空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流

第3章理想不可压缩流体平面位流3．1理想不可压缩流体平面位流的基本方程3．2几种简单的二维位流3．2．1直匀流3．2．2点源3．2．3偶极子3．2．4点涡3．3一些简单的流动迭加举例3．3．1直匀流加点源3．3．2直匀流加偶极子3．3．3直匀流加偶极子加点涡3．4二维对称物体绕流的数值解空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第1页!3.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程

对于理想不可压缩流体，流动的基本方程是连续方程和欧拉运动方程组。在第二章中已给出这些方程的推导过程，本章应该讨论怎样求解这些方程。但是，要想得到这些偏微分方程的解，并非易事。因为实际飞行器的外形都比较复杂，要在满足这些复杂边界条件下求得基本方程的解，困难是相当大的。为了简化求解问题，本章首先介绍流体力学中一类简单的流动问题，理想不可压缩流体的无旋流动。这是早期流体力学发展的一种理想化近似模型，比求解真实粘性流动问题要容易的多。在粘性作用可忽略的区域，这种理想模型的解还是有相当的可信程度。

1、不可压缩理想流体无旋流动的基本方程空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第2页!初始条件和边界条件为在t=t0时刻，在物体的边界上在无穷远处

如果没有无旋流条件进一步简化上述方程，求解起来也是很困难的。这是因为方程中的对流项是非线性的，而且方程中的速度V和压强p相互偶合影响，需要一并求出。但是，对于无旋流动，问题的复杂性可进一步简化，特别是可将速度和压力分开求解。这是因为，对于无旋运动情况，流场的速度旋度为零，即存在速度势函数（位函数）为如果将上式代入不可压缩流体的连续方程中，得到3.1、平面不可压位流的基本方程空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第3页!由此可见，利用无旋流动和连续条件所得到的这个方程是大家熟知的二阶线性偏微分方程，拉普拉斯方程，这是一个纯运动学方程。如果对这个方程赋予适定的定解条件，就可以单独解出速度位函数，继而求出速度值。与压强p没有进行偶合求解，那么如何确定压强呢？在这种情况下，可将速度值作为已知量代入运动方程中，解出p值。实际求解并不是直接代入运动方程中，而是利用Bernoulli(或Lagrange)积分得到。对于理想不可压缩流体，在质量力有势条件下，对于无旋流动，运动方程的积分形式为对于定常流动，质量力只有重力，得到如果忽略质量力（在空气动力学中经常不考虑重力的作用）由此说明，只要把速度势函数解出，压强p可直接由Bernoulli方程得到。在这种情况下整个求解步骤概括为：3.1、平面不可压位流的基本方程空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第4页!2、速度势函数的性质（1）速度势函数沿着某一方向的偏导数等该方向的速度分量，速度势函数沿着流线方向增加。由此可得出，速度势函数允许相差任意常数，而不影响流体的运动。（2）速度势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。满足解的线性迭加原理。如果速度势函数满足拉普拉斯方程，则它们的线性组合也满足拉普拉斯方程。（3）速度势函数相等的点连成的线称为等势线，速度方向垂直于等势线。3.1、平面不可压位流的基本方程空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第5页!由此可见，下列线积分与路径无关存在的充分必要条件是这是不可压缩流体平面流动的连续方程。这样，下列微分一定是某个函数的全微分，即这个函数称为流函数。由此可见，对于不可压缩流体的平面流动，无论是理想流体还是粘性流体，无论是有涡流动还是无涡流动，均存在流函数。流函数的概念是1781年Lagrange首先引进的。流函数具有下列性质（1）流函数值可以差任意常数而不影响流动。（2）流函数值相等的点的连线是流线。即等流函数线的切线方向与速度矢量方向重合。3.1、平面不可压位流的基本方程空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第6页!（5）任意两条流线之间的流函数之差等于通过此两条流线之间的单宽流量q。4、平面势流流函数与速度势函数之间的关系及其流网的概念（1）理想不可压缩流体，平面势流流函数和速度势函数均满足拉普拉斯方程，且满足柯西-黎曼条件。（2）过同一点的等速度势函数线与等流函数线正交（等势线与流线正交）。等流函数线是流线，有3.1、平面不可压位流的基本方程空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第7页!3.1、平面不可压位流的基本方程流网不仅可以显示流速的分布情况，也可以反映速度的大小。如流线密的地方流速大，流线稀疏的地方流速小。如果相邻流线之间的流函数差为常数，等于单宽流量增量。即表示流速与网格间距成反比，因此流线的疏密程度反映了速度的大小。空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第8页!3.2、几种简单的二维位流1、直匀流直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为位函数为常用平行于x轴的直匀流，从左面远方流来，流速为。相应的流函数和势函数为

；空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第9页!3.2、几种简单的二维位流流函数的表达式是或位函数从的式子积分得到在极坐标系中，速度分量与流函数和势函数偏导数关系式为空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第10页!3.2、几种简单的二维位流

3、偶极子等强度的一个源和一个汇，放在x轴线上，源放在（-h，0）处，汇放在（0，0）处。从源出来的流量都进入汇。空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第11页!3.2、几种简单的二维位流

现在我们考虑一种极限情况，当h→0，但同时Q增大，使保持不变的极限情况。这时位函数变成空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第12页!3.2、几种简单的二维位流

流线也是一些圆，圆心都在y轴上，且都过源点O。两个分速的表达式是:合速度为空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第13页!3.2、几种简单的二维位流

如果偶极子位于（ξ，η），轴线和x轴成θ角，正向指向第三象限，则势函数和流函数分别为

空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第14页!3.2、几种简单的二维位流如果点涡的位置不在原点，而在（ξ，η），则点涡的位函数和流函数分别是沿任意形状的围线计算环量，值都是，只要这个围线把点涡包围在内，但不包含点涡在内的围线，其环量等于零。空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第15页!3.3、一些简单的迭加举例1、直匀流加点源在一个平行于x轴由左向右流去的直匀流里，加一个强度为Q的源，把坐标原点放在源所在的地方，迭加得到的位函数是两个分速是在x轴线上有一个合速为零的点，即驻点A。

空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第16页!3.3、一些简单的迭加举例流动的流函数是对于零流线是一条通过坐标原点的水平线。对于的流线方程为得到解为说明是通过驻点的一条水平流线。对于非水平流线，半径r空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第17页!3.3、一些简单的迭加举例

通常将压强表为无量纲的压强系数，其定义是当地静压减去来流静压再除以来流的动压头。不可压无粘流时沿这个半无限体的外表面，压强系数是

空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第18页!3.3、一些简单的迭加举例2、直匀流加偶极子（无环量的圆柱绕流）只有当正源和负源的总强度等于零时，物形才是封闭的。设直匀流平行于x轴，由左向右流。再把一个轴线指向负x的偶极子放在坐标原点处。这时，流动的位函数是流动是直匀流流过一个圆。圆的半径可以从驻点A的坐标定出来。令得到

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在圆周上，r=a，速度分量为相应的压强系数为空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第20页!3.3、一些简单的迭加举例

3、直匀流加偶极子加点涡（有环量的圆柱绕流）在直匀流加偶极子的流动之上，再在圆心处加一个强度为（–）的点涡（顺时针转为负）。这时的流函数和位函数为空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第21页!3.3、一些简单的迭加举例定出来在第三和第四象限内，前后驻点对y轴是对称的。这个角度离开π和0°的多少决定于环量对速度乘半径a之比值；比值越大，驻点越往下移。现在的流动图画，左右仍是对称的，但上下不对称了。于是计算y向合力时结果就不等于零。这个y向合力，可以按伯努利公式以速度来表示圆柱面上的压强，直接计算y向的压力，最后经积分去求得。另一种方法是，用动量定理来计算。以原点为中心，画一个半径为r1很大的控制面S，整个的控制面还包括圆的表面S1以及连接S和S1的两条割线。不过这两条割线上的压力和动量进出都对消了，不必管它。受力情况左右对称，不会有X合力。我们只计算Y方向合力就行了。彻体力略去不计；流动是定常的。

空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第22页!3.3、一些简单的迭加举例在上述表达式中，奇函数积分为零，只有偶函数积分。

对于单位时间动量的净流出量计算如下。空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第23页!3.3、一些简单的迭加举例

单位长度圆柱所受的总升力为只要是一个封闭物体，代表这个物体作用的正负源的强度总和必须等于零。这种正负源放在一起的情况，在远离物体的地方（我们可以取r1很大），其作用和一个偶极子是没有什么区别的。这就说明了物形对升力没有直接的关系，关键的问题在于必须有一个绕物体的环量存在。有了环量又有一个直匀流，便有一个升力。库塔-儒可夫斯基定理 一个封闭物体所受升力L等于来流的密度乘速度再乘以环量。升力的方向等沿着气流方向逆旋涡旋转90。空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第24页!3．4二维对称物体绕流的数值解把直匀流和分布的偶极子（或总强度为零的分布点源和点汇）叠加起来，所得到的组合流动为对称封闭物体绕流。设直匀流沿x轴正向流来，其速度为V∞，在x轴上x=a和x=b范围内，连续分布一系列的偶极子，单位长度内偶极子的强度设为m（偶极子密度）。这样组合的流函数为如果偶极子密度的分布形式已知，则离原点距离为ξ的小区间内由偶极子产生的流函数为总流函数为物体的外形可以用零流线来表示。改变不同的偶极子密度分布，可以获得不同形状的封闭物体，由流函数和速度以及速度与压强的关系确定流场中各点及物体表面的速度分布和压强分布。空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第25页!3．4二维对称物体绕流的数值解1、数值解法步骤首先，我们把偶极子分布区域分成等宽度的n段，设每段的宽度为△ξ，段数n可根据计算机容量及结果的准确度要求而确定。流场中某一定点P处的流函数为式中为第j段中点离原点的距离；为第j段内偶极子密度的平均值；表示第j段内偶极子的强度。空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第26页!3．4二维对称物体绕流的数值解展开上式，即

利用解一次方程组的各种计算方法，求解上面方程组，确定偶极子密度。一旦所给定物体外形的偶极子密度分布已经解得，则可以确定流场内任意点处的流函数。此后即可由流函数与速度的关系式及伯努利方程，确定流场内各点处的速度及压强值。

空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第27页!（1）根据纯运动学方程求出速度势函数和速度分量；（2）由Bernoulli方程确定流场中各点的压强。这使得速度和压强的求解过程分开进行，从而大大简化了问题的复杂性。综合起来，对于理想不可压缩流体无旋流动，控制方程及其初边界条件为初始条件边界条件为固壁面条件

自由面条件

无穷远处在流体力学中的边界条件多数属于第二类边界条件，及在边界上给定速度势函数的偏导数。3.1、平面不可压位流的基本方程空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第28页!（4）连接任意两点的速度曲线等于该两点的速度势函数之差。速度线积分与路径无关，仅决定于两点的位置。如果是封闭曲线，速度环量为零。3、流函数及其性质根据高等数学中，格林公式可知（平面问题的线积分与面积分的关系）如果令3.1、平面不可压位流的基本方程空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第29页!在流函数相等的线上，有上式即为平面流动的流线方程。（3）流函数在某一方向的偏导数顺时针旋转90度方向的速度分量。根据流函数这一性质，如果沿着流线取s，反时针旋转90度取n方向，则有（流函数增值方向沿速度方向反时针旋转90度方向）（4）理想不可压缩流体平面势流，流函数满足拉普拉斯方程。即3.1、平面不可压位流的基本方程空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第30页!另一方面，过该点的等势函数线方程为在同一点处，流线与等势线的斜率乘积为说明流线与等势线在同一点正交。（3）流网及其特征在理想不可压缩流体定常平面势流中，每一点均存在速度势函数和流函数值。这样在流场中，存在两族曲线，一族为流线，另一族为等势线，且彼此相互正交。把由这种正交曲线构成的网格叫做流网。在流网中，每一个网格的边长之比等于势函数和流函数的增值之比。如果网格正方形。3.1、平面不可压位流的基本方程空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第31页!5、理想不可压缩流体平面定常无旋流动数学问题的提法对于理想不可压缩平面定常无旋流动问题的数学提法共有三种。设给定一平面物体C，无穷远为直均流，在绕流物体不脱体的情况下，求这个绕流问题。（1）以速度势函数为未知函数的提法（2）以流函数为未知函数的提法（3）以复位势w(z)为未知函数提法需要求解满足一定定解条件的在C外区域内的解析函数。3.1、平面不可压位流的基本方程空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第32页!3.2、几种简单的二维位流2、点源源可以有正负。正源是从流场上某一点有一定的流量向四面八方流开去的一种流动。负源（又名汇）是一种与正源流向相反的向心流动。如果把源放在坐标原点上，那末这流动便只有υr，而没有。设半径为r处的流速是υr，那末这个源的总流量是流量是常数，故流速υr与半径成反比。空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第33页!3.2、几种简单的二维位流

如果源的位置不在坐标原点，而在A（ξ,η）处空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第34页!3.2、几种简单的二维位流

应用叠加原理，位函数和流函数如下其中表示流场点P分别与源和汇连线与x轴之间的夹角。

空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第35页!偶极子。等位线是一些圆心在x轴上的圆，且都过原点。流函数的式子，取h→0而Qh/2π=M保持不变的极限结果，是3.2、几种简单的二维位流

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要注意，偶极子是源汇无限靠近的极限情况，它是有轴线方向的，原来的源和汇放在哪条直线上，那条直线就是它的轴线。前面表示的偶极子是以x轴为轴线的，其正向为轴线上的流线方向，前面的偶极子是指向负x方向的。如果偶极子轴线和x轴成θ角，正向指向第三象限，则势函数为

相应的流函数为这个偶极子的正向指向第三象限。空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第37页!3.2、几种简单的二维位流

4、点涡点涡是位于原点的一个点涡的流动，流线是一些同心圆。流速只有，而没有。

式中的是个常数，称为点涡的强度，反时针方向为正。分速和离中心点的距离r成反比，指向是反时针方向的。其位函数和流函数分别为（等势线是射线，流线是圆）

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这种点涡其实应该看作是一根在z方向无限长的直涡线。涡本来是有旋流动，但像这样一根单独的涡线所产生的流场，除真正的涡心那一条线（在平面里就是一点）之外，其余的地方仍是无旋流动。当r→0时，速度趋近于无穷大，相应的压强也趋于负无限大，这是不现实的。按这个速度分布规律，速度在半径方向的变化率是当r很小之后，这个变化率极大，这时粘性力必然要起作用（粘性力与速度的法向变化率成正比）。结果，实际涡总是有一个核，核内流体的不是与r成反比，而是与r成正比。但核外的流速是与r成反比的，如图所示。核内是有旋流，核外是无旋流。这个核的尺寸究竟有多大？它是因流体的粘性大小及涡强大小而不同的。一般地说，这个尺寸不大，我们作外部流场的计算时，可以不管它，把它看作很微小就行了。这里要说明的一个事实是，涡对于外部流场是产生诱导速度的（即扰动），其值与至中心的距离成反比，但对它自己的核心是没有诱导速度的。3.2、几种简单的二维位流空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第39页!3.3、一些简单的迭加举例

令即得驻点xA坐标为空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第40页!3.3、一些简单的迭加举例如对于相应的半径r为全部流线谱中，经过驻点A的流线BAB′是一条特殊的流线，。它像一道围墙一样，把流场划分成为两部分。外面的是直匀流绕此围墙的流动，里面的是源流在此围墙限制之内的流动。流线是气流不可逾越的线。一个物体放在气流里，它的边界也是气流不可逾越的界线，气流只能与物体边界相切着流过去。所以，我们可以把外部流动看作是在直匀流中放了一个BAB′那样形状的物体所造成的流动。不过这个物体后面是不封口的，称半无限体。这个半无限体在+x无限远处，其宽度（y向尺寸）趋向一个渐近值D为空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第41页!3.3、一些简单的迭加举例

首先，A点是驻点，这一点的Cp一定等于+1。从驻点往后，Cp迅速下降，在距A不很远的地方，Cp降到零，该点流速已达远前方的来流速度。此后气流继沿物面加速，走了一段之后，流速达最大值，Cp达最小值。这一点称最大速度点，或最低压强点，过了最大速度点之后，气流开始减速，到无限远的右方，流速减到和远前方来流一样大。这是大多钝头物体低速流动的特点。头部附近形成一个低速高压区，随后速度迅速上升，压强急剧下降。空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第42页!3.3、一些简单的迭加举例a就是圆半径。这样位函数可以写成为流函数方程为ψ=0是一条特殊的流线。容易证明，该流线通过驻点的x轴线；另外还有是半径为a的圆。两个速度分量为空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第43页!3.3、一些简单的迭加举例

在圆周前后驻点，θ=0°，θ=π，压强系数等于1.0。从前驻点往后流，在θ=150°处流速加快到和来流的流速一样大了。以后继续加速，在θ=π/2处达最大速度，其值二倍于来流的速度，Cp是（–3.0）。过了最大速度点以后，气流减速，在θ=0°处降为零，这一点称为后驻点。这个流动不仅上下是对称的，而且左右也是对称的，物面上的压强分布也是对称的，结果哪个方向的合力也没有。不过实际流动左右是不对称的，由于实际流体是有粘性的缘故，气流过了最大速度点以后，不可能始终贴着物体流下去，不可能进行完全的减速，结果水平方向是有一个阻力的。达朗培尔疑题 达朗培尔（D’Alembert）18世纪法国著名数学家，他提出，在理想不可压流中，任何一个封闭物体的绕流，其阻力都是零。这个结论不符合事实。这个矛盾多少耽误了一点流体力学的发展，那时人们以为用无粘的位流去处理实际流动是没有什么价值的。空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流共51页，您现在浏览的是第44页!3.3、一些简单的迭加举例在极坐标下，两个分速度为r=a仍是一条流线。在这个圆上Vr=0，圆周速度为

驻点现在不在其位置可以从

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动量积分方程变为在r1的大