2019年高考数学考场高分技巧整理

n项和n项和S满足2S=2pa2+a—nnnnn+1a=2n2解析•a】=1,••2a】=2paf+a]—p,即2=2p+1—p,得p=1.于是2S=2a2+a—1.nnnTOC\o"1-5"\h\z当n三2时，有2S=2a2+a—1,两式相减，得2a=2a2—2a2+a—a,n－1n－1n－1nnn－1nn－1整理，得2(a+aJ・(a—a.—2)=0.nn－1nn－12又*.*a>0,•a~a.=2,于是｛a｝是等差数列，故a=1+(n—1)・*=—2—.－1222x14•已知fx)=x+log2u，则f(1)+f(2)+f(3)+-+f(8)的值为•x解析由于fx)=x+log29^x，9－xx所以f(9—x)=9—x+log2二=9-x-log29^x，于是有f(x)+f(9－x)=9.从而f(1)+f(8)=f(2)+f(7)=f(3)+f(6)=f(4)+f(5)=9.故原式值为9X4=36.15.在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC=5：6：8,那么此三角形最大角的余弦值是．1

解析由正弦定理得a:b：c=5：6：8,令a=5,b=6,c=8，则C是最大角，a2＋b2－c225＋36－64即cosC=2ab=60=16.已知最小正周期为2的函数y=f(x)，当x$[—1,1]时，fx)=x2,则方程f(x)=llog5xl的解的个数为.解析设g(x)=llog5xl,作出函数fx)与g(x)的图象，由图象知两个函数共有5个交点，即方程f(x)=llog5xl的解的个数为5个.第3讲解答题答题模板数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要内容．本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．模板1三角函数的单调性及求值问题n1例1已知函数fx)=cos2(x+12),g(x)=1+2sin2x.(1)设x=x°是函数y=fx)图象的一条对称轴，求g(x°)的值；⑵求函数h(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间.思维启迪n⑴由x=x°是y=f(x)的一条对称轴知fx。)是f(x)的最值，从而得2x0+g—kn(kGZ),“knn即xo=2"一12(keZ),⑵化简h(x)=fx)+g(x)为h(x)=Asin(ex+p)或h(x)=Acos(ex+p)的形式.(3)根据正弦或余弦函数求单调递增区间.规范解答示例1n解⑴由题设知fx)=2【1+cos(2x+6)].因为x=x0是函数y=fx)的图象的一条对称轴，

nn所以2x0+6=kn(kGZ),即2x0=kn—6(k$Z).11n所以g(x0)=l+2sin2x0=1+2sin(kn—6).当k为偶数时，g(x0)=1+2sin(—6)=1—4=4;12sin2x当k为奇数时，g(x°)=1+2sing=1+4=12sin2x(2)h(x)=fx)+g(x)=g1+cos(2x+6)]+1+1n|313.13=2〔cos(2x+6)+sin2x]+2=2^^cos2x+》sin2x)+^1.n1.n=2sin(2x+g)+32.nnn5nn当2kn—2<2x+3<2kn+2(keZ),即卩kn—巨WxWkn+巨(k^Z)时,1n3函数h(x)=jsin(2x+5)+2是增函数.故函数h(x)的单调递增区构建答题模板第一步：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(亦+p)+h的形式或y=Acos(亦+卩)+h的形式.1n11.n3如：fx)=2COS(2x+6)+2，h(x)=^sin(2x+3)+^.第二步：由三角函数值求角；由角求三角函数值.第三步：由sinx、cosx的单调性，将“亦+卩"看作一个整体，转化为解不等式问题.第四步：明确规范表述结论.第五步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.如本题中，由x0求g(x0)时，由于x0中含有变量k,应对k的奇偶进行讨论.模板2解析几何中的探索性问题例2已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点．若线段AB中点的横坐标是一2，求直线AB的方程；使MA-MB•为在x轴上是否存在点M,常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．思维启迪⑴设过C(-1,0)的直线方程y=k(x+1)，利用待定系数法求k.MA-MB(2)从假设存在点M(m,0)出发去求若能找到一个m值

MAMA-MB.为常数，即假设正确，否则不正确．规范解答示例解(1)依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x+l),将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2—5=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)>0,6k2x+x=—.I123k2+1为常数.(2)假设在x轴上存在点M(m,0),为常数.(i)当直线AB与x轴不垂直时，由(1)知x1+x2=所以6kx1+x2=所以3k2+1，x1X2=3k2+1-=(x1—m)(x2—m)+y1y2=(x1—m)(x2—m)+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x=(k2+1)x1x2+(k2—m)(x1+x2)+k2+m2.将③代入，整理得=(6m—2+；—5(1^,14I2m—3l(3k2+1)—2m—3=3k2+116m+143—3(3k2+1)-是与k无关的常数，从而有此时=m2+2m+m2+m2注意到6m+14=0,(ii)当直线AB与x轴垂直时，此时点A、B的坐标分别为当m=时，也有综上，在x轴上存在定点使\构建答题模板第一步：假设结论存在．第二步：以存在为条件，进行推理求解．第三步：明确规范表述结论．若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设．第四步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．如本题中第(1)问容易忽略A>0这一隐含条件.第(2)问易忽略直线AB与x轴垂直的情况.模板3由数列的前n项和Sn与通项an的关系求通项anTOC\o"1-5"\h\znnn例3已知数列｛a｝的各项均为正数，S为其前n项和，nn对于任意的n^N*，满足关系式2S=3a—3.nn(1)求数列｛an｝的通项公式；(2)设数列｛b｝的通项公式是b=1，前n项和为T,求证：对nn1。83你・1。83巳+1“于任意的正整数n,总有TV1.n思维启迪(1)求出数列｛an｝的递推关系，由递推关系求通项.(2)化简bn，裂项求和.规范解答示例⑴解①当n=1时，由2S=3a-3得，2a1=3a1—3,nn11••a】=3.②当n三2时，由2S=3a-3得，nn2S1=3a1-3.TOC\o"1-5"\h\zn-1n-1两式相减得：2（S—SJ=3a—3a［，即2a=3a—3a.，nn-1nn-1nnn-1a=3a［，又Va.=3^0，.•{a}是等比数列,•a=3n.nn—11nn验证：当n=1时，a,=3也适合a=3n.1n{a}的通项公式为a=3n.nn(2)证明…b=1=1n10g3an・10g3an+1蕊彳彳几嗨彳3^1111（n＋1）nnn＋1TOC\o"1-5"\h\z•T=b1+b2H——bn12n11111=（1—2）+（2-3）+・・・+（n-吊）=1-nrr<1.构建答题模板第一步：令n=1,由S=f(a)求出a1.TOC\o"1-5"\h\znn1第二步：令n±2,构造a=S-S1，用a代换S-nnn－1nnS](或用S-S1代换a,这要结合题目特点)，由递推关系求通项.-1-1第三步：验证当n=1时的结论适合当n±2时的结论.第四步：写出明确规范的答案.第五步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.本题的易错点，易忽略对n=1和n±2分两类进行讨论，同时忽视结论中对二者的合模板4函数的单调性、最值、极值问题3例4(2010.天津)已知函数fx)=ax3—2x2+1(x$R),其中a>0.(1)若a=1,求曲线y=fx)在点(2,f⑵)处的切线方程；

(2)若在区间［—g|］上,fx)>0恒成立，求a的取值范围．思维启迪(1)知解析式和切点求切线方程，先求斜率，用点斜式方程求切线方程．(2)根据导数求函数的参数.求导f求导函数的零点f确定导函数在区间中的正、负f确定函数中的参数范围.规范解答示例解(1)当a=l时，fx)=x3—2x2+1,f(2)=3f(x)=3x2—3x,f(2)=6,所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y—3=6(x—2)，即y=6x—9.(2)ff(x)=3ax2一3x=3x(ax—1).令f(x)=o,解得x=o或x=a.L4-当xe［—|当xe［—|,2〕时，fx)>0等价于'f(—!)>0,9即'5—a8>05+aI8>0.以下分两种情况讨论：①若0vaW2，则*三1.当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：x(-2,0)0(o,2)f(x)+0f(x)/极大值\解不等式组得一5vav5.因此0vaW2.②若a>2,则0<a<2.当x变化时，f(x),fx)的变化情况L4-厶如下表：x(-2,0)0(0,1a(a‘2)f(x)+0一0+fx)极大值极小值当x^[―2，2〕时，fx)>o等价于解不等式组得乎vav5或a<-耳.因此2vav5.综合①②，可知a取值范围为0vav5'5一a>0~^8~~1-1>02a2构建答题模板第一步：确定函数的定义域．如本题函数的定义域为R.第二步：求fx)的导数f(x).第三步：求方程f(x)=0的根.第四步：利用f(x)=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格.第五步：由f(x)在小开区间内的正、负值判断fx)在小开区间内的单调性.第六步：明确规范地表述结论.第七步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.如本题中f(x)=0的根为x.=0,x2=~.要确定x.,x2与区间端点值的大小，就必须对a进行分类讨论.这12a12就是本题的关键点和易错点.规律方法总结高考数学解答题虽然灵活多变，但所考查数学知识、方法，基本数学思想是不变的，题目形式的设置是相对稳定的，因而本讲结合高考的重点，热点介绍了“四大答题模板”，目的是给考生在考前一个回顾如何规范答题的辅助性材料．重点是思维过程、规范解答、反思回顾．结合着具体题型给出了答题程序．希望能够举一反三，对考生答题有所帮助.第4讲考前急训：答题规范在高考试卷的批阅中，很多学生因答题不规范而造成的丢分现象，是屡见不鲜的．要在高考中不丢分或少丢分，考生们必须从答题规范上下功夫．作为有着多年阅卷经验和教学经验的老师，从答题规范的角度，为考生答题的策略、答题中常见的问题与解决方法，进行评点，希望能对学生增分起到帮助．

概念、符号应用要规范例1x(2009・例1x(2009・北京)若函数fx尸]1、(3)x，，则不等式|f(x)l^1的解集为丙：x±0丙：丁：UQI]失分原因与防范措施分析失分的原因，可以归纳为以下几种情况：(1)概念不清，我们知道，分段函数要分段求，也就是要根据定义域分类讨论而分类讨论的结果取并集．(2)本题要求是求不等式的解集．解集必须用集合或是区间的形式表述．(3)符号运用不规范．集合表示不能漏掉代表元素．区间表示能合并的要合并防范措施：(1)要认真审题、找出分类标准，做到不漏解．(2)注意规范运用数学符号．正解"x<0解析(1)由f(x)l±3討占>1»3WxvO.x3⑵由f(x)l>⑵由f(x)l>g討ix>01[l(3)x|>3x>0nOWxWl.・•・不等式lfx)l>1的解集为{xl—3WxW1},・•・应填[—3,1].答案[－3,1]二、结论表示要规范例2直线l与椭圆芋+歹2=1交于P、Q两点，已知直线l的斜率为1，则弦PQ的中点的轨迹方程是

阅卷现场阅卷现场失分原因与防范措施本题失分的主要原因：结论表示时，忽视了曲线上点的坐标的取值范围.个别考生错把轨迹方程理解成了轨迹.防范措施：在解此类题目时，一定要注意方程中变量的范围.实质上就是轨迹与方程的纯粹性与完备性的检验.正解解析设M(x,y)解析设M(x,y)为PQ的中点，Pg,y1),Qg,y2),则--2122yy2^2^4£尹1,①-②得—4V2^-1・界i.PQx1－x2y1＋y242yx整理得x+4y=0,则M(x,—才).又丁点M在椭圆内，.••才+(—4)2<1，解得一^^<x<^・・••所求轨迹方程为x+4y=0(—^^<x<^).答案x+4y=0(-455<x<451)例3设A「a2是椭圆x2+y2=i的长轴的两个端点，p「p2是垂直于aa的弦的端点，则直线A1P1与A2P2的交点P的轨迹是.阅卷现场失分原因与防范措施失分原因：本题难度为中等，本题失分的原因主要是结论表示不准确．题目要求是：P的轨迹，而很多考生却答成了轨迹方程.防范措施：要注意求曲线的方程与求轨迹是不同的，若是求轨迹则不仅要求方程，

而且还要说明是什么图形、在何处，即图形的形状、位置、大小都要说清楚，求“轨迹”时首先求出“轨迹方程”，然后再说明对应的图形正解解析设交点为P（x，y），A1（－3,0），A2（3,0），P1（x0，y0），P2（x0，－y0）．TA],P1,P共线，①②_3y

y。①②_3y

y。—T，°°x—x0x+3.又A2，P2，P共线，y+y0_yx—x0x—39联立①②解得x0=x，代雋+沪1，化简得罟—y4・p点的轨迹是以（±叮!3,0）为焦点，6为实轴长的双曲线.答案以（±屈,0）为焦点，6为实轴长的双曲线三、书写格式要规范例4（2009・江苏）如图所示，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC~A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上,A"丄B&.求证：（1）EF〃平面ABC；（2）平面A1FD丄平面BB1C1C.阅卷现场阅卷现场"巧化c,<'、E/7/牛別磁,（2）0价丄平间AiBid'1、‘<AQ丄稠鍋CQ「'平初AiFD丄平呦E松CiC°失分原因与防范措施本题失分的原因：主要集中在部分考生对线面平行、线面垂直的判定方法掌握不好．逻辑思维混乱、书写不条理、格式不规范．本题首先要想到转化思想，就是将：线线平行O线面平行O面面平行；线线垂直o线面垂直o面面垂直的转化格式表达清楚.一般来讲，在书写时，用短行(竖式)书写比较好，比较容易找得分点．避免用长行书写，长行使得条件结论(因为，所以)不容易看清.第二，使结论成立的条件，不能漏写.比如在推论EF〃平面ABC时，很多同学缺少EFG平面ABC,就要扣1〜2分.同样，在证明直线垂直平面时，要写清直线垂直平面内的两条相交直线.防范措施：在平时学习中，一定要有证明线面位置关系的转化思想.在考试时，要把文字语言表述转化成符号语言表述.注意书写格式，养成良好的书写习惯.,正解证明(1)TE,F分别是A1B,A1C的中点，:.EF//BC,又TBCU平面ABC,EFG平面ABC,:EF/平面ABC.(2)TBB］丄平面A1B1C1，：・BB］丄A",又A1D±B1C,:A1D丄平面BB1C1C,又A1DU平面A1FD,:•平面A1FD丄平面BB1C1C.四、几何作图要规范例5已知正方形ABCD,E,F分别是AB,CD的中点，将AADE沿DE折起,如图所示．(1)证明：BF〃平面ADE；(2)若AACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论.BCA

cB证cB证H冃:U)'、'E、F分别为卫栅伴处血A^//FD,R肝眞D,_/乂歼0平屈AID,<'>歼//釉APt•p)殳“A在扌加址处上胡弟虧G彳碓耳丄,'、'歼丄CD,Af丄兌>,"D丄平L：'zAn从图嶷AB丄歼,J、AB丄牺咧,J、A准牺比处内的射黔在歼上.失分原因与防范措施失分原因：不能按照几何作图的法则作图，不能将平面图形规范地转换成空间图形．防范措施：要掌握直观图的画法法则，注意虚、实线的应用．特别是在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素相对位置和数量关系不变；位于两个不同平面内的元素、位置和数量关系要发生变化，充分发挥空间想象能力，在作图时，要体现出不变的位置和数量关系．如本题中，BE〃CD,在平面图形和空间图形都应该画成平行的.在平面图形中，BE=DF=FC,在空间图形中，仍然画成BE=DF=FC.由于没有抓住这些特征，空间图形画的不规范，影响了考生的思维，从而造成失分．⑴证明、：E、F分别为正方形ABCD的边AB、CD的中点，:.EB//FD，且EB=FD,・•・四边形EBFD为平行四边形.:.BF//ED.：EDU平面AED,而BFG平面AED,・BF/平面ADE.(2)解点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.过点A作AG垂直于平面BCDE，垂足为G，连结GC，GD，•••△ACD为正三角形，・・・AC=AD.・・・CG=GD.・・・G在CD的垂直平分线上，EF就是CD的垂直平分线,五、解题步骤要规范n例6已知向量a=（sin3,-2）与b=（1,cos0）互相垂直，其中3^（0,，）•（1）求sin3和cos3的值；⑵若sin（3—卩）=斗0,0＜卩＜2，求cos申的值.阅卷现场解：【）〉衣.万二-239O,引"。二23S&代入S///e-f二I,2JL"S衍&二一昔i童「、S|门&二「£j3S&二-弘&二一辔》3S&二—琴.（巧宓2—°）二」…少-0（»8SL?—3S[&—（&—