电子商务概论概论与数理统计课件

电子商务概论概论与数理统计课件第2章

随机变量的分布及其数字特征随机变量分布函数

离散型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布正态分布

随机变量函数的分布随机变量的数字特征

第2章随机变量的分布及其数字特征随机变量分布函数

2.1.1随机变量

(RandomVariable)

为了更有效地研究随机现象的规律，需要引入微积分作为工具，这就需要用变量的形式来表达随机现象。先考察下列两个随机试验的例子

例2.1

某人抛掷一枚色子，观察出现的点数。

试验结果的事件表达形式：出现1点；出现2点；出现3点；出现4点；出现5点；出现6点。如果令表示出现的点数，则的可能取值为

于是，试验结果的变量表示为：“出现1点”；“出现2点”“出现3点”；“出现4点”“出现5点”；“出现6点”§2.1随机变量分布函数2.1.1随机变量(RandomVariable例2.2

某人掷硬币试验，观察落地以后出现在上面的面。试验结果的事件表达形式：

国徽面在上面；有字面在上面如果表示国徽面在上面，表示有字面在上面。则试验结果的变量表示为：“国徽面在上面”“有字面在上面”特点：试验结果数量化了，试验结果与实数建立了对应关系，而且变量取值随着试验结果的变化而变化。例2.2某人掷硬币试验，观察落地以后出现在上面的面。定义1：

设是一随机试验，其样本空间为，如果对于中的每一个样本点，都有一个实数与之对应，并且满足：（1）是由唯一确定；（2）对任意给定的实数，集合都表示一个有概率的事件。则称为一随机变量(RandomVariable)。电子商务概论概论与数理统计课件

设为一个随机变量，对于任意实数，则集合是随机事件，随着变化，事件也会变化。这说明该事件是实变量的“函数”。

随机变量与高等数学中函数的变量有所不同。

（1）自变量的取值是可以在函数的定义域内随便指定，随机变量的取值只能在其取值范围内由试验的具体结果确定，具有偶然性；

（2）的定义域是样本空间，值域是实数轴。

随机变量的本质特性是其取值具有不确定性，在未试验之前无法确知它取哪个值。

设为一个随机变量，对于任意实数，则集

随机变量举例与分类

例2.3

某人抛掷一枚骰子，观察出现的点数的可能取值为。

例2.4

某个灯泡的使用寿命的可能取值为。

例2.5

一部电话总机在一分钟内收到的呼叫次数的可能取值为。

例2.6

为在区间上随机移动的点，该点的坐标的可能取值为。

从随机变量取值的有限无限个，及方式的可列不可列的角度来看，随机变量可做如下分类：随机变量举例与分类随机变量的分类离散型随机变量非离散型随机变量连续型非连续型有限或无穷可列取值无穷且不可列取值随机变量的分类离散型随机变量非离散型随机变量连续型非连续型有

2.1.2分布函数(DistributionFunction)随机变量的概率分布

定义2：

能反映随机变量取值规律的数学表达式称为随机变量的概率分布律，简称概率分布。

概率分布的常用表达方式有：分布函数（“通用型”）；概率函数或概率密度函数（“针对型”）。分布函数概念

定义3：

设为随机变量，为任意实数，则称为随机变量的分布函数，其定义域为。

显然，分布函数是一个特殊的随机事件的概率。

是一个实函数！2.1.2分布函数(DistributionFunc

（1）对于任意，有（非负有界性）；

（2）（规范性）；

（3）对于任意有（非减性）；

（4）在每一点至少是右连续的（连续性）。

若已知随机变量的分布函数，则对于任意有分布函数的性质分布函数的性质例2.7

已知随机变量的所有可能取值为，取各值的概率分别为，试求随机变量的分布函数并作其图像。解：由题设随机变量的概率分布为0.30.30.4210由分布函数的定义有当时，；当时，当时，；当时，。分布函数图像如图2.1所示图2.1例2.7已知随机变量的所有可能取值为§

2.2离散型随机变量及其分布

2.2.1.离散型随机变量

定义1：如果随机变量所有可能取值为有限或无穷可列，则该随机变量称为离散型随机变量。

定义2：设离散型随机变量的所有可能取是，而取值的概率为，即有则称该式为随机变量的概率函数。其也可以用下表表达：并称其为随机变量的概率分布列，简称分布列。还可以通过作图直观表示，称为随机变量的概率分布图或概率函数图。

§2.2离散型随机变量及其分布2.2.1.离散型

图中线的高度为取值于该点的概率值。

注意：离散型随机变量的概率分布除用分布函数可以表示以外，还可以利用概率函数或分布列或分布图表示，概率函数与分布列，分布图是等效的，概率函数比分布列表示简便，而分布图则更直观。

概率函数的两个基本性质:

（1）（非负性）（2）（归一性）。

例2.8

设袋中有五个球，3个白球2个黑球。从中任取两球，以表示取到的黑球数。求其概率函数及其概率分布函数。解：的可能取值为分别表示事件“没有取到黑球”、“取到一个黑球”、“取到两个黑球”，则其概率函数

当时，；

当时，当时，概率函数的两个基本性质:（1）

当时，所以，的分布函数为概率函数和分布函数用于描述随机变量的变化规律，它们之间的关系为：

已知概率函数求分布函数当时，概率函数和分布函数用于描述例2.9

设随机变量的概率函数为。

求常数的值。

解：由于

故而

已知分布函数求概率函数例2.9设随机变量的概率函数为。已知分布函数求概率函数

2.2.2常见的离散型随机变量的概率分布

引入随机变量的概念以后，客观世界中的许多随机现象，如果抛开其所涉及的具体内容，实质上可以用同一个概率模型即概率分布来表达。1.等概分布设为离散型随机变量，若其分布列为：则称服从等概分布。该分布满足：(1)非负性：

(2)规范性：2.2.2常见的离散型随机变量的概率分布2.两点分布（0-1分布）

若随机变量的分布表为其中，则称服从参数为的两点分布。记作。

两点分布所能刻画的随机现象：

凡是随机试验只有两个可能的结果，都可以两点分布作为其概率模型。例如：掷硬币观察正反面，产品是否合格，人口性别统计，系统是否正常，电力消耗是否超负荷等等。

例如，投一枚均匀的骰子，观察向上面的点数，用表示向上面的点数，则服从的等概分布。

2.两点分布（0-1分布）例如，投一枚均匀的骰子

二项分布的概率函数就是二项式展开式中的通项（这里），所以称之为二项分布。分布中，当时，就是两点分布，其概率函数为(1)非负性：则称服从参数为的二项分布（Binomialdistribution），记为若离散型随机变量的概率函数为：3.二项分布

～显然，二项分布的概率函数满足：(2)规范性：

二项分布的概率函数就是二项式例2.10

设某学生在期末考试中，共有5门课程要考，已知该学生每门课程及格的概率为0.8。试求该学生恰好有3门课及格的概率和至少有3门课及格的概率。解:设表示该学生恰好有3门课及格；

表示该学生至少有3门课及格。显然，这是一个5重贝努里概型，从而有

凡是重贝努里概型中随机事件发生次数的概率分布规律都可用二项分布来刻画。例2.10设某学生在期末考试中，共有5门课程要考，已知该学例2.11

某保险公司以往资料显示，索赔要求中有8%是因为被盗而提出来的。现已知该公司某个月共收到10个索赔要求，试求其中包含4个以上被盗索赔要求的概率。解:设表示10个索赔要求中被盗索赔要求的个数，则于是，所求概率为即10各索赔要求中有4个以上被盗索赔要求的概率为0.00059通过该例题的求解，可以看出：二项分布当参数很大，而很小时，有关概率的计算是相当麻烦的。甚至有时借助于计算工具也难实现。为了解决这种情况下的二项分布有关概率计算问题，1837年法国数学家S.D.Poisson提出了以下定理。例2.11某保险公司以往资料显示，索赔要求中有8%是因为Poisson定理

设随机变量，若时，有，则有

证明：令，于是有对于固定的有所以电子商务概论概论与数理统计课件

实际应用中：当较大,

较小，适中时，即可用泊松定理的结果对二项概率进行近似计算。

例2.12

某人骑摩托车上街，出事故的概率为0.02，独立重复上街400次，求至少出两次事故的概率。解:400次上街400重Bernoulli概型；

记为出事故的次数，则。由于，所以由Poisson定理有

实际应用中：当较大,较小，适中时，即

4．泊松（Poisson）分布

若随机变量的概率函数为则称服从参数为的泊松分布，记为。

若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次，则该人成功的概率为。这表明随着实验次数的增多，小概率事件是会发生的！显然，泊松分布的概率函数满足：：

(1)非负性：；

(2)规范性：4．泊松（Poisson）分布若随机变泊松分布所能刻画随机现象：

服务台在某时间段内接待的服务次数；交换台在某时间段内接到呼叫的次数；矿井在某段时间发生事故的次数；显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目；

单位时间内市级医院急诊病人数；

一本书中每页印刷错误的个数。

特别注意:体积相对较小的物质，在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其参数

可以由观测值的平均值求出。泊松分布所能刻画随机现象：这时，如果直接计算，计算量很大。由于很大，很小，可利用泊松分布（）近似计算。解：设患有该种疾病的人数为随机变量，则故，例2.13

已知某种疾病的发病率为0.001，某单位现有职工5000人，问该单位患有这种疾病的人数超过5人的概率有多大？～这时，如果直接计算，计算量很大。由于（设时)(1)非负性：

都是正整数，且为参数，则称服从参数为的超几何分布，记作。显然，它的概率函数式满足：设离散型随机变量的概率函数为：

5．超几何分布(2)规范性：（设时)(1)非负性：成立，则称为连续型随机变量。为连续型随机变量的概率密度函数，简称密度函数。Def设随机变量的分布函数为，如果存在非负的可积函数，使得对任意的，有§2.3连续型随机变量及其分布

2.3.1连续型随机变量

可以证明，连续型随机变量的分布函数是连续函数。随机变量的概率密度函数具有如下两条基本性质：(1)(2)

成立，则称为连续型随机变量。为连续型随机概率密度函数还具有以下性质：(3)对任意给定的，；(4)在的连续点处，总有；(5)连续型随机变量取任一点的概率始终为零，即

证明：对任意的，令，则由，有由于是连续型随机变量，其分布函数是连续函数，当时，有所以。概率密度函数还具有以下性质：

该性质表明连续型随机变量的概率分布不能用逐点取值的概率表达，而只能用概率密度来表达。由此，对于连续型随机变量，有如下的结果：设任意的实数，有该性质表明连续型随机变量的概率分布不能用逐点求①系数的值；②在区间内取值的概率；③的分布函数。例2.14

设随机变量的概率密度函数为:解：①由概率密度函数性质（2）知

所以求①系数的值；②在区间内当时，；

当时，

当时，③由式知②从而得当时，

例2.15

设随机变量的分布函数为求①系数；②在区间内取值的概率；③的密度函数。解：①由，，有例2.15设随机变量的分布函数为

解得，。

②

③

注意：如果随机变量具有以上形式的密度函数，则称服从柯西分布(Cauchydistribution)。解得，Def若随机变量的概率密度函数为则称随机变量服从区间上的均匀分布，记为

均匀分布所能刻画随机现象：

“等可能”地取区间中的值。这里的“等可能”理解为：落在区间中任意等长度的子区间内的可能性是相同的；或者说它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。这正是几何概型的情形。

2.3.2几个常见的连续型随机变量的概率分布

1.均匀分布（UniformDistribution）Def若随机变量的概率密度函数为2.3.2几个即，则对任意满足的，总有这表明，落在的子区间上的概率，只与子区间的长度有关（成正比），而与子区间在区间中的具体位置无关。均匀分布无论在理论上还是应用上都非常有价值。例2.16

某市规定公共汽车每隔10分钟发一趟班车，即每隔10分钟就要有一辆公共汽车经过公共汽车站。一位乘客随机地来到一个公共汽车站，问等车时间在5分钟之内的概率是多少？即，则对任意满足解：设公共汽车均匀地来到车站，乘客的等车时间可以看作是区间上的均匀分布。则有

若用分布函数计算有解：设公共汽车均匀地来到车站，乘客的等车时间可以看作是区间

均匀分布的概率密度函数满足(1)非负性：(2)规范性：其图像为图2.1均匀分布的概率密度函数满足图2.1均匀分布的分布函数为求解过程黑板演示。均匀分布的分布函数为

2.指数分布（ExponentialDistribution）

Def若随机变量的概率密度函数为则称随机变量服从参数为的指数分布，记为

例2.17

设在上服从均匀分布，求方程有实根的概率。解:方程有实数根等价于，即；

所求概率为。2.指数分布（ExponentialDistribu

指数分布的概率密度函数满足（1）非负性：；

（2）归一性：

其图像为：指数分布的概率密度函数满足

指数分布的分布函数为：求解过程与均匀分布类似，省略。

指数分布所能刻画随机现象：

随机服务系统中的服务时间；电话的通话时间；无线电元件的寿命；动植物的寿命。指数分布的分布函数为：

例2.18

设服从参数为3的指数分布，试写出它的密度函数并求。

解:的概率密度为

例2.19

多年统计经验表明，某厂生产的电视机寿命（单位：万小时）。某人购买了一台该厂生产的电视机，问其寿命超过4万小时的概率是多少？解：所求的概率为例2.18设服从参数为3的指数分布，试写出它其中，，为参数，分别为形状、尺度和位置参数。则称服从威布尔分布（Weibulldistribution），记作。

若连续型随机变量具有密度函数

3．威布尔分布

其中，，为参数，分别为

当参数，时，变为为前面介绍过的指数分布，这里参数。对于参数取不同的值，可以得出不同的曲线，其多样性使威布尔分布的适应性比较广泛，在很多方面都有应用，比如在农林科学中可以用以描述树高和胸径的近似分布。

当参数，时，变

其中参数满足，则称随机变量服从参数为的正态分布，记为。

§2.4正态分布（NormalDistribution）2.4.1正态分布

Def若随机变量的概率密度函数为其中参数满足正态分布概率密度函数的图像特点：

图像呈单峰状；

图像关于直线对称；图像在点处有拐点；图像以轴为水平渐近线。Gauss参数对密度曲线的影响

相同不同密度曲线情况位置参数变化正态分布概率密度函数的图像特点：Gauss参数

相同不同密度曲线情况形状参数变化

正态分布的密度函数满足：（1）非负性（2）归一性相同不同形状参数变化正态分布的密度

正态分布的分布函数为其图像是一条S型曲线，如下正态分布的分布函数为正态分布所能刻画随机现象：

若随机变量受到众多相互独立的随机因素的影响，每一个别因素的影响都是微小的，而且这些影响具有加性特征则服从正态分布。例如：

各种测量的误差；人的生理特征指标；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；热噪声电流强度；学生们的考试成绩等等。正态分布是概率论中最重要的分布，体现在以下方面：

⑴正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的。事实上如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布。⑵正态分布可以作为许多分布的近似分布。⑶正态分布有许多其它分布所不具备的良好的性质。正态分布所能刻画随机现象：2.4.2标准正态分布

定义：在正态分布的概率密度函数中，如果时，即若随机变量的概率密度为

则称服从标准正态分布（StandardNormalistrution），记作

其分布函数为

2.4.2标准正态分布标准正态分布的密度函数图为：由图可以看出，该曲线为以轴为对称轴的单峰曲线。标准正态分布的密度函数图为：

标准正态分布的计算可以由分布函数与其密度函数的关系解决：

因为，所以直接查标准正态分布的分布函数表即可解决概率计算。

思考：一般正态分布的概率计算也可以制表解决么？为什么？

标准正态分布的计算利用查表法计算标准正态分布的分布函数值

例2.20

设随机变量，试求解:查表知

所以有利用查表法计算标准正态分布的分布函数值例2.2一般正态分布的概率计算（标准化变换）分布函数

在求解一般正态分布的概率计算问题时，先将其转化为标准正态分布问题，然后利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值，从而解决概率计算问题。一般正态分布的概率计算（标准化变换）定理2.4.1

设，令，则也是一个随机变量，且。证明：设随机变量的分布函数为，概率密度函数为。由分布函数的定义知

定理2.4.1

由此，易知随机变量的概率密度函数为

这恰好是标准正态分布的概率密度函数，所以。这里称变换为标准化变换。

若，则的分布函数为由此，易知随机变量的概率密度函数为从而有也就是说，借助标准正态分布的分布函数表即可解决一般正态分布随机变量的概率计算问题。从而有例2.21

设，计算的值。解：例2.21设，计算例2.22若

，求的值，此处为常数。解：例2.22若，求由上例题可以得到，常用来作为质量控制依据的“”准则。即

据此认为随机变量落在之外几乎不可能，因为其概率仅为0.26%。

由上例题可以得到，常用来作为质量控制依据的“”准则。即

2.4.3标准正态分布的分位数

双侧分位数

Def设随机变量，对于给定的，如果实数满足，则称为标准正态分布关于的双侧分位数。标准正态分布双侧分位数的意义如下图所示。标准正态分布双侧分位数的计算：由定义可知

直接查附表即可。2.4.3标准正态分布的分位数统计中常用的标准正态分布的双侧分位数有

统计中常用的标准正态分布的双侧分位数有单侧分位数设，若有满足，则称为标准正态分布的上侧分位数。设,若有满足，则称为标准正态分布的下侧分位数。

上下侧分位数的意义如下图所示。下侧分位数上侧分位数单侧分位数下侧分位数上侧分位数上侧分位数的计算：由定义知，查标准正态分布函数值表即可得。或者可由双侧分位数与上侧分位数之间的关系求得：即关于的上侧分位数就等于关于的双侧分位数。下侧分位数的计算：下侧分位数就等于上侧分位数的相反数。例如：

上侧分位数的计算：一般正态分布的分位数计算：对一般正态分布的随机变量，要求的。先由

查标准正态分布表可得再由求得分位数一般正态分布的分位数计算：例2.23

某省高考采用标准化计分方法，并认为考生成绩服从正态分布。如果录取率为30.9%，问录取分数线应划定在多少分以上？解：假设录取分数线应划定在分以上，由来确定

由于查正态分布表得

故例2.23某省高考采用标准化计分方法，并认为考生成绩

2.5.1随机变量函数的概念

§2.5

随机变量函数的分布☞Y=g(X)是复合映射；☞Y=g(X)是随机变量；☞Y=g(X)类型取决于X的类型和实函数g(x)的性质。本课程范围内主要讨论g(x)为非常值连续函数的情况2.5.1随机变量函数的概念§2.5随机变量函数

2.5.2随机变量函数的概率分布求法

一、离散型随机变量函数的概率分布求法已知随机变量X的概率分布列为Xx1x2…xi…pip1p2…pi…g(x)是定义在(-∞,+∞)上实连续函数。则Y=g(X)是离散型随机变量，且其概率函数为一般采用倒置分布列法求Y=g(X)的分布列。2.5.2随机变量函数的概率分布求法一、离散型随机变量

例2.24

已知随机变量X的分布列为-10120.20.30.10.4求Y1=2X和Y2=(X-1)2的概率分布。0.20.30.10.4-1012Y1-2024Y24101例2.24已知随机变量X的分布列为-1-20240.20.30.10.40140.10.70.2-20240.20二、连续型随机变量函数的概率分布求法1.分布函数法二、连续型随机变量函数的概率分布求法1.分布函数法例2.25例2.25电子商务概论概论与数理统计课件电子商务概论概论与数理统计课件例2.25揭示了正态分布的一条重要性质。即正态分布的线性变换依然服从正态分布。例2.25揭示了正态分布的一条重要性质。即正态分布的线性变换例2.26例2.26电子商务概论概论与数理统计课件2.公式法2.公式法例2.27例2.27例2.28例2.28§2.6随机变量的数字特征2.6.0随机变量数字特征的概念1.背景2.随机变量数字特征的定义能描述随机变量分布某一特征的常数被称为随机变量的数字特征。诸如：数学期望、方差、矩等。§2.6随机变量的数字特征2.6.0随机变量数字特征的

2.6.1数学期望

以频率为权重的加权平均，反映了这7位同学高数成绩的平均状态。

1.引例

用7名学生的高数成绩来考察高数的成绩状况。设某7学生的高数成绩为90,85,85,80,80,75,60，则他们7人的平均成绩为2.6.1数学期望以频率为权重的加权平均，反映了这7

2.数学期望的定义

定义2.6.1(离散型随机变量的数学期望)

设离散型随机变量的概率函数为若级数绝对收敛，则称的值为离散型随机变量的数学期望，简称期望或均值，记作。即若级数，则称的数学期望不存在。

2.数学期望的定义定义2.6.2(连续型随机变量的数学期望)设连续型随机变量的概率密度函数为，若积分绝对收敛，则称的值为连续型随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记作。即

若，则称X的数学期望不存在。定义2.6.2(连续型随机变量的数学期望)3.随机变量数学期望所反应的意义随机变量的数学期望反应了随机变量所有可能取值的平均值，是随机变量所有可能取值的最佳代表。

例2.29

已知随机变量的概率分布率为求.解：由离散型随机变量数学期望定义得

4561/41/21/43.随机变量数学期望所反应的意义4561/41/21/例2.30

设连续型随机变量的概率密度函数为求.解：由定义可得或利用奇函数的性质

例2.30设连续型随机变量的概率密度函数为例2.31例2.314.常用随机变量的数学期望

（1）两点分布若随机变量服从两点分布，即其分布列为其中

则

（2）二项分布若，则其概率函数为4.常用随机变量的数学期望

其中

，故

所以其中（3）泊松分布若，则其概率函数为其中，于是所以。（3）泊松分布（4）超几何分布若，则其概率函数为故

（4）超几何分布（5）均匀分布若，则其概率密度函数为所以（5）均匀分布（6）指数分布若，则其概率密度函数为其中。所以

（6）指数分布（7）正态分布若，则其概率密度函数为

所以（7）正态分布5.一元随机变量函数的数学期望是随机变量的函数（1）离散型（2）连续型5.一元随机变量函数的数学期望是随机变量的函数（1）离电子商务概论概论与数理统计课件该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.解：因为该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道

例2.33

已知的分布表如下，试求及的数学期望。解：例2.33已知的分布表如下，试求及

例2.34

已知随机变量

，求

的数学期望。解：由定义计算例2.34已知随机变量6.

随机变量数学期望的简单性质6.随机变量数学期望的简单性质数学期望在医学上的一个应用AnapplicationofExpectedValueinMedicine

考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人再逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？分析：设随机抽取的10人组所需的化验次数为X，需要计算X的数学期望，然后与10比较数学期望在医学上的一个应用考虑用验血的方法在人群中普

化验次数X的可能取值为1，11先求出化验次数X的分布律{X=1}=“10人都是阴性”{X=11}=“至少1人阳性”结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数。注意求X期望值的步骤！问题的进一步讨论

1.概率p对是否分组的影响？2.概率p对每组人数n的影响?化验次数X的可能取值为1，11先求出化验次数X的分布律{X数学期望在使用过程中也有不便之处，主要是由于①对于比较复杂的分布,计算上比较繁琐；②对于有的分布，数学期望不存在；③用试验观测数据计算数学期望时，若试验观测数据中有一些离群的数据（通常是指极大、极小的极端值），而又没有充分根据剔除它们的时候，用数学期望来代表全体数据取值的平均水平不是很理想。为此，概率论与数理统计中，引入如下定义表达“平均值”的数字特征。数学期望在使用过程中也有不便之处，主要是由于①对于

中位数

定义2.6.3

设是随机变量的分布函数，如果存在实数，使得，则称实数为随机变量的中位数，记作：说明：直观上，的中位数反映“取值比小及比大的可能性相等”这种意义下的“平均值”。

例2.37设，试求其中位数解：因为，故，于是

正态分布的中位数与数学期望一致。

中位数

2.6.2方差Variance

定义：设是一随机变量，如果存在，则称为的方差，记作或方差的计算公式

与

有相同的量纲均方差（标准差）

即2.6.2方差Variance定义：设离散型设离散型随机变量X的概率分布为连续型设连续型随机变量X的分布密度为f(x)方差的统计意义

随机变量的方差反映了随机变量所有可能取值偏离其均值的平均偏差程度。常见随机变量的方差离散型设离散型随机变量X的概率分布为连续型设连续型随机变1．二点分布

由前面知识可知，而所以2．二项分布

设，由前面知识可知，而1．二点分布由前面知识可知所以所以3.泊松分布

设由前面知识可知，而所以3.泊松分布设由4.超几何分布设X~H（n，M，N），由前知识可知而4.超几何分布设X~H（n，M，N），由前知识可知所以所以电子商务概论概论与数理统计课件5.均匀分布

设，由前面知识可知，，而所以5.均匀分布设，由前6.指数分布

设，由前面所学可知，，而（若参数为）。所以：6.指数分布设，由前面所学7．正态分布

设，则由前面知识可知，。7．正态分布设方差的性质

1.设C是常数，则D(C)=0；

2.

推论：若a，b是常数，则

4.若，则

即在处取得惟一的最小。

3.方差的性质1.设C是常数，则D(C)=0；

证明：因为，则所以证明：

2.6.3矩、偏度和峭度

随机变量的数字特征除了数学期望及方差之外，更一般地，还有中心矩及原点矩，以及由其衍生的一些数字特征，它们对于刻画随机变量概率分布都有一定的意义，在数理统计中都有重要的应用。

随机变量的原点矩与中心矩

Def

设X是随机变量，若

存在，则称其为X的k阶原点矩，存在，则称其为X的k阶中心矩，2.6.3矩、偏度和峭度随机变量的数原点矩与中心矩有如下关系

显然，随机变量1阶原点矩是数学期望；2阶中心矩是方差原点矩与中心矩有如下关系显然，随机变量1偏度（Measureofskewness）。设是随机变量，称为随机变量分布的偏斜系数，简称偏度。若称的分布是正偏的（不对称，向右偏）；若称的分布是负偏的（不对称，向左偏）；若称的分布是关于期望对称的。偏度的绝对值越大，表明偏斜程度愈大。所以偏度是描述随机变量分布偏斜方向与偏斜大小的一个数字特征。偏度（Measureofskewness）。设峭度（Coeffcientofkurtosis）

设是随机变量，称为随机变量分布的峰态系数或陡峭系数，简称峰度或峭度。表示所研究分布曲线与正态分布曲线相比较的结果。

表明的分布曲线比正态分布曲线尖峭；表明的分布曲线比正态分布曲线平坦；表明的分布曲线与正态分布曲线陡峭度相同；峰度的绝对值愈大，表明随机变量在尖峭与平坦这一特征上与正态分布的差别愈大。所以峰度是描述随机变量分布与正态分布之间陡峭程度差异大小的一个数字特征。峭度（Coeffcientofkurtosis）电子商务概论概论与数理统计课件第2章

随机变量的分布及其数字特征随机变量分布函数

离散型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布正态分布

随机变量函数的分布随机变量的数字特征

第2章随机变量的分布及其数字特征随机变量分布函数

2.1.1随机变量

(RandomVariable)

为了更有效地研究随机现象的规律，需要引入微积分作为工具，这就需要用变量的形式来表达随机现象。先考察下列两个随机试验的例子

例2.1

某人抛掷一枚色子，观察出现的点数。

试验结果的事件表达形式：出现1点；出现2点；出现3点；出现4点；出现5点；出现6点。如果令表示出现的点数，则的可能取值为

于是，试验结果的变量表示为：“出现1点”；“出现2点”“出现3点”；“出现4点”“出现5点”；“出现6点”§2.1随机变量分布函数2.1.1随机变量(RandomVariable例2.2

某人掷硬币试验，观察落地以后出现在上面的面。试验结果的事件表达形式：

国徽面在上面；有字面在上面如果表示国徽面在上面，表示有字面在上面。则试验结果的变量表示为：“国徽面在上面”“有字面在上面”特点：试验结果数量化了，试验结果与实数建立了对应关系，而且变量取值随着试验结果的变化而变化。例2.2某人掷硬币试验，观察落地以后出现在上面的面。定义1：

设是一随机试验，其样本空间为，如果对于中的每一个样本点，都有一个实数与之对应，并且满足：（1）是由唯一确定；（2）对任意给定的实数，集合都表示一个有概率的事件。则称为一随机变量(RandomVariable)。电子商务概论概论与数理统计课件

设为一个随机变量，对于任意实数，则集合是随机事件，随着变化，事件也会变化。这说明该事件是实变量的“函数”。

随机变量与高等数学中函数的变量有所不同。

（1）自变量的取值是可以在函数的定义域内随便指定，随机变量的取值只能在其取值范围内由试验的具体结果确定，具有偶然性；

（2）的定义域是样本空间，值域是实数轴。

随机变量的本质特性是其取值具有不确定性，在未试验之前无法确知它取哪个值。

设为一个随机变量，对于任意实数，则集

随机变量举例与分类

例2.3

某人抛掷一枚骰子，观察出现的点数的可能取值为。

例2.4

某个灯泡的使用寿命的可能取值为。

例2.5

一部电话总机在一分钟内收到的呼叫次数的可能取值为。

例2.6

为在区间上随机移动的点，该点的坐标的可能取值为。

从随机变量取值的有限无限个，及方式的可列不可列的角度来看，随机变量可做如下分类：随机变量举例与分类随机变量的分类离散型随机变量非离散型随机变量连续型非连续型有限或无穷可列取值无穷且不可列取值随机变量的分类离散型随机变量非离散型随机变量连续型非连续型有

2.1.2分布函数(DistributionFunction)随机变量的概率分布

定义2：

能反映随机变量取值规律的数学表达式称为随机变量的概率分布律，简称概率分布。

概率分布的常用表达方式有：分布函数（“通用型”）；概率函数或概率密度函数（“针对型”）。分布函数概念

定义3：

设为随机变量，为任意实数，则称为随机变量的分布函数，其定义域为。

显然，分布函数是一个特殊的随机事件的概率。

是一个实函数！2.1.2分布函数(DistributionFunc

（1）对于任意，有（非负有界性）；

（2）（规范性）；

（3）对于任意有（非减性）；

（4）在每一点至少是右连续的（连续性）。

若已知随机变量的分布函数，则对于任意有分布函数的性质分布函数的性质例2.7

已知随机变量的所有可能取值为，取各值的概率分别为，试求随机变量的分布函数并作其图像。解：由题设随机变量的概率分布为0.30.30.4210由分布函数的定义有当时，；当时，当时，；当时，。分布函数图像如图2.1所示图2.1例2.7已知随机变量的所有可能取值为§

2.2离散型随机变量及其分布

2.2.1.离散型随机变量

定义1：如果随机变量所有可能取值为有限或无穷可列，则该随机变量称为离散型随机变量。

定义2：设离散型随机变量的所有可能取是，而取值的概率为，即有则称该式为随机变量的概率函数。其也可以用下表表达：并称其为随机变量的概率分布列，简称分布列。还可以通过作图直观表示，称为随机变量的概率分布图或概率函数图。

§2.2离散型随机变量及其分布2.2.1.离散型

图中线的高度为取值于该点的概率值。

注意：离散型随机变量的概率分布除用分布函数可以表示以外，还可以利用概率函数或分布列或分布图表示，概率函数与分布列，分布图是等效的，概率函数比分布列表示简便，而分布图则更直观。

概率函数的两个基本性质:

（1）（非负性）（2）（归一性）。

例2.8

设袋中有五个球，3个白球2个黑球。从中任取两球，以表示取到的黑球数。求其概率函数及其概率分布函数。解：的可能取值为分别表示事件“没有取到黑球”、“取到一个黑球”、“取到两个黑球”，则其概率函数

当时，；

当时，当时，概率函数的两个基本性质:（1）

当时，所以，的分布函数为概率函数和分布函数用于描述随机变量的变化规律，它们之间的关系为：

已知概率函数求分布函数当时，概率函数和分布函数用于描述例2.9

设随机变量的概率函数为。

求常数的值。

解：由于

故而

已知分布函数求概率函数例2.9设随机变量的概率函数为。已知分布函数求概率函数

2.2.2常见的离散型随机变量的概率分布

引入随机变量的概念以后，客观世界中的许多随机现象，如果抛开其所涉及的具体内容，实质上可以用同一个概率模型即概率分布来表达。1.等概分布设为离散型随机变量，若其分布列为：则称服从等概分布。该分布满足：(1)非负性：

(2)规范性：2.2.2常见的离散型随机变量的概率分布2.两点分布（0-1分布）

若随机变量的分布表为其中，则称服从参数为的两点分布。记作。

两点分布所能刻画的随机现象：

凡是随机试验只有两个可能的结果，都可以两点分布作为其概率模型。例如：掷硬币观察正反面，产品是否合格，人口性别统计，系统是否正常，电力消耗是否超负荷等等。

例如，投一枚均匀的骰子，观察向上面的点数，用表示向上面的点数，则服从的等概分布。

2.两点分布（0-1分布）例如，投一枚均匀的骰子

二项分布的概率函数就是二项式展开式中的通项（这里），所以称之为二项分布。分布中，当时，就是两点分布，其概率函数为(1)非负性：则称服从参数为的二项分布（Binomialdistribution），记为若离散型随机变量的概率函数为：3.二项分布

～显然，二项分布的概率函数满足：(2)规范性：

二项分布的概率函数就是二项式例2.10

设某学生在期末考试中，共有5门课程要考，已知该学生每门课程及格的概率为0.8。试求该学生恰好有3门课及格的概率和至少有3门课及格的概率。解:设表示该学生恰好有3门课及格；

表示该学生至少有3门课及格。显然，这是一个5重贝努里概型，从而有

凡是重贝努里概型中随机事件发生次数的概率分布规律都可用二项分布来刻画。例2.10设某学生在期末考试中，共有5门课程要考，已知该学例2.11

某保险公司以往资料显示，索赔要求中有8%是因为被盗而提出来的。现已知该公司某个月共收到10个索赔要求，试求其中包含4个以上被盗索赔要求的概率。解:设表示10个索赔要求中被盗索赔要求的个数，则于是，所求概率为即10各索赔要求中有4个以上被盗索赔要求的概率为0.00059通过该例题的求解，可以看出：二项分布当参数很大，而很小时，有关概率的计算是相当麻烦的。甚至有时借助于计算工具也难实现。为了解决这种情况下的二项分布有关概率计算问题，1837年法国数学家S.D.Poisson提出了以下定理。例2.11某保险公司以往资料显示，索赔要求中有8%是因为Poisson定理

设随机变量，若时，有，则有

证明：令，于是有对于固定的有所以电子商务概论概论与数理统计课件

实际应用中：当较大,

较小，适中时，即可用泊松定理的结果对二项概率进行近似计算。

例2.12

某人骑摩托车上街，出事故的概率为0.02，独立重复上街400次，求至少出两次事故的概率。解:400次上街400重Bernoulli概型；

记为出事故的次数，则。由于，所以由Poisson定理有

实际应用中：当较大,较小，适中时，即

4．泊松（Poisson）分布

若随机变量的概率函数为则称服从参数为的泊松分布，记为。

若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次，则该人成功的概率为。这表明随着实验次数的增多，小概率事件是会发生的！显然，泊松分布的概率函数满足：：

(1)非负性：；

(2)规范性：4．泊松（Poisson）分布若随机变泊松分布所能刻画随机现象：

服务台在某时间段内接待的服务次数；交换台在某时间段内接到呼叫的次数；矿井在某段时间发生事故的次数；显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目；

单位时间内市级医院急诊病人数；

一本书中每页印刷错误的个数。

特别注意:体积相对较小的物质，在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其参数

可以由观测值的平均值求出。泊松分布所能刻画随机现象：这时，如果直接计算，计算量很大。由于很大，很小，可利用泊松分布（）近似计算。解：设患有该种疾病的人数为随机变量，则故，例2.13

已知某种疾病的发病率为0.001，某单位现有职工5000人，问该单位患有这种疾病的人数超过5人的概率有多大？～这时，如果直接计算，计算量很大。由于（设时)(1)非负性：

都是正整数，且为参数，则称服从参数为的超几何分布，记作。显然，它的概率函数式满足：设离散型随机变量的概率函数为：

5．超几何分布(2)规范性：（设时)(1)非负性：成立，则称为连续型随机变量。为连续型随机变量的概率密度函数，简称密度函数。Def设随机变量的分布函数为，如果存在非负的可积函数，使得对任意的，有§2.3连续型随机变量及其分布

2.3.1连续型随机变量

可以证明，连续型随机变量的分布函数是连续函数。随机变量的概率密度函数具有如下两条基本性质：(1)(2)

成立，则称为连续型随机变量。为连续型随机概率密度函数还具有以下性质：(3)对任意给定的，；(4)在的连续点处，总有；(5)连续型随机变量取任一点的概率始终为零，即

证明：对任意的，令，则由