复变函数期末考试试卷及答案详解

复变函数期末考试试卷及答案详解《复变函数》考试试题(一)三.计算题(40分):dz1,1、.(为自然数)nn,f(z),|z,z|,10(zz),0D,{z:0,|z|,l}(z,l)(z,2)f(z)，求在1.设22sinz,cosz,2..内的罗朗展式.1sinz3.函数的周期为.dz.,|z|,lcosz2.12f(z),,,,,3712,f(z)fzd,()z,lC,{z:|z|,3}f'(l,i).,C4.设，则的孤立奇点有.,z,3.设，其中，试求,z,lnw,nz5.幂级数的收敛半径为.,z，14.求复数的实部与虚部.n0,6•若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是.四•证明题.(20分)zzz,,...,1.函数在区域D内解析.证明：如果在D内为常数，f(z)|f(z)|12n,limlimz,,n,,nnn,,7.若，贝V.D那么它在内为常数.zesRe(,0),n0Rel,,z2.试证：在割去线段的平面内能分出两zfzzz()(l),,z8.，其中n为自然数.z,,10Rel,,z个单值解析分支，并求出支割线上岸取正值的那支在sinz的值.9.的孤立奇点为.《复变函数》考试试题(二)z填空题.(20分)limf(z),zf(z)z,z0010.若是的极点，贝V.13sin(2z)1.设，则z,,i|z|,—,argz,—,z,―的幂级数展开式.1.求函数2222.设，则f(z),(x,2xy),i(l,sin(x,y),,z,x,iy,C2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数在正z实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点.limf(z),z,1,i处的值.z,idz,3..(为自然数)inn,|z,z|,10(zz),0I,|z|dz3.计算积分：，积分路径为(1)单位圆()|z|,l,,i,nnz4.幂级数的收敛半径为.的右半圆.,n0,sinzdz,z,25.若z是f(z)的m阶零点且m>0,则z是的零点.，f'(z)002(,)z24.求.z6.函数e的周期为.四.证明题.(20分)537.方程在单位圆内的零点个数为.2z,z,3z,8,0f(z)1.设函数f(z)在区域D内解析，试证:f(z)在D内为常数的充要条件是1f(z),8.设，则的孤立奇点有.f(z)2在D内解析.1，z2.试用儒歇定理证明代数基本定理.9.函数的不解析点之集为.f(z),|z|《复变函数》考试试题(三)填空题.(20分)z,1110..Res(,1),f(z),1.设，则f(z)的定义域为.42z，1zz三.计算题.(40分)2.函数e的周期为.2n，21n，,z,，i(1，)3.若，则.limz,nnn!n,,l,nnn的收敛半径.2.试求幂级数z,n22n4..sinz，cosz,n,dzzedz,5..(为自然数)nn,|z,z|,13.算下列积分:，其中是.C|z|,10(zz),22,0Cz(z,9),nnx6.幂级数的收敛半径为.,962n,0z,2z，z,8z,2,04.求在|z|<1内根的个数.四.证明题.(20分)1f(z),7.设，则f(z)的孤立奇点有.21.函数在区域D内解析•证明：如果在D内为常f(z)|f(z)|z,lz数，那么它在D内为常数.8.设，贝V.z,___e,,l2.设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数f(z)z9.若是的极点，则.f(z)limf(z),___0z,z0R及M,使得当时|z|,Rzen10.Res(,0),.n|f(z)|,M|z|，z计算题.(40分)证明是一个至多n次的多项式或一常数。f(z)12zl.将函数在圆环域内展为Laurent级数.0,,,zfzze(),《复变函数》考试试题(四)3二.填空题.(20分)zlef(z),，求2.设Res(f(z),,).l.设，贝U.z,Rez,__,Imz,2z,ll,izzz，，...，12nz,lim2.若，则.limz,,n,,nn,,dz.n3..2,|z|,2z,，(9z)(zi)3.函数e的周期为.111f(z),4.函数的幂级数展开式为2,1，zzze,14.函数有哪些奇点，各属何类型(若是极点，指明它fz(),5.若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是.若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的阶数).的.四.证明题.(20分)f(z)l.证明：若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解f(z)7.设，则.C:|z|,l(z,l)dz,,C析.4sinz2.证明方程在内仅有3个根.l,|z|,2z,6z,3,08.的孤立奇点为zz9.若是的极点，则.f(z)limf(z),___0z,z0《复变函数》考试试题(五)zeRes(,0),10..nz二.填空题.(20分)三.计算题.(40分)z,l,3il.设，贝U.|z|,—,argz,—,z,—3z，1,01.解方程.4z2.当时，为实数.z,___ez,1的实部与虚部.1.求复数z3.设，贝U.z,e,,1z，12.计算积分：z4.的周期为.e，I,Rezdz,L5.设，贝V.C:|z|,1(z,1)dz,___,C1，i在这里L表示连接原点到的直线段.z2,,de,1I,3.求积分：，其中0<a<1.6.Res(,0),.2,01,2acos,，az若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内4.应用儒歇定理求方程，在|z|<1内根的个数，在这里z,,(z)的。1f(z),8.函数的幂级数展开式为.在上解析，并且.,(z)|z|,1|,(z)|,121，z证明题.(20分)sinz9.的孤立奇点为.2f(z),|z|1.证明函数除去在z,0外，处处不可微.z2.设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数Rf(z)16666dz,10.设C是以为a心，r为半径的圆周，贝U.n,C(z,a)及M,使得当时|z|,R(为自然数)nn|f(z)|,M|z|,三.计算题.(40分)5ix证明:是一个至多n次的多项式或一常数.f(z)称为10.公式exix,，cossin二、计算题(30分)n2,i,,《复变函数》考试试题(六)1、.lim,,,,n6,,l.一、填空题(20分)2371,,,,n，21,Czz,,:32、设，其中，试求.fzdfi(1)，(),,n,,,zi,，，(1)limz,C1.若，贝.nnz,,1,nn1zfz(),2.设，则的定义域为fz()e23、设，求.()Re((),)sfzifz,z，121z，sinz3.函数的周期为.3sinz4、求函数在内的罗朗展式.0,,,z2264..sincoszz，,zz,1，,w,5、求复数的实部与虚部.nnz5.幂级数的收敛半径为.z，1,n0,,,i3e6、求的值.，m,1zz6.若是的阶零点且，则是的零fz()mfz()00三、证明题(20分)点.7631、方程在单位圆内的根的个数为6.zzz，，,,96107.若函数在整个复平面处处解析，则称它是.fz()D2、若函数在区域内解析，等于常数，fzuxyivxy()(,)(,),，vxy(,)函数的不解析点之集为.fzz(),D则在恒等于常数.fz()539.方程在单位圆内的零点个数为.2380zzz,，，,试卷一至十四参考答案13、若z是的阶零点，则z是的阶极点.fz()mm00fz()《复变函数》考试试题(一)参考答案二(填空题21,in,,2k,;2.1;3.，;4.zi,,;5.1.()kz,,01n,,,(计算下列积分((,分)12z,2sinzdz(1);(2)(dz2,,1z,4z,2,zz(3),26.整函数；7.;8.;9.0;,()z,(1)!n,2d,10..计算积分((,分),0三(计算题.53cos,,,(求下列幂级数的收敛半径((,分)1.解因为所以01,,,z01,,z2,,(!)nnnnz(1),iz(1);(2)(,,n,,1z111nnnn,11n,,,z().fz(),,,,,z22(1)(2)1zzz,,,00nn,,2(1),3232lfzmynxyixlxy()(),,,,,(设为复平面上的解析函数，试确定，2,的值((,分)2.解因为mn三、证明题(，z,12DDfz(),(设函数在区域内解析，在区域内也解析，证明必fz()fz()Re()limlim1sfz,,,,,,,,cossinzz,zz,,z,222为常数((,分)bazazb,,,0,(试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常a数((,分)72222,令fzuivfzuvc(),(),,,,，则z,12.Re()limlim1sfz,,,,,,uuvv,,0(1)cossinzz,,zz,,,,z,,xx222xy,两边分别对求偏导数，得,uuvv,,0(2)yy,1所以.dzisfzsfz,,,,2(Re()Re()0,,,z,2Duvuv,,,,因为函数在内解析，所以.代入(2)则上述方程组变zcoszz,,,xyyx22为2,,,,()371,,,3.解令，则它在平面解析，由柯西公式有在zz,3uuvv,,0,xx22()0uvv,,u.消去得，.内，，xxvuuv,,0xx,,,()fzdziz,,()2().,,,c,z,221)若，则为常数.fz()0,uv,,0,,所以.fiiziii(1)2()2(136)2(613),,,,,,,,,,,zi,,lu,0CR..,v,0u,0,2)若，由方程(1)(2)及方程有，yxxzabi,，4.解令，则v,0.yzabiab,，,，122(1)2(1)2.w,,,,,,,,111222222ucvc,,,cc,所以.(为常数).zzababab,,,,,,,,11(1)(1)(1)1212za,,12(1)zb,12fzcic(),,所以为常数.12故，.Re()1,,Im(),2222zab,,,1(1)zab,,,1(1)0Re1,,z2.证明的支点为.于是割去线段的z,0,1fzzz()(1),,四.证明题.z平面内变点就不可能单绕0或1转一周，故能分出两个单值解析分支.D1.证明设在内.fzC(),由于当从支割线上岸一点出发，连续变动到时，只有的幅角z,0,1zz8,,,2k增加.所以，i2.则fzzrek(),(0,1),,,,的幅角共增加.由已知所取分支在支割线上岸取正值，fzzz()(1),,k,0又因为在正实轴去正实值，所以.2,,iz,,1于是可认为该分支在上岸之幅角为0,因而此分支在的幅角为，4所以.fie(),2,,,i,i,,,3.单位圆的右半圆周为，•，ze,2故.fei(1)22,,,22,,iii,,22zdzdeei,,,2所以.，，，，，i,,22《复变函数》考试试题（二）参考答案4.解sinzdz二.填空题,,,2(sin)2cos,iz,iz,,,z,2,2z,z,(,)z2221,in,,,2=0.,1.1，，i;2.;3.;4.1;3(lsin2),,i,四.证明题.201n,,fzcic(),，cc,1.证明(必要性)令,则.(为实常数).fzcic(),,121212m,15..uvuv,,,,0uxycvxyc(,),(,),,,令.则.xyyx12R2ki,,i6.，.7.0;8.;9.;()kz,Duvuv,,,CR..,fz()uv,即满足,且连续,故在内解析.xyyx10.0.fzuiv(),,(充分性)令，则，fzuiv(),,三.计算题Dfz()因为与在内解析，所以fz()nnnnn3212163，，，,,(1)(2)(1)2,,zz3uvuv,,,,uvvuvv,,,,,,,,,(),(),且.xyyxxyyyxxsin(2)z,,l.解.，，(21)!(21)!nn,,nn,,00Duvuv,,,,0uv,比较等式两边得•从而在内均为常数，故xyyxD在内为常数.fz()i,2.解令.zre,nn,lazazazaa,,,,,,,,,0(0)2.即要证“任一次方程n0110nn,9n,1有且只有个根”.ncnnn!(l)ll,,nnnnn,1.2.解limlimlim()lim(1),,,,，,efzazazaza()0,，，,,,，，,n证明令,取nnnn,,,,,,,,011nn,cnnnn(1)!，n，1,,aa，,,,，所以收敛半径为.e,,1n,当在上时,有max,1R,zCzR:,,,zzaee1,,0,,()fz,3.解令,则.,,,Re()sfz222nnn,,11,0z(9)zz,,z99.,()()zaRaRaaaRaR,，,,,，，,，,,,，,,0z1110nnn,2i,.,fz(),,,2Re()isfz故原式.，z,09nn,1azazaza,,,,,,,,0由儒歇定理知在圆内,方程与zR,962011nn,fzzzz()22,,，,4.解令，.，()8zz,,naz,0有相0C:则在上均解析，且，故fzz()()与，z,lfzz()6()&,,,naz,0z,0同个数的根.而在内有一个重根•因此nnzR,0由儒歇定理有次方程在内有个根.nzR,.即在内,方程只有一个根.NfCNfC(,)(,)1，,，,,,z,1证明题.D1.证明证明设在内.fzC(),《复变函数》考试试题(三)参考答案2222二.填空题.fzuivfzuvc(),(),,,,,则令.,,leizzizC,,,，且1.;2.;3.;4.1;5.2()kikz,,,,uuvv，,0(1),xx21,in,,xy,两边分别对求偏导数,得,;uuvv，,0(2),yy,01n,,,i6.1;7.;8.;9.;zki,,(21),,Duvuv,,,，因为函数在内解析，所以.代入(2)则上述方程组变xyyxllO..为(1)!n,计算题.uuvv，,0,xx221,，n2()0uvv，,,u.消去得,.,xx11z22zvuuv,,0,，，，,,,,zez(1)1.解.xx,,2zzn2!!n,010122.1),则为常数.fz()0,uv，,0(1)!n，三.计算题.u,0CR..,v,0u,0,2)若,由方程(1)(2)及方程有,yxx1.,,,,2k,2k,3v,0.解：z,,1,z,cos,isink,0,1,2y33,,13ucvc,,,cc,所以.(为常数).1212z,cos,isin,,i13322,,z,cos,isin,,12fzcic(),,所以为常数.12,,5513z,cos，isin,,i33322rR,kn,2.证明取,则对一切正整数时,zz,1neeeekfzkMr!()!()k2.解,.Re(),,Re(),,sfzsfz,,fdz(0).，lkk,,l,zrzz,,l,12,,12zz,2zr,lzz,,l()k,lkn,f(0)0,于是由的任意性知对一切均有.r故原式.,，,,2(Re()Re())(),,isfzsfzieezz,,,11nz,fzcz(),故，即是一个至多次多项式或常数.fz()n,nn3.解原式，，，2Re()2.isfzi,,2,0kzi,,95,zzi,,zz,e,1《复变函数》考试试题(四)参考答案11,zzzz(e,1)z,0,z,2k,i.z(e,1),0ze,14.解=，令，得，二.填空题.k,,1,,2,？11zz1.,;2.;3.2()kikz,,;4.,11z,e,ll,e22lim(,),lim,limzzzz,0,0,0zzzze,l(e,l)ze,l,ze,而nn2(l)(l),,zz;5.整函数;,ze1,n0,lim,,,zzzz,0z,06.亚纯函数;7.0;8.;9.,;10.？z,02eeze,,为可去奇点11z一.判断题.(k,0),z,e,1,0z,2k,i当时，1(?,(?,(X,(?,(X6(X,(X,(?,(?10(?.,zzz二.填空题.，，(e,l)z,e,l,ze,0,,z,2kiz,2ki,?z,2k,i而为，，;2.;1.2,13,iakikza,,2(,),为任意实数3—阶极点.,;4.;5.0;(21)ki,,()kz,2,()kikz,,四.证明题.6.0;Fzfz()(),z1.证明设，在下半平面内任取一点，是下半平面内异z0,nn2z于的点，考虑(1)(1),,zz7.亚纯函数；8.;9.0;10.0,n0,FzFzfzfzfzfz()()()()()(),,,00021,in,,.limlimlim,,.zzzzzz,,,,000zzzzzz,,,00001n,,z而，在上半平面内，已知在上半平面解析，因此zfz()三.计算题.0zabi,,1.解令，则,,Fzfz()(),,从而在下半平面内解析.Fzfz()(),00()zz,2.证明令,,则与在全平面解析,fzz()63,,,fz(),()zzabiab,,,,122(1)2(1)2且在上，,Cz:2,fzz()15()16,,,,lw,,,,,,,.111222222zzababab,,,,,,,,11(1)(1)(1)NfCNC(,)(,)4,,,,,故在内.z,211za,,12(1)zb,12在上，,Cz:1,fzz()3()1,,,,故,.2Re()1,,Im(),2222zab,,,1(1)zab,,,1(1)NfCNfC(,)(,)1,,,,故在内.z,1221,i2.解连接原点及的直线段的参数方程为zitt,,,,(1)01,所以在内仅有三个零点，即原方程在内仅有三f,,12,,z12,,z111,iReRe[(1)](1)(1)zdzitidtitdt,,,,,,故.,,,,,个根.c002dzi,d,,a,03.令，贝V.当时ze,iz《复变函数》考试试题(五)参考答案12()(1)zaaz,,212,,12cos1(),,,,,,,aaazza,z《复变函数》考试试题(六)参考答案1dz1故,，且在圆内只以fz(),Iz,1,z,,1,,1ei2,二、填空题:1.2.3.4.15.z,1,,()(1)zaaz,,izaaz()(1)1为一级极点，在上无奇点，故za,z,1m,16.阶7.整函数8.9.01110.欧拉公式，由残数定理有sfza,,,,Re(),(01)2za,,,aza11za，三、计算题：12,Iisfza,,,,2Re(),(01).,22115,iza,ia,1,,,,1,1.解：因为69366C:4.解令则在内解析，且在上，fzz(),,,fzz(),(),z,1z,12,i,n,()1()zfz,,lim()0,故.n,,6所以在内，，即原方程在内只有NfCNfC(,)(,)1,,,,z,1z,1解：123,,,,i—个根.证明题.1()f,22uxyxyvxy(,),(,)0,，,1.证明因为,故？，fzd(),,C,2iz,,uxuyvv,,,,2,2,0.xyxy2371,,,,z,OCR..,这四个偏导数在平面上处处连续,但只在处满足条件,zd,.,,Cz,0故只在除了外处处不可微.fz()z,,rR,kn,2.证明取,则对一切正整数时,2nfi()2(371),,,,,,,因此kfzkMr!()!()k,,fdz(0).,1kk,,zr,2zr2fzizz()2(371),,,,故()kkn,f(0)0,于是由r的任意性知对一切均有.nfzcz(),,故,即是一个至多次多项式或常数.fz()nfiiziii(1)2(67)2(136)2(613),,,,,,,,,,,.,nn1,i,0k13zz与在单位圆内有相同个数的零点，根据儒歇定理，fz()fzz()(),,eell,,,()23.解：zzizi，，,12763而的零点个数为6，故在单位圆内的根的个数fz()zzz，，,,9610为6.ieRe((),).?,sfziDvv,,02.证明：设，贝山由于在内vxyabi(,),，fzuiv(),，xy2nn321，,uv,,0uv,,,0解析，因此有，•，，(，)xyD(l)(),zxyyx3sin,z,4.解：,(21)!n，n,0D于是故，即在内恒为常uxycdi(,),，fzacbdi()()(),，，，fz()3n,sin(1)z,63n,？,z.数.,6zn(21)!，n,0z3.证明：由于是的阶零点，从而可设fz()m022zxiyxyyi,,，，,，ll(l)2w,,,5(解：设，贝V.zxiy,，m22fzzzgz()()(),,，zziyxy，，，，，11(1)022zgz()0,其中在的某邻域内解析且，gz()xyy,,1200?,,Re,Im.ww2222(1)(1)xyxy，，，，111,,于是m,,ifzzzgz,()()(),,1036(解：eii,,,,,,cos()sin()(13).332lgz()O,zDD由可知存在的某邻域，在内恒有，因此gz()0,6730011四、1•证明：设fzzzzz()9,()61,,,，,,gz()则在上，即有.fzz()9,()1618,,,,,,,z,1fzz()(),,1Dz在内解析，故为的阶极点.m10fz()1410、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，《复变函数》模拟考试试题则在区域D内恒等于常数。()《复变函数》考试试题,一,二、填空题(4x5=20分)一、判断题(4x10=40分)：1C、若是单位圆周，n是自然数，则。1dz,n,1、若函数f(z)在乙解析Uf(z)在乙的某个邻域内可导。()C00(z,z)02、有界整函数必在整个复平面为常数。()2222、设，则f(z),(x,2xy),i(1,sin(x,y),,z,x,iy,C3、若函数在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都f(z),u(x,y),iv(x,y)。limf(z),z,1,i在D内连续。()1f(z),3、设，则f(z)的定义域为。24、cosz与sinz在复平面内有界。()z，1,,5、若z是的m阶零点，则z是1/的m阶极点。()f(z)f(z)00nnz4、的收敛半径为。,n,06、若f(z)在z处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在z解析。()00ze7、若存在且有限，则z是函数的可去奇点。()limf(z)0Res(,0),5、。z,zn0z8、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C三、计算题(8x5=40分)：1都有。()f(z)dz,0,f(z),CD,{z:0,|z|,l}f(z)(z,l)(z,2)l、设，求在内的罗朗展9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意式。阶导数。()151dzz，1esinzdz，,,|z|,1|z|,32,i(z,1)(z,4)2、求。3sin(2z)3、求函数的幂级数展开式。1f(z),2,|z|,，,4、求在内的罗朗展式。(z,1)(z,2)45、求，在|z|<1内根的个数。z,5z，1,0《复变函数》考试试题,二,一、判断题(4x10=40分)：1、若函数f(z)在乙解析，则f(z)在乙连续。()002、有界整函数必为常数。(){Rez}{Imz}{z}3、若收敛，则与都收敛。()nnnf(z),C4、若f(z)在区域D内解析，且，贝V(常数)。()f'(z),0165、若函数f(z)在乙处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为三、计算题(8x5=40分)：0幂级数。()1dz.1、，|z|,1cosz6、若f(z)在乙解析，则f(z)在z处满足柯西-黎曼条件。()00iz7、若函数f(z)在乙可导，则f(z)在乙解析。()00e2、求Res(,i).2,1z8、若f(z)在区域D内解析，贝U|f(z)|也在D内解析。()n9、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。2,i,,3、lim.,,,,n6(),,12k,10、cosz与sinz的周期均为。()f(z),4、求在内的罗朗展式。2,|z|,,,(z,l)(z,2)二、填空题(4x5=20分)TOC\o"1-5"\h\z962z,2z,z,8z,2,05、求在|z|<1内根的个数。dz,l、。n,|z,z|,10(zz),01f(z),2、设，则f(z)的孤立奇点有。2z,13、若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是。22sinz，cosz,4、。5、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的。17《复变函数》考试试题,三,一、判断题(3x10=30分)：1、若函数f(z)在z处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z解析。00()2、若函数f(z)在z解析，贝Jf(z)在z的某个邻域内可导。()003、如z是函数f(z)的本性奇点，则limf(z)—定不存在。()0z,z04、若函数f(z)在z可导，则f(z)在乙解析。()005、若函数f(z)二u(x,y)+iv(x,y)在D内连续，贝匸元函数u(x,y)与(x,y)。()sinz6、函数与在整个复平面内有界。()cosz7、若函数f(z)在2处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为0幂级数。()8、若z是的m阶零点，则z是1/的m阶极点。()f(z)f(z)009、存在整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部。()18ix10、若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，称为.10、公式e,cosx，isinx则数f(z)在区域D内为常数。()三、计算题(8x5=40分)：二、填空题(2x10=20分)2,,，，371n，21,1、设，其中，试求fzd,()C,{z:|z|,3}f'(1，i).n,z,，i(1，)C1、若，则。limz,n,zn,n,,1,nn11dzz，1C2、若是单位圆周，n是自然数，则。dz,esinzdz，2、求。n,,,C|z|,1|z|,3(z,z)2,i(z,1)(z,4)0zsinz3、函数的周期为。ef(z),3、设，求Res(f(z),,).21z,1f(z),4、设，则的孤立奇点有。f(z)2z，11z,e4、求函数在内的罗朗展式。0,|z|,，,nnx5、幂级数的收敛半径为,z,1n,0w,5、求复数的实部与虚部。z，16、若z是f(z)的m阶零点且m>0，则z是的零点。f'(z)00221，i1,i,,,,6、求.，，，，，227、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它,,,,是D内。、四、证明题(6+7+7=20分)：1、设是函数f(z)的可去奇点且，试证：，limf(z),A,C8、函数的不解析点之集为。f(z),|z|z,,20202020z。Res(f(z),,),,limz(f(z),A)ez,,9、，其中n为自然数。Res(,0),nz2、若整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且f(0),0,则19lim()fz。f(z),0(,z,C)是f(z)的本性奇点，则一定不存在。()2、如果z0zz,043、若存在且有限，则z是f(z)的可去奇点。()limf(z)03、证明方程在内仅有3个根。1,|z|,2z,6z,3,0z,z04、若函数f(z)在乙可导，则它在该点解析。()0{z}{Rez}{Imz}5、若数列收敛，则与都收敛。()nnn6、若f(z)在区域D内解析，贝U|f(z)|也在D内解析。()7、若幂级数的收敛半径大于0，则其和函数必在收敛圆内解析。()8、存在整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部。()9、若函数f(z)是区域D内的解析函数，且在D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数。()10、。()|sinz|,1(,z,C)二、填空题(2x10=20分)zl、函数e的周期为。《复变函数》考试试题，四，，，nnz2、幂级数的和函数为。,一、判断题(3x10=30分)：n,0zl、若函数f(z)在z解析，贝Uf(z)在z的某个邻域内可导。()003、函数e的周期为。lnf(z),4、设，则的孤立奇点有。f(z)2,i,,21,zlim.3、，，，，n6,,的收敛半径为。zne4、求函数在内的罗朗展式。0,|z|,，,nx5、幂级数的和函数为。，n,08525、求方程在单位圆内零点的个数。z,4z，z,16、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的。n1，i,,zzz，，...，lim6、求。，，12n,lim7、若，则。limz,,,,n2n,,,,nn,,n四、证明题(6+7+7=20分)zel、设函数f(z)在区域D内解析，试证:f(z)在。内为常数的充要s8、，其中n为自然数。Re(,0),nzf(z)条件是在D内解析。539、方程在单位圆内的零点个数为。2z,z，3z，8,02、如果函数在上解析，且，f(z)D,{z:|z|,1}|f(z)|,1(|z|,1)1f(z),10、函数的幂级数展开式为。21，z则。|f(z)|,1(|z|,1)三、计算题(5x6=30分)：852z3、设方程证明：在开单位圆内根的个数为5。z,4z，z,1,01、dz.2,|z|,2,，(9z)(zi)ize2、求Res(,i).2，1z216、若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有。()f(z)dz,0,C7、若，则函数f(z)在是D内的单叶函数。()f'(z),0(,z,D)8、若z是f(z)的m阶零点，则z是1/f(z)的山阶极点。()009、如果函数f(z)在上解析，且，D,{z:|z|,1}|f(z)|,1(|z|,1)则。()|f(z)|,1(|z|,1)《复变函数》考试试题,五,10、。()|sinz|,l(,z,C)—、判断题(3x10=30分)：二、填空题(2x10=20分)1、若函数f(z)在乙解析，则f(z)在z连续。()00n,21nz,，i(1，)1、若，则。limz,nn2、若函数f(z)在z处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z解析。00z,，,1,nn1()f(z),2、设，则的定义域为。f(z)2z，13、若函数f(z)在乙解析，则f(z)在乙处满足Cauchy-Riemann条件。003、函数sinz的周期为。()224、。sinz，cosz,4、若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则。()f'(z),0(,z,D)，,nnz5、幂级数的收敛半径为。，5、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线Cn,0都有f(z)dz,0。(),C6、若z是f(z)的m阶零点且m>1，则z是f'(z)的零点。00227637、若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是。在单位圆内的根的个数为6。1、方程z,9z，6z,1,08、函数f(z)=|z|的不解析点之集为。f(z),u(x,y)，iv(x,y)2、若函数在区域D内解析，等于常v(x,y)539、方程在单位圆内的零点个数为。2z,z，3z，&0数，则在D内恒等于常数。fx()ix10、公式称为。e,cosx，isinx3、若z是的m阶零点，则z是1/的m阶极点。f(z)f(z)00三、计算题(5x6=30分)：n2,i,,1、lim.,,,,n6,,2,,，，371,2、设，其中，试求fzd,()C,{z：|z|,3}f'(1，i).,C,z,ze3、设，求()fz,Re((),).sfzi21z,3sinz4、求函数在内的罗朗展式。0,|z|,,6zz,1w,5、求复数的实部与虚部。z，1,,i3e6、求的值。《复变函数》考试试题,六,四、证明题(6+7+7=20分)2322—、判断题(3x8=24分)。4、sinz,cosz,1、若函数f(z)在z解析，贝Uf(z)在z的某个邻域内可导。()00,,22nnz5、幂级数的收敛半径为。，2、若函数f(z)在z处解析，则f(z)在乙满足Cauchy-Riemann条件。OOnO,()6、若z是f(z)的m阶零点且m>1,贝Uz是的零点。f'(z)003、如果z是f(z)的可去奇点，则一定存在且等于零。()limf(z)0z,z07、若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是。4、若函数f(z)是区域D内的单叶函数，则。()f'(z),0(,z,D)8、函数f(z)=|z|的不解析点之集为。835、若函数f(z)是区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。9、方程在单位圆内的零点个数为。3380zzz,，，,()zeRes(,0),10、。6、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，nz则在区域D内恒等于常数。()三、计算题(5x6=30分)7、若z是f(z)的山阶零点，则z是1/f(z)的m阶极点。()00221,i1,i,,,,1、求.，，，，，8、。()|sinz|,1(,z,C)22,,,,26262二、填空题(2x10=20分)，，，，371,2、设fzd,，其中，试求()C,{z:|z|,3}f'(l,i).,C11n,z,zi,，，sin(1)1、若，贝U。limz,nn,，,n,nn1zzefz(),2、设，则的定义域为。f(z)3、设()，求fz,Re((),0).sfz22z，1zz3、函数的周期为。e24z4、求函数在内的罗朗展式。1||2,,z(1)(2)zz,,z,1w,5、求复数的实部与虚部。z，12,dx,(1).a,6、利用留数定理计算积分:,0ax，cos四、证明题(6+7+7=20分)76331、方程在单位圆内的根的个数为7。249610zzzz，，，，,《复变函数》考试试题，七，2、若函数在区域D内解析，等于f(z),u(x,y),iv(x,y)|()|fz一、判断题(2x10=20分)常数，则在D内恒等于常数。fz()1、若函数f(z)在z可导，则f(z)在z解析。()002、若函数f(z)在z处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z解析。003、若z是的m阶零点，则z是1/的m阶极点。f(z)f(z)00()五、计算题(10分)3、如果z是f(z)的极点，则一定存在且等于无穷大。()limf(z)0z,z0求一个单叶函数，去将z平面上的上半单位圆盘{:||1,Im0}zzz,,4、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C保形映射为w平面的单位圆盘。{:||1}ww,都有。()f(z)dz,0,C5、若函数f(z)在2处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为0幂级数。()256、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C7、若函数f(z)在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是。都有。()f(z)dz,0,Cfzz(),的不解析点之集为。8、函数7、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某一条曲线上恒为常83数，则f(z)在区域D内恒等于常数。()9、方程在单位圆内的零点个数为2011350zzz,，，,8、若z是f(z)的m阶零点，则z是1/f(z)的m阶极点。()00。9、如果函数f(z)在上解析，且，则D,{z:|z|,1}|f(z)|,1(|z|,1)ze10、。Res(,1),21z,。()|f(z)|,1(|z|,1)三、计算题(5x6=30分)z10、。()lime,,n,,z2,i,,1、lim.,,,,二、填空题(2x10=20分)n6,,n2nzi,，,sin(1)1、若，贝U。limz,nn2z,，,,,，，1，nn371,2、设fzd,，其中，试求()C,{z:|z|,3}f'(1，i).,C1,z,fz(),2、设，则的定义域为。f(z)sinzz3、函数sinz的周期为。e3、设()，求fz,Re((),).sfzi,21z，224、。sinz，cosz,z，,4、求函数在内的罗朗展式。1||2,,znnz5、幂级数的收敛半径为。(1)(2)zz,,,n,0z,1w,5、求复数的实部与虚部。6、若z是f(z)的m阶零点且m>1，则z是f'(z)的零点。z，1002，,xx,，26、利用留数定理计算积分。dx,42,,xx，，109《复变函数》考试试题,八,四、证明题(6+7+7=20分)763二、判断题(4x10=40分)：1、方程在单位圆内的根的个数为6。z,9z,6z,1,01、若函数f(z)在乙解析，则f(z)在乙的某个邻域内可导。()002、若函数在区域D内解析，等于f(z),u(x,y)，iv(x,y)u(x,y)limf(z)2、如果z是f(z)的本性奇点，则一定不存在。()0z,z0常数，则在D内恒等于常数。fz()3、若函数在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都f(z),u(x,y)，iv(x,y)3、若z是的m阶零点，则z是1/的m阶极点。f(z)f(z)00在D内连续。()五、计算题(10分)4、cosz与sinz在复平面内有界。(),{:Im}zz,,求一个单叶函数，去将z平面上的带形区域保形,5、若z是的m阶零点，则z是1/的m阶极点。()f(z)f(z)200映射为w平面的单位圆盘。{：||1}ww,6、若f(z)在z处满足柯西-黎曼条件，贝Uf(z)在乙解析。()00limf(z)7、若存在且有限，则z是函数的可去奇点。()0z,z08、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线Cf(z)dz,0都有。(),C9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。()2710、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，22uxyxy(,)ln(),，。求，使得4设v(x,y)f(z),u(x,y)，iv(x,y)则在区域D内恒等于常数。()二、填空题(4x5=20分)z,D为解析函数，且满足。其中(D为复平面fi(l)ln2,,zl、函数e的周期为。，,内的区域)。n2、幂级数的和函数为。nz,n,014f(z),3、设，则f(z)的定义域为。z,5z，1,05、求，在|z|<l内根的个数2z，1，,n4、nz的收敛半径为。,n,0ze5、。Res(,0),nz三、计算题(8x5=40分)：zdz.1、2,|z|,2,，(9z)(zi)izeRes(,,i).22、求1，znn1，i1,i,,,,，,,,,3、nn1，i1,i,,,,，,,,,3、22,,,,28也是的根。则P(z)z0()M3(如果函数为整函数，且存在实数，使得，f(z)Ref(z),M则为f(z)一常数。()4(设函数与在区域D内解析，且在D内的一小段f(z)f(z)12弧上相等，z,D则对任意的，有。f(z)f(z),125(若是函数的可去奇点，贝V。z,,f(z)Resf(z),Oz,,《复变函数》考试试题，九,()一、判断题。(正确者在括号内打？，错误者在括号内打X,2,5=10二、填空题(每题2分)分)23456i,i,i,i,i,1(。z,01(当复数时，其模为零，辐角也为零。(),y,lnn,,,,argz,,,,arctan,P(z),az，az，,,,，aza,02(若是多项式()的根，2(设，且，，当z,x，iy,010nn,0n22x29y,argz,arctan，时，。x,0,y,0，贝U,(a),O,,(a),O,,(a),Ox122。Resf(z),w,(x,1)，y,13(函数将平面上的曲线变成平面上的曲zwz,az线。10(设为函数的m阶极点，则f(z)a44,fz()z，a,0(a,0)4(方程的不同的根为sRe,。z,afz()三、计算题。(50分)i1(1，i)5(。22u(x,y),ln(x，y)1(设。求，使得v(x,y)2,1nn[2，(,1)]z6(级数的收敛半径为f(1，i),ln2为解析函数，且满足。f(z),u(x,y)，iv(x,y),20n,z,D其中(D为复平面内的区域)。(15分)。2(求下列函数的奇点，并确定其类型(对于极点要指出它们的阶)。7(在(n为正整数)内零点的个数为|z|,ncosnz(10分)1。z,1e2(1);(5分)(2)。(5分)tanz336zz,0f(z),6sinz，z(z,6)8(函数的零点的阶数为。e,13(计算下列积分。(15分)，(z)f(z),9(设为函数的一阶极点，且a,(z)3019z,,ddz(1)(8分)，(2)2443,,2|z|,40(，1)(，2)zz1，cos,(7分)。7424(叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个|z|,lz,5z,z,2,0《复变函数》试卷(十)数。(10分)四(证明题。(20分)一、填空题。(每题2分)1(设是上半复平面内的解析函数,证明f(z),u(x,y),iv(x,y)1,1、设,则。z,r(