教辅同步课时检测等差数列的概念及通项公式

课时跟踪检测（七）等差数列的概念及通项公式层级一学业水平达标1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为()A．2 B．3C．－2 D．－3解析：选C∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故选C.2．若等差数列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝()A．50 B．51C．52 D．53解析：选D依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝eq\f(1,3)，得d＝eq\f(2,3).所以an＝a1＋(n－1)d＝eq\f(1,3)＋(n－1)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)n－eq\f(1,3)，令an＝35，解得n＝53.3．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是()A．a＝－b B．a＝3bC．a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0解析：选C由等差中项的定义知：x＝eq\f(a＋b,2)，x2＝eq\f(a2－b2,2)，∴eq\f(a2－b2,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.4．数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a2015的值是()A．1006 B．1007C．1008 D．1009解析：选D由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝eq\f(1,2)，所以{an}是等差数列，首项a1＝2，公差d＝eq\f(1,2)，所以an＝2＋eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(n＋3,2)，所以a2015＝eq\f(2015＋3,2)＝1009.5．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…，那么81是数列的()A．第12项 B．第13项C．第14项 D．第15项解析：选Can＝3(2n－1)＝6n－3，由6n－3＝81，得n＝14.6．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝7，,a1＋4d＝a1＋d＋6.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝2.))∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.∴a6＝2×6＋1＝13.答案：137．已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝________.解析：因为n≥2时，an－an－1＝3，所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列．所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.答案：3n8．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d解析：根据题意得：a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1∴a1＝1.又a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，∴d＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)9．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由．解：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，理由如下：因为a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)(常数)．所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)为首项，公差为eq\f(1,2)的等差数列．10．若eq\f(1,b＋c)，eq\f(1,a＋c)，eq\f(1,a＋b)是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列．证明：由已知得eq\f(1,b＋c)＋eq\f(1,a＋b)＝eq\f(2,a＋c)，通分有eq\f(2b＋a＋c,b＋ca＋b)＝eq\f(2,a＋c).进一步变形有2(b＋c)(a＋b)＝(2b＋a＋c)(a＋c)，整理，得a2＋c2＝2b2，所以a2，b2，c2成等差数列．层级二应试能力达标1．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为()A．p＋q B．0C．－(p＋q) \f(p＋q,2)解析：选B∵ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋p－1d＝q，①,a1＋q－1d＝p.②))①－②，得(p－q)d＝q－p.∵p≠q，∴d＝－1.代入①，有a1＋(p－1)×(－1)＝q，∴a1＝p＋q－1.∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)d＝p＋q－1＋(p＋q－1)×(－1)＝0.2．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则eq\f(a2－a1,b2－b1)等于()\f(m,n) \f(m＋1,n＋1)\f(n,m) \f(n＋1,m＋1)解析：选D设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一个数列共(m＋2)项，∴d1＝eq\f(y－x,m＋1)；第二个数列共(n＋2)项，∴d2＝eq\f(y－x,n＋1).这样可求出eq\f(a2－a1,b2－b1)＝eq\f(d1,d2)＝eq\f(n＋1,m＋1).3．已知数列{an}，对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为()A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列解析：选A由题意知an＝2n＋1，∴an＋1－an＝2，应选A.4．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则()A．a3a6>a4a5 B．a3a6<C．a3＋a6>a4＋a5 D．a3a6＝a4解析：选B由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝(a1＋2d)(a1＋5d)＝aeq\o\al(2,1)＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝aeq\o\al(2,1)＋7a1d＋12d2，显然a3a6－a4a5＝－2d2<0，5．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5.答案：56．在数列{an}中，a1＝3，且对于任意大于1的正整数n，点(eq\r(an)，eq\r(an－1))都在直线x－y－eq\r(3)＝0上，则an＝________.解析：由题意得eq\r(an)－eq\r(an－1)＝eq\r(3)，所以数列{eq\r(an)}是首项为eq\r(3)，公差为eq\r(3)的等差数列，所以eq\r(an)＝eq\r(3)n，an＝3n2.答案：3n27．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且∈N*)．(1)求a2，a3；(2)证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是等差数列；(3)求数列{an}的通项公式an.解：(1)a2＝2a1＋22＝6，a3＝2a2＋2(2)证明：∵an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N*)，∴eq\f(an,2n)＝eq\f(an－1,2n－1)＋1(n≥2，且n∈N*)，即eq\f(an,2n)－eq\f(an－1,2n－1)＝1(n≥2，且n∈N*)，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是首项为eq\f(a1,21)＝eq\f(1,2)，公差d＝1的等差数列．(3)由(2)，得eq\f(an,2n)＝eq\f(1,2)＋(n－1)×1＝n－eq\f(1,2)，∴an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,2)))·2n.8．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{an}为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．解：(1)∵a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2，∴λ