初二数学等腰三角形10道典型题课件

本专题考察的知识点1.等腰三角形的性质与应用2.等边三角形的性质与应用3.含30°直角三角形的性质4.分类讨论的思想方法在等腰三角形中的应用本专题考察的知识点1.等腰三角形的性质与应用1例1.已知等腰三角形的一个角是70°,求其余两角．思路分析：已知等腰三角形的一个角是70°,那么这个70°的角可能为等腰三角形的底角或为等腰三角形的顶角；由三角形内角和定理易求出其余两角．70°、40°或55°、55°；例1.已知等腰三角形的一个角是70°,求其余两角．思路分析2引申：

已知等腰三角形的一个角是110°，求其余两角．答案:其余两角为35°、35°．引申：已知等腰三角形的一个角是110°，求其余两角．答案:3归纳：等腰三角形的顶角可以是锐角、直角和钝角；底角只能是锐角．所以，看到等腰三角形中的一个角的度数时，要注意判断这个角可能是顶角还是底角，是否需要分类讨论．归纳：等腰三角形的顶角可以是锐角、直角和钝角；底角只能是锐4例2.如图：△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，若∠BDC=120°，求∠DBC的度数.思路分析：由BD平分∠ABC，易知∠1=∠2，则设∠1=∠2=x，由AB=AC可得∠C=∠1+∠2=2x,在△DBC中由三角形内角和定理可列出x的方程，求出x．例2.如图：△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于5初二数学等腰三角形10道典型题课件6例3.在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求∠A的度数.思路分析:由题设中的等边关系(AB=AC，BD=BC=AD),可以推出角的等量或倍数关系,在利用方程思想,可求出图中各角的度数.1例3.在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC7解：设∠1=x,∵BD=BC=AD,∴∠1=∠2,∠3=∠C,∵∠3=∠C=∠1+∠2=2x,∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x,在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°,即5x=180°,∴∠A=x=36°.解：设∠1=x,∵BD=BC=AD,8例4.证明：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等.提示：本题为文字命题，解题时应分为以下三个步骤：（1）根据题意作图；（2）写出已知，（3）进行求证．例4.证明：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等.提示：9初二数学等腰三角形10道典型题课件10初二数学等腰三角形10道典型题课件11例5.如图：在三角形ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D，求证：∠DBC=∠A．思路分析：由等腰三角形“三线合一”可联想到作底边的高，可推出1/2∠BAC=∠EAC,

由BD⊥AC，AE为高可知∠EAC和∠DBC都与∠C互余，推出∠DBC=∠EAC=1/2∠BAC.E例5.如图：在三角形ABC中，AB=AC,思路分析：由等腰三12E证明：过点A作AE⊥BC于点E,又∵AB=AC,∴∠EAC=1/2∠BAC,∵BD⊥AC，AE为高可知,∴∠EAC和∠DBC都与∠C互余,∴∠DBC=∠EAC=1/2∠AE证明：过点A作AE⊥BC于点E,13课间休息十分钟……课间休息十分钟……14例6.在△ABC中，AB=AC，D是CA延长线上一点,DF⊥BC于F，交AB于E，求证：AE=AD.思路分析：由等腰三角形“三线合一”可联想到作底边的高AM，可推出∠1=∠2,由DF⊥AC，AM⊥BC可知DF∥AM，从而∠3=∠4，证出结论．M1342例6.在△ABC中，AB=AC，D是思路分析：由等腰三角形“153412证明：过点A作AM⊥BC于M，∵AB=AC,∴∠1=∠2,∵DF⊥AC，AM⊥BC,∴DF∥AM，∴∠3=∠1，∠2=∠4∴∠3=∠4,∴AD=AE．3412证明：过点A作AM⊥BC于M，∵AB=AC,16例7．如图，△ABC是正三角形，D、E、F分别是AB、BC、CA上的点，且AD＝BE＝CF，试说明△DEF是等边三角形．思路分析：利用等边三角形的性质可推出，边、角的等量关系，从而易证三角形全等。进而说明△DEF是等边三角形．例7．如图，△ABC是正三角形，D、E、F分别是AB、BC、17证明：∵△ABC是正三角形，∴AB=BC=CA,∠A=∠B=∠C=60°,

又∵AD＝BE＝CF，

∴BD=EC=AF,

∴△ADF≌△BED≌△CFE,

∴DE=EF=DF

∴△DEF是等边三角形．证明：∵△ABC是正三角形，∴AB=BC=CA,∠A=∠B=18例8．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，求证：△AFG是等边三角形．思路分析：利用等边三角形的性质可推出，边、角的等量关系，从而易证三角形全等，进而说明△AFG是等边三角形．例8．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，求证：△A19证明：∵△ABD

和△AED是正三角形，∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,

∴∠CAD=∠BAD+∠CAB=60°+∠CAB,∠BAE=∠CAE+∠CAB=60°+∠CAB,

∴∠CAD=∠BAE,△ADC≌△BAE,

∴∠ADF=∠GBA．又∵AD=AB,

∠FAG=180°-∠BAD-∠CAE=60°,

∠FAG=∠DAF=60°,∴△ADF≌△BAG,

∴AF=AG,又∵∠FAG=60°,

∴△DEF是等边三角形．证明：∵△ABD和△AED是正三角形，又∵AD=AB,

∠20例9.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．提示：本题为文字命题，首先应根据题意作图；写出已知，求证．例9.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，21已知：∠CAE为△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.求证：AB=ACABCDE12思路分析：欲证AB=AC

可

先证∠B=∠C,又∠1=∠2，所以应设法寻求∠B、∠C

与∠1、∠2的关系，又由

AD∥BC易得结论.已知：∠CAE为△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.求22证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等边对等角）．ABCDE12证明：∵AD∥BC，ABCDE1223例10．已知：△ABC中，∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE.

求证：AC-AB=2BE.思路分析：延长BE与AC交于点F,构造全等三角形∴△ABE≌△AFE,则2BE=BF,AC-AB=CF,我们只要判定△FBC为等腰三角形即可．F例10．已知：△ABC中，∠ABC=3∠C,∠1=∠2,B24证明：延长BE与AC交于点F,

∵BE⊥AE.

∴∠AEB=∠AEF=90°,

∵∠1=∠2,AE=AE,

∴△ABE≌△AFE,

∴2BE=BF,AB=AF,

∴AC-AB=AC-AF=FC,∴∠ABF=∠AFB=∠FBC+∠C．∵∠ABC=3∠C,

∴∠ABF+∠FBC=3∠C,

∴∠FBC+∠C+∠FBC=3∠C,

∴∠FBC=∠C,

∴BF=FC,

∴AC-AB=2BE.证明：延长BE与AC交于点F,

∵BE⊥AE.

∴∠AEB25本专题考察的知识点1.等腰三角形的性质与应用2.等边三角形的性质与应用3.含30°直角三角形的性质4.分类讨论的思想方法在等腰三角形中的应用本专题考察的知识点1.等腰三角形的性质与应用26例1.已知等腰三角形的一个角是70°,求其余两角．思路分析：已知等腰三角形的一个角是70°,那么这个70°的角可能为等腰三角形的底角或为等腰三角形的顶角；由三角形内角和定理易求出其余两角．70°、40°或55°、55°；例1.已知等腰三角形的一个角是70°,求其余两角．思路分析27引申：

已知等腰三角形的一个角是110°，求其余两角．答案:其余两角为35°、35°．引申：已知等腰三角形的一个角是110°，求其余两角．答案:28归纳：等腰三角形的顶角可以是锐角、直角和钝角；底角只能是锐角．所以，看到等腰三角形中的一个角的度数时，要注意判断这个角可能是顶角还是底角，是否需要分类讨论．归纳：等腰三角形的顶角可以是锐角、直角和钝角；底角只能是锐29例2.如图：△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，若∠BDC=120°，求∠DBC的度数.思路分析：由BD平分∠ABC，易知∠1=∠2，则设∠1=∠2=x，由AB=AC可得∠C=∠1+∠2=2x,在△DBC中由三角形内角和定理可列出x的方程，求出x．例2.如图：△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于30初二数学等腰三角形10道典型题课件31例3.在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求∠A的度数.思路分析:由题设中的等边关系(AB=AC，BD=BC=AD),可以推出角的等量或倍数关系,在利用方程思想,可求出图中各角的度数.1例3.在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC32解：设∠1=x,∵BD=BC=AD,∴∠1=∠2,∠3=∠C,∵∠3=∠C=∠1+∠2=2x,∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x,在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°,即5x=180°,∴∠A=x=36°.解：设∠1=x,∵BD=BC=AD,33例4.证明：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等.提示：本题为文字命题，解题时应分为以下三个步骤：（1）根据题意作图；（2）写出已知，（3）进行求证．例4.证明：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等.提示：34初二数学等腰三角形10道典型题课件35初二数学等腰三角形10道典型题课件36例5.如图：在三角形ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D，求证：∠DBC=∠A．思路分析：由等腰三角形“三线合一”可联想到作底边的高，可推出1/2∠BAC=∠EAC,

由BD⊥AC，AE为高可知∠EAC和∠DBC都与∠C互余，推出∠DBC=∠EAC=1/2∠BAC.E例5.如图：在三角形ABC中，AB=AC,思路分析：由等腰三37E证明：过点A作AE⊥BC于点E,又∵AB=AC,∴∠EAC=1/2∠BAC,∵BD⊥AC，AE为高可知,∴∠EAC和∠DBC都与∠C互余,∴∠DBC=∠EAC=1/2∠AE证明：过点A作AE⊥BC于点E,38课间休息十分钟……课间休息十分钟……39例6.在△ABC中，AB=AC，D是CA延长线上一点,DF⊥BC于F，交AB于E，求证：AE=AD.思路分析：由等腰三角形“三线合一”可联想到作底边的高AM，可推出∠1=∠2,由DF⊥AC，AM⊥BC可知DF∥AM，从而∠3=∠4，证出结论．M1342例6.在△ABC中，AB=AC，D是思路分析：由等腰三角形“403412证明：过点A作AM⊥BC于M，∵AB=AC,∴∠1=∠2,∵DF⊥AC，AM⊥BC,∴DF∥AM，∴∠3=∠1，∠2=∠4∴∠3=∠4,∴AD=AE．3412证明：过点A作AM⊥BC于M，∵AB=AC,41例7．如图，△ABC是正三角形，D、E、F分别是AB、BC、CA上的点，且AD＝BE＝CF，试说明△DEF是等边三角形．思路分析：利用等边三角形的性质可推出，边、角的等量关系，从而易证三角形全等。进而说明△DEF是等边三角形．例7．如图，△ABC是正三角形，D、E、F分别是AB、BC、42证明：∵△ABC是正三角形，∴AB=BC=CA,∠A=∠B=∠C=60°,

又∵AD＝BE＝CF，

∴BD=EC=AF,

∴△ADF≌△BED≌△CFE,

∴DE=EF=DF

∴△DEF是等边三角形．证明：∵△ABC是正三角形，∴AB=BC=CA,∠A=∠B=43例8．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，求证：△AFG是等边三角形．思路分析：利用等边三角形的性质可推出，边、角的等量关系，从而易证三角形全等，进而说明△AFG是等边三角形．例8．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，求证：△A44证明：∵△ABD

和△AED是正三角形，∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,

∴∠CAD=∠BAD+∠CAB=60°+∠CAB,∠BAE=∠CAE+∠CAB=60°+∠CAB,

∴∠CAD=∠BAE,△ADC≌△BAE,

∴∠ADF=∠GBA．又∵AD=AB,

∠FAG=180°-∠BAD-∠CAE=60°,

∠FAG=∠DAF=60°,∴△ADF≌△BAG,

∴AF=AG,又∵∠FAG=60°,

∴△DEF是等边三角形．证明：∵△ABD和△AED是正三角形，又∵AD=AB,

∠45例9.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．提示：本题为文字命题，首先应根据题意作图；写出已知，求证．例9.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，46已知：∠CAE为△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.求证：AB=ACABCDE12思路分析：欲证AB=AC

可

先证∠B=∠C,又∠1=∠2，所以应设法寻求∠B、∠C

与∠1、∠2的关系，又由