自动控制原理-讲义课件

36、“不可能”这个字(法语是一个字)，只在愚人的字典中找得到。--拿破仑。37、不要生气要争气，不要看破要突破，不要嫉妒要欣赏，不要托延要积极，不要心动要行动。38、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。(注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素。39、没有不老的誓言，没有不变的承诺，踏上旅途，义无反顾。40、对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。自动控制原理自动控制原理36、“不可能”这个字(法语是一个字)，只在愚人的字典中找得到。--拿破仑。37、不要生气要争气，不要看破要突破，不要嫉妒要欣赏，不要托延要积极，不要心动要行动。38、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。(注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素。39、没有不老的誓言，没有不变的承诺，踏上旅途，义无反顾。40、对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。自动控制原理自动控制原理第四章（根轨迹法）#4—1根轨迹与根轨迹方程一、根轨迹：根轨迹法仍属于时域分析法，是一种图解法，它可用于控制系统的分析和设计。所谓根轨迹是指当系统某个参数(如开环增益或时间常数)由零到无穷大变化时，闭环特征根在[s]平面上移动的轨迹。36、“不可能”这个字(法语是一个字)，只在愚人的字典中找得1自动控制原理_讲义课件2自动控制原理_讲义课件3自动控制原理_讲义课件4自动控制原理_讲义课件5如果变动K*，则所有Sj都要发生变化。令K*由0→∞变化，则n个特征根都将连续变化，在根（复）平面上各有一条变化轨迹，即有n条特征根的轨迹，这些轨迹称为系统的根轨迹。如果变动K*，则所有Sj都要发生变化。令K*由6根轨迹图示例（一）如图所示的二阶系统，R（s）C（s）KS（S+4）根轨迹图示例（一）如图所示的二阶系统，R（s）C（s）KS7解：Gk(S)=————KS(s+4)K*=K开环极点：P1=0,P2=–4无开环零点(S)=————=————Gk(S)1+Gk(S)KS+4s+K2解：Gk(S)=————KS(s+4)K*=K开环极点：P8∴特征方程为：S+4S+K=02特征根：今令K=0→∞

范围内变化，利用解的公式计算对应的特征根的值，通过连接这些根点，就可以在复平面上得到根轨迹曲线。∴特征方程为：S+4S+K=02特征根：今令K=9K=0,S1=0,S2=–4K=4,S1=S2=–2K=5,S1=–2+j,S2=–2–jK=8,S1=–2+2j,S2=–2–2jK→∞时,S1

→–2+j∞,S2→–2–j∞K=0,S1=0,S2=–410在复平面上，点出各对应点的根点，把它们连接起来，再用箭头表示它们的变化趋向，就得到二阶系统的根轨迹图k→∞k→∞-40-2在复平面上，点出各对应点的根点，把它们连接起来，再用箭头表示11有了根轨迹图，就可对系统的动态性能进行分析：1、当K=0→∞时，根轨迹均在[S]平面的左半部，因此，系统对所有的K值都是稳定的。2、当0<K<4时，闭环特征根为实根。系统呈过阻尼状态。3、K=4时，系统为临界阻尼状态。有了根轨迹图，就可对系统的动态性能进行分析：1、当K=0→∞124、K>4时，闭环特征根为一对共轭复根，系统为欠阻尼状态，阶跃响应为衰减振荡过程。5、开环传递函数有一个位于坐标原点的极点，所以系统为I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。4、K>4时，闭环特征根为一对共轭复根，系统为欠阻尼状态13绘制根轨迹实质上是寻找闭环特征方程1+G(s)H(s)=0的根因此满足方程式G(s)H(s)=–1的s的值，都必定是根轨迹上的点，故称上式为根轨迹方程。二、根轨迹方程绘制根轨迹实质上是寻找闭环特征方程1+14利用开环传递函数的通式，即：

G(S)H(s)=–1为复变量，所以上式为一矢量方程，可表示为模值方程和相角方程。利用开环传递函数的通式，即：G(S)H(s)15模值和相角方程为：式中：模值和相角方程为：式中：16例一、设系统开环传递函数为GK(s)=———————如何应用根轨迹方程在S平面上找到闭环极点？K(τ1s+1)S(T1S+1)(T2S+1)例一、设系统开环传递函数为GK(s)=————17解：将上式改写为零极点形式解：将上式改写为零极点形式18S10S10191、在复平面上画出开环的零极点。一般用X表示开环极点的位置，此系统有三个开环极点0、P1、P2;用小圆圈°表示开环零点的位置,此系统有一个开环零点Z1

成立，那么S1就是根轨迹上的点2、在复平面上任取一点S1，然后画出从各开环零极点到S1

点的各矢量。则如果：1、在复平面上画出开环的零极点。一般用X表示开环极点的位20例二、单位反馈系统的开环传递函数为问复平面上点S1

是否为根轨迹上的点。例二、单位反馈系统的开环传递函数为问复平面上点S1是否为21#4—2根轨迹的绘制一、根轨迹的分支数二、根轨迹对称于实轴三、根轨迹的起点、终点四、实轴上的根轨迹五、根轨迹渐近线六、根轨迹的起始角与终止角七、分离点坐标八、根轨迹与虚轴的交点九、根之和练习：#4—2根轨迹的绘制一、根轨迹的分支数22#4—2根轨迹的绘制一、根轨迹的分支数根轨迹在复平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n，也就是分支数与闭环极点的数目相等。这是因为n阶特征方程对应有n个特征根，当开环增益K=0→∞时，这n个特征根随K变化，必然会出现n条根轨迹。#4—2根轨迹的绘制一、根轨迹的分支数23二、根轨迹对称于实轴闭环极点若为实数，则必位于实轴上，若为复数，则一定是共轭成对出现，所以根轨迹必对称于实轴。二、根轨迹对称于实轴闭环极点若为实数，则必位于实24三、根轨迹的起点、终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果开环零点数m小于开环极点数n，则有（n–m）条根轨迹终止于无穷远处。根据根轨迹方程：三、根轨迹的起点、终点根轨迹起始于开环极点，终止25

根轨迹的起点，即K*=0时的闭环极点，当K*=0时，上式右边为无穷大，而左边只有当S→Pj

时，才为无穷大，所以K=0时，根轨迹分别从开环n个极点开始。即根轨迹起始于开环极点。根轨迹的终点，即K*

→∞时的闭环极点。上式可知当K*

→∞时，右边为0，而等式左边只有当S→Zi

时，才为0。所以K→∞时，根轨迹终止于各零点。

根轨迹的起点，即K*=0时的闭环极点，当26

当n>m时，只有m条根轨迹趋向于零点，还有（n–m）条根轨迹趋向如何？由于n>m,当S→∞时，上式可写成（Zi,Pj可忽略不计）则：∴当K→∞时，有n–m条根轨迹趋于∞当n>m时，只有m条根轨迹趋向于27四、实轴上的根轨迹

若实轴上某线段的右侧，开环零极点数目之和为奇数，则该线段一定为根轨迹段。在实轴的根轨迹上取一点S1,一对开环复数零极点对S1

的向量对称于实轴，其相角等值反号，在相角方程中将相互抵消，剩余的仅是位于实轴上的开环零极点对S1

向量，但位于S1

点左边的开环零极点对S1点的向量相角为零，位于S1

点右边的开环零极点构成相角π，故根据相角方程，只有实轴上的根轨迹区段右侧的开环零极点数之和为奇数，才能满足相角方程。四、实轴上的根轨迹若实轴上某线段的右侧，28五、根轨迹渐近线如果开环零点数m小于开环极点数n，则当K→∞

时，有（n–m）条根轨迹趋向∞，这（n–m）条根轨迹趋向无穷远的方位，可由渐近线决定。渐近线与实轴交点坐标：五、根轨迹渐近线如果开环零点数m小于开环极点29渐近线与实轴正方向的夹角：K依次取0，±1,±2……一直到出现重复为止。渐近线与实轴正方向的夹角：K依次取0，±1,±30例一、画出所给系统的根轨迹例一、画出所给系统的根轨迹31解：P1=0,P2=–1,P3=–2

无零点∴有三条根轨迹趋向无穷远，其渐近线与实轴的交点坐标解：P1=0,P2=–1,P3=–320-1-20-1-233分离点分离点34六、分离点坐标一般情况下，如果根轨迹位于实轴上两相邻开环极点之间，则这两极点间至少存在一个分离点。如果根轨迹位于两相邻开环零点间（其中一个零点可位于无穷远处），那么，这两个零点之间至少存在一个分离点。两条或两条以上的根轨迹的分支，可随K的增大而相遇又立即分开的交点称为根轨迹的分离点或会合点。分离点即为根轨迹的交点，它必为系统的重根，故可由特征方程取导数联解得出。六、分离点坐标一般情况下，如果根轨迹位35或：对特征方程求导得：或：对特征方程求导得：36分离点的计算公式：分离点的计算公式：37例一、已知系统的开环传递函数试绘制系统闭环根轨迹例一、已知系统的开环传递函数试绘制系统闭环根轨迹38解：P1=–1,P2=–2,Z1=–3,K*=K据法则1：n=2有两条分支据法则3：两条分支分别起始于－1,－2点，一条终止于－3点另一条为无穷远处。据法则4：在开环极点－1，－2，之间及开环零点（－3，－∞）之间的实轴为根轨迹据法则5：有一条渐近线K=0,则φ=π可见渐近线就是根轨迹本身。解：P1=–1,P2=–2,Z1=–39据法则6：可确定实轴上的分离点与会合点显然–1与–2间的实轴上有分离点，在–3与–∞间的实轴上有会合点。据法则6：可确定实轴上的分离点与会合点显然40–1–2–30–1–2–3041例：已知单位负反馈系统的开环传递函数，绘制系统的闭环根轨迹例：已知单位负反馈系统的开环传递函数，42七、根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的相交，意味着闭环为纯虚根，±jw，系统处于临界稳定状态。因此将S=jw代入特征方程中得：七、根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的相交，意味着闭43例一、试绘制下列系统的根轨迹图例一、试绘制下列系统的根轨迹图44解：P1=0,P2=–1,P3=–2无零点

∴有三条根轨迹趋向无穷远，其渐近线与实轴的交点坐标为：解：P1=0,P2=–1,P3=–45分离点：分离点：46令S=jw令S=jw470–1–2P0P1P20–1–2P0P1P248例二、设反馈控制系统中要求：（1）概略绘制系统轨迹图，判断系统的稳定性。（2）如果改变反馈通路传递函数使H(s)=1+2S试判断H(s)改变后系统的稳定性，研究H(s)改变所产生的效应。例二、设反馈控制系统中要求：（1）概略绘制系统轨迹图，判断系49解：（1）系统无开环零点，开环极点为：P1=P2=0,P3=–2,P4=–5实轴上根轨迹区间为：[–5，–2]，[0，0]根轨迹渐近线条数为：4，且：由分离点方程：得：解：（1）系统无开环零点，开环极点实轴上根轨迹区间为：[–500–2–50–2–551从上图可知，无论K*取何值，闭环系统恒不稳定（2）当H(s)=1+2S时，系统开环传递函数为：其中K1*=2K*.H(s)的改变使系统增加了一个开环零点。实轴上的根轨迹区间为：[–∞，–5]，[–2,–0.5][0,0]从上图可知，无论K*取何值，闭环系统恒不稳定（2）当H(52根轨迹渐近线条数为：3且：系统闭环特征方程为:根轨迹渐近线条数为：3且：系统闭环特征方程为:53列劳斯表S4110K*S372K*

S2K*S当K*=22.75时，劳斯表S行的元素全为零。由辅助方程：列劳斯表S4154解得根轨迹与虚轴的交点为：S1,2=±j2.55.0–0.5–2–5解得根轨迹与虚轴的交点为：S1,2=±j2.55.55由上图可知，当0<K*<22.75时，闭环系统稳定由上图可知，当0<K*<22.75时，闭环系统56八、根轨迹的起始角与终止角所谓根轨迹的起始角，是指起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平线的正向夹角。而根轨迹的终止角是指终止于开环零点的根轨迹，在终点处的切线与水平线的正向夹角。八、根轨迹的起始角与终止角所谓根轨迹的起始角57例一、设单位反馈系统的开环传递函数试绘制系统的概略的根轨迹例一、设单位反馈系统的开环传递函数试绘制系统的概略的根轨迹58解：开环极点P1=0,P2,3=–0.5±j1.5

P3=-2.5零点Z1=–1.5,Z2=–2±j1）据法则1有4条根轨迹2）据法则4则（0—–1.5）（–2.5—∞）为实轴上的根轨迹3）据法则3有n–m=4–3=1条→∞

4）据法则5求→∞的根轨迹的渐近线解：开环极点P1=0,P2,3=–0.5±595）据法则6K=0时则：5）据法则6K=0时则：600–2.5–1.50–2.5–1.561例一、已知系统的开环传递函数试求系统闭环根轨迹例一、已知系统的开环传递函数试求系统闭环根轨迹62解：d1

即为所求解：d1即为所求63

Z1P1P2dZ1P1P2d64九、根之和

系统的闭环特征方程在n>m时，可以表示为：九、根之和系统的闭环特征方程在n>m时，可65式中：Si

为闭环特征根当n–m≥2时，特征方程第二项与K*无关，无论K*取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n个根之和。式中：Si为闭环特征根66所以当K*变化时，为常数，由此可知系统所有特征根之和为定值，故若有一些特征根增大时，必将有一些特征根要减小，即：当K*增大时，若系统的某些特征根在复平面上向左移动（即这时对应的根轨迹曲线向左延伸），则必有另一些特征根向右移动（即另一些相应的根轨迹曲线向右延伸）。所以当K*变化时，67例一、已知系统开环传递函数，试绘制其根轨迹曲线例一、已知系统开环传递函数，试绘制其根轨迹曲线68解：无零点解：无零点69下面按法则先后顺序求根轨迹的参数1、因为开环有4个极点，故有4条根轨迹2、确定实轴上的根轨迹（0—–20）3、n=4,m=0所以有根轨迹→∞4条渐近线的方向和位置如下：下面按法则先后顺序求根轨迹的参数1、因为开环有4个极点，故70自动控制原理_讲义课件714、求根起始角因开环有一对共轭复数极点，求P3,4

处根轨迹起始角。K=0

时，4、求根起始角因开环有一对共轭复数极点，求P3,4725、求分离点5、求分离点736、求虚轴交点系统的特征方程为：令S=jw代入得：6、求虚轴交点系统的特征方程为：令S=jw代入得：74由：解得：由：解得：750–20–20–20–276练习：练习：77自动控制原理_讲义课件78自动控制原理_讲义课件79自动控制原理_讲义课件80§4—3系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系

一、用闭环零、极点表示的阶跃响应解析式二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系三、主导极点与偶极子§4—3系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系

一、用闭81§4—3系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系

一、用闭环零，极点表示的阶跃响应解析式设n阶系统的闭环传递函数为：§4—3系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系

一、用闭82式中：Zi

为闭环零点

Si

为闭环极点假设输入为阶跃作用，即r(t)=1(t),R(s)=1/S式中：Zi为闭环零点

Si为闭环极83如果中无重极点，可将上式分解成部分分式得：如果中无重极点，可将上式分解成部分分式得84自动控制原理_讲义课件85经拉氏反变换，可求出系统的单位阶跃响应从上式可看出：系统的单位阶跃响应将由闭环极点Sk

及系数Ak

决定，而系数Ak

也是与闭环零，极点分布有关。经拉氏反变换，可求出系统的单位阶跃响应从上式可看出：系统的单86二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系一个控制系统总是希望它的输出量尽可能复现给定输入量，要求动态过程的快速性，平稳性要好一些，要达到这一要求，闭环零极点应如何分布呢？二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系871、要求系统稳定，则必须使所有的闭环极点Si

均位于[S]平面的左半部。即Sk<02、要求系统快速性好，应使阶跃响应式中的每个分量eSkt

衰减得快，则闭环极点应远离虚轴要求系统平稳性好，则复数极点最好设置在[S]平面中与负实轴成±450夹角线附近。∵由二阶系统的分析可知，共轭复数极点位于±450线上，对应的阻尼比（ζ=0.707）为最佳阻尼比，这时系统的平稳性与快速性都较理想。1、要求系统稳定，则必须使所有的闭环极点Si均位于[S883、要求动态过程尽快消失，要求系数Ak

小∵Ak

小，对应的暂态分量小。由上式可知，要使分母大，分子小，从而看出，闭环极点之间的间距(Sk

–Si)要大，零点Zi应靠近极点Sk3、要求动态过程尽快消失，要求系数Ak小由上式可知，要使89三、主导极点与偶极子1、主导极点离虚轴最近的闭环极点（复数极点或实数极点）对系统动态过程性能的影响最大，起着主要的决定作用，称为主导极点。一般其它极点的实部绝对值比主导极点的实部绝对值大6倍以上时，则那些闭环极点可以忽略。有时甚至比主导极点的实部绝对值大2—3倍的极点也可忽略不计。三、主导极点与偶极子1、主导极点离虚轴最近的90工程上往往只用主导极点估算系统的动态性能。即将系统近似地看成是一阶或二阶系统2、偶极子一对靠得很近的闭环零极点，称为偶极子。从C(t)式中可看出，当极点Sk

与某零点Zi

靠得很近时，它们之间的模值很小，则对应的Ak

很小，AkeSkt

也很小，故C(t)中的这个分量可忽略不计工程上往往只用主导极点估算系统的动态性能。即将系91偶极子这个概念对控制系统的综合设计是很有用的，我们可以有意识地在系统中加入适当的零点，以抵消对动态过程影响较大的不利极点，使系统的动态过程获得改善。

工程上，某极点Sk

与某零点Zi

之间的距离比它们的模值小一个数量级，就可以认为这对零、极点为偶极子。偶极子这个概念对控制系统的综合设计是很有用的，我92★4—4用根轨迹分析系统的动态特性一、系统的稳定性二、系统的暂态特性三、系统闭环极点的确定★4—4用根轨迹分析系统的动态特性一、系统的稳定性93★4—4用根轨迹分析系统的动态特性一、系统的稳定性由稳定性的充要条件可知，只有当系统的全部特征根都在复平面的左半平面上时，系统才稳定。在画系统根轨迹时可以看到，当k*=0→∞时，可能出现一部分根轨迹落在右半根平面上的情况。于是就存在这样的问题，即要确定k*的取值范围，即确定与左半平面的根轨迹对应的那些]K*值，系统只是在上述取值条件时，才是稳定的。★4—4用根轨迹分析系统的动态特性一、系统的稳定性94例一、已知系统的开环传递函数，试绘制其根轨迹曲线例一、已知系统的开环传递函数，试绘制其根轨迹曲线95解：P1=0,P2=0,P3=–1有三条根轨迹，n–m=3条根轨迹→∞渐近线：解：P1=0,P2=0,P3=–1有三条96P1,P2

之间有一分离点–10–0.333P1,P2之间有一分离点–10–0.33397从根轨迹图可以看出，不论系统k*取何值，总有两条分支在右半平面上，即系统总不稳定。这种不稳定是由于开环零极点配置即系统的结构决定的，故称为结构不稳定系统。从根轨迹图可以看出，不论系统k*取何值，98二、系统的暂态特性主导极点在动态过程中起主要作用，那么在计算性能指标时，在一定条件下，就可以只考虑暂态分量中主导极点所对应的分量，将多阶系统近似看作一、二阶系统。二、系统的暂态特性主导极点在动态过程中起主要作用99例一、已知系统的闭环传递函数，试近似计算系统的动态性能指标σ%，ts.例一、已知系统的闭环传递函数，试近似计算系统的动态性能指标100解：闭环有三个极点，分别为：其零极点分布如图所示：极点S1

离虚轴最近，所以此系统的主导极点为实数极点S1，而极点S2,3可忽略不计，这时系统可近似看成一阶系统。S1S2S3解：闭环有三个极点，分别为：其零极点分布如图所示：极点S1101

式中：T=0.67S

由时域分析可知：系统无超调量σ%=0，ts=3T=3×0.67=2S式中：T=0.67S102例二、已知系统闭环传递函数，试估算系统的性能指标。例二、已知系统闭环传递函数，试估算系统的性能指标。103解：闭环极点：S1=–1.5,S2,3=–4±j9.2

零点：Z1=–1.7零极点分布如图所示：极点S1与零点Z1构成偶极子，故主导极点不应是S1，而是S2,3，则系统可近似为二阶系统。

S1Z1S2S3解：闭环极点：S1=–1.5,S2,3=–4104σ%===25%σ%=105

例三、已知系统开环传递函数，试应用根轨迹法分析系统的稳定性，并计算闭环主导极点具有阻尼比ζ=0.5时的性能指标。例三、已知系统开环传递函数，试应用根轨迹法分析系统的106解：

1、作根轨迹图⑴有三条根轨迹⑵实轴上（0—–1），（–2—–∞）为根轨迹段⑶渐近线夹角与坐标：解：

1、作根轨迹图107⑷分离点坐标d∴d1=–0.423,d2=–1.58∵d2

不在根轨迹段上，故舍去。⑸求虚轴交点坐标⑷分离点坐标d∴d1=–0.423,d2108令S=jw

得：令S=jw得：1090–1–2

d11.414–1.4140–1–2d11.414–1.4141102、分析系统稳定性当系统开环增益K>3时，根轨迹将有两条分支伸向[S]平面的右半部，这时系统不稳定，所以系统稳定的开环增益范围为：0<K<32、分析系统稳定性当系统开环增益K>31113、根据对阻尼比的要求，确定闭环主导极点S1,S2

的位置。首先，在[S]平面上画出ζ=0.5时的阻尼线，使其与实轴负方向的夹角为:

θ=cos–1ζ=cos–10.5=600

，阻尼线与根轨迹相交点的坐标设为S1，则从根轨迹图上可测得：S1=–0.33+j0.58与S2=–0.33–j0.58

利用根轨迹的模值方程可求得与S1点对应的k*值3、根据对阻尼比的要求，确定闭环主导极点S1,S2的112下面确定除S1,S2极点以外的第三个极点的位置已知两个极点S1,2=–0.33±j0.58,用综合除法可求得第三个极点S3=–2.34S3

离虚轴的距离是S1,2

的7倍，可认为S1,2

为主导极点。这样，可根据闭环主导极点S1,2

来估算系统的性能指标。系统闭环传递函数近似为二阶系统的形式：下面确定除S1,S2极点以外的第三个极点的位置已知两个极113∴σ%==16.3%∴σ%=114三、系统闭环极点的确定一般系统可用方框图表示–R(s)C(s)三、系统闭环极点的确定一般系统可用方框图表示–R(s)C(s115系统的闭环传递函数为：故闭环传递函数的极点由：K1K2N1(s)N2(s)+D1(s)D2(s)=0

确定，它也就是系统的特征根。而根轨迹正是反映当K*=K1K2

变化时特征根的变化规律。因而只要根据开环传递函数画出了根轨迹，利用幅值方程就可按已知的K*值确定它相应的闭环极点。系统的闭环传递函数为：故闭环传递函数的极点由：1161、零点的确定闭环传递函数的零点由：K1N1(s)D2(s)=0确定，实际上就是由N1(s)=0即系统前向通道传递函数的零点和由D2(s)=0即系统反馈通道传递函数的极点来确定。一般前向通道和反馈通道都由典型环节联接组成，在这种情况下，闭环传递函数的零点也就很容易得出。1、零点的确定闭环传递函数的零点由：K1N1(1172、闭环极点的确定在画出根轨迹后，若要确定根轨迹上的点S1

所对应的K*值时很容易的，因根据幅值方程：只要度量出点S1

与各开环极点间的长度Li

和S1

与各开环零点间的长度Lj代入上式就可以得出与S1

对应的K*值。2、闭环极点的确定在画出根轨迹后，若要确定根轨迹118但是，若已知系统根轨迹增益K*（或开环增益K）值，要找出对应于此K*值的在n条根轨迹分支上的点，即找出系统的闭环极点值，却是比较麻烦和困难的，为此，要采用试探法，即在根轨迹上找试验点，用前面的方法计算它对应的K*值，直到找出K*值恰好等于给定值为止。一般先在实轴上找所求的实数闭环极点，因为它比较好计算，找起来方便。在找出一个或n个闭环极点后，最后的两个就可以用对特征方程作除法得出。但是，若已知系统根轨迹增益K*（或开环增益K）值，要找出对应119例一、已知系统的开环传递函数，试求当K*=1.06

时的闭环极点。例一、已知系统的开环传递函数，试求当K*=1.06时120解：系统有三个开环极点P1=0,P2=–

1,P3=–2

系统无开环零点，n=3,m

=0

有3条根轨迹分支。解：系统有三个开环极点P1=0,P2=–1121分离点处：根轨迹与虚轴交点：分离点处：根轨迹与虚轴交点：1220P1P2d0P1P2d123从根轨迹可看出，因分离点的K*=0.38，故当K*>0.38后，根轨迹将进入复平面。令K*=1.06，可知它必是一个实根在

–2—–∞区间，而另两个根为共轭复根。为此，可先在实轴根轨迹–2—–∞间用试探法求取对应的实根。设所求实根为S1,则已知S1=–2时,K*=0,故可取S1=–2.3作试探。从根轨迹可看出，因分离点的K*=0.124如图所示，可度量S1

点与各开环极点间的离，显然对应的L1=2.3,L2=1.3L3=0.3S1P3P2P1L3L2L1如图所示，可度量S1点与各开环极点间的离，显然对应的L125不是所求的值，同样可再选∴应在–2.3—–2.5之间当S1=–2.34时，K*=1.06用这种方法，如果开始选的S1

点离所求值差得很多，那么就可能要计算很多的点，这样就很麻烦了，为了更快地接近目标，可以先采一些近似估计。不是所求的值，同样可再选∴应在–2.3—–2.5126如对本例来说，如果开始设S1

点在极点

P3

的右侧

处，则就有L3=,L2=+P2,L1=+P1

现在对它们作近似处理，即认为(+P2)=P2,(+P1)=P1,显然，这种近似关系结果，必有大于所求的值，正好有利于确定准确的S1

点范围。如对本例来说，如果开始设S1点在极点

P3的右侧127时，把这个值反回去计算对应的偏大但这样来，已经把所求的S1

点缩小在–2—–2.53

的范围内了。以后再根据K*

的偏离程度，适当修正值，就可以很快得到比较准确的结果。时，把这个值反回去计算对应的偏大但这样来，已经把所128找出实根S1=–2.34后，由特征方程式利用除法，把（S–S1）因子提出，就可以得出另两个特征根。找出实根S1=–2.34后，由特征方程式利用除法，129再解：再解：130例二、设系统开环传递函数试求K*=4时，系统闭环极点值。例二、设系统开环传递函数试求K*=4时，系统闭环极点131解：P1=0,P2=–3,P3,4=–1±j

无零点实轴上的分离点d1=–2.29

，对应K*=4.3复数开环极点的起始角解：P1=0,P2=–3,P3,4=–132虚轴上的交点：虚轴上的交点：1330–1–3P2P1P3P4–1.25–2.290–1–3P2P1P3P4–1.25–2.29134系统有4个特征根，根据所给的K*=4,比分离点K*=4.3

要小，可判断出在实轴上由两个根，即系统在K*=4

时有两个实根和两个共轭复根。用试探法求取实根，先有–2.29—–3

之间找第一个根，设此根为S2，它与P2=–3

的距离为，则S2

对应的Kg

应为：系统有4个特征根，根据所给的K*=4,135L1

为S2

与P1

的长度L2

为S2与P2的长度L3

为S2与P3

的长度L4为S2

与P4

的长度作近似处理来估算，即：L1为S2与P1的长度作近似处理来估算136以此再代回计算得：偏小，故应再选大些，根据偏小程度，考虑增大引起（P2

–）和[1+（2–)2]要减小，因此增大应比K*

偏小的程度更高，由此可选=0.46进行计算，得：以此再代回计算得：偏小，故应再选大些，根据137就很接近了，再稍作调整，最后可得出:现再找0—–2.29间的根S1

，也可设S1

在–2

点的右侧处近似计算得出=0近似得S1=–2

代入后再计算K*=2×1×2=4

正是所求。为实根就很接近了，再稍作调整，最后可得出:现再找0—–2.1382、二阶系统的闭环极点与,w

的关系2、二阶系统的闭环极点与,w的关系139根的实部就是闭环极点的横坐标，虚部就是闭环极点的纵坐标，根的幅值为，相角的补角都可在图中找出。在图中还能看出，具有相同幅值的根将落在以为半径的圆上，故把这种圆称等线，具有相同阻尼系数的根将有相同的值，故以定值为倾角的直线称为等线。所以若已知根的位置，就可以从坐标图确定，等值，反过来，根据给定的，，也可以确定所求的根的位置。根的实部就是闭140谢谢！61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈。——CocoChanel

62、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。——刘向

63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。——孔丘

64、人生就是学校。在那里，与其说好的教师是幸福，不如说好的教师是不幸。——海贝尔

65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦。——杰纳勒尔·乔治·S·巴顿谢谢！61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈。——CocoCha14136、“不可能”这个字(法语是一个字)，只在愚人的字典中找得到。--拿破仑。37、不要生气要争气，不要看破要突破，不要嫉妒要欣赏，不要托延要积极，不要心动要行动。38、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。(注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素。39、没有不老的誓言，没有不变的承诺，踏上旅途，义无反顾。40、对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。自动控制原理自动控制原理36、“不可能”这个字(法语是一个字)，只在愚人的字典中找得到。--拿破仑。37、不要生气要争气，不要看破要突破，不要嫉妒要欣赏，不要托延要积极，不要心动要行动。38、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。(注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素。39、没有不老的誓言，没有不变的承诺，踏上旅途，义无反顾。40、对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。自动控制原理自动控制原理第四章（根轨迹法）#4—1根轨迹与根轨迹方程一、根轨迹：根轨迹法仍属于时域分析法，是一种图解法，它可用于控制系统的分析和设计。所谓根轨迹是指当系统某个参数(如开环增益或时间常数)由零到无穷大变化时，闭环特征根在[s]平面上移动的轨迹。36、“不可能”这个字(法语是一个字)，只在愚人的字典中找得142自动控制原理_讲义课件143自动控制原理_讲义课件144自动控制原理_讲义课件145自动控制原理_讲义课件146如果变动K*，则所有Sj都要发生变化。令K*由0→∞变化，则n个特征根都将连续变化，在根（复）平面上各有一条变化轨迹，即有n条特征根的轨迹，这些轨迹称为系统的根轨迹。如果变动K*，则所有Sj都要发生变化。令K*由147根轨迹图示例（一）如图所示的二阶系统，R（s）C（s）KS（S+4）根轨迹图示例（一）如图所示的二阶系统，R（s）C（s）KS148解：Gk(S)=————KS(s+4)K*=K开环极点：P1=0,P2=–4无开环零点(S)=————=————Gk(S)1+Gk(S)KS+4s+K2解：Gk(S)=————KS(s+4)K*=K开环极点：P149∴特征方程为：S+4S+K=02特征根：今令K=0→∞

范围内变化，利用解的公式计算对应的特征根的值，通过连接这些根点，就可以在复平面上得到根轨迹曲线。∴特征方程为：S+4S+K=02特征根：今令K=150K=0,S1=0,S2=–4K=4,S1=S2=–2K=5,S1=–2+j,S2=–2–jK=8,S1=–2+2j,S2=–2–2jK→∞时,S1

→–2+j∞,S2→–2–j∞K=0,S1=0,S2=–4151在复平面上，点出各对应点的根点，把它们连接起来，再用箭头表示它们的变化趋向，就得到二阶系统的根轨迹图k→∞k→∞-40-2在复平面上，点出各对应点的根点，把它们连接起来，再用箭头表示152有了根轨迹图，就可对系统的动态性能进行分析：1、当K=0→∞时，根轨迹均在[S]平面的左半部，因此，系统对所有的K值都是稳定的。2、当0<K<4时，闭环特征根为实根。系统呈过阻尼状态。3、K=4时，系统为临界阻尼状态。有了根轨迹图，就可对系统的动态性能进行分析：1、当K=0→∞1534、K>4时，闭环特征根为一对共轭复根，系统为欠阻尼状态，阶跃响应为衰减振荡过程。5、开环传递函数有一个位于坐标原点的极点，所以系统为I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。4、K>4时，闭环特征根为一对共轭复根，系统为欠阻尼状态154绘制根轨迹实质上是寻找闭环特征方程1+G(s)H(s)=0的根因此满足方程式G(s)H(s)=–1的s的值，都必定是根轨迹上的点，故称上式为根轨迹方程。二、根轨迹方程绘制根轨迹实质上是寻找闭环特征方程1+155利用开环传递函数的通式，即：

G(S)H(s)=–1为复变量，所以上式为一矢量方程，可表示为模值方程和相角方程。利用开环传递函数的通式，即：G(S)H(s)156模值和相角方程为：式中：模值和相角方程为：式中：157例一、设系统开环传递函数为GK(s)=———————如何应用根轨迹方程在S平面上找到闭环极点？K(τ1s+1)S(T1S+1)(T2S+1)例一、设系统开环传递函数为GK(s)=————158解：将上式改写为零极点形式解：将上式改写为零极点形式159S10S101601、在复平面上画出开环的零极点。一般用X表示开环极点的位置，此系统有三个开环极点0、P1、P2;用小圆圈°表示开环零点的位置,此系统有一个开环零点Z1

成立，那么S1就是根轨迹上的点2、在复平面上任取一点S1，然后画出从各开环零极点到S1

点的各矢量。则如果：1、在复平面上画出开环的零极点。一般用X表示开环极点的位161例二、单位反馈系统的开环传递函数为问复平面上点S1

是否为根轨迹上的点。例二、单位反馈系统的开环传递函数为问复平面上点S1是否为162#4—2根轨迹的绘制一、根轨迹的分支数二、根轨迹对称于实轴三、根轨迹的起点、终点四、实轴上的根轨迹五、根轨迹渐近线六、根轨迹的起始角与终止角七、分离点坐标八、根轨迹与虚轴的交点九、根之和练习：#4—2根轨迹的绘制一、根轨迹的分支数163#4—2根轨迹的绘制一、根轨迹的分支数根轨迹在复平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n，也就是分支数与闭环极点的数目相等。这是因为n阶特征方程对应有n个特征根，当开环增益K=0→∞时，这n个特征根随K变化，必然会出现n条根轨迹。#4—2根轨迹的绘制一、根轨迹的分支数164二、根轨迹对称于实轴闭环极点若为实数，则必位于实轴上，若为复数，则一定是共轭成对出现，所以根轨迹必对称于实轴。二、根轨迹对称于实轴闭环极点若为实数，则必位于实165三、根轨迹的起点、终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果开环零点数m小于开环极点数n，则有（n–m）条根轨迹终止于无穷远处。根据根轨迹方程：三、根轨迹的起点、终点根轨迹起始于开环极点，终止166

根轨迹的起点，即K*=0时的闭环极点，当K*=0时，上式右边为无穷大，而左边只有当S→Pj

时，才为无穷大，所以K=0时，根轨迹分别从开环n个极点开始。即根轨迹起始于开环极点。根轨迹的终点，即K*

→∞时的闭环极点。上式可知当K*

→∞时，右边为0，而等式左边只有当S→Zi

时，才为0。所以K→∞时，根轨迹终止于各零点。

根轨迹的起点，即K*=0时的闭环极点，当167

当n>m时，只有m条根轨迹趋向于零点，还有（n–m）条根轨迹趋向如何？由于n>m,当S→∞时，上式可写成（Zi,Pj可忽略不计）则：∴当K→∞时，有n–m条根轨迹趋于∞当n>m时，只有m条根轨迹趋向于168四、实轴上的根轨迹

若实轴上某线段的右侧，开环零极点数目之和为奇数，则该线段一定为根轨迹段。在实轴的根轨迹上取一点S1,一对开环复数零极点对S1

的向量对称于实轴，其相角等值反号，在相角方程中将相互抵消，剩余的仅是位于实轴上的开环零极点对S1

向量，但位于S1

点左边的开环零极点对S1点的向量相角为零，位于S1

点右边的开环零极点构成相角π，故根据相角方程，只有实轴上的根轨迹区段右侧的开环零极点数之和为奇数，才能满足相角方程。四、实轴上的根轨迹若实轴上某线段的右侧，169五、根轨迹渐近线如果开环零点数m小于开环极点数n，则当K→∞

时，有（n–m）条根轨迹趋向∞，这（n–m）条根轨迹趋向无穷远的方位，可由渐近线决定。渐近线与实轴交点坐标：五、根轨迹渐近线如果开环零点数m小于开环极点170渐近线与实轴正方向的夹角：K依次取0，±1,±2……一直到出现重复为止。渐近线与实轴正方向的夹角：K依次取0，±1,±171例一、画出所给系统的根轨迹例一、画出所给系统的根轨迹172解：P1=0,P2=–1,P3=–2

无零点∴有三条根轨迹趋向无穷远，其渐近线与实轴的交点坐标解：P1=0,P2=–1,P3=–1730-1-20-1-2174分离点分离点175六、分离点坐标一般情况下，如果根轨迹位于实轴上两相邻开环极点之间，则这两极点间至少存在一个分离点。如果根轨迹位于两相邻开环零点间（其中一个零点可位于无穷远处），那么，这两个零点之间至少存在一个分离点。两条或两条以上的根轨迹的分支，可随K的增大而相遇又立即分开的交点称为根轨迹的分离点或会合点。分离点即为根轨迹的交点，它必为系统的重根，故可由特征方程取导数联解得出。六、分离点坐标一般情况下，如果根轨迹位176或：对特征方程求导得：或：对特征方程求导得：177分离点的计算公式：分离点的计算公式：178例一、已知系统的开环传递函数试绘制系统闭环根轨迹例一、已知系统的开环传递函数试绘制系统闭环根轨迹179解：P1=–1,P2=–2,Z1=–3,K*=K据法则1：n=2有两条分支据法则3：两条分支分别起始于－1,－2点，一条终止于－3点另一条为无穷远处。据法则4：在开环极点－1，－2，之间及开环零点（－3，－∞）之间的实轴为根轨迹据法则5：有一条渐近线K=0,则φ=π可见渐近线就是根轨迹本身。解：P1=–1,P2=–2,Z1=–180据法则6：可确定实轴上的分离点与会合点显然–1与–2间的实轴上有分离点，在–3与–∞间的实轴上有会合点。据法则6：可确定实轴上的分离点与会合点显然181–1–2–30–1–2–30182例：已知单位负反馈系统的开环传递函数，绘制系统的闭环根轨迹例：已知单位负反馈系统的开环传递函数，183七、根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的相交，意味着闭环为纯虚根，±jw，系统处于临界稳定状态。因此将S=jw代入特征方程中得：七、根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的相交，意味着闭184例一、试绘制下列系统的根轨迹图例一、试绘制下列系统的根轨迹图185解：P1=0,P2=–1,P3=–2无零点

∴有三条根轨迹趋向无穷远，其渐近线与实轴的交点坐标为：解：P1=0,P2=–1,P3=–186分离点：分离点：187令S=jw令S=jw1880–1–2P0P1P20–1–2P0P1P2189例二、设反馈控制系统中要求：（1）概略绘制系统轨迹图，判断系统的稳定性。（2）如果改变反馈通路传递函数使H(s)=1+2S试判断H(s)改变后系统的稳定性，研究H(s)改变所产生的效应。例二、设反馈控制系统中要求：（1）概略绘制系统轨迹图，判断系190解：（1）系统无开环零点，开环极点为：P1=P2=0,P3=–2,P4=–5实轴上根轨迹区间为：[–5，–2]，[0，0]根轨迹渐近线条数为：4，且：由分离点方程：得：解：（1）系统无开环零点，开环极点实轴上根轨迹区间为：[–1910–2–50–2–5192从上图可知，无论K*取何值，闭环系统恒不稳定（2）当H(s)=1+2S时，系统开环传递函数为：其中K1*=2K*.H(s)的改变使系统增加了一个开环零点。实轴上的根轨迹区间为：[–∞，–5]，[–2,–0.5][0,0]从上图可知，无论K*取何值，闭环系统恒不稳定（2）当H(193根轨迹渐近线条数为：3且：系统闭环特征方程为:根轨迹渐近线条数为：3且：系统闭环特征方程为:194列劳斯表S4110K*S372K*

S2K*S当K*=22.75时，劳斯表S行的元素全为零。由辅助方程：列劳斯表S41195解得根轨迹与虚轴的交点为：S1,2=±j2.55.0–0.5–2–5解得根轨迹与虚轴的交点为：S1,2=±j2.55.196由上图可知，当0<K*<22.75时，闭环系统稳定由上图可知，当0<K*<22.75时，闭环系统197八、根轨迹的起始角与终止角所谓根轨迹的起始角，是指起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平线的正向夹角。而根轨迹的终止角是指终止于开环零点的根轨迹，在终点处的切线与水平线的正向夹角。八、根轨迹的起始角与终止角所谓根轨迹的起始角198例一、设单位反馈系统的开环传递函数试绘制系统的概略的根轨迹例一、设单位反馈系统的开环传递函数试绘制系统的概略的根轨迹199解：开环极点P1=0,P2,3=–0.5±j1.5

P3=-2.5零点Z1=–1.5,Z2=–2±j1）据法则1有4条根轨迹2）据法则4则（0—–1.5）（–2.5—∞）为实轴上的根轨迹3）据法则3有n–m=4–3=1条→∞

4）据法则5求→∞的根轨迹的渐近线解：开环极点P1=0,P2,3=–0.5±2005）据法则6K=0时则：5）据法则6K=0时则：2010–2.5–1.50–2.5–1.5202例一、已知系统的开环传递函数试求系统闭环根轨迹例一、已知系统的开环传递函数试求系统闭环根轨迹203解：d1

即为所求解：d1即为所求204

Z1P1P2dZ1P1P2d205九、根之和

系统的闭环特征方程在n>m时，可以表示为：九、根之和系统的闭环特征方程在n>m时，可206式中：Si

为闭环特征根当n–m≥2时，特征方程第二项与K*无关，无论K*取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n个根之和。式中：Si为闭环特征根207所以当K*变化时，为常数，由此可知系统所有特征根之和为定值，故若有一些特征根增大时，必将有一些特征根要减小，即：当K*增大时，若系统的某些特征根在复平面上向左移动（即这时对应的根轨迹曲线向左延伸），则必有另一些特征根向右移动（即另一些相应的根轨迹曲线向右延伸）。所以当K*变化时，208例一、已知系统开环传递函数，试绘制其根轨迹曲线例一、已知系统开环传递函数，试绘制其根轨迹曲线209解：无零点解：无零点210下面按法则先后顺序求根轨迹的参数1、因为开环有4个极点，故有4条根轨迹2、确定实轴上的根轨迹（0—–20）3、n=4,m=0所以有根轨迹→∞4条渐近线的方向和位置如下：下面按法则先后顺序求根轨迹的参数1、因为开环有4个极点，故211自动控制原理_讲义课件2124、求根起始角因开环有一对共轭复数极点，求P3,4

处根轨迹起始角。K=0

时，4、求根起始角因开环有一对共轭复数极点，求P3,42135、求分离点5、求分离点2146、求虚轴交点系统的特征方程为：令S=jw代入得：6、求虚轴交点系统的特征方程为：令S=jw代入得：215由：解得：由：解得：2160–20–20–20–2217练习：练习：218自动控制原理_讲义课件219自动控制原理_讲义课件220自动控制原理_讲义课件221§4—3系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系

一、用闭环零、极点表示的阶跃响应解析式二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系三、主导极点与偶极子§4—3系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系

一、用闭222§4—3系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系

一、用闭环零，极点表示的阶跃响应解析式设n阶系统的闭环传递函数为：§4—3系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系

一、用闭223式中：Zi

为闭环零点

Si

为闭环极点假设输入为阶跃作用，即r(t)=1(t),R(s)=1/S式中：Zi为闭环零点

Si为闭环极224如果中无重极点，可将上式分解成部分分式得：如果中无重极点，可将上式分解成部分分式得225自动控制原理_讲义课件226经拉氏反变换，可求出系统的单位阶跃响应从上式可看出：系统的单位阶跃响应将由闭环极点Sk

及系数Ak

决定，而系数Ak

也是与闭环零，极点分布有关。经拉氏反变换，可求出系统的单位阶跃响应从上式可看出：系统的单227二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系一个控制系统总是希望它的输出量尽可能复现给定输入量，要求动态过程的快速性，平稳性要好一些，要达到这一要求，闭环零极点应如何分布呢？二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系2281、要求系统稳定，则必须使所有的闭环极点Si

均位于[S]平面的左半部。即Sk<02、要求系统快速性好，应使阶跃响应式中的每个分量eSkt

衰减得快，则闭环极点应远离虚轴要求系统平稳性好，则复数极点最好设置在[S]平面中与负实轴成±450夹角线附近。∵由二阶系统的分析可知，共轭复数极点位于±450线上，对应的阻尼比（ζ=0.707）为最佳阻尼比，这时系统的平稳性与快速性都较理想。1、要求系统稳定，则必须使所有的闭环极点Si均位于[S2293、要求动态过程尽快消失，要求系数Ak

小∵Ak

小，对应的暂态分量小。由上式可知，要使分母大，分子小，从而看出，闭环极点之间的间距(Sk

–Si)要大，零点Zi应靠近极点Sk3、要求动态过程尽快消失，要求系数Ak小由上式可知，要使230三、主导极点与偶极子1、主导极点离虚轴最近的闭环极点（复数极点或实数极点）对系统动态过程性能的影响最大，起着主要的决定作用，称为主导极点。一般其它极点的实部绝对值比主导极点的实部绝对值大6倍以上时，则那些闭环极点可以忽略。有时甚至比主导极点的实部绝对值大2—3倍的极点也可忽略不计。三、主导极点与偶极子1、主导极点离虚轴最近的231工程上往往只用主导极点估算系统的动态性能。即将系统近似地看成是一阶或二阶系统2、偶极子一对靠得很近的闭环零极点，称为偶极子。从C(t)式中可看出，当极点Sk

与某零点Zi

靠得很近时，它们之间的模值很小，则对应的Ak

很小，AkeSkt

也很小，故C(t)中的这个分量可忽略不计工程上往往只用主导极点估算系统的动态性能。即将系232偶极子这个概念对控制系统的综合设计是很有用的，我们可以有意识地在系统中加入适当的零点，以抵消对动态过程影响较大的不利极点，使系统的动态过程获得改善。

工程上，某极点Sk

与某零点Zi

之间的距离比它们的模值小一个数量级，就可以认为这对零、极点为偶极子。偶极子这个概念对控制系统的综合设计是很有用的，我233★4—4用根轨迹分析系统的动态特性一、系统的稳定性二、系统的暂态特性三、系统闭环极点的确定★4—4用根轨迹分析系统的动态特性一、系统的稳定性234★4—4用根轨迹分析系统的动态特性一、系统的稳定性由稳定性的充要条件可知，只有当系统的全部特征根都在复平面的左半平面上时，系统才稳定。在画系统根轨迹时可以看到，当k*=0→∞时，可能出现一部分根轨迹落在右半根平面上的情况。于是就存在这样的问题，即要确定k*的取值范围，即确定与左半平面的根轨迹对应的那些]K*值，系统只是在上述取值条件时，才是稳定的。★4—4用根轨迹分析系统的动态特性一、系统的稳定性235例一、已知系统的开环传递函数，试绘制其根轨迹曲线例一、已知系统的开环传递函数，试绘制其根轨迹曲线236解：P1=0,P2=0,P3=–1有三条根轨迹，n–m=3条根轨迹→∞渐近线：解：P1=0,P2=0,P3=–1有三条237P1,P2

之间有一分离点–10–0.333P1,P2之间有一分离点–10–0.333238从根轨迹图可以看出，不论系统k*取何值，总有两条分支在右半平面上，即系统总不稳定。这种不稳定是由于开环零极点