行列式的来源及应用

YibinUniversity本科生毕业论文题 目 行列式的来源及应用二级学院 数学学院 专 业 数学与应用数学学生姓名 谢艳红 学号 年级2010级指导教师 刘敏职称教授教务处制表2014年5月3日行列式的来源及应用作者:谢艳红(宜宾学院数学学院10级励志班四川宜宾644000)

指导老师:刘敏摘要:本文从行列式的来源及行列式的应用两个方面展开探讨.本文首先根据历史上各位数学家对行列式进行研究的先后顺序,介绍了行列式的来源和行列式的发展历史;然后通过例题展示了行列式在解线性方程组,向量空间相关理论,特征值与特征向量的求法,微分中值定理以及解析几何等方面的应用.关键字:线性方程组向量空间解析几何范得蒙行列式引言:行列式是高等代数课程中重要的内容之一,而且它作为一个基础工具,在数学中有广泛的应用.从古至今,有许多位优秀的数学家对行列式以及行列式的应用进行了呕心沥血的研究,取得了令人瞩目的成就,这在行列式的发展史上具有重要意义.本文重点展示了行列式的应用.行列式的应用十分广泛,在高等代数课程中有许多内容与行列式有关,许多问题更是需要借助行列式这一基础工具才能解决.而行列式在初等代数,数学分析以及解析几何中的应用也越来越多,运用行列式可以更为方便和快速的解决部分难题.对于考研的同学来说,清楚而灵活地掌握行列式应用方法,可以在考研过程中达到事半功倍的效果.1、行列式的来源行列式和矩阵理论是伴随着线性线性方程组研究而引入和发展的.行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作,意思是”解行列式问题的方法”,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述.欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一-莱布尼兹(Leibnitz,1693年).他在研究线性方程组的解法时,开始用指标的系统集合来表示线性方程组的系数,并得到现在称为结式的一个行列式.大约在1729年马克劳林开始用行列式的方法解含有24个未知数的线性方程组,还使用了现在所称的克莱姆法则.克莱姆在1750年发表了《线性代数分析导言》，把这个法则表示出来,这是解线性方程组的重要基本公式.1764年，贝祖(Bezout)证明了系数行列式等于零是方程组有非零解的条件.这些关于行列式的早期工作大都是为了解方程组而利用行列式,以求得紧凑简单的表达式.对行列式理论做专门研究(不单纯作为工具)的第一人是范德蒙德(Vandermonde).1772年,他建立了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的方法,就对行列式本身进行研究这一点而言,他是这门理论的奠基人.拉普拉斯在1772年的论文《对积分和世界体系的探讨》中,证明了范德蒙德提出的一些规则,并推广了他的展开行列式的方法,用第r行中所含的元素和它们的余子式的集合来展开行列式,这个方法现在仍以他的名字来命名.这就是关于行列式著名的拉普拉斯展开定理•德国数学家雅克比(Jacobi)也于1841年总结并提出了行列式的系统理论.另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西,他大大发展了行列式的理论,他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法,与此同时发现两行列式相乘的公式及改造并证明了拉普拉斯的展开定理.2、行列式的应用行列式在解线性方程组中的应用我们知道行列式最早来源于解线性方程组,那么在解线性方程组时就不得不提到一个重要的法则一克莱姆法则•克莱姆法则给出了仅用行列式解n元线性方程组的方法，在理论上有重要价值.用克莱姆法则解线性方程组如果n元线性方程组ax+axH Fax=b111 122 Inn1ax+axH Fax=bv21 1 22 2 2nn2的系数行列式ax的系数行列式axHaxH…Hax=bn1 1n2 2nnnnaa •…a1112Inaa •…aD=2i222n丰0aa •…an1n2nn则方程组存在唯一解x.=善,j=1,2,…,n,其中Dj(j=1,2,…,n)是将D的第j列的元D=16=12D=16=12丰02764a…aba …aii1,j-1 .1 1,j+1 InD=:ja::::…aba …anln,j-1 n n,j+1 nn例1[1]求解线性方程组xHxHxHx=1,1234xH2x+3x+4x=1,v1234xH4x+9x+16x=1,1234xH8x+27x+64x=1.1234素换成彳,勺，…,匕的行列式，即:解这个方程组的方程个数与未知量个数相等,且有1111所以可以用克莱姆法则求解,计算得到16=12,D=16=12,D=D=D2342764所以x=1,x=x=x=0.1 2 3 4应用行列式来判断齐次线性方程组解的情况对于n元齐次线性方程组ax+axH Fax=0111 122 1nnax+axF Fax=0v211 222 2nnax+axF Fax=0n11 n22 nnn①齐次线性方程组G）必有解，这是因为至少存在一组零解x=x=…=x=0,1 2 n②当系数行列式D丰0时，齐次线性方程组6）仅有唯一零解,③当系数行列式D=0时，齐次线性方程组6）有无数个解（非零解）.例2切九取何值时，线性方程组"G-九）x-2x+4x=0,v2x1+（3-九”+x3=0, 有非零解，有唯一解?x+x+6-=0,1 2 3解该方程组的系数行列式1-X-2 41-XX-3 41-XX-34D=2 3-X1c+(-1〉-J2 12 1-X1r+(-2)k2 301-X2X-11 1 1-X1 0 1-X101-X=(1-X)3F(X-3)2九-1)-4(1-X)=-X(X-2)X-3)①当X=0或X=2或X=3时，D=0.此时方程组有非零解.②当k丰0且Xh2且Xh3时，D丰0.此时方程组有唯一零解.例3□证明齐次线性方程组TOC\o"1-5"\h\z3x+4x-5x+7x=0,

v1 2 3 4vv2x-3xF3x-2x=0,< 12 3 4v4xF11x-13xF16x=0,

12347x-2x+x+3x=0.1 2 3 4有非零解.证明:该齐次线性方程组的系数行列式A34-573-1-573-1-510-40-60IA=2-33-2203-220302030=0411-13164-2-13164-2-1320-10-1507-2137-1137-11107-1110

所以该齐次线性方程组有非零解.小结:当线性方程组的方程个数和未知数个数相等且系数行列式不等于零时,可以运用行列式这一重要的工具通过各种灵活多样的方法来求解,代替了原来通过消元法求解的复杂性和局限性,降低了解题的难度.行列式在证明向量组的线性相关性中的应用向量的线性相关性在高等代数中有十分重要的地位,一般按照定义法来判定比较麻烦,难度较高,转换为与向量组相联系的系数行列式,通过求行列式的值,即可判断向量组的线性相关性.2.2.1向量组的线性相关性当a,a，…,a是Rn中的向量时，要判断一个向量组a,a，…,a线性相关还是无关,即判断2s12s以x,x,…,x为未知量的方程组xa+xa+…+xa二0是否有非零解，也就是以12s1122ssa,a，…,a为系数矩阵的齐次线性方程组是否只有零解.即a,a，…,a线性相关12s12sor（a,a，…，a）<s1 2s例4b］已知向量组（2,1,1,1）（2,1,a,a）（3,2,1,a）（4,3,2,1）线性相关，并且a丰1,求a.解:因为这四个向量线性相关,所以以他们为列向量的行列式为零.1因为］12a11因为］12a1=（a—1）2a—1）=02又因为a丰1,所以a=2.2.2.2向量组的线性无关性 （ ）例5田设t,t，…,t是互不相同的数,r<n.证明：a=1,t，…,tn-1?i=1,2，…,r12r iii是线性无关性的.证明:假设ka+ka+•••+ka二0,则有11 22 rrk+k+ +k=01 2 rtk+1k+•…+1k=0 /\J11 22 rr ・・・（3丿tn—ik+1n—ik+ +1n—ik=01 1 2 2 rr当r=n时,方程组（3）的未知量个数与方程个数相同,且系数行列式11…1D=t1t2•…tr是范德蒙行列式.tn—11tn—12・・•tn—1r

又t,t，…,t互不相同，所以由范得蒙行列式的性质知D主0.从而方程组（3）有唯一零解.12r即a,a，…,a线性无关.12r当r<n时，即a,a，…,a线性无关.12r当r<n时，令1111P=(,t,t2,…,tr-Jrrrr由上面方法可以证明P1，卩2,…,卩「线性无关P=(,t,t2,…,tr-Jrrrr由上面方法可以证明P1，卩2,…,卩「线性无关，又a,a,12…,a是卩，卩，…,卩的延长向量,r1 2r所以a,a，…,a线性无关.1 2r例6M设向量组a,a,a线性无关,则（）也线性无关.123（A）a+a,a+a,a-a1 2 2 3 3 1(B)a+a,a+a,a+2a+a1 2 2 3 1 2 3(C)a+2a,2a+3a,3a+a1 2 2 3 3 1(D)a+a+a,2a-3a+22a,3a+5a-5a1 2 3 1 2 3 1 2 3解:首先a）选项第二个向量减去第一个向量就得到第三个向量，所以线性相关.6）选项第一、二个向量相加得到第三个向量,所以线性相关•所以排除（A）、（B），只需判断（C）选项是否线性相关.(a+2a,2a+3a,3a+a)=1(a,a,a123101100220=22-2=12丰003303 3(1所以2L01[0可逆于是r(a+2a,2a+3a,3a+a)=1 2 2 3 3 13丿!■/2W「叽3=3,所以Q组向量线性无关.小结:判断一个向量组是否线性相关有很多种方法,有时可利用行列式来判断其系数组成的齐次线性方程组解的情况,可以间接得出向量组的线性相关性.行列式在求解特征值与特征向量中的应用利用行列式可以快速求得一个矩阵的特征值与特征向量.例7【例7【4]求矩阵A=-43100的特征值与特征向量.2丿-1-九 1解:A-1-九 1解:A的特征多项式为IA-九日=—4 3—九1 000 =（2—九）（一九》2—九'-310'(100、当九1=2时，解方程组（A-2E）x=0,由A-2E=-410T010i1 0 0丿i1 0 0丿所以A的特征值为九广2,九2巳二1（0['-210、(101、1时，解方程组(A-E)x=0,由A-E=-420T012i1 0 1丿、0 0 0丿得基础解系P=0.所以cp（c丰0）是对应于九=2的全部特征向量.11111当九=九23得基础解系p=2得基础解系p=2(-1]—2•所以c2pl1丿2（c2丰0）是对应于y二1的全部特征向量.例8例8[4]求矩阵A=-3 5l3 -33的特征值与特征向量.-1丿333 =-6+九)2—九》-1-九-1-九3解:A的特征多项式为|A-^E\= —3 5―九3 -3所以A的特征值为九1=-1，九2"3=2(0 3 3'(1-1 0、当九1=-1时，解方程组(A+E)x=0,由A+E=-3 6 3T011、3 -30?、00 0丿

得基础解系p=1.所以cp（C丰0）是对应于九=-1的全部特征向量11111<-1丿'-33r11112时，解方程组（A-2E）x=0,由A-2E=-3331丿3T000<3-3-3丿<000丿当九=九23（11得基础解系（11得基础解系p=1210丿p=0.所以cp+cp（cC为不同时为零的常数）是对应于九=九九=九23二2的全部特征向量.设81，82,83,84是四维线性空间卜的一组基•线性变换a在这组基下的矩阵为:r5-2r5-2-431-3I-10-1123-3I-10-1123-392112丿-5-2-7丿G)求a在基耳=8+28+8+8耳=281+382+8耳33=83^4=84.下的矩阵.6）求a的特征值与特征向量.解:G）因为叫解:G）因为叫5^4）=（81，82,83，84）01丿0丿丿0丿1丿(8,8,8,8)X1'-32001r5-2-431r12001r006-512-1003-1-32230000-54-3125=00731-110111029-22-2<3-201丿厂10311-7丿<1001丿<005-2丿12X-1AX==B（2）因为线性变换a的特征多项式为所以线性变换a在基⑴小川4下的矩阵为:|XE-|XE-B=-65九-72

-55-432

九+2所以线性变换◎的特征值为九=九=0,九=1,九=2.12342线性变换◎的属于特征值0的线性无关的特征向量为£=28+38+8,g=-8-£+£TOC\o"1-5"\h\z1 1 2 3 2 1 2 4.线性变换◎的属于特征值1的线性无关的特征向量为£=38+8+8-28.3 1 2 3 4线性变换◎的属于特征值1的线性无关的特征向量为£=-48-28+8+68.4 1 2 3 4小结:求出基础解系后,并不代表全部特征向量,特征向量是基础解系的非零线性组合.行列式在微分中值定理中的应用微分中值定理是数学分析的重要知识点,行列式在拉格朗日中值定理以及柯西中值定理中的应用可以帮助我们更好的掌握该部分的内容.行列式在拉格朗日中值定理中的应用例9【4］设函数f满足条件：1f在闭区间ta,b］上连续(2)f在开区间(a,b)内可导则在(a,b)内至少存在一点£，使得f'《)='b-a证明：我们可以构造行列式辅助型函数来证明定理因fC)在L,b］上连续，在(a,b因fC)在L,b］上连续，在(a,b)内可导设0(x)=bf(b)1xf(x)1a0'(x)=b1f(a)ff'((b£))所以,0(x)在L,b］上连续,在a0'(x)=b1f(a)ff'((b£))f抵)-fQ0,所以广住)=f第-f“)“0行列式在柯西中值定理中的应用例10【4］若G)函数f与g都在闭区间L,b］上连续,6)函数f与g都在开区间(a,b)内可导,f'与g'都在(a,b)内不同时为零,gQhg(b)gOfo证明:设0'gOfo证明:设0'O=g(a)f(a)g(b)f(b)由于0(x)是f(x)g(x)的多项式函数，从而在la,b］上连续，在(a,b)内可导，且利用行列式的性质易见Q(a)=©(b)，故由罗尔定理知,至少存在一点gg(a,b)g'(x)f'(x)使得0'£)=0,0'Cx)=g(a)f(a)g(b)f(b)行列式在解析几何中的应用行列式在平面几何和三维空间几何中都有十分广泛的应用,下面将分别从这两方面来探讨行列式的应用.2.5.1行列式在平面几何中的应用三线共点:对于平面内三条互不平行的直线,我们可以利用行列式判断它们是否共点.L:ax+L:ax+by+c=0i i iL:ax+by+c=0相交于2 2 2L:ax+by+c=03 3 3 3a1点的充要条件是a2a3b1b2b3=0三点共线:我们还可以利用行列式判断平面内三点是否共线.平面内三点PWP，Qgy2)，Rgy3)在一条直线的充要条件是x1x1x2x3y

y

y3例11［4］平面上给出三条不重合的直线:L:ax+by+c=0TOC\o"1-5"\h\z1 1 1L:ax+by+c=02 2 2L:ax+by+c=03 3 3a1a2a3c1a1a2a3c1c2c3=0,则这三条直线不能组成三角形.证明:设的交点为叫,y1),因为a1a2ab1b2b3c1c2=0，将第一列乘以t，第二列乘以y］，全都加到a1第三列，得a2a3b1ba1第三列，得a2a3b1b2b3ax+by+c11111ax+by+c21 21 2ax+by+c31 31 3=0因为叫"在L1,L2上，所以ax+by+ciiiii+c=02x+byi3iab0aiii=ab0a2222abax+by+c333i 3i 3a1a2b=0b2an-

a2L1丄2平行，若a3%+b3叮c3二山P(^1，yi)也在L3上,所以L,L,L交于一点,无论何种情形,L,L,L这三条直线都不能组成三角形.1 2 3 1 2 3例12[4]设A(x,y),B(x,y)是平面上两个不同的点，证明经过点A,B的直线方程是1122xyxyixy2证明:设直线方程为：ax+ay+a二0…（4）i23这里ai，a2,a3不全为零•由于A，B在直线上，故它们满足方程(4)，带入得:ax+ay+a=0ii2i3ax+ay+a=0i2 22 3将(4)，(5)将(4)，(5)合并得到方程组<ax+ay+a=0…幺）ii2i3ax+ay+a=0i2 22 3这是一个关于待定系数ai，a2,笃的齐次线性方程组•由于ai，a2,a3不全为零，所以◎有非零解.于是方程组(于是方程组(6)的系数行列式等于零，即xyixiyii=0・..（7）x2y2i凡在直线上的点必满足G)，反之，所有满足G)的点必在经过A,B两点的直线上.因此经过点A,Bxyi的直线方程是 xiyii=0.xyi22

行列式在三维空间几何中的应用例13⑷设A(x,y,z),B(x,y,z),C(x,y,z)是几何空间中不在同一直线上的三点，证111222333明经过A,B,C的平面方程为xyz1xyz1111=0xyz1222x3y3z31证明:设平面方程为 罕+a2y+a3Z+a4-0…这里ai,a2,a3,a4不全为零由于A，BC在平面上故它们满足方程3带入得ax+ay+az+a=0TOC\o"1-5"\h\z11 21 31 4<ax+ay+az+a=0…12 22 32 4ax+ay+az+a=012 22 33