★6机械能守恒定律

一、机车启动问题恒定功率启动恒定加速度启动tVZL)i0上…a。f2t变加速匀速匀加速——变加速——匀速F=f=Sg]=i=PP=F』J皿krngF=f=krtigPP=F槌知道任意时刻瞬时速度，求对应瞬时加速度的方法：P=Fv,F-f=^aa=三逃mv保持加速度。时间：P—F%:F-f=ma;V,,=ar=>/=—°'°园+珈设t秒速度达到则有：R"=救就设tn秒后功率达到额定功率P,在经过t秒速度达到Me则有：例.（2008河北唐山）某学校探究性学习小组对一辆自制小遥控车的性能进行研究。他们让这辆小车在水平的地面上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过数据处理得到如图所示的v-t图象。巳知小车在0〜2s内做匀加速直线运动,2s〜10s内小车牵引力的功率保持不变，在10s末停止遥控让小车自由滑行，小车质量m=1kg,整个过程中小车受到的阻力保持不变。求：（1）小车所受的阻力f是多大？（2）在2〜10s内小车牵引力的功率P是多大？（3）小车在加速过程中的总位移x是多大？例.（2011北京海淀）电动机通过一绳子吊起质量为8kg的物体，绳的重力不能超过120N，电动机的功率不能超过1200w，要将此物体由静止起用最快的方式吊起90m（巳知此物体在被吊高接近90m时，巳开始以最大速度匀速上升）所需的时间为多少？例.(2011北京朝阳)一新型赛车在水平专用测试到上进行测试，该车总质量为m=1X103kg，由静止开始沿水平测试道运动，传感设备记录其运动的v-t图像如图所示。该车运动中受到的摩擦阻力(含空气阻力)恒定，且摩擦阻力跟车对:一"/TOC\o"1-5"\h\z路面压力的比值为“=0.2。塞车在0〜5s的v-t图像为直线，5s2。-…/j末起达到该车发动机的额定牵引功率并保持该功率行驶，在5s〜^/\\20s之间，赛车的图像先是一段曲线，后为直线，取g=10m/s2,试.求：该车发动机牵引力的额定功率；该车的最大速度vmax?该车出发后前20s内的位移。例.(2009四川理综)如图所示为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量m=5X103kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a=0.2m/s2,当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm=1.02m/s的匀速运动。取g=10m/s2，不计额外功，求：起重机允许输出的最大功率；重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2s末的输出功率。二、与人体有关的平均功率问题例.(2003成都)跳绳是一种健身运动，设某运动员的质量是50kg，他一分钟跳绳180次。假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所用时间的2/5，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是多少？例.人的心脏每跳动一次大约输送8X10-5m3的血液，正常人血压(可看做心脏输送血液的压强)的平均值为1.5X104Pa，心跳约每分钟70次。据此估测心脏工作的平均功率为多少？三、变力做功问题1、把变力转变为恒力＜微元法〉一些变力（指大小不变，方向改变，如滑动摩擦阻力，空气阻力），在物体做曲线运动或往复运动过程中，这些力虽然方向变，但每时每刻与速度反向,此时可化成恒力做功，方法是分段考虑，然后求和.例1：如图1,某人用大小不变的力F转动半径为R的圆盘，但力的方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做的功。【解析】在转动的过程中，力F的方向上课变化，但每一瞬时力F总是与该时刻的速度同向，那么F在每一瞬时就与转盘转过的极小位移△'同向，因此无数的瞬时的极小位移△s、S,、S……，、S，都与f同向。在转动的过程中，力F做的功应等于在各极小123n位移段所做的功的代数和，有:W=FH+F's+F's++FH123n=F(As+As+As++As)=2兀FR例2：用水平拉力拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道匀速运动一周，如图5—14—1。巳知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为R。求此过程中摩擦力所做的功。【解析】物块受的摩擦力在整个运动过程中大小为Ff=Rmg不变，但方向时刻变化，是变力，不能直接用W=Fscos9求解。但是我们可以把圆周分成无数段小微元段，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。（答案：-2兀HmgR）例3：如图6所示，质量为m的小车以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道运动，巳知小车与竖直圆轨道间的摩擦因数为H，试求小车从轨道最低点运动到最高点的过程中，克服摩擦力做的功。【解析】小车沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，由于轨道支持力是娈力，故而摩擦力为一娈力，本题可以用微元法来求。如图，将小车运动的半个圆周均匀细分成n（n-8）等分，在每段长瓯的圆弧上运动时，可认为轨道n对小车的支持力N不变、因而小车所受的摩擦力f不变，摩擦力的功可以用W=F-s计算。ii当小车运动到如图所示的A处圆弧时，有NA-mgsin9=mR贝f=h(m^~+mgsii©)aRE,v2兀RW=H(m—+mgsin9)-—iARn当小车运动到如图所示的与A关于x轴对称的B处圆弧时，有N+mgsin9=m~iBRV2则f=h(m一mgsii9)iBRv2"RW=H(mmgsin9)iBRn由此，小车关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为：W=2HmVR•竺图7于是可知，小车沿半圆周从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做的总功为：i=12兀pmv2n=兀Hmv2＜等值法〉等值法是若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。由于恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。也是我们常说的：通过关连点，将变力做功转化为恒力做功。B例1:人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50Kg的物体，如图1所示，开始绳与水平方向夹角为60。，当人匀速提起重物由A点沿水平方向运动S=2m而到达b点，此时绳与水平方向成30。角，求人对绳的拉力做了多少功？B【解析】人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时刻在变，而巳知的位移s方向一直水平，所以无法利用W=FscoSa直接求拉力的功.若转换一下研究对象则不难发现，人对绳的拉力的功与绳对物体的拉力的功是相同的，而绳对物体的拉力则是恒力，可利用W=Fscosa求了！设滑轮距地面的高度为h，则：力*cot30。-cot66)=s人由A走到B的过程中，重物上升的高度M等于滑轮右侧绳子增加的长度，即"—hL，人△h=—sin30。sin60。对绳子做的功为：W=mg■△h=mgsC3—)=100。(3—1)-732J例2：如图3,定滑轮至滑块的高度为H，巳知细绳的拉力为F牛(恒定)，滑块沿水平面由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为Y和月。求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。【解析】在这物体从A到B运动的过程，绳的拉力对滑块与物体位移的方向的夹角在变小，这显然是变力做功的问题。绳的拉力对滑块所做的功可以转化为力恒F做的功，位移可以看作拉力F的作用点的位移，这样就把变力做功转化为恒力做功的问题了。解：由图3可知，物体在不同位置A、B时，猾轮到物体的绳长分别为:_H=HS1siny2sin&那么恒力F的作用点移动的距离为：s=s—s=H(-^—-^)12sinysin&故恒力F做的功：w=FH(—1———1—)sinysin&＜平均法〉如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值(恒力)代替变力，再利用功的定义式求功。例1：一辆汽车质量为800千克，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为：F=100x+f。，f0是车所受的阻力。当车前进20米时，牵引力做的功是多少？(g=10m/s2)分析：由于车的牵引力和位移的关系为：F=100x+f0，成线性关系，故前进20米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。解：由题意可知：开始时的牵引力：F=f0=O.O5X(8OOX1O)=400(N)20米时的牵引力:F2=100X20+400=2400(N)前进20米过程中的平均牵引力：F平=1400(N)所以车的牵引力做功：W=F平S=14OOX20=28000(J)例2：如图5所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块的边长为h，其密度为水的密度p的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h，现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。

【解析】木块下降同时水面上升，因缓慢地把木块压到容器底上，所以压力总等于增加的浮力，压力是娈力，当木块完全浸没在水中的下降过程压力是恒力。本题的解法很多，功能关系、F-S图像法、平均值法等均可求娈力做功，现用平均值法求。木块从开始到完全浸没在水中，设木块下降x［，水面上升x2根据水的体积不变，则：h2X1=h2x2得x=X所以当木块下降h时，木块恰好完全浸没在水中，F=闭一=pgh2(x+x)=2pgh2xXxTOC\o"1-5"\h\z124浮1211所以w=Fh=F±Fh=0^2h=顷4\o"CurrentDocument"1424248木块恰好完全浸没在水中经Ah=2h-3h=5h到容器底部，压力为恒力F=wh2h44F=理〃2h553一所以W=FAh=pgh22-4h=8pgh4，故压力所做的功为：W=W+W2=4pgh42、利用公式W=Pt对于机器以额定功率工作时，比如汽车、轮船、火车启动时，虽然它们的牵引力是变力，但是可以用公式W=Pt来计算这类交通工具发动机做的功。例1：质量为m的汽车在平直公路上以初速度v0开始匀加速行驶，经时间t前进距离s后，速度达最大值、，设在这段过程中发动机的功率恒为P，汽车所受阻力恒为f，则在这段时间内发动机所做的功为：A、PtB、fv^tC、fs+mv2/2D、mv2/2-mvj/2+fs(答案：ABD)例2：质量为4000千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经100/3秒的时间前进425米，这时候它达到最大速度15米/秒。假设汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大？【解析】汽车在运动过程中功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减小到与阻力相等时车速达到最大值。巳知汽车所受的阻力不变，虽然汽车的牵引力是变力，牵引力所做的功不能用功的公式直接计算。但由于汽车的功率恒定，汽车的功率可用P=Fv求，因此汽车所做的功则可用W=Pt进行计算。解：当速度最大时牵引力和阻力相等，P=Fv=fvmm汽车牵引力做的功为W=fvt根据动能定理有：w-=1mv22m解得：f=6000(N)3、图像法如果能知道变力F随位移s变化的关系，我们可以先作出F-s关系图象，(纵坐标表示力F在位移方向上的分量，横坐标表示物体的位移)并利用这个图象求变力所做的功.图象与坐标轴围成的面积表示功的数值。例1：长度为'，质量为m的均匀绳，一段置于水平的光滑桌面上，另一段垂于桌面下，长为a，求从绳开始下滑到绳全部离开桌面，重力所做的功。【解析】开始使绳下滑的力是a段绳所受的重力a.mg，此后下垂的绳逐渐变长，使绳下滑的力也逐渐增大，且随下垂段绳长均匀增大。当绳全部离开桌面时，绳下滑的位移为1―a，此时使绳下滑的力是整条绳所受的重力mg，这是一个变力做功的问题，可用用力一位移图象来分析。

【解答】w=1（amg+呻）.（l—a）=住土心2l21例2：如图，密度为3，边长为a的正立方体木块漂浮在水面上（水的密度为p0）.现用力将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，此过程浮力做了多少功？［解答］未用力按木块时，木块处于二力平衡状态F浮=mgBPp0ga2（a-h）=pga3并可求得：h=a（p0-p）/p0（h为木块在水面上的高度）在用力按木块到木块上表面刚浸没，木块受的浮力逐渐增大，上表面刚浸没时，浮力达到最大值：F'浮=p0ga3以开始位量为向下位移x的起点，浮力可表示为：Fff=pga3+p0ga2x根据这一关系式，我们可作出F浮-x图象（如图右所示）.在此图象中，梯形OhBA所包围的“面积”即为浮力在此过程所做的功。于W=（p0ga3+pga3）h/2=ga3h（p0+p）/2例3：用铁锤将一铁钉击入木块，设阻力与钉子进入木板的深度成正比，每次击钉时锤子对钉子做的功相同，巳知第一次击后钉子进入木板1cm，则第二次击钉子进入木板的深度为多少？【解析】铁锤每次做功都是用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F-x图象，如图4,函数线与x轴所夹阴影部分面积的值等于F对铁钉做的功.由于两次做功相等，故有：S=S（面积）即：1kx：=2k（x2+x1）（x2-x1）所以第二次击钉子进入木板的深度为：=(v'2—1)cm所以第二次击钉子进入木板的深度为：=(v'2—1)cm4、利用功能关系其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比用动能定理就可以求出这个变力所做的功。＜动能定理〉如果我们所研究的多个力中，只有一个力是变力较容易计算，研究对象本身的动能变化量也比较容易计算时例1：如图2所示，原来质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置.用水平拉力F将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成0角的位置的过程中，拉力F其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比用动能定理就可以求出这个变力所做的功。A.FLcos9B.FLsin9C.fl（1—cos9）D.mgL。-cos9）【解析】很多同学会错选B，原因是没有分析运动过程，对W=FLcos0来求功的适用范围搞错，恒力做功可以直接用这种方法求，但变力做功不能直接用此法正确的分析，小球的运动过程是缓慢的，因而任一时刻都可看作是平衡状态，因此F的大小不断变大，F做的功是变力功，小球上升过程中只有重力和拉力做功，而整个过程的动能改变为零，可用动能定理求解：Wp+Wc=e'k—气=0所以W^=-W^=mgL（1—cos9），故D正确。例2:如图5-14-2所示，AB为四分之一圆弧轨道，半径为0.8m，ABC是水平轨道，长3m，BC处的动摩擦因数为H=1。现有质量m=1kg'~15BC的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求：物体在轨道AB图5-14-2段所受的阻力对物体做的功。

【解析】物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功，％=mgR,wB^^mgx~BC，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。设物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功为％'从A到C，根据动能定理:,即：mgR-w/ab-^mgxBC=o-o，代入数据得例3:如图所示，把一小球系在轻绳的一端，轻绳的另一端穿过光滑木板的小孔，且受到竖直向下的拉力作用.当拉力为F时，小球做匀速圆周运动的轨道半径为R.当拉力逐渐增至4F时，小球匀速圆周运动的轨道半径为R/2.在此过程中，拉力对小球做了多少功？【解析】此题中的F是一个大小变化的力，故我们不能直接用功的公式求解拉力的功.根据F=mv2/R，我们可分别求得前、后两个状态小球的动能，这两状态动能之差就是拉力所做的功.由F=mv：/R4F=mv22/0.5R得W=mv2/2-mv2/2=FR/2图5-14-3＜机械能守恒定律〉如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。图5-14-3例1：如图5-14-3所示，质量m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以vo=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，巳知从A到B的竖直高度差h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。【解析】由于斜面光滑，故物体和弹簧构成的系统机械能守恒。但被研究的过程中，弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点，则状态A:E=mgh+2mv2；状态B：E=E单+0从A到B点’由机械能守恒定律：E/125J,则弹簧的弹力对物体所做的功为w=-125J。＜功能原理〉系统所受的外力和内力（不包括重力和弹力）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量，如果这些力中只有一个变力做功，且其它力所做的功及系统的机械能的变化量都比较容易求解时，就可用功能原理求解变力所做的功。例1：质量为m=2kg的均匀链条长为L=2m，自然堆放在光滑的水平面上，用力竖直向上匀速提起此链条，巳知提起链条的速度v=6m/s，求该链条全部被提起时拉力所做的功。【解析】链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大，链条保持匀速上升，故作用在链条上的拉力是变力，不能直接用功的公式求功。根据功能原理，上提过程拉力F做的功等于机械能的增量，故可以用功能原理求。当链条刚被全部提起时，动能没有变化，重心升高了AZ=1L=1m，故机械能的变化量为：2AE=mgxf=20J，则拉力所做的功为20J。*例2：一个圆柱形的竖直井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的。在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底。在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动。如图3所示，现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动。巳知圆管半径r=0.10m，井的半径R=2r，水的密度p=1.00X103kg/m3，大气压P°=1.00X105Pa，求活塞上升H=9.00m的过程中拉力所做的功（井和管在水面上及水面下的部分都足够长，不计活塞质量，

不计摩擦，重力加速度g=10m/s2)。【解析】大气压P0能够支撑的水柱高度为h0=；0=10m因液体体积不变，有:h兀r21—T==—h冗R2—兀r23i从开始提升到活塞至管内外水面高度差为10m的过程中，活塞始终与水面接触，设活塞上升h1，管外液面下降h2，则有:h0=h1+h2…3■一-因液体体积不变，有:h兀r21—T==—h冗R2—兀r23ii40此过程拉力为娈力，根据功能关系，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量等于除重力以外其它力做功。根据题意，则拉力做功等于水的重力势能的增量，即：W=AE=pnr2hghi+"2=1.18x104J112活塞从h1上升到H的过程中，液面不变，拉力F是恒力，F=兀,2P0，则做功为:W=F(H—h)=nr2P(H—h)=4.71x103J所求拉力所做的总功为：W=W+W=1.65x104J210112特殊一一转换参考系求变力做功在有些物理问题中，要用功能原理，其中求做功时要涉及到变力做功，但若通过转换参照系，可化求变力做功为恒力做功，而大大简化解题过程。例8：宇宙中某一惯性参照系中，有两个质点A和B，质量分别为m和M，相距L，开始时A静止，B具有A、B连线延伸方向的初速度v，由于受外力F的作用，B做匀速运动。(1)试求A、B间距离最大时的F值;(2)试求从开始到A、B最远时力F做的功；【解析】此题中A在万有引力作用下做变加速运动，要用功能原理来解。若用微元法求变力做功，会因数学知识的限制而不易找出F作用的位移和A、B间的距离的对应关系而很难求解。而本题可通过变换参照系，在同样满足机械能守恒的条件下，避开求变力做功，从而简化了解题过程。⑴将原来的惯性参照系记为S，相对B静止的参照系记为S’，在S’系中，B没有位移，所以力F做功为零，计算得以简化。在S’系中，A开始以v背离B运动，最后在万有引力的作用下减速到零，此时A、B间的距离最大，记为Lm在S’系中，据机械能守恒，有2LGM2GM—Lv2mv2—GMm=—G^所以LLm此时A、B的万有引力为m(2GM—Lv2)2

4GML⑵回到S系中，当A、B的间距达到Lm时，A、B都以v速度，根据功能原理，F力所做的功1Mm,1Mm、W=~(M+m)v2LGM2GM—Lv2此时A、B的万有引力为m(2GM—Lv2)2

4GML=~mv2+GMm(上一—)2LLm由⑴中知GMm(1—1)=1mv2LL2因此W=mv2

【习题】将一质量为m的物体以初速度％竖直向上抛出，落回抛出点时的速度为v,已知空气阻力大小与速率成正比。则从抛出点到落回抛出点的整个过程中，空气阻力做的功为多少？长度为L的均匀链条，单位长度的质量为，把链条放在光滑水平桌面上，且使其长度的4垂在桌边，如图5-14-4，松手后链条从静止开始沿桌面下滑，求从开始下滑到链条刚刚离开桌边的过程中重力所做的功。刚离开桌边的过程中重力所做的功。在水平地面上平铺着n块相同的砖，每块砖的质量都为m，厚度为d，若将这n块砖一块一块地叠放起来，至少需要做多少功？汽车的质量为m，输出功率恒为p，沿平直公路前进距离s的过程中，其速度由v增至最大速度％，假定汽车在运动过程中所受阻力恒定，则汽车通过距离s所用的时间为多少？子弹以速度v。射入墙壁，入射深度为h。若子弹在墙中受到的阻力与深度成正比，欲使子弹的入射深度为2h，求子弹的入射速度应增大到多少？

如图5-14-5，有一劲度系数k=500N/m的轻弹簧，左端固定在墙壁上，右端紧靠一质量m=2kg的物块，物块与水平面间的动摩擦因数p=0.4。现缓慢推动物块，使弹簧压缩10cm到A处，然后由