能控性和能观测性-2讲

第四章线性控制系统的能控性和能观测性ModernControlTheory1能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第1页!第四章线性控制系统的能控性和能观测性本章主要内容线性连续系统的能控性线性连续系统的能观性对偶原理线性系统的能控标准形与能观标准形线性系统的结构分解传递函数矩阵与能控性、能观性的关系2能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第2页!4.3对偶原理一、线性定常系统的对偶关系设有两个系统，一个系统另一个系统若满足下列条件，则称与是互为对偶的。

维输入,维输出的阶系统

维输入,维输出的阶系统

3能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第3页!4.3对偶原理

系统结构图

系统结构图

输入输出互换；信号传递反向；信号引出与综合点互换；各矩阵转置。4能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第4页!4.3对偶原理二、对偶原理系统与是互为能观性,的能观性等价于的能控性。或者的能控性等价于对偶的两个系统，则的

是状态完全能控的（完全能观的），说，若

是状态完全能观的（完全能控的）。则5能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第5页!

好处对于状态转移矩阵的计算、对能控性和能观性的分析十分方便。能控标准型对于状态反馈比较方便能观标准型对于状态观测器的设计及系统辩识比较方便由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表达也不是唯一的。在实际应用中，常根据所研究问题的需要，将状态空间表达式化成相应的几种标准形式（如前述的对角标准型、约当标准型）4.4线性系统的能控标准形

和能观标准形6能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第6页!4.4线性系统的能控标准形和能观标准形实质：对系统状态空间表达式进行非奇异线性变换关键：在于寻找相应的变换矩阵。理论依据：非奇异变换不改变系统的自然模态及能控、能观性注意：只有系统完全能控（能观）才能化成能控（能观）标准型

7能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第7页!

回顾：第二章讲过，根据传递函数可写出其状态空间表达式：能控标准形8能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第8页!4.4线性系统的能控标准形和能观标准形能控标准形非能控标准形9能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第9页!4.4线性系统的能控标准形和能观标准形10能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第10页!4.4线性系统的能控标准形和能观标准形例4.13试将下列系统变换为能控标准形解：（1）先判别系统的能控性∴系统是能控的

11能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第11页!4.4线性系统的能控标准形和能观标准形（3）求得能控标准形：12能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第12页!4.4线性系统的能控标准形和能观标准形设系统的状态空间表达式为：若系统是完全能观的，则必存在非奇异线性变换将系统变换为能观标准形o变换矩阵为：13能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第13页!例4.14解：1）判断能观性能观性矩阵：

试判断如下系统是否能观。如果能观，则变换成能观标准形。2）求变换矩阵

14能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第14页!4.4线性系统的能控标准形和能观标准形本节小结1、能控标准型、能观标准型的基本形式；2、牢固掌握将系统的传递函数或状态方程和输出方程转化为能控标准型、能观标准型的方法；（重点：变换矩阵）3、注意：只有能控能观的系统才可以化为能控标准型、能观标准型（即：在化能控标准型时需先判断系统是否能控，而在化能观标准型需先判断系统是否能观）。15能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第15页!x--能控能观--能控不能观--不能控能观--不能控不能观4.5线性系统的结构分解16能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第16页!则其中：--能控状态子向量--不能控状态子向量rn-rrn-r4.5线性系统的结构分解17能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第17页!4.5线性系统的结构分解关键：非奇异变换阵的构造n个列向量的求法如下：1）前

r个列向量是能控性判别矩阵中的r个线性无关的列；2）另外个列向量

，在确保

为非奇异的条件下任意选择。18能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第18页!4.5线性系统的结构分解注意！系统按能控性分解后：1）能控性不变；2）传递函数矩阵不变；且能控子系统的传递函数矩阵与原系统的传递函数矩阵相同（换言之，不完全能控系统中，传递函数矩阵只描述能控子系统的特性）。19能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第19页!例4.15、试对系统进行能控性分解。4.5线性系统的结构分解解：所以系统不能控。20能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第20页!1维不能控子系统：4.5线性系统的结构分解2维能控子系统：21能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第21页!练习：为了进一步理解在构造变换阵列时，第n-r个列向量是任意选取的（只需保证变换阵为非奇异的前提条件下）若对例4.15，选取请自行对系统进行能控性分解。4.5线性系统的结构分解22能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第22页!--能观子状态--不能观子状态4.5线性系统的结构分解-123能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第23页!u＋4.5线性系统的结构分解按能观性分解的系统分解结构图24能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第24页!例4.16、进行能观性分解。4.5线性系统的结构分解所以不能观。解：（1）判断能观测性25能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第25页!于是，，即经过4.5线性系统的结构分解26能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第26页!三、同时按能控性和能观性进行结构分解能控性分解定理+能观性分解定理=卡尔曼的典型分解定理，又称标准分解定理。

假设系统：不能控也不能观标准分解的步骤：

．进行能控性分解对能控子系统进行能观性分解4.5线性系统的结构分解27能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第27页!4.5线性系统的结构分解28能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第28页!能控能观：能控不能观：不能控能观：不能控不能观：4.5线性系统的结构分解29能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第29页!例4.17、试对该系统进行标准分解。30能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第30页!(A，b，c)进行能控性分解(,,)取31能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第31页!能控子系统：不能控子系统：显然32能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第32页!33能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第33页!4.6能控性、能观性

与传递函数矩阵的关系能控性、能观性----描述系统的内部特性传递函数------描述系统的外部特性问题：两者关系如何？换言之，基于传递函数的能控、能观性条件是怎样的？34能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第34页!能观不能控！传递函数相同的不同状态空间模型带来显著的能控、能观性的差异！4.6能控性、能观性与传递函数矩阵的关系2）35能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第35页!设单输入单输出系统4.6能控性、能观性与传递函数矩阵的关系定理1：单变量系统能控又能观的充要条件是G(s)中没有零极点相消现象。

36能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第36页!验证能控性：设不能控，则一定存在零极点对消。4.6能控性、能观性与传递函数矩阵的关系37能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第37页!一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控又能观的那一部分子系统。一个系统的传递函数若有零极点对消现象，则视状态变量的选择不同，系统或是不能控的或是不能观的或是不能控亦不能观的。两个推论

4.6能控性、能观性与传递函数矩阵的关系38能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第38页!能观型：不能控39能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第39页!定理2：对多输入多输出系统传递函数矩阵

如果在传递矩阵G(s)中没有零极点相消，则该系统是能控且能观测的。（注意：仅为充分条件，非必要）4.6能控性、能观性与传递函数矩阵的关系40能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第40页!第四章线性控制系统的能控性和能观测性本章总结1、在明确能观、能控的定义基础上；掌握各能控型判据和能观性判据。注意条件限制，并根据题意灵活应用2、输出能控的含义，掌握输出能控判据及应用；3、明确将系统的传函或状态方程和输出方程转化为能控标准型、能观标准型的必要性；牢固掌握将系统的传函或状态方程和输出方程转化为能控标准型、能观标准型的方法；（注意：只有能控能观的系统才可以化为能控标准型、能观标准型）

41能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第41页!4.3对偶原理1、对偶系统的传递函数矩阵互为转置。2、互为对偶的系统，其特征值相同。

42能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第42页!例如：能观标准形---显然能观的能控标准形——显然能控的4.3对偶原理43能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第43页!能观标准形是指在一组基底下，将能观性矩阵中的A和C表现为能观的标准形式。能控标准形是指在一组基底下，将能控性矩阵中的A和B表现为能控的标准形式。4.4线性系统的能控标准形和能观标准形44能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第44页!4.4线性系统的能控标准形和能观标准形一、能控标准形

如果一个系统的状态空间表达式为：

能控标准形则，该系统一定完全能控。45能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第45页!4.4线性系统的能控标准形和能观标准形若系统是完全能控的，则必定存在非奇异线性变换或使其变换成能控标准形：设系统的状态空间表达式为：46能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第46页!4.4线性系统的能控标准形和能观标准形且线性变换矩阵：其中：证明：(由推得)47能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第47页!4.4线性系统的能控标准形和能观标准形48能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第48页!4.4线性系统的能控标准形和能观标准形（2）计算非奇异变化矩阵

49能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第49页!4.4线性系统的能控标准形和能观标准形二、系统的能观测标准形

则系统必定完全能观测。如果一个系统的状态空间表达式为：

能观标准形50能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第50页!4.4线性系统的能控标准形和能观标准形能观标准型非能观标准型51能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第51页!52能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第52页!4.5线性系统的结构分解系统中只要有一个状态变量不能控，则称系统不能控；不能控系统一般含有能控和不能控两种状态变量。只要有一个状态变量不能观，则称系统不能观；不能观测系统一般也有能观和不能观两种状态变量。把系统能控或能观部分同不能控或不能观部分区分开来，将有利于更深入了解系统的内部结构。因此，从能控性、能观性角度出发：状态变量可分成：能控能观状态变量、能控不能观状态变量、不能控能观状态变量、不能控不能观状态变量四类。采用系统坐标变换的方法对状态空间进行分解，由相应状态变量作坐标轴构成的子空间也分成四类，并把系统也相应分成四类子系统，这些统称为系统的结构分解。53能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第53页!一、按系统的能控性分解

设线性定常系统为其能控性判别矩阵，系统不能控。

存在非奇异变换矩阵，对系统进行状态变换4.5线性系统的结构分解r个线性无关列向量任意n-r个列向量54能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第54页!将变换后的动态方程按前r维和后n-r维展开，则有:4.5线性系统的结构分解其中，r维能控子系统:n-r维不能控子系统:55能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第55页!u4.5线性系统的结构分解y按能控性分解的系统分解结构图56能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第56页!由前面知识，已知，分解后的能控子系统：能控子系统的传递函数矩阵4.5线性系统的结构分解57能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第57页!若选取4.5线性系统的结构分解则通过58能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第58页!4.5线性系统的结构分解能控子系统：不能控子系统:59能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第59页!二、按系统的能观性分解设系统的状态空间表达式为假设对系统的能观性矩阵有（n为状态向量维数），则系统不完全能观。

4.5线性系统的结构分解那么，必然可引入非奇异线性变换：则60能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第60页!则4.5线性系统的结构分解将变换后的动态方程按前L维和后n-L维展开，L维能观子系统：n-L维不能观子系统：61能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第61页!4.5线性系统的结构分解关键：非奇异变换阵的构造n个行向量的求法如下：1）前

L个行向量是能观性判别矩阵中的L个线性无关的行向量；2）另外个行向量

，在确保

为非奇异的条件下任意选择。中L个线性无关的行向量

任意n-L个行向量62能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第62页!（2）构造非奇异变换阵取在保证非奇异的条件下，任取，有：4.5线性系统的结构分解63能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第63页!不能观子系统：4.5线性系统的结构分解能观子系统：64能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第64页!．不能控子系统，能观性分解4.5线性系统的结构分解65能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第65页!4.5线性系统的结构分解66能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第66页!4.5线性系统的结构分解系统的传递函数矩阵仅仅决定于能控能观子系统。即，传递函数矩阵是对系统结构的不完全描述。67能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第67页!系统不能控且不能观。由：解:68能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第68页!取则：69能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第69页!只需对能控子系统进行能观性分解：

取70能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第70页!标准分解:71能控性和能观测性-2讲共79页，您现在浏览的是第71页!例：如下所示的两个状态空间模型能控不能观！4.6能控性、能观性与传递函数矩阵