控制系统稳定性分析时域分析

控制系统仿真

-基于MATLAB语言主讲教师：张磊中国海洋大学工程学院2022/12/10控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第1页!控制系统仿真MATLAB基础基于MATLAB的控制系统仿真MATLAB的数学运算MATLAB的程序设计MATLAB的图形图像MATLAB的基本命令交互式仿真工具simulink系统的时域分析频域分析根轨迹分析使用MATLAB建模控制系统的校正与综合系统的时域分析控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第2页!时域分析法:从传递函数出发直接在时间域上研究自动控制系统性能的方法。实质上是研究系统在某典型输入信号下系统随时间变化的曲线，从而分析系统性能。优点：系统分析的结果直接、全面。缺点：分析过程计算量大，对高阶系统较难实现。§4控制系统的时域分析计算机仿真技术的发展MATLAB/Simulink的应用本次课程的主要内容1、控制系统的稳定性分析2、控制系统的时域分析3、MATLAB在时域分析中的综合应用(LTIViewer)1）直接判别法2）绘制零极点图判断3）绘制时域响应曲线判断1）阶越响应分析2）绘制MATLAB图形分析3）二阶系统响应分析控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第3页!对于给定的控制系统，判断系统的稳定性通常是很首要条件，也是分析研究系统的主要入手点。利用MATLAB进行控制系统稳定性判别的方法1.直接判别法判断系统的稳定性2.绘制零极点图判断系统的稳定性3.绘制时域响应曲线（单位阶跃、单位脉冲等）判断§4.1控制系统的稳定性分析稳定性：被控系统在初始偏差作用下，其过度过程随时间的推移衰减并趋于0，既要求系统时域响应的动态分量随时间的变化最终趋于0.单位负反馈系统稳定？不稳定？控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第4页!例1：已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，判断系统的稳定性。numo=[1]; %定义传递函数分子系数deno=[23154]; %定义传递函数分母系数[numc,denc]=cloop(numo,deno)%求闭环传递函数系数[z,p]=tf2zp(numc,denc) %将tf形式转换为zpk形式i=find(real(p)>0) %从p向量中查找实部大于0的数n=length(i) %计算变量i的长度赋值给nif(n>0) %如果n不为空disp(‘systemisunstable’); %显示系统不稳定else %如果n为空disp(‘systemisstable’); %显示系统稳定end§4.1控制系统的稳定性分析结果：numc=00001denc=23155z=-0.3900+0.5898i-0.3900-0.5898ip=-0.80910.2645+0.3132i0.2645-0.3132ii=23n=2systemisunstable控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第5页!1.2.绘制零极点图判断系统的稳定性pzmap(num,den)绘制连续系统的零点、极点图[z,p]=pzmap(sys)输出连续系统的零点、极点zplane(num,den)绘制离散系统的零点、极点图[hz,hp,ht]=zplane(z,p)输出离散系统的零点、极点例3：已知系统的开环传递函数如下，绘制系统的单位负反馈零极点图并判断系统的稳定性。§4.1控制系统的稳定性分析numk=[1]denk=[23154][num,den]=cloop(numk,denk)%单位负反馈cloop(num,den,-1)%[num,den]=feedback(numk,denk,1,1,-1)pzmap(num,den)

%注意输入为闭环函数的系数控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第6页!控制理论中，时域分析是对系统进行分析、评价的基本方法。既研究系统在某一典型的输入信号作用下，系统输出随时间变化的曲线，从而分析评价系统的性能。step(num,den,t)绘制单位阶跃响应曲线impulse(num,den,t)绘制单位脉冲响应曲线initial(num,den,t)绘制零输入的响应曲线lsim(num,den,u,t)绘制任意输入的响应曲线MATLAB中提供的时域响应函数（连续系统）MATLAB中提供的时域响应函数（离散系统）dstep,dimpulse,dinitial,dlsim1.3.绘制系统的响应曲线控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第7页!§4．控制系统的时域分析例4：绘制时间常数为T=0.5s,1s,2s时惯性环节的单位阶跃响应曲线族。惯性环节传递函数为：1.3.连续系统的响应函数—阶跃响应函数T=[0.5,1,2];holdon%绘制在同一个窗口中forT1=Tnum=[1];den=[T1,1];step(num,den)endlegend('T=0.5','T=1','T=2')holdoff控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第8页!a=x1x2x1-0.5572-0.6106x210b=u1x11x20c=x1x2y11.9695.04d=u1y10§4．控制系统的时域分析1.3.连续系统的响应函数—零输入响应函数initial(sys,x0,t)绘制零输入的响应曲线，即对无外部输入条件下的状态空间模型计算(零)初始状态应答。x0为(零)初始状态。initial(A,B,C,D,x0,t)例6：已知系统传递函数绘制零输入的响应曲线num=[1.96915.0395]den=[10.55720.6106][a,b,c,d]=tf2ss(num,den)sys=ss(a,b,c,d)x0=[1;0]initial(sys,x0)%initial(a,b,c,d,x0)控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第9页!使用simulink1.4.使用simulink实现时域响应分析例8：已知系统的单位负反馈传递函数如下，系统的输入信号为如图所示的锯齿波，其周期为4s。用两种方法求系统输出响应，并将输入和输出信号对比显示1）试编制MATLAB程序2）使用Simulink完成要求numg=[1,2];deng=[1,10,1][num,den]=cloop(numg,deng,-1)v1=[1:-0.025:0];v2=[0.975:-0.025:0];v=[v1,v2,v2]t1=[0:0.1:4];t2=[4.1:0.1:8];t3=[8.1:0.1:12];t=[t1,t2,t3]subplot(1,2,1);plot(t,v)subplot(1,2,2);lsim(num,den,v,t)控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第10页!§4．控制系统的时域分析2.1.连续系统的阶跃响应分析对于稳定的控制系统，其时域特性可以由暂态响应和稳态响应的性能指标来表征。1）暂态响应指标零初始状态下，通过系统单位阶跃响应的特征来定义。上升时间tr，峰值时间tp，最大超调量sigma，调整时间ts，最大偏差mp。最大超调量为：sigma=100%*（最大偏差mp-稳态值）/稳态值上升时间tr峰值时间tp最大偏差mp稳态值近似值yss控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第11页!§4．控制系统的时域分析使用例：clear;zeta=0.25;wn=2;num=[wn^2];den=[1,2*zeta*wn,wn^2];sys=tf(num,den)t=[0:0.01:10];[Y,T]=step(sys,t);[mp,tp,sigma,tr]=steppa(Y,T)例10：已知二阶系统的传递函数，求取阶跃响应性能指标设系统阻尼比和振荡角频率为：mp=1.4443%最大偏差tp=1.6200%峰值时间sigma=45.4111%最大超调量tr=0.9300%上升时间上升时间tr峰值时间tp最大偏差mp稳态值近似值yss控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第12页!§4．控制系统的时域分析2.2.图形法求时域响应性能指标例11：已知二阶系统的传递函数如下，试用图形法（游动鼠标法）求取特性指标。z=[]p=[-1+3*i,-1-3*i]k=3syszpk=zpk(z,p,k)>>Zero/pole/gain:3----------------(s^2+2s+10)step(syszpk)使用图形法控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第13页!不同系统阻尼比下的单位阶跃响应表达式如下：控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第14页!§4．控制系统的时域分析不同系统阻尼比取值下的单位阶跃响应曲线。无阻尼系统欠阻尼系统临界阻尼系统过阻尼系统控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第15页!§4．控制系统的时域分析例13：设系统振荡角频率为固定值：求不同系统阻尼比取值下的单位阶跃响应曲线。wn=1;zetas=[00.20.40.60.91.21.5];%定义所需num=wn*wn %定义分子系数t=linspace(0,20,200) %定义阶跃响应仿真时间holdon %图形绘制开关ONfori=1:length(zetas)den=conv([1,0],[1,2*wn*zetas(i)]) %对应分母系数sysc=tf(num,den) %封装系统sys=feedback(sysc,1) %求单位负反馈step(sys,t) %绘制响应曲线endgrid %绘制网格holdoff %图形绘制开关OFFgtext('z=0');gtext('z=0.2');gtext('z=0.4');gtext('z=0.6');gtext('z=0.9'); %使用鼠标放置文字注释gtext('z=1.2');

gtext('z=1.5');

响应曲线描绘控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第16页!§4．控制系统的时域分析例13：已知单位负反馈二阶系统开环传递函数，其中T为1时求不同k=(0.1,0.2,0.5,0.8,1,2.4)时的单位阶跃响应曲线。T=1;K=[0.10.20.50.812.4]; %定义参数K,Tnum=1; %定义分子系数den=conv([1,0],[T,1]); %定义分母系数t=linspace(0,20,200) %对应响应曲线描绘时间holdon %图形绘制开关ONfori=1:length(K) %针对K的个数循环sysc=tf(num*K(i),den) %封装系统sys=feedback(sysc,1) %求单位负反馈step(sys,t) %绘制阶跃响应曲线endgrid %绘制网格holdoff %图形绘制开关OFFgtext('k=0.1');gtext('k=0.2');gtext('k=0.5');gtext('k=0.8'); %使用鼠标放置文字注释gtext('k=1');

gtext('k=2.4');

控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第17页!§4．控制系统的时域分析3.MATLAB系统分析工具LTIViewer对线性定常系统进行仿真的图形工具，可以利用它很方便的求得系统的阶跃响应、脉冲响应曲线，并得到有关的性能指标。步骤：1.建立系统的数学模型2.在命令窗口中输入：ltiview3.在菜单中选中：import在工作空间或Mat-file中选择系统导入系统模型4.点击右键选择分析选项，操作功能丰富的菜单5.配置图形窗口，实现多图形窗口显示控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第18页!练习1：已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，绘制系统的单位负反馈零极点图并判断系统的稳定性。num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6]));可利用多项式乘法运算函数conv()处理，例：课堂练习-1练习2：计算以下系统的正弦波响应，已知正弦波的周期为4s，信号持续时间25s，表示采样周期0.1s。另外思考如何使用simulink实现仿真。控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第19页!判别方法（可以根据闭环极点在S或Z平面的位置来确定）利用MATLAB求出系统的闭环极点，1）连续系统：如果闭环极点都在S平面的左半平面则系统稳定，即要求所求得的闭环极点实部都小于零。2）离散系统：如果闭环极点都位于Z平面的单位圆内则系统是稳定的，即所求得的闭环极点（实部、虚部）的模小于1。1.1.直接判别法判断系统的稳定性§4.1控制系统的稳定性分析控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第20页!例2：已知离散系统的闭环传递函数如下，判断系统的稳定性。num=[21.561]; %定义传递函数分子系数den=[51.4-1.30.68]; %定义传递函数分母系数[z,p]=tf2zp(num,den) %将tf形式转换为zpk形式i=find(abs(p)>1) %从p向量中查找绝对值大于1的数ii=find(abs(p)<1) %从p向量中查找绝对值小于1的数n=length(i) %计算变量i的长度赋值给nif(n>0) %如果n不为空disp(‘systemisunstable’); %显示系统不稳定else %如果n为空disp(‘systemisstable’); %显示系统稳定end§4.1控制系统的稳定性分析结果：z=-0.3900+0.5898i-0.3900-0.5898ip=-0.80910.2645+0.3132i0.2645-0.3132ii=[]ii=123n=0systemisstable控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第21页!存在极点位于S平面右侧系统不稳定1.2.绘制零极点图判断系统的稳定性控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第22页!§4.2控制系统的时域分析1.3.连续系统的响应函数—阶跃响应函数step(num,den,iu,t)绘制阶跃响应曲线step(z,p,k,t);step(A,B,C,D,iu,t);step(sys,iu,t)其中，iu,t为可选项。t为选定仿真时间向量，一般由t=[0:step:end]等步长地产生。iu用来在多输入多输出时指明输入变量的序号。step(sys1,sys2,…,sysN)同时仿真多个系统。step(sys1,‘y:’,sys2,‘g--’)给出不同的曲线格式[y,x,t]=step(sys,t)不绘制曲线，仅通过函数返回值得到相应的相关数据。控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第23页!num=[1.96915.0395]den=[10.55720.6106]t=0:0.01:10subplot(1,2,1)impulse(num,den,t)gridu=sin(2.*t)subplot(1,2,2)lsim(num,den,u,t)grid§4．控制系统的时域分析1.3.连续系统的响应函数impulse(num,den,t)绘制单位脉冲响应曲线lsim(num,den,u,t)绘制任意输入的响应曲线例5：已知系统传递函数1）绘制单位脉冲响应曲线2）绘制输入为正弦信号时的响应曲线及相应的正弦信号注意：t=0:0.01:10;u=sin(2.*t)plot(t,u,‘r-’);grid为绘制的图形加上网格控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第24页!§4．控制系统的时域分析1.3.连续系统的响应函数—输入信号的产生及应用[u,t]=gensig(type,tau,Tf,Ts)信号产生函数type为产生信号的类型,sin正弦波,square方波,pulse脉冲序列tau为信号周期Tf信号持续时间Ts表示采样周期u为所产生的信号[u,t]=gensig('square',4,20,0.1)holdonlsim(num,den,u,t)plot(t,u,‘r-’)%将输入信号同时输出holdoff例7：绘制输入为方波信号时的响应曲线。信号周期为4s，信号持续时间20s，表示采样周期0.1s控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第25页!使用simulink例9：已知单位负反馈系统，其开环传递函数为G1和G2的串联，系统的输入信号为r(t)=sin(t)使用simulink求系统输出响应，并将输入和输出信号对比显示。控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第26页!§4．控制系统的时域分析例：暂态响应指标取得函数

[mp,tp,sigma,tr]=steppa(Y,T)输入：Y单位阶跃响应输出矢量，T与Y相对应的时间矢量。输出：最大偏差mp，峰值时间tp，最大超调量sigma，上升时间tr，调整时间ts。function[mp,tp,sigma,tr]=steppa(Y,T)[mp,tf]=max(Y)%求出Y向量中的最大值及其对应的位置tf

tp=T(tf)%信号的持续时间T中tf所对应的向量值（峰值时间）ct=length(T)%信号的持续时间T向量的长度yss=Y(ct)%时间最大值时所对应的值-〉稳态值近似sigma=100*(mp-yss)/yss%最大超调量fora=1:tf%最大值所对应的向量值ify(a)<yss&y(a+1)>yss%稳态值

tr=T(a)%求出相对应的起调(上升)时间break;%退出循环endend控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第27页!§4．控制系统的时域分析2.2.图形法求时域响应性能指标时域分析是对系统在输入下在时域内的暂态行为(响应)的分析，其系统特征指标如上升时间，峰值时间，最大超调量，调整时间等均能够从时域响应上反映出来。MATLAB/Simulink的应用使用函数绘制图形，编制程序得出相关特性指标直接在响应曲线上求取特性指标图形法(游动鼠标法)求取特性指标：1、准备系统，完成系统建模2、使用MATLAB响应函数绘制图形3、使用鼠标单击响应曲线上任意点，出现性能指标方框4、沿响应曲线移动鼠标查找所需的特征值注意：显示精度和实际数据之间的误差（通过编制函数和程序的形式求取，数据精确但较为繁琐）控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第28页!§4．控制系统的时域分析2.3.二阶系统分析二阶系统的单位阶跃响应随着系统阻尼比的不同，所得到的表达式也有所不同。通过合理的选择系统阻尼比，使系统达到满意的暂态性能，并具有良好的平稳性和快速性。无阻尼系统。输出为正弦曲线，呈等幅震荡状态。欠阻尼系统。输出曲线呈衰减震荡状态。临界阻尼系统。输出曲线无超调量，输出值小于1。过阻尼系统。输出曲线无超调量，缓慢上升。针对典型的二阶系统，其闭环传递函数为：控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第29页!§4．控制系统的时域分析例12：设系统阻尼比和振荡角频率为：求不同系统阻尼比取值下的单位阶跃响应曲线。wn=1;zetas=[00.414];t=0:0.1:18;y=[];%定义相关参数值forzeta=zetas %针对不同阻尼比完成循环ifzeta==0y1=1-cos(wn*t)elseif(zeta>0&zeta<1)wd=wn*sqrt(1-zeta^2);th=atan(sqrt(1-zeta^2)/zeta);y1=1-exp(-zeta*wn*t).*sin(wd*t+th)/sqrt(1-zeta^2);elseifzeta==1y1=1-(1+wn*t).*exp(-wn*t);elseifzeta>1s1=[-zeta+sqrt(zeta^2-1)]*wn;s2=[-zeta-sqrt(zeta^2-1)]*wn;y1=1-0.5*wn*(-exp(s1*t)/s1+exp(s2*t)/s2)/sqrt(zeta^2-1);endy=[y;y1]; %向数组中添加内容endplot(t,y)grid控制系统稳定性分析时域分析共35页，您现在浏览的是第30页!§4．控制系统的时域分析如果将系统阻尼比的取值固定，研究不同振荡角频率下的单位阶跃响应曲线。wns=[0.10.5125];zeta=0.707;t=0:0.1:18;y=[]; %定义参数fori=1:length(wns) %针对不同的频率完成循环