2 (C)0(D)3.（21）一（7分）设zf(x2y,2xy)，其中f具有二阶持续偏导数，求z,2z 。x xy（7）计算二重积分2x2ydxdy，其中区域DyxyD

1x2所围区x域。37分利用高斯公式计算曲面积分(x3y)dydz(y3z)dzdx2dxdy为曲面z x2y2（x2y21，取下侧。（21）（7）利用格林公式计算曲线积分y23x2y2)dxx32xyx)dy，其中LL是从A(1,0)沿曲线y 1x2到点B(-1,0)的圆弧。（7）求微分方程2y3yy(6x1)ex的通解。3（7）f(x,yz)xy2z，（1）求该函数在点A（1，-1，2）处的梯度；（2）求该函数在点A（1，-1，2）处沿着从点A（1，-1，2）到点B（2，0，3）的方向的方向导数；（3）该函数在点A（1，-1，2）（16）8分）求幂级数n1

(1 )xn的收敛半径、收敛域及和函数。1n1（8曲面z求曲面（12）

x2y2xoyx22xy20，（6设正项数列收敛。

n

n1

(1)nan

n1

1( )n1an2（6）设函数zf(x,yF(x2az,y2bz)0确信的函数，其中F具有一阶持续偏导数，且aFbF0ay

bx

2xy。1 2 x y2010-2011学年2 学期高等数学A2（A）卷试题标准答案拟题学院（系： 数理学院 拟 题 人：赵立适用专业：机电、信息、应物等相关专业 书写标准答案人：赵立宽（答案要注明各个要点的评分标准）一、（每题3分，共15分）y1. x2y2

yex

Ce2x3

n1

(1)n1x2n(2n1)!

,x(,)(4,5,3)（

3分，共15分）1)B. 2)D. 3)A. 4)C. 5)C.（21）zf2

---------------------------------------------3x分2z2

1 22f 3f 2

-------------------------------------7xy

11 12 22分2yxy分

1的交点为（1,1） 1x因此

2x2ydxdy

2 x dx 2xydyD 1 1x2 2 (x41))dx

-----------------------------------------------------------------71 5分3Px3yQy3zR2,取:z1,x2y21

1,,记与所围成区1域 为

, 那 么 由 Gauss 公 式 知 得--------------------------------2分(x3y)dydz(y3z)dzdx2dxdy(

PQRx y z 2 2 13 (x y

------------------3分原 式 (x2y2dv(x3y)dydz(y3z)dzdx2dxdy -------------------5分21d12dz2dxdy0 0 D1 1

7(34)d0 10（21）L1

y0,1x1,方向从B（-1,0）点到A（1,0）Py23x2y2,Qx32xyx 2LL1

D,那么由Green

Q P(y23x2y2)dx(x32xyx)dy(

xy)dLD(3x22y13x2y)dd2D D

---------------------5分原式

(y23x2y2)dx(x32xyx)dy2L1

---------------7分2

12dx1

42二、解求对应的齐次方程2y3yy0的通解Y：1特点方程为2r23r10

,

1 2分1x

1 2 2齐次方程的通解为YC1

2 C2

x（C与C1

为任意常数） 3分（2）y*：由于1

(axb)ex，代入原方程得2(ax2ab)ex3(axab)ex(axb)ex(6x1)ex即6ax7a6b6x1，从而有6a6 a17a1，即

y*(x1)ex

---6 分

1x 原方程的通解为：yCe21

C2

x(x1)ex（C与C1 2

为任意常数） 7分3、解f(x,y,z)xy2z（1）gradufy2z,2xyzxy2| (2,4,1) 2分(1,1,1)lAB，那么其方向余弦为cos

,cos ,cos ，从3333 3 3333而有f|l(1,1,2)分

2cos4coscos 5333gradf(2,4,1)方向时，方向21导 数 最 大 且 最 大 值 为 梯 度 的 模21-----------------------------------7分（16）R

11n 1，即幂级数的收敛半径为1 2n1分

1 1n1而级数

(1)，

(1 )(1)n都发散，因此幂级数的收敛域为(1,1) 41n n1n1 n1分设幂级数在区间(1,1)内的和函数为s(x)，那么s(x)xn

1xnn

x1x

xxn1dx0n1

n1

----------------6分 x x(xn1)dx

x x dx1x

n1

1x 01x= x ln(1x) 8分1x2z于是该曲面的面积为：

D x22xy20或(x1)2y21x2x2y2A1z2z2dxdy 4分x yDxy 11dxdy 8分Dxy（12）（）假设正项数列an

是单调递减数列，那么数列an

必有界，因为单调有界数列存在极限，设lima

a，又因为级数

(1)na

发散，因此a0，从而a0n n

nn11 1 1

1于是lim(( )n)n 1，由根值审敛法

(

收敛； 3分n 1an

1a

1an1 n（2） 若正项数列n1 1a1

是单调递增数列 ，那么 ( 1 1an

( 1 )n ，1a1 1 1 n因此n1

( )n1a1

n1

(1an

)收敛 6分另一证法：假设正项数列a

是单调有界数列，那么lima

存在，设lima

a，因为n n

n n级数n1

(1)nan

发散，因此a0，从而a01 1 1

1于是lim(( )n)n

1

(

收敛； 3分n 1a 1an

n1

1an若正项数列a是单调无界数列，那么lima

n 1 1

n 1于是lim(( )n)nn 1a

01

(1a

)n收敛； 6分n n1 n二、证明：将方程F(x2azy2bz)0