单自由度系统的振动

飞行器结构动力学

第2章单自由度系统的振动

单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第1页!第2章单自由度系统的振动2.1单自由度系统的自由振动2.2单自由度系统的强迫振动2.3单自由度系统的工程应用单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第2页!第2章单自由度系统的振动2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第3页!弹性元件最典型的例子是弹簧，通常假定弹簧为无质量元件。如图2-1(a)所示，弹簧力Fs

与其相对变形x2-x1的典型函数关系如下图2-1（b）所示。

构成离散模型的元素有三个，弹性元件、阻尼元件和惯性元件。

构成离散模型的元素

弹性元件图2-1弹簧模型2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第4页!阻尼元件通常称为阻尼器，一般也假设为无质量。

常见的阻尼模型三种形式:图2-2阻尼模型

阻尼元件由物体在粘性流体中运动时受到的阻力所致的粘滞阻尼。由相邻构件间发生相对运动所致的干摩擦（库仑）阻尼。由材料变形时材料内部各平面间产生相对滑移或滑动引起内摩擦所致的滞后阻尼。粘滞阻尼是一种最常见的阻尼模型。2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第5页!

惯性元件就是离散系统的质量元件，惯性力Fm与质量元件的加速度成正比，如图2-3所示，比例系数就是质量m。m的单位为千克（kg）。

图2-3质量模型

惯性元件2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第6页!串联时弹簧的等效刚度2.1单自由度系统的自由振动在图2-4（b）所示的串联情况下，可以得到如下关系将x0消掉，可得（2-6）（2-5）（2-4）（2-3）如果有n个弹簧串联时，可以证明有以下结论单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第7页!（2-8）

由于，

方程（2-7）变为:

（2-8）式是一个二阶常系数常微分方程。常数m

，c，k是描述系统的系统参数。方程（2-8）的求解在振动理论中是十分重要的。

用F(t)表示作用于系统上的外力，用x(t)表示质量m

相对于平衡位置的位移，可得:（2-7）

2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第8页!若引入（2-11）可得:蒋(2-11)代入(2-10)可导得:（2-12）（2-13）

A和φ也是积分常数，同样由x(0)和决定。方程（2-13）表明系统以为ωn频率的简谐振动，这样的系统又称为简谐振荡器。（2-13）式描述的是最简单的一类振动。

2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第9页!（2-16）下面给出用初始条件表示的积分常数A和φ的表达式。引入符号，，利用方程（2-10）不难证明简谐振子对初始条件x0和v0的响应为比较方程（2-11）和（2-16），并利用（2-12）式的关系，可以导出振幅A与相角φ有如下形式

积分常数A和φ的表达式2.1单自由度系统的自由振动（2-17）单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第10页!（a）分析:本例运动方程的建立过程要比弹簧质量系统复杂一些，运用理论力学中平面运动的理论，可建立系统的运动方程。

设壳体倾斜角为θ（如图2-6），设c为壳体与粗糙表面的接触点，在无滑动的情况下，壳体瞬时在绕c点作转动。对c点取矩，可得系统的运动微分方程。

解：2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第11页!（b）（c）壳体对C点的转动惯量为:

其中，dw是给定角φ位置的微元体重量，ρ是壳体单位面积的质量。

2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第12页!（2-18b）（2-19）(2-20)2.1.3有阻尼自由振动

有阻尼自由振动方程:

其中，称为粘性阻尼因子。设（2-18b）式的解有如下形式:将（2-19）代入（2-18b）中，可得代数方程

有阻尼自由振动方程

2.1单自由度系统的自由振动（2-18a）

写成:

单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第13页!（2-20）式的根s1

、s2作为阻尼因子ζ的函数在复平面上描绘出一条曲线，图中可直观地了解参数ζ对系统运动行为的影响，或者说对系统响应的影响。

参数ζ对系统响应的影响。(2-20)2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第14页!

将特征方程的根（2-21）代入（2-19）式，可得系统的通解

:（2-22）（2-19）（2-21）

系统的通解2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第15页!这也代表一指数衰减的响应，ζ=1的情况称为临界阻尼。在特殊情况ζ=1,方程（2-20）有一个重根，s1=s2=－ωn，不难证明在这种情况下，系统有如下形式的解:（2-23）

由表达式可见当ζ=1时，临界粘性阻尼

临界阻尼（ζ=1）

临界阻尼是ζ

＞1和ζ

＜1的一个分界点，应该注意到，ζ=1时，系统的运动趋近于平衡位置的速度是最大的。

ζ=1也是系统振动与非振动运动的临界点。2.1单自由度系统的自由振动（2-20）单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第16页!其中，，通常称为有阻尼自由振动频率。由于

:（2-25）

0

＜ζ

＜

1时，解（2-22）可改写成如下形式：

（2-24）

小阻尼（0

＜ζ

＜

1）2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第17页!小阻尼情况的典型响应曲线如图2-10所示，曲线为响应曲线的包络线。很明显，当t→∞，x(t)→0，因此响应最终趋于消失。图2-100

＜ζ

＜

1时x(t)曲线2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第18页!对于，从（2-23）式中容易导出和，所以此时的响应为:（e）

对于，在（2-27）式中用初始条件得，幅值则与初始速度有关，，因此（2-27）简化为

:（f）

表达式（d）、（e）、（f）分别对应于大阻尼、临界阻尼和小阻尼的情况，其图形分别见图2-8～2-10。图中将、、作为参数，给出了响应随这些参数的变化规律。

2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第19页!由（2-27）式，可得（2-28）（2-27）由于，是有阻尼振动的周期，所以（2-29）这样（2-28）式可化为:2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第20页!对于微小阻尼情况，（2-31）式可近似为（2-32）值得注意的是，可以通过测量相隔任意周期的两对应点的位移，来确定。设、为、对应的时间，为整数，则（2-33）由（2-33）可导得（2-34）2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第21页!2.1.5弹簧的等效质量在图2-12中，设弹簧具有质量，其单位长度的质量为，那么弹簧的质量对系统的振动有多大影响呢？下面就来讨论这个问题。图2-12弹簧等效质量系统示意图设质量的位移用表示，弹簧的长度为，那么距左端为的质量为的微单元的位移则可假设为，设为常数。2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第22页!可得（2-38）此处称为等效质量。可见弹簧的质量将会使系统的自然频率降低到（2-39）（2-39）式表明弹簧将自身质量的三分之一贡献给系统的等效质量，当然，前提是假设弹簧按规律变形的。如果假设其他类型的变形模式，影响效果则有可能不同。2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第23页!2.2单自由度系统的强迫振动工程振动中一个很重要方面是分析系统对外部激励的响应，这种振动有别于上节的自由振动，称为强迫振动，这是本节要讨论的内容。

对于线性系统，根据叠加原理，可以分别求系统对于初始条件的响应和对于外部激励的响应，然后再合成为系统的总响应。单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第24页!（2-41）将（2-41）代入（2-40），两边同除以m有

（2-42）当A为零时，系统为齐次方程，其解就是系统的自由振动响应，自由振动响应随时间衰减，最后消失，所以自由振动响应也叫瞬态响应。式（2-42）的特解也就是强迫振动响应不会随时间衰减，所以称为稳态响应。2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第25页!（2-46）（2-47）将（2-46）、（2-47）代入（2-43）得到系统的稳态解。解（2-45）式可得

2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第26页!系统的稳态响应

（2-50）由上式可见，系统稳态响应x(t)与激振力f(t)成正比，且比例因子为（2-51）这称为复频响应.在复数表示情况下，系统响应和激励满足关系（2-49）2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第27页!图2-14简谐激励的响应图2-14给出了在不同阻尼比下与的关系曲线。

从图中可见，阻尼使系统的振幅值减小，也使峰值相对于的位置左移。2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第28页!值得注意的是，当ω=ωn时，（2-50）式所表示的解已不适用了，必须对系统（2-42）重新求解。

在微小阻尼情况下，如ζ＜0.05，︱H(ω)︱的极大值的位置几乎与ω/ωn=1相差无几，引入符号︱H(ω)︱max=Q，在微小阻尼情况下，有（2-55）

品质因子Q（2-42）

Q通常称为品质因子。2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第29页!从（2-59）式和图2-15可以看出:

对应于不同ζ值的所有曲线均在ω/ωn=1处通过共同点。对于ζ=0，随ω/ωn的变化曲线在ω/ωn=1处间断。从的φ=0跳到ω/ωn＞1时的φ=π。这可以通过ζ=0时的x(t)解来解释。

对于ω/ωn＜1情况随ω/ωn减小，相角趋于零。

对于ω/ωn＞1情况，随ω/ωn增大，相角趋于π。

图2-15简谐激励的相位即ω/ωn＜1时响应同相，ω/ωn＞1时响应反相。2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第30页!不难证明系统有如下特解（2-63）此式表明，解是一幅值随时间线性增加的振荡响应，这隐含了随着时间的增大，解将趋于无穷。因此在工程上讲，共振是很危险的状态，一定要避免。上式所描述的共振响应特性示于下图。图2-16简谐振子的共振响应有阻尼单自由度系统的总响应可由其自由响应与强迫响应叠加而成。

2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第31页!将简写成那么无量纲比可写为2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第32页!为了求解方便，将（2-73）式用复数形式表示（2-74）这里为复常数，由下式给定

由复数运算规律得,(2-74)式等效于下式其中

（2-75）2.2单自由度系统的强迫振动（2-76）（2-77）单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第33页!为的模，而（2-81）

由解的表达式（2-78）和（2-80）可看出，对于周期激励的响应也是周期的，且与有同样的周期。另外，当某个接近系统的自然频率时，系统的响应中此简谐分量将占主导地位，特别是当时，系统均发生共振，也就是说周期激励同样可以激起系统共振，只要某与重合。2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第34页!按单位脉冲函数的定义，在t=a时刻作用的一个任意幅值的脉冲力可表示为

（2-83）系统在零初始条件下，对于t=0时的单位脉冲力的响应，称为单位脉冲响应，并用h(t)表示。系统对于t=a时刻单位脉冲力的响应则相应为h(t–a)。

下面求解有阻尼单自由度系统对于脉冲力的响应，此时系统的方程为

（2-84）由于脉冲的作用时间ε极短，即ε→0，对方程（2-84）两边在区间ε积分，并设初始条件

（2-85）2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第35页!

(2-87)式可以理解为作用于时的脉冲力，使系统产生一瞬间的速度增量，这样就可以将这一脉冲作用等价为系统具有初速度。因此，系统的响应为

（2-88）单位脉冲响应可以由（2-88）式得到，令，则有

（2-89）2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第36页!（2-92）式称为卷积或杜哈美（Dugamel）积分，表示系统的响应为一系列脉冲响应的叠加。将（2-89）式代入（2-92）得

（2-93）这就是有阻尼单自由度系统对于任意激励的响应。注意，（2-93）未考虑系统的初始条件。根据卷积的性质，（2-92）可写为另一种形式

（2-94）2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第37页!（2-97）系统对于作用于时的单位阶跃力的响应称为单位阶跃响应，并用表示。将和代入卷积公式，可得单位阶跃响应（2-98）经积分可得

（2-99）此处的作用是使（2-99）式在时，。

系统响应的求法还有Fourier积分法，Laplace变换法，这里不做介绍。

2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第38页!2.1单自由度系统的自由振动正如章所述，振动系统可分为离散模型和连续模型两种不同的类型。离散模型具有有限个自由度，而连续模型则具有无限个自由度。系统的自由度定义为能完全描述系统运动所必须的独立的坐标个数。在离散模型中，最简单的是单自由度线性系统，它用一个二阶常系数常微分方程来描述。这类模型常用来作为较复杂系统的初步近似描述。第2章单自由度系统的振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第39页!当x2-x1比较小时，可以认为弹簧力与弹簧变形量成正比，比例系数为图中曲线的斜率k，如果弹簧工作于弹簧力与其相对变形成正比的范围内，则称弹簧为线性弹簧，常数称为弹簧常数k，或弹簧刚度。一般用k表示。单位为（N/m）。

图2-1弹簧模型2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第40页!在本书中，如无特别说明，所说的阻尼均指粘滞阻尼，其阻尼力Fd与阻尼器两端的相对速度成正比，如图2-2（b），比例系数c称为粘性阻尼系数，它的单位为牛顿-秒/米（N-s/m），阻尼器通常用c表示。图2-2阻尼模型2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第41页!

并联时弹簧的等效刚度在实际工程系统中，常常会有多个弹性元件以各种形式组合在一起的情况，其中最典型的是并联和串联两种形式，分别如图2-4（a）和2-4（b）所示。

图2-4弹簧的组合

弹性元件的组合2.1单自由度系统的自由振动（2-1）所以等效弹簧刚度为（2-2）单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第42页!2.1.1

单自由度系统的运动方程

图2-5单自由度模型单自由度弹簧-阻尼器-质量系统可由图2-5（a）表示，下面用牛顿定律来建立系统的运动方程。绘系统的分离体图如图2-5（b）。

运动微分方程2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第43页!ωn称为系统的无阻尼自然角频率。可以证明（2-9）式具有如下形式的通解:（2-9）（2-10）2.1.2无阻尼自由振动

本节首先讨论单自由度系统的自由振动。在自由振动情况下，F(t)恒等于零。在（2-8）式中令，F(t)=0

，c=0

则有:其中A1和A2为积分常数，由系统的初始条件决定，即由初始位移x(0)和初始速度决定。

运动方程2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第44页!在简谐振动中，完成一个完整的运动周期所需的时间定义为周期T

周期从物理概念上讲，T代表完成一个完整的振荡所需的时间，事实上T等于振动过程中相邻的两个完全相同的状态所对应的时间差，其单位为秒。

自然频率自然频率的单位为赫兹(HZ)。自然频率通常也用每秒的循环次数表示，其数学表达式为:2.1单自由度系统的自由振动（2-14）（2-15）单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第45页!例2-1

如图2-6

，一个半径为R的半圆形薄壳，在粗糙的表面上滚动，试推导此壳体在小幅运动下的运动微分方程，并证明此壳体的运动象简谐振子，计算振子的自然振动频率。

图2-6例2-1题图2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第46页!（b）其中，IC为绕点C的转动惯量，MC为重力作用下的恢复力矩。为方便起见，设壳体的长度为单位长度，由图2-6，对于给定的θ，对C点的恢复力矩MC有如下形式：（a）2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第47页!当壳体作小幅振动时，即θ很小时，引入近似表达式sinθ≈θ，cosθ≈1，并将（b）、（c）两式代入（a）中，得到:（d）（e）（f）整理可得:

（e）式表明，当θ很小时，系统运动的确象简谐振子，其自然频率为:

（a）2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第48页!(2-20)这就是系统的特征方程，它是s的二次方程，有两个解：

很明显，s1、s2的性质取决于阻尼因子ζ，其相互关系可以从s平面，即复平面上得到反映（如图2-7）。

（2-21）图2-7s1、s2的复平面表示2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第49页!

当ζ=0时，得到两个复根±iωn，此时系统就是简谐振子。

当0

＜ζ

＜

1时，为复共轭，在图中对称地位于实轴的两侧，并位于半径为ωn的圆上。

当ζ=1时，特征方程的根s1、s2为－ωn，落在实轴上。

当ζ＞1时，特征方程的根始终在实轴上,且随着ζ→∞，s1→0、s2

→∞（2-21）2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第50页!式（2-22），对应于ζ＞1的情况，此时系统的运动是非振荡的，并且随时间按指数规律衰减，x(t)的确切形状取决于A1和A2，也即取决于初始位移x0和初速度v0。ζ＞1的情况称为大阻尼或过阻尼。

大阻尼(ζ＞1)（2-22）2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第51页!图2-8

ζ＞1时x(t)曲线ζ

＞1、ζ=1时系统的自由振动如图2-8--图2-9。图2-9ζ=1时x(t)曲线2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第52页!方程（2-24）简化成（2-27）可见上式表示的运动为振动，频率为常值，相角为，而幅值为，以指数形式衰减。常数、由初始条件决定。称为小阻尼或欠阻尼情况。并设（2-26）2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第53页!

例2-2

对于图2-5所示的单自由度系统，计算系统分别在，和时，对于初始条件，的响应。

解:对于，用（2-22）式有，所以（a）因此,系统响应应有如下形式（b）因此，系统响应对（b）式求导，并代入初始条件可得（c）可得时，系统的响应（d）2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第54页!2.1.4对数衰减率如前所述，在小阻尼情况下粘性阻尼使振动按指数规律衰减，而指数本身又是阻尼因子的线性函数。下面来寻求通过衰减响应确定阻尼因子的途径。图2-11,0<ζ<1时x(t)的一般规律在图2-11中，设t1和t2表示两相邻周期中相距一个完整周期T的两对应点的时间。2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第55页!观察（2-29）式的指数关系，可以自然地引入以下关系式:（2-30）要确定系统的阻尼，可以测量两任意相邻周期的对应点x1和x2，计算对数衰减率（2-31）此处，δ称为对数衰减率。从而得到2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第56页!例2-3

实验观察到一有阻尼单自由度系统的振动幅值在5个完整的周期后衰减了50%，设系统阻尼为粘性阻尼，试计算系统的阻尼因子。

解:设，则由（2-31）、（2-32）式分别得到：2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第57页!（2-35）（2-36）根据能量守恒原理（2-37）则系统的动能和势能可分别表示为2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第58页!第2章单自由度系统的振动2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第59页!2.2.1

系统对于简谐激励的响应

对于图2-5所示的有阻尼单自由度系统，其运动方程为（2-40）首先考虑最简单的情况，即简谐激励情况，设F(t)有如下形式图2-5单自由度模型（2-41）

运动方程2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第60页!（2-43）将（2-43）代入方程（2-42），可得

（2-44）利用三角函数关系

并令（2-44）式中和项的系数相等可得（2-45）设系统（2-42）的稳态响应有如下形式

稳态响应2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第61页!典型的激励与响应关系曲线如图2-13所示。

将f(t)用复数形式表示:

图2-13简谐激励f(t)与响应x(t)曲线（2-48）

f(t)的这种表示只是一种数学上的处理，是为了求解方便，不言而喻地隐含着激振力仅由f(t)的实部表示，当然，响应也应由x(t)的实部表示。

2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第62页!

由（2-51）式，可见的模等于响应幅值和激励幅值的无量纲比，即

常称为幅值因子。

（2-53）2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第63页!（2-54）

当ζ=0时，在ω=ωn处︱H(ω)︱不连续。对（2-53）式求导，并令其等于零，可得到曲线峰值点对应的ω值

当ζ=0时，对应于无阻尼情况，此时系统的齐次微分方程就是简谐振子。

当驱动频率ω趋近于系统的自然频率ωn时，简谐振子的响应趋于无穷，这种状态称为共振，系统会发生剧烈振动。2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第64页!（2-59）相角表达式如上。可以通过傅里叶变换求得或直接将式（2-47）拿来。

相角φ2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的振动共74页，您现在浏览的是第65页!方程（2-61）也清楚地表明简谐振子在驱动频率ω趋近于自然频率ωn时，响应变为无穷大。下面讨论简谐振子的共振响应，此时系统的运动方程变为:（2-62）（2-61）

简谐振子的共