第一章-基本概念和定理-光信息教学课件

OpticalInformationProcessing光学信息处理授课教师：胡慧芳OpticalInformationProcessing1前沿光学信息处理是激光器问世后发展起来的一个研究新方向，现代信息处理技术中一个重要组成部分，在现代光学中占有很重要的地位。光是一种具有电磁波性质的物质。不同的光波对于不同的介质会表现出不同的传输性质。光通过不同的光学系统时，可以实现自由传输、成像、衍射、干涉、色散频率变换等功能。“信息”是通信科学中早就采用的术语，这个观点也适用于光学。如一幅图像实际上是一种二维空间的光强或光场分布，它可以看作携带着信息的光强或光场随空间变化的序列，称为光学信息。光学信息可以是一维、二维或三维的空间性的信息。前沿光学信息处理是激光器问世后发展起来的一个研究新方向2将通过光学系统的光波称为光学信号，光波通过系统的过程看作是系统对信号的处理。通过系统之前的光波称为输入信号或输入光波，通过系统后的光波称为输出信号或输出光波。作为电磁波，光学信号是随时间和空间而变化的，由于光波的时间频率极高，通常只能检测到它的时间平均效果。需要把对光学信号的研究转变为空间分布问题进行。对光学信号空间分布的研究，往往是通过对一个截平面内光学信号分布的研究为基础进行的，因此我们通常把光学信号表示为一个二维分布的空间信号。输入信号所在的平面称为输入面，输出信号所在的平面称为输出面。

将通过光学系统的光波称为光学信号，光波通过系统的过程看作是系3什么是光学信息处理？

用光学的方法实现对输入信息的各种变换或处理。它以全息术、光学传递函数和激光技术为基础。透镜的傅里叶变换效应是光学信息处理的理论核心。光学信息处理具有的特点：高度并行性大容量

小尺寸等。光学信息处理的概念光学信息：是指光的强度(或振幅)、相位、颜色(波长)和偏振态等。光学信息处理：基于光学频谱分析，利用傅里叶综合技术，通过空域或频域调制，借助空间滤波技术对光学信息进行处理的过程。什么是光学信息处理？4光学信息处理的研究对象：研究如何对各种光学信息进行综合性的处理。例如各种光学运算（加、减、乘、除、相关、卷积、微分、矩阵相乘、逻辑运算等）；光学信息的抽取、编码、存储、增强、去模糊、特征识别；各种光学变换（傅里叶变换、对数变换、梅林变换、拉普拉斯变换）等。有时光学信息处理也称为光学数据处理，它的发展远景是“光计算”。光学信息处理主要包括：

信息传递、信息存储和信号处理，而透镜的傅里叶变换效应则构成了光学信息处理的理论框架。光学信息处理的研究对象：5光学信息处理分类

按处理的性质可分为：线性处理；非线性处理线性处理：系统对多个输入之和的响应（即输出）等于各单独输入时的响应（输出）之和。在许多情况下，介质对光波产生的影响是线性的，如一个光学成像系统就是典型的线性系统。在相干光照明时，光学透镜所具有的傅里叶变换性质也是一种线性的性质。按所用光的相干性可分为：相干、非相干和部分相干处理。线性系统输入信号是若干输入光波的线性组合，系统对这个线性组合信号的总输出等于各光波单独输入的输出光波的线性组合，而且这个信号的线性组合与输入信号的组合形式完全相同，则这个系统满足线性叠加原理，称之为线性系统。

光学信息处理分类6平移不变系统输入信号产生了一个平移，系统在输入信号平移前后输出信号的唯一差别也只是产生平移，这样的系统叫平移不变系统。平移不变系统不改变输出信号的图形分布，只是平移前后的输出图形整体产生了一个平行的位置变化。线性平移不变系统

同时具有线性性质和平移不变性质的系统称为线性平移不变系统。特点：（1）由线性系统的叠加性质，可把复杂的输入信号看作是若干简单的基元输入信号的线性组合，每一个基元输入信号通过系统后都对应着一个子输出信号，总的输出信号是这些子输出信号的线性组合，而且组合的关系与基元输入信号的组合关系是完全相同的。

平移不变系统7（2）由系统的平移不变性质，若输入信号只是处于输入平面内不同位置的同一种形式的基元信号，那么输出信号也将只有一种形式的信号，而这些基元输入信号与对应的子输出信号之间存在一一对应的平移关系。常见的基元输入信号表达方式：冲激信号、单色平面波信号。

冲激信号代表处于不同位置的单色点光源；

单色平面波代表沿不同方向传播的平面波。数学表达式：二维冲激函数、二维复指数函数。这两种函数既能够表达信号的物理意义，又能够表达线性平移不变系统的传输特性，同时也是进行系统及信号分析、信号处理以及实际应用中的重要工具。（2）由系统的平移不变性质，若输入信号只是处于输入平面内不同8二维冲激函数和二维复指数函数是从两个不同的侧面来描述透镜与信号之间的关系，即以不同的角度和方式描述同一物理过程。输入光信号被看做不同位置二维冲激函数（点光源）的线性组合，线性组合的系数是对应位置处信号的值。以二维冲激函数作为基函数时，描述的是信号直观空间分布特性，称为空域分析法。沿不同方向传输的平面波代表着光学信号在该方向的空间频率，沿用光谱和频谱分析的习惯，把沿某一方向传输的单色平面波称为沿该方向的角谱。

以二维复指数函数作为基函数时，描述的是信号的频域分布特性，称为频域分析法。二维冲激函数和二维复指数函数是从两个不同的侧面来描述透镜与信9信号的空域分布和频域分布是对于同一个信号不同方式的描述，二者之间必然存在一定的联系，傅里叶分析就是建立这种联系的数学工具知道了光学信号的空域分布，就可以通过傅里叶分析得到它的频域分布。反之，知道了光学信号的频域分布，也可以通过傅里叶分析得到它的空域分布。

信号的空域分布和频域分布是对于同一个信号不同方式的描述，二者10光学信息处理技术发展过程

著名德国科学家阿贝(E.Abbe，1840~1905)，1873年提出了二次成像理论及其相应的实验，为光学信息处理打下了一定的理论基础，是空间滤波与光学信息处理的先导。

1935年，物理学家策尼克(F.Zernike,1888~1966)

发明了相衬显微镜，将相位分布转化为强度分布，成功地育接观察到微小的相位物体——细菌，用光学方法实现了图像处理，解决了由于染色而导致细菌大量死亡的问题。策尼克由此荣获了1953年度的诺贝尔物理学奖。

1946年，法国科学家杜费(P.M.Duffieux,1891~1979)把光学成像系统看作线性滤波器，采用傅里叶方法成功地分析了成像过程，发表了他的名著《傅

里叶变换及其在光学中的应用》。

光学信息处理技术发展过程著名德国科学家阿贝(E.Abbe11

艾里斯(P.Elias)

等人的经典论文《光学与通信理论》、《光学处理的傅里叶方法》以及奥尼尔(E.L.O’Neil)

的论文《光学中的空间滤波》相继发表，为光学信息处理提供了有力的数学工具，并为光学与通信科学的结合奠定了基础。

1963年，范德拉格特(A.VanderLugt)

提出了复数空间滤波的概念，使光学信息处理进入了一个广泛应用的新阶段。

20世纪80年代以后，随着高新技术的蓬勃兴起，光学信息处理技术发展很快。艾里斯(P.Elias)等人的经典论文《光学与通信12参考书籍《近代光学信息处理》宋菲君，北京大学出版社《光信息科学与技术应用》，郑光昭，电子工业大学出版社《信息光学》，苏显渝，科学出版社《光学信息技术及应用》，陈家璧等，高等教育出版社《傅立叶光学》，吕乃光，机械出版社参考书籍《近代光学信息处理》宋菲君，北京大学出版社13第一章傅里叶变换的数理基础1.1

常用的几种非初等函数在光学信号处理中，有一些广泛使用的描述信号和系统的常用数学函数，其中的一些函数还是非初等的特殊函数和特殊函数。基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数

初等函数：在自变量的定义域内，能用单一解析式对上述五种基本初等函数进行有限次数的四则运算和复合所构成的函数。

非初等函数:

在自变量的定义域中，不能用单一解析式表示的函数。在现代光学中，常用这些非初等函数和特殊函数来描述光场的分布。

第一章傅里叶变换的数理基础1.1常用的几种非初等函数141.1.1矩形函数（RectangleFunction）定义：宽度为a(

a>0),中心在x0的一维矩形函数为

用x代表时间变量时，用该函数描述照相机的快门，这时a表示曝光时间；用x代表空间变量时，用该函数描述空间域中无限大不透明屏上一个宽度为a的狭（单）缝的透过率。（1-1-1）a>01.1.1矩形函数（RectangleFunction15若令x0=0，有

这是以坐标原点为中心，宽度为a高为1的矩形

。当x0=0，a＝1时，有

这是一个偶函数。一维矩形函数常表示一维透光缝等，故也称为门函数（GatingFunction）。

（1-1-2）（1-1-2’）-a/2a/201rect(x/a)若令x0=0，有（1-1-2）（1-1-2’）-a/2a/16二维矩形函数为两个一维矩形函数的乘积其中a>0,b>0。该函数在xoy平面上以（x0，y0）为中心的a×b矩形区域内函数值为1，其他地方处处等于0。

（1-1-3）二维矩形函数为两个一维矩形函数的乘积（1-1-3）17令x0=0，y0=0，则表示xoy平面上以原点为中心的a×b矩形区域内函数值为l，其他地方处处等于0。二维矩形函数可用来描述无限大不透明屏上矩形孔的透过率（b图）。（a）（b）（1-1-4）令x0=0，y0=0，则表示xoy平面上以原点为中心的a18用二维矩形函数与某函数（或图像）相乘，可以截取出矩形孔范围内的函数值，其他位置处赋予零值。二维矩形函数与某函数相乘后，可限制该函数自变量的取值范围，起到截取函数的作用。

（a）I(x,y)

(b)

(c)

用二维矩形函数与某函数（或图像）相乘，可以截取出矩形孔范围内191.1.2sinc(x)函数定义：一维sinc

函数为：

该函数在原点处有最大值1,在处的值等于0;

原点两侧第一级零点之间的宽度(sinc函数的主瓣宽度）

为2a，且它的面积等于a。

（1-1-5）a>01.1.2sinc(x)函数（1-1-5）a>020二维sinc函数定义：二维sinc函数为：式中a>0,b>0

这是两个一维sinc函数的乘积，零点位置在，m，n均为正整数。一维sinc函数表示单缝的夫琅和费衍射的振幅分布；二维sinc函数可以表示矩孔的夫琅和费衍射的振幅分布，其平方表示衍射的光强分布图样。

（1-1-6）二维sinc函数的平方值分布图

（1-1-6）二维sinc函数的平方值分布图21rect(x)和sinc(x)函数关系：sinc(x)图形是矩形函数的傅里叶变换。

1.1.3

阶跃函数（StepFunction）定义：一维阶跃函数为：（1-1-7）rect(x)和sinc(x)函数关系：（1-1-7）22将一维阶跃函数与某函数相乘时（a>0）在x>0的部分，乘积等于该函数值；在x<0的部分，乘积恒等于0。一维阶跃函数的作用如同一个“开关”，可在某点“开启”或“关闭”另一个函数。习题：画出cos(2πx)step(x)和cos(x)rect(x/a)

的图形。二维阶跃函数定义为：

这里定义的二维阶跃函数在y方向上等于常数，而在x方向上等同于一维阶跃函数，相当于一维阶跃函数在y方向上延伸。（1-1-8）将一维阶跃函数与某函数相乘时（a>0）（1-1-8）23这种函数可用来描述光学直边(或刀口)的透过率二维阶跃函数图

二维阶跃函数图241.1.4

符号函数（SignumFunction）定义一维符号函数为（1-1-9）1.1.4符号函数（SignumFunction）（125符号函数与一维阶跃函数之间的关系：（式中令a=1）和阶跃函数的情况一样，宽度和面积的概念是没有意义的。a的正负仅仅决定函数的取向。sgn(x/a)与某函数相乘，可使被乘函数以某点为界，此点一侧的函数值极性发生翻转。在实际应用中，可用于某光学孔径的一半嵌有π位相板，与另一半的相位相反，描述此光学孔径的复振幅透过率。

或（1-1-10）符号函数与一维阶跃函数之间的关系：或（1-1-10）261.1.5三角函数(TriangleFunction)

定义一维三角形函数为：这是一个以原点为中心，底边长为2a，高度为1的等腰三角形令a=1

，则有（1-1-11）（1-1-11’）a>0

1.1.5三角函数(TriangleFunction27二维三角形函数定义为：其中a>0,b>0该函数可视为两个一维三角形函数的乘积

在光学成像中

二维三角形函数可用来表示一个光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数。

（1-1-12）中心在原点的二维三角函数二维三角形函数定义为：（1-1-12）中心在原点的二维三角函28三角函数也具有曲线下面积等于1的性质，即满足1.1.6高斯函数(GaussianFunction)

一维高斯函数定义为式中a>0称为高斯函数半径当时，函数值变为1/e。（1-1-13）三角函数也具有曲线下面积等于1的性质，即满足（1-1-13）29二维高斯函数定义为：式中，a>0,b>0函数曲线下的体积等于ab。（1-1-14）中心在原点的一维高斯函数

中心在原点的二维高斯函数

（1-1-14）中心在原点的一维高斯函数中心在原点的二维高30若a＝b＝l，则二维高斯函数可表示成：若用极坐标表示，则令，便有高斯函数的重要性质：①光滑函数，其各阶导数都是连续的。②傅里叶变换也是高斯函数。高斯函数常用来描述激光器发出的高斯光束，也用于光学信息处理中的“切趾术”。（1-1-15）（1-1-16）若a＝b＝l，则二维高斯函数可表示成：（1-1-15）（1-311.1.7

圆域函数(CircleFunction)在直角坐标系中：

在极坐标系中：定义圆域函数为

圆域函数可用来描述无限大不透明屏上圆孔的透过率。（1-1-17）1.1.7圆域函数(CircleFunction)（132练习：画出：Step((x-2)/-1);bsinc((x-x0)/a);sgn((x+1)/-1)的图形。解答：练习：画出：Step((x-2)/-1);331.1.8狄拉克δ函数（冲激函数）一、δ函数的定义定义1(积分表达式)

：该定义表明δ函数不是普通的函数，它不像普通函数那样全由数值对应关系确定。实际上，δ函数是一个广义函数，其属性完全由它在积分中的作用表现出来。从应用角度看，可以把δ函数与普通函数联系起来，用普通函数描述它的性质。

（1-1-18）1.1.8狄拉克δ函数（冲激函数）一、δ函数的34定义2(函数序列表达式)：若存在函数序列fN(x，y)，且满足条件：δ函数可以用一个函数序列fN(x，y)的极限来表示。fN(x，y)的具体形式可以是多种多样的。（1-1-19）则（1-1-20）定义2(函数序列表达式)：（1-1-19）则（1-1-2035几种表示δ函数的函数序列及其极限几种表示δ函数的函数序列及其极限36举例：分析表中前两种表示δ函数的函数序列函数序列。（1）分析函数序列当N

逐渐增大时的情况。利用矩形函数可将δ函数定义为:矩形脉冲序列

举例：分析表中前两种表示δ函数的函数序列函数序列。矩形脉冲序37（2）利用类似的方法分析函数序列：当N

逐渐增大时的情况。利用高斯函数可将δ函数定义为:同样，可得出δ函数的以下表达式：高斯脉冲序列

（2）利用类似的方法分析函数序列：高斯脉冲序列38可简单地用下图所示的一个箭头表示δ函数：

二维δ函数是一维δ函数的简单推广。（a）一维情形

（b）二维情形

可简单地用下图所示的一个箭头表示δ函数：（a）一维情形（39习题：试分别写出右图中所示图形的函数表达式习题：40二、δ函数的物理意义δ函数常用来描述脉冲状态这样一类物理现象：

时间变量的函数描写单位能量的瞬间电脉冲；空间变量的δ函数可以描写：单位质量的质点的质量密度，单位电量的点电荷的电荷密度，单位光通量的点光源的面发光度等。举例：考察平行光束通过透镜后会聚于焦点时的照度分布。二、δ函数的物理意义41设忽略透镜孔径的衍射观察屏P,可得到一个界限清晰的圆形亮斑。移动屏P向后焦面趋近，观察：亮斑直径越来越小，屏上的照度A(x，y)(单位面积所接收的光通量)越来越大。极限情况：屏与后焦面完全重合，点在焦点处的照度值为无限大

，在焦点以外为0。

用δ函数表示后焦面上的照度分布设忽略透镜孔径的衍射用δ函数表示后焦面上的照度分布42后焦面上的照度分布A(x，y)满足：若将通过透镜的光通量归一化，则后焦面上的照度分布可用δ(x，y)描述。对空间任一点P(ra)处的点光源发出的面发光度La(r)，当包围该点的封闭面无限缩小时，有：

（1-1-21）

（1-1-22）

Fa

—点光源发出的全部光通量

后焦面上的照度分布A(x，y)满足：（1-1-21）（1-43在光学中用δ(x-x0，y-y0)直接表示平面上(x0，y0)点的点光源；用δ(x-x0)表示x=x0处的一个线光源(或无限细的狭缝)三、δ函数的基本性质1．筛选特性(SiftingProperty)

若函数f（x,y）在（x0，y0）点连续，则有可把一切函数都分解成δ函数的线性组合，而每一个分解成的δ函数都产生它自己的脉冲响应。

（1-1-23）

在光学中（1-1-23）442．可分离变量(SeparaleVariable)在直角坐标系下，有

在极坐标系下，有式中r与r0分别是点(r,θ)和点(r0,θ0)的矢径（1-1-24）

（1-1-25）

（1-1-26）

2．可分离变量(SeparaleVariable)（1-145同时有3．与普通函数乘积的性质设函数f（x,y）在（x0，y0）点连续，则有推论：①f(x，y)δ(x，y)＝f(0，0)δ(x，y)（1-1-27）

（1-1-28）

同时有（1-1-27）（1-1-28）46②δ(x，y)δ(x-x0，y-y0)＝0(x0≠0，y0≠0)

③δ(x，y)δ(x，y)

无定义4、坐标缩放性质（Scaling）式中，a、b为任意实常数。推论：δ函数是偶函数。

（1-1-29）

（1-1-30）

（1-1-31）

（1-1-32）

②δ(x，y)δ(x-x0，y-y0)＝0(475、积分形式

式(1-1-33)表明：δ函数可以由等振幅的所有频率的正弦波(余弦函数)来合成。6、微分形式令，有（1-1-33）（1-1-35）（1-1-34）5、积分形式（1-1-33）（1-1-35）（1-1-3448式中，f(x)有界且在x=0处可微进一步，令，则对δ(x)函数的m阶导数有：（1-1-36）（1-1-37）（1-1-38）（1-1-40）（1-1-39）（1-1-41）式中，f(x)有界且在x=0处可微（1-1-36）（1-1491.1.9梳妆函数(CombFunctiou)

一维梳妆函数定义：二维梳妆函数定义：（1-1-42）

一维梳妆函图

（1-1-43）

二维梳妆函数图

1.1.9梳妆函数(CombFunctiou)一维梳50一维梳妆函数可用于描述光栅透过率。

二维梳妆函数可用于表示点源面阵、针孔面阵的透过率

。

梳状函数与普通函数的乘积：式中m，n取整数。利用梳状函数可对普通函数作等间隔抽样，只取出梳妆函数有值的位置处的函数值，所以它又可称为普通函数的抽样函数，在讨论图像的抽样理论时极为有用。

（1-1-44）

一维梳妆函数可用于描述光栅透过率。（1-1-44）51习题：习题：521.2傅里叶变换的基本概念傅里叶分析在光学信息处理中的作用主要体现在以下几个方面：通过傅里叶分析表示光学信号的空域分布与频域分布之间的关系。傅里叶分析在线性平移不变系统的输入信号、输出信号及系统之间建立了特别简单的关系。根据光学系统的傅里叶变换特点，采用实际的光学系统实现傅里叶分析，进一步通过空间滤波等方法，可以实现光学信号的分析处理。用傅里叶分析方法还可以对已经采集到的光学信号和图像等进行分析处理，以达到光学测量和改善图像质量等目的。

1.2傅里叶变换的基本概念傅里叶分析在光学信息处理中的作53在光学信号的数值处理中，可以把一些耗时的积分运算化为傅里叶变换形式，通过快速傅里叶变换算法实现简化和快速的运算。在光学信息处理中采用线性系统分析理论，不仅为认识同一物理现象提供了不同的分析方法，以及确定不同分析方法之间的关系，还使人们可以从新的角度理解物理现象，了解其中新的物理意义并产生更多的应用领域。

在光学信号的数值处理中，可以把一些耗时的积分运算化为傅里叶变541.2.1傅里叶级数及频谱的概念1、傅里叶级数设f（x）是周期为T的周期函数，满足狄里赫利条件：①f（x）在区间分段连续；②只存在有限个极值点；③只存在有限个第一类间断点；④绝对可积，即1.2.1傅里叶级数及频谱的概念55（1-2-1）（1-2-2）则f（x）可展开为傅里叶级数：其中傅里叶系数（1-2-1）（1-2-2）则f（x）可展开为傅里叶级数：56应用欧拉公式，得各项展开式由上，（1-2-1）式可改写为令（1-2-3）（1-2-4）（1-2-5）应用欧拉公式，得各项展开式（1-2-3）（1-2-4）（157则傅里叶级数可以表示为复指数函数的形式其中傅里叶系数周期T的倒数1/T称为函数f(x)的基频，表示为

Δµ=1/T则称µ=nΔµ=n/T为函数f(x)的谐频（简称频率）。（1-2-6）（1-2-7）则傅里叶级数可以表示为复指数函数的形式（1-2-6）（1-2582、频谱的概念一个周期变化的物理量既可以在空间域x中用f(x)来描述，也可以在空间频率域μ

中用来描述,二者是等效的。（1-2-6）中系数cn按频率μ的分布图形称为f(x)的频谱。cn一般是复函数，所以cn的模值|cn|随频率μ的分布图叫做f(x)的振幅频谱，而cn的辐角随频率μ的分布图叫做f(x)的位相频谱。由（1-2-7）式，有（1-2-8）2、频谱的概念（1-2-8）59锯齿波及其频率

频谱分析方法：将一个系统的输入函数f（x）展开成傅里叶级数，在频率域中分析各谐波的变化，最后综合出系统的输出函数的处理方法。

锯齿波及其频率频谱分析方法：将一个系统的输入函数f（x）展601.2.2

傅里叶变换一、一维傅里叶变换1、从傅里叶级数演变为傅里叶变换

将傅里叶系数代入（1-2-6）式，并利用基频和谐频的表达式，得若将方括弧中的积分表示为则有（1-2-9)（1-2-10)（1-2-11)1.2.2傅里叶变换一、一维傅里叶变换（1-2-9)（161或2、一维傅里叶变换的定义令T→∞，有Δμ=dμ→0，则式（1-2-12）中对参数n在（-∞，∞）区域的求和转变为对参数μ在（-∞，∞）区域的积分，周期函数的傅里叶级数转化为非周期函数的傅里叶变换，表示为式（1-2-13）称为f（x）的傅里叶变换,式（1-2-14)

称为F（μ）的傅里叶的逆变换。（1-2-13）（1-2-14）（1-2-12)或（1-2-13）（1-2-14）（1-2-12)62比较式（1-2-6）和（1-2-12），可知

F（μ）具有频谱密度的概念．非周期函数f（x）的频谱F（μ）具有连续分布的性质。

傅里叶变换和傅里叶逆变换可用运算符号表示如下（1-2-17）（1-2-16）（1-2-15）常用：f(x)

F(u)

表示变换对。

比较式（1-2-6）和（1-2-12），可知（1-2-1763３、傅里叶变换举例矩形函数的傅里叶变换。由矩形函数的定义：矩形函数及其频谱它的傅里叶变换为３、傅里叶变换举例矩形函数及其频谱它的傅里叶变换为64负指数函数的傅里叶变换。设解：负指数函数的傅里叶变换。设解：65二、二维傅里叶变换

1、直角坐标系中的二维傅里叶变换a)二维复函数f(x，y)的二维傅里叶变换定义：f(x，y)为的原函数，为f(x，y)的像函数。函数的逆傅里叶变换为

是复函数，可用其模和幅角表示：（1-2-18）（1-2-19）（1-2-20）二、二维傅里叶变换1、直角坐标系中的二维傅里叶变换（1-266为f(x，y)的傅里叶变换振幅谱（AmplitudeSpectrum）；为位相谱（PhaseSpectrum）；为f(x，y)的功率谱（PowerSpectrum）。b)二维复函数f(x，y)傅里叶变换的存在条件①函数f(x，y)必须对整个无限xoy平面绝对可积，即②函数f(x，y)必须在xoy平面上的每一个有限区域内局部连续，即仅存在有限个不连续点和有限个极大和极小点。③函数f（x，y）必须没有无穷大间断点。为f(x，y)的傅里叶变换振幅谱（Ampli672）可分离变量函数的二维傅里叶变换有一类二维函数具有可分离变量性质，即∵二维傅里叶变换核具有可分离变量性质∴f(x,y)的二维傅里叶变换可表示为两个一维傅里叶变换的乘积

二维可分离变量的傅里叶变换也是二维可分离变量函数。

（1-2-21）

（1-2-22）

2）可分离变量函数的二维傅里叶变换（1-2-21）（1-268二维傅里叶变换举例：设求其傅里叶变换。解：

二维傅里叶变换举例：69说明：①若函数f（x，y）存在间断点，则假定在该点附近函数值有限，且其左、右极限存在，分别记为f(x—0，y—0)和f（x+0，y+0)，并令：②从应用的角度看，可以认为傅里叶变换实际上总是存在的。③对一些不满足其傅里叶变换存在的充分条件的函数，可以借助函数序列极限概念或δ函数的性质得到这类函数的广义傅里叶变换。（1-2-23）说明：（1-2-23）70三、广义傅里叶变换1、广义傅里叶变换的定义设f(x)是一个不存在狭义傅里叶变换的函数，而gN(x)是一个存在狭义傅里叶变换的普通函数序列，即有f(x)是gN(x)在N→∞时的极限，即存在，则定义f(x)的广义傅里叶变换为广义傅里叶变换是极限意义下的普通傅里叶变换。（1-2-24）（1-2-25）（1-2-26）三、广义傅里叶变换1、广义傅里叶变换的定义（1-2-24）（712、一维广义傅里叶变换举例1）求符号函数sgn(x)的傅里叶变换

解：计算过程可分为3个步骤：选择适当的函数序列。例如取：由符号函数的定义，显然有：求：

2、一维广义傅里叶变换举例1）求符号函数sgn(x)的傅里叶72求：由上式取极限得：2)冲激函数(δ函数)的傅里叶变换解：选择适当的函数序列,如将δ(x)表示为高斯函数序列的极限，即第一章-基本概念和定理-光信息教学课件73显然有求：令，并利用积分公式：显然有74求：由上式取极限最后得到：的傅里叶变换为1。3)常数1的傅里叶逆变换是否为δ(x)?令则常数1的傅里叶逆变换是:得出求：由上式取极限最后得到：75类似可得即这是一个很重要的结果，解决了常数的傅里叶变换问题。4)sin(πx)和cos(πx)的傅里叶变换

类似可得76同理，可得在实际应用中所研究的信号，都是有限空间、有限时间的有限信号，在信号存在的区域之外，可以认为信号的值为零，因此实际问题中傅里叶变换的存在条件总是可以得到满足的。

今后涉及到的函数都存在相应的傅里叶变换，只是分狭义和广义傅里叶变换两类。同理，可得771.2.3傅里叶函数的基本性质1、线性性质设则有函数线性组合的傅里叶变换等于各函数傅里叶变换的线性组合。2、对称性设，若将函数F(x)作为傅里叶变换的输入，则有（1-2-27）1.2.3傅里叶函数的基本性质（1-2-27）78对称性的作用之一表现在：当已知时，可以不作积分，直接得出F(x)的傅里叶变换。3、迭次傅里叶变换设，对F(u)再作一次傅里叶变换，则有

对函数f（x）连续两次傅里叶变换，得到反射坐标系统的原函数。对函数f（x）连续做两次傅里叶变换，得到其倒立的像。（1-2-29）（1-2-28）对称性的作用之一表现在：（1-2-29）（1-2-28）794、坐标缩放性质（Scaling）

设,a为不等于零的实常数，

，则有原函数在空域坐标x中的收缩（或扩展），会引起其频谱函数在频域坐标u中的扩展（或收缩），以及整个频谱幅度的一个总体的变化。

5、平移和相移性质（Shift）

设，x0是不为零的实常数，则有原函数在空域中的平移，将导致频谱函数在频域中的一个线性相移。原函数在空域中的相移会引起频谱函数在频域中的平移。

（1-2-31）（1-2-32）（1-2-30）

4、坐标缩放性质（Scaling）（1-2-31）（1-2806、面积对应关系设,则有f(x)曲线下面积等于F(0)，F(u)的曲线下面积等于f(0)。

7、复共轭函数的傅里叶变换设,则有（1-2-33）（1-2-34）6、面积对应关系（1-2-33）（1-2-34）818、傅里叶变换对的实、复、奇、偶关系设,且f（x）和F（µ）均为复函数，一般可表示为:f（x）的傅里叶变换为当f（x）为偶函数时，由于是μ的偶函数，F（μ）是偶函数（1-2-35）8、傅里叶变换对的实、复、奇、偶关系（1-2-35）82当f（x）为奇函数时，由于是µ的奇函数，所以F（µ）是奇函数。当f（x）为奇函数时，由于831.3卷积和相关1.3.1卷积(Convo1ution)

一、卷积概念的引入1.3卷积和相关1.3.1卷积(Convo1utio84根据单缝夫琅和费衍射的强度公式，位于x0＝0处的一小段光源I0(0)Δx0，通过系统后的像强度分布ΔIi(xi)为：式中，f为会聚透镜L1，L2的焦距。位于x0处的一小段光源I0(x0)Δx0通过系统后的像强度分布ΔI

i

(xi，x0)为式中。（1-3-1）

（1-3-2）

根据单缝夫琅和费衍射的强度公式，位于x0＝0处的一（1-3-85在近轴条件下，位于不同x0处的光源，除了I０(x０)Δx0可能不同外，通过系统后的像强度“分布形式”是一样的。若x0＝0处的单位强度的点光源对应的像强度分布为在x0处单位强度点光源对应的像强度分布为Ｐ(xi-x0),它只是Ｐ(xi)在xi方向上平移了x0

：像平面上某点xi处的总光强Ii(xi)应该是所有这些光强分布在该点所取值之和，Ii(xi)可表示成：

（1-3-3）

（1-3-4）

（1-3-5）

在近轴条件下，（1-3-3）（1-3-4）（1-3-5）86当时，遍取所有的x0值，则Ii(xi)可用积分式表示为：上式称为I０(x)对Ｐ(x)的卷积运算。二、卷积的定义两个复函数f(x)与h(x)的一维卷积定义为定义函数f(x，y)与h(x，y)的二维卷积为：（1-3-6）

（1-3-7）

（1-3-8）

当时，遍取所有的x0值，则Ii(xi87三、卷积的物理意义和几何意义物理意义：光学系统像平面上的光强分布是物的光强分布与单位强度点光源对应的像强度分布的卷积。卷积的几何意义

三、卷积的物理意义和几何意义88①置换变量：将f(x)和h(x)中的自变量x换成积分变量，见上图(a)、(b)；②折叠：将曲线绕纵轴转1800，构成对称于纵轴的“镜像”，见上图(c)；③位移：将曲线移动距离x(设向右移动时x>0)，得到，见上图(d)；④相乘：将位移后的函数乘以，得到；⑤积分：曲线下的面积即为对应于给定x值时的卷积，见上图(e)。卷积运算的两个效应：①展宽效应：卷积的非零值范围等于被卷积两函数的非零值范围之和。只要f(x)和h(x)的非零值范围有重叠，则二者的卷积就不为零。

①置换变量：将f(x)和h(x)中的自变量x换成积分变量，89②平滑化效应：设f(x)是一个变化很剧烈的函数，h(x)是宽度为a的矩形函数，则f(x)为某一线状光源的光强空间分布，rect(x/a)为宽度等于a的一个光电探测狭缝，狭缝在空间某一位置接收到的光强度，是光强分布函数在狭缝范围内的积分。若光电之间的转换是线性的，则由一定宽度的狭缝探测后所显示的光强分布，要比原来的光强分布平缓。

②平滑化效应：90举例：设

求函数f(x)和h(x)的卷积积分可在参量x的不同取值区间分段进行。举例：设91得到得到92四、卷积的运算性质

1）线性性设a，b为任意常数，则对于函数f(x，y)和h(x，y)，则有:同样有:2．复函数的卷积设f(x，y)和h(x，y)都是复函数，它们可表示为:

(1-3-10)(1-3-10’)四、卷积的运算性质1）线性性(1-3-10)(1-3-1093利用卷积的线性特性式中，复函数的卷积运算可以归结为实函数的卷积运算,复函数的卷积仍是复函数

。3．可分离变量直角坐标系下的两个可分离变量的二元函数，若

(1-3-11)利用卷积的线性特性(1-3-11)94则可分离变量二元函数的二维卷积也是可分离变量函数。4.交换性对于函数f(x，y)和h(x，y)，有在卷积运算中，取任何一个函数为扫描函数，卷积结果相同。(1-3-12)(1-3-13)则(1-3-12)(1-3-13)955.

结合性对于函数f(x，y)和h(x，y)，有：6．坐标缩放性质设，则有式中，a≠0，b≠0。当参与卷积的两个函数横向同时缩放a倍时，卷积函数g(x,y)横向缩放a倍，同时纵向缩放1/|a|倍。

(1-3-14)(1-3-15)5.结合性(1-3-14)(1-3-15)967．卷积位移不变性若，则参与卷积的两个函数f(x，y)和h(x，y)中任一函数在x，y方向分别平移x0，y0，其卷积所产生的函数图像的形状和大小不变，只是在x，y方向上同样分别平移了距离x0，y0。若是两个函数都发生了平移，卷积函数的平移量等于两个输入函数的平移量之和。8.函数g(x,y)与δ函数的卷积(1-3-16)(1-3-17)7．卷积位移不变性(1-3-16)(1-3-17)97任一函数f(x，y)和δ(x-x0，y-y0)卷积运算的结果，在数学上就是把该函数中的自变量x，y分别由δ函数的宗量(x-x0，y-y0)所代换。9、δ函数导数的卷积设函数f(x,y)有界，且其k，l阶导数分别存在，于是有(1-3-18)任一函数f(x，y)和δ(x-x0，y-y0)卷积运算的结果98例1设有两函数，分别为：试求它们的卷积：。解：五、卷积运算举例例1设有两函数，分别为：五、卷积运算举例99第一章-基本概念和定理-光信息教学课件100所求二函数的卷积为：2.求下面二函数的卷积。(1-3-19)所求二函数的卷积为：(1-3-19)1012、求下面二函数的卷积。解：由卷积定义式和矩形函数表达式，有其中经翻转并平移x后，有(1-3-20)(1-3-21)2、求下面二函数的卷积。(1-3-20)(1-3-21)102最后结果：3、求下面二函数的卷积(1-3-22)最后结果：(1-3-22)103解：由卷积定义式和梳状函数表达式，有解：由卷积定义式和梳状函数表达式，有104§1.3.2相关(correlation)相关既是一个由含参变量的无穷积分定义的函数,又代表一种运算。它与傅里叶变换有密切的联系,在光学图像特征识别中具有重要的应用。一、互相关(Crossorrelation)函数的定义两个复函数f(x,y)和h(x,y)的互相关定义为：式中，*号表示函数的复共轭，号表示相关运算。令，可得另一种定义形式：

(1-3-24)(1-3-25)§1.3.2相关(correlation)相关既是一个由含105互相关是两个信号间存在多少相似性或关联性的量度。

在相关运算中，函数f(x,y)应取复共轭，但图形不需要翻转，而位移、相乘和积分三个过程与卷积是共通的。二、互相关的运算性质①互相关与卷积的联系当f(x,y)是实偶函数时，有：②互相关运算不满足交换律但有（1-3-26）

（1-3-27）

（1-3-28）

（1-3-26’）

互相关是两个信号间存在多少相似性或关联性的量度。（1-3-106三、自相关（Autocorrelation）的定义令h(x,y)

=f(x,y)自相关是两个相同函数图像重叠程度的量度。自相关有一极大峰值，称为自相关峰(AutocorrelationPeak)。四、自相关函数的性质①自相关函数具有厄米特对称性（1-3-29）

（1-3-30）

三、自相关（Autocorrelation）的定义（1-3-107当f(x，y)是实函数时，其自相关函数是实偶函数

②自相关函数的模在原点处有最大值

例1：

解：（1-3-31）

（1-3-32）

当f(x，y)是实函数时，其自相关函数是实偶函数（1-3-108计算有:计算结果表达成：

计算有:109例2.试计算，并与例1作比较。得：

例2.试计算110例3.试计算

例3.试计算1111.3.3有限功率函数的相关有一类函数（称为有限功率函数）满足下述极限：当两个复函数f(x,y)和h(x,y)都是有限功率函数时，它们的互相关定义为：有限功率函数f(x,y)的自相关定义为:(1-3-47)式适用于功率有限的信号，(1-3-29)式适用于能量有限的信号。（1-3-45）（1-3-46）（1-3-47）1.3.3有限功率函数的相关有一类函数（称为有限功率函112§1.4二维傅里叶变换的基本定理一、帕色渥定理(ParsevalTheorem)（能量定理）设，且积分和都存在，则：信号在空域中的能量与其在频域中的能量相等。物理意义：这是能量守恒的体现，故上式又称为能量守恒定理或能量积分定理。

二、卷积定理(Convo1utionTheorem)设,则有：

（1-4-1）（1-4-2）（1-4-3）§1.4二维傅里叶变换的基本定理一、帕色渥定理(Par113两个函数卷积的傅里叶变换等于二函数各自傅里叶变换的乘积；两个函数乘积的傅里叶变换等于此二函数各自傅里叶变换的卷积。卷积定理是傅里叶光学中最重要的定理之一。三、互相关定理(CrossCorrelationTheorem)

为函数f(x,y)和g(x,y)互功率密谱(MutualPowerSpectrum)。两个函数的互相关函数与它们的互功率谱构成博里叶变换对。f(x,y)和g(x,y)为实函数，乘积的大小还表示两个函数之间的相似程度。

（1-4-5）（1-4-6）两个函数卷积的傅里叶变换等于二函数各自傅里叶变换的乘积；两个114四、自相关定理(AutocorrelationTheorem)信号的自相关函数与其功率谱函数之间存在博里叶变换关系.

函数表示信号f(x,y)沿不同方向传输的能量于总能量的比例，称为f(x,y)的功率谱。五、微分变换定理(DifferentialtransformTheorem)

设，，则有：（1-4-8）（1-4-7）（1-4-9）（1-4-10）四、自相关定理(AutocorrelationTheore115六、积分变换定理(IntegraltransformThoorem)

七、矩定理(MomentTheorem)

函数f(x,y)的k+l阶矩定义为下列积分：F(u,υ)在原点附近的性态，包含了关于函数f(x,y)的各阶矩的信息。八、抽样定理(1)抽样定理的表述（1-4-11）（1-4-12）六、积分变换定理(IntegraltransformTh116一维抽样定理的表述：如果信号g(x)在频域内不为零的分量限制在某一区域内，或g(x)的频谱G(u)具有有限大小的截止频率uc，则称g(x)为带限函数。对g(x)作等间隔抽样，设抽样间隔为

，当满足≤1/2uc时，可以从样本函gs(x)的频谱Gs(u)中，结合适当的滤波器函数，绝对准确地复原原来的连续函数g(x)。1/称为抽样频率，2uc表示带限函数的频带宽度。对应于=1/2uc时的抽样频率称为奈奎斯特频率。(2)抽样定理的证明证明：应用梳状函数的乘法性质，可将抽样函数表示为:(1-4-16)一维抽样定理的表述：(1-4-16)117抽样函数由等距排列的δ函数阵列组成

抽样函数的频谱为:

抽样函数

gs(x)的频谱Gs(u)是由连续函数的频谱G(u)按周期排列组成的图形。(1-4-17)

抽样函数由等距排列的δ函数阵列组成(1-4-17)118若g(x)的空间宽度为X，则绝对准确地复原原来连续函数g(x)的最少抽样点数为：

M＝X/=2uc·XM—一维限带函数的空间带宽积推广：若g(x,y)的空间宽度为X、Y，其频谱G(u,υ)的频带宽度为2u·2υ，绝对准确地复原原来连续函数g(x,y)的最少抽样点数为:M·N＝4uc·υc·X·YM·N—二维限带函数的空间带宽积若某函数的频谱G(u,υ)也是带限函数，该抽样理论也适用于频域的抽样。若g(x)的空间宽度为X，则绝对准确地复原原来连续函数g(x119(3)原函数的恢复取宽度为u0的门函数作为带通滤波器

滤波器的输出函数为：对上式作傅里叶逆变换：若带通滤波器的宽度满足：则

（1-4-18）

（1-4-19）

（1-4-20）

（1-4-21）

(3)原函数的恢复（1-4-18）（1-4-19）（1-120g'(x)在某点x的函数值应是一系列sinc函数对这点贡献量的线性叠加。sinc函数称为插值函数。插值函数的项数趋近于无穷大时，可以以任意精度复原原函数。

g'(x)在某点x的函数值应是一系列sinc函数对这点贡献量121OpticalInformationProcessing光学信息处理授课教师：胡慧芳OpticalInformationProcessing122前沿光学信息处理是激光器问世后发展起来的一个研究新方向，现代信息处理技术中一个重要组成部分，在现代光学中占有很重要的地位。光是一种具有电磁波性质的物质。不同的光波对于不同的介质会表现出不同的传输性质。光通过不同的光学系统时，可以实现自由传输、成像、衍射、干涉、色散频率变换等功能。“信息”是通信科学中早就采用的术语，这个观点也适用于光学。如一幅图像实际上是一种二维空间的光强或光场分布，它可以看作携带着信息的光强或光场随空间变化的序列，称为光学信息。光学信息可以是一维、二维或三维的空间性的信息。前沿光学信息处理是激光器问世后发展起来的一个研究新方向123将通过光学系统的光波称为光学信号，光波通过系统的过程看作是系统对信号的处理。通过系统之前的光波称为输入信号或输入光波，通过系统后的光波称为输出信号或输出光波。作为电磁波，光学信号是随时间和空间而变化的，由于光波的时间频率极高，通常只能检测到它的时间平均效果。需要把对光学信号的研究转变为空间分布问题进行。对光学信号空间分布的研究，往往是通过对一个截平面内光学信号分布的研究为基础进行的，因此我们通常把光学信号表示为一个二维分布的空间信号。输入信号所在的平面称为输入面，输出信号所在的平面称为输出面。

将通过光学系统的光波称为光学信号，光波通过系统的过程看作是系124什么是光学信息处理？

用光学的方法实现对输入信息的各种变换或处理。它以全息术、光学传递函数和激光技术为基础。透镜的傅里叶变换效应是光学信息处理的理论核心。光学信息处理具有的特点：高度并行性大容量

小尺寸等。光学信息处理的概念光学信息：是指光的强度(或振幅)、相位、颜色(波长)和偏振态等。光学信息处理：基于光学频谱分析，利用傅里叶综合技术，通过空域或频域调制，借助空间滤波技术对光学信息进行处理的过程。什么是光学信息处理？125光学信息处理的研究对象：研究如何对各种光学信息进行综合性的处理。例如各种光学运算（加、减、乘、除、相关、卷积、微分、矩阵相乘、逻辑运算等）；光学信息的抽取、编码、存储、增强、去模糊、特征识别；各种光学变换（傅里叶变换、对数变换、梅林变换、拉普拉斯变换）等。有时光学信息处理也称为光学数据处理，它的发展远景是“光计算”。光学信息处理主要包括：

信息传递、信息存储和信号处理，而透镜的傅里叶变换效应则构成了光学信息处理的理论框架。光学信息处理的研究对象：126光学信息处理分类

按处理的性质可分为：线性处理；非线性处理线性处理：系统对多个输入之和的响应（即输出）等于各单独输入时的响应（输出）之和。在许多情况下，介质对光波产生的影响是线性的，如一个光学成像系统就是典型的线性系统。在相干光照明时，光学透镜所具有的傅里叶变换性质也是一种线性的性质。按所用光的相干性可分为：相干、非相干和部分相干处理。线性系统输入信号是若干输入光波的线性组合，系统对这个线性组合信号的总输出等于各光波单独输入的输出光波的线性组合，而且这个信号的线性组合与输入信号的组合形式完全相同，则这个系统满足线性叠加原理，称之为线性系统。

光学信息处理分类127平移不变系统输入信号产生了一个平移，系统在输入信号平移前后输出信号的唯一差别也只是产生平移，这样的系统叫平移不变系统。平移不变系统不改变输出信号的图形分布，只是平移前后的输出图形整体产生了一个平行的位置变化。线性平移不变系统

同时具有线性性质和平移不变性质的系统称为线性平移不变系统。特点：（1）由线性系统的叠加性质，可把复杂的输入信号看作是若干简单的基元输入信号的线性组合，每一个基元输入信号通过系统后都对应着一个子输出信号，总的输出信号是这些子输出信号的线性组合，而且组合的关系与基元输入信号的组合关系是完全相同的。

平移不变系统128（2）由系统的平移不变性质，若输入信号只是处于输入平面内不同位置的同一种形式的基元信号，那么输出信号也将只有一种形式的信号，而这些基元输入信号与对应的子输出信号之间存在一一对应的平移关系。常见的基元输入信号表达方式：冲激信号、单色平面波信号。

冲激信号代表处于不同位置的单色点光源；

单色平面波代表沿不同方向传播的平面波。数学表达式：二维冲激函数、二维复指数函数。这两种函数既能够表达信号的物理意义，又能够表达线性平移不变系统的传输特性，同时也是进行系统及信号分析、信号处理以及实际应用中的重要工具。（2）由系统的平移不变性质，若输入信号只是处于输入平面内不同129二维冲激函数和二维复指数函数是从两个不同的侧面来描述透镜与信号之间的关系，即以不同的角度和方式描述同一物理过程。输入光信号被看做不同位置二维冲激函数（点光源）的线性组合，线性组合的系数是对应位置处信号的值。以二维冲激函数作为基函数时，描述的是信号直观空间分布特性，称为空域分析法。沿不同方向传输的平面波代表着光学信号在该方向的空间频率，沿用光谱和频谱分析的习惯，把沿某一方向传输的单色平面波称为沿该方向的角谱。

以二维复指数函数作为基函数时，描述的是信号的频域分布特性，称为频域分析法。二维冲激函数和二维复指数函数是从两个不同的侧面来描述透镜与信130信号的空域分布和频域分布是对于同一个信号不同方式的描述，二者之间必然存在一定的联系，傅里叶分析就是建立这种联系的数学工具知道了光学信号的空域分布，就可以通过傅里叶分析得到它的频域分布。反之，知道了光学信号的频域分布，也可以通过傅里叶分析得到它的空域分布。

信号的空域分布和频域分布是对于同一个信号不同方式的描述，二者131光学信息处理技术发展过程

著名德国科学家阿贝(E.Abbe，1840~1905)，1873年提出了二次成像理论及其相应的实验，为光学信息处理打下了一定的理论基础，是空间滤波与光学信息处理的先导。

1935年，物理学家策尼克(F.Zernike,1888~1966)

发明了相衬显微镜，将相位分布转化为强度分布，成功地育接观察到微小的相位物体——细菌，用光学方法实现了图像处理，解决了由于染色而导致细菌大量死亡的问题。策尼克由此荣获了1953年度的诺贝尔物理学奖。

1946年，法国科学家杜费(P.M.Duffieux,1891~1979)把光学成像系统看作线性滤波器，采用傅里叶方法成功地分析了成像过程，发表了他的名著《傅

里叶变换及其在光学中的应用》。

光学信息处理技术发展过程著名德国科学家阿贝(E.Abbe132

艾里斯(P.Elias)

等人的经典论文《光学与通信理论》、《光学处理的傅里叶方法》以及奥尼尔(E.L.O’Neil)

的论文《光学中的空间滤波》相继发表，为光学信息处理提供了有力的数学工具，并为光学与通信科学的结合奠定了基础。

1963年，范德拉格特(A.VanderLugt)

提出了复数空间滤波的概念，使光学信息处理进入了一个广泛应用的新阶段。

20世纪80年代以后，随着高新技术的蓬勃兴起，光学信息处理技术发展很快。艾里斯(P.Elias)等人的经典论文《光学与通信133参考书籍《近代光学信息处理》宋菲君，北京大学出版社《光信息科学与技术应用》，郑光昭，电子工业大学出版社《信息光学》，苏显渝，科学出版社《光学信息技术及应用》，陈家璧等，高等教育出版社《傅立叶光学》，吕乃光，机械出版社参考书籍《近代光学信息处理》宋菲君，北京大学出版社134第一章傅里叶变换的数理基础1.1

常用的几种非初等函数在光学信号处理中，有一些广泛使用的描述信号和系统的常用数学函数，其中的一些函数还是非初等的特殊函数和特殊函数。基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数

初等函数：在自变量的定义域内，能用单一解析式对上述五种基本初等函数进行有限次数的四则运算和复合所构成的函数。

非初等函数:

在自变量的定义域中，不能用单一解析式表示的函数。在现代光学中，常用这些非初等函数和特殊函数来描述光场的分布。

第一章傅里叶变换的数理基础1.1常用的几种非初等函数1351.1.1矩形函数（RectangleFunction）定义：宽度为a(

a>0),中心在x0的一维矩形函数为

用x代表时间变量时，用该函数描述照相机的快门，这时a表示曝光时间；用x代表空间变量时，用该函数描