微积分教学课件第8章无穷级数

第8章无穷级数8.1常数项级数的概念与性质8.2数项级数的审敛法8.3幂级数8.4函数展成幂级数第8章无穷级数8.1常数项级数的概念与性质1常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念

二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的2一、常数项级数的概念

引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正一、常数项级数的概念引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆3定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S

为级数的和,记作定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项4当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然5例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q

称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)62).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合7例2.

判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和例2.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)8(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用9

例3.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为例3.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为10二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,证:令则这说明收敛,其和为cS.

说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各11性质2.

设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令则这说明级数也收敛,其和为性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令12说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,

(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.13性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:

将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.14性质4.

收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:15例4.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.例4.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而16三、级数收敛的必要条件

设收敛级数则必有证:

可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.三、级数收敛的必要条件设收敛级数则必有证:可见:若17注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上

,假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发18例5.

判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)令则故从而这说明级数(1)发散.例5.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)19因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)20这说明原级数收敛,其和为3.(3)这说明原级数收敛,其和为3.(3)21二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛

一、正项级数及其审敛法8.2数项级数的审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛一、正项级数22一、正项级数及其审敛法若定理1.

正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”一、正项级数及其审敛法若定理1.正项级数收敛部分和序列有23都有定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数k>0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨都有定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则24(1)若强级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数(1)若强级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)25例1.

讨论p级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,例1.讨论p级数(常数p>0)的敛散性.解:26因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.时,2)若因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知27调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切28证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给29定理3.

(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当

l=

0

(3)当

l=∞

证:据极限定义,设两正项级数满足(1)当0<l<∞时,定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散30由定理

2可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时,即由定理2可知,若发散,(1)当0<l<∞时,(2)当l=

0时,由定理2知收敛,若由定理2可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时31是两个正项级数,(1)当时,两个级数同时收敛或发散;特别取可得如下结论:对正项级数(2)当且收敛时,(3)当且发散时,也收敛;也发散.是两个正项级数,(1)当时32的敛散性.～例3.

判别级数的敛散性.解:

根据比较审敛法的极限形式知例4.判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知～的敛散性.～例3.判别级数的敛散性.解:根据比较审敛33定理4

.比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知定理4.比值审敛法(D’alembert判别法)设34因此所以级数发散.时(2)当说明:

当时,级数可能收敛也可能发散.例如,

p–级数但级数收敛;级数发散.从而因此所以级数发散.时(2)当说明:当时,级数可能收敛也可35例5.

讨论级数的敛散性.解:

根据定理4可知:级数收敛;级数发散;例5.讨论级数的敛散性.解:根据定理4可知:级数收敛36对任意给定的正数定理5.

根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项级则证明提示:

即分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.数,且对任意给定的正数定理5.根值审敛法(Cauchy37时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数说明:但级数收敛;级数发散.时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数说38例6.

证明级数收敛于S,似代替和S时所产生的误差.解:

由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和Sn

近例6.证明级数收敛于S,似代替和S时所产生的误差.39二、交错级数及其审敛法

则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6

.(Leibnitz

判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级40证:

是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故41收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛42三、绝对收敛与条件收敛

定义:

对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.三、绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若若原级数收敛43定理7.

绝对收敛的级数一定收敛.证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令定理7.绝对收敛的级数一定收敛.证:设根据比较审敛44例7.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.例7.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因45(2)令因此收敛,绝对收敛.(2)令因此收敛,绝对收敛.46其和分别为绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.*定理8.绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.

(P203定理9)说明:证明参考P203～P206,这里从略.*定理9.

(绝对收敛级数的乘法)则对所有乘积按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.(P205定理10)其和分别为绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.*47一、函数项级数的概念

二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算8.3幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的48一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散,所有为其收为其发散点,发散点的全体称为其发散域.一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.49为级数的和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是x的函数称它为级数的和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项50例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,

级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,级数级51二、幂级数及其收敛性

形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数.即是此种情形.的情形,即称二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数52发散发散收敛收敛发散定理1.(Abel定理)

若幂级数则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证:设收敛,则必有于是存在常数M>0,使发散发散收敛53当时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也发散.

时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕当时,收敛,故原幂级数绝对54幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,中心的区间.用±R

表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=时,幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在(－R,R)称为收敛区间.发散发散收敛收敛发散幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出55定理2.

若的系数满足证:1)若≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,即时,则定理2.若的系数满足证:1)若≠0,则根据比值审敛法562)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级发散,对任意x原级数因此因此的收敛半径为说明:据此定理因此级数的收敛半径2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除57对端点

x=－1,

的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;

级数为发散.故收敛域为例1.求幂级数

对端点x=－1,的收敛半径及收敛域.解:对端点x=58例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=1例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(259例3.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由例3.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理60例4.的收敛域.解:令级数变为当t=2时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即例4.的收敛域.解:令级数变为当t=2时,级数61三、幂级数的运算定理3.

设幂级数及的收敛半径分别为令则有:其中三、幂级数的运算定理3.设幂级数及的收敛半径分别为令则有62说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数63定理4若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:注:逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.定理4若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛64解:由例2可知级数的收敛半径R＝+∞.例5.则故有故得的和函数.因此得设解:由例2可知级数的收敛半径R＝+∞.例5.则故有故得65例6.

的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,例6.的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±66例7.

求级数的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,及收敛,例7.求级数的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,67因此由和函数的连续性得:而及因此由和函数的连续性得:而及68例8.解:

设则例8.解:设则69而故而故70两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰勒(Taylor)级数

二、函数展开成幂级数8.4函数展开成幂级数两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰勒(71一、泰勒(Taylor)级数

其中(在x与x0之间)称为拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:一、泰勒(Taylor)级数其中(在x72为f(x)

的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒73定理1

.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:证明:令设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有定理1.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒74定理2.若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:

设f(x)所展成的幂级数为则显然结论成立.定理2.若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式75二、函数展开成幂级数

1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式0.的函数展开二、函数展开成幂级数1.直接展开法由泰勒级数理论可知,76例1.

将函数展开成x的幂级数.解:

其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足故(在0与x之间)故得级数例1.将函数展开成x的幂级数.解:其收敛半径为对77例2.

将展开成x的幂级数.解:

得级数:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足例2.将展开成x的幂级数.解:得级数:其收敛半径为78类似可推出:(P220例3)类似可推出:(P220例3)79例3.

将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.解:易求出于是得级数由于级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,例3.将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.80推导则为避免研究余项,设此级数的和函数为推导则为避免研究余项,设此级数的和函数为81称为二项展开式.说明：(1)在x＝±1

处的收敛性与m有关.(2)当m为正整数时,级数为x的m次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.由此得称为二项展开式.说明：(1)在x＝±1处的收敛性与82对应的二项展开式分别为对应的二项展开式分别为832.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数展开成x的幂级数.解:因为把x

换成,得将所给函数展开成幂级数.2.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,84例5.

将函数展开成x的幂级数.解:从0到x积分,得定义且连续,区间为利用此题可得上式右端的幂级数在x＝1收敛,所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛例5.将函数展开成x的幂级数.解:从0到x积85例6.

将展成解:

的幂级数.例6.将展成解:的幂级数.86例7.

将展成x－1的幂级数.解:

例7.将展成x－1的幂级数.解:87第8章无穷级数8.1常数项级数的概念与性质8.2数项级数的审敛法8.3幂级数8.4函数展成幂级数第8章无穷级数8.1常数项级数的概念与性质88常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念

二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的89一、常数项级数的概念

引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正一、常数项级数的概念引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆90定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S

为级数的和,记作定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项91当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然92例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q

称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)932).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合94例2.

判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和例2.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)95(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用96

例3.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为例3.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为97二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,证:令则这说明收敛,其和为cS.

说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各98性质2.

设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令则这说明级数也收敛,其和为性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令99说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,

(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.100性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:

将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.101性质4.

收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:102例4.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.例4.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而103三、级数收敛的必要条件

设收敛级数则必有证:

可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.三、级数收敛的必要条件设收敛级数则必有证:可见:若104注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上

,假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发105例5.

判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)令则故从而这说明级数(1)发散.例5.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)106因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)107这说明原级数收敛,其和为3.(3)这说明原级数收敛,其和为3.(3)108二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛

一、正项级数及其审敛法8.2数项级数的审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛一、正项级数109一、正项级数及其审敛法若定理1.

正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”一、正项级数及其审敛法若定理1.正项级数收敛部分和序列有110都有定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数k>0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨都有定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则111(1)若强级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数(1)若强级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)112例1.

讨论p级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,例1.讨论p级数(常数p>0)的敛散性.解:113因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.时,2)若因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知114调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切115证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给116定理3.

(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当

l=

0

(3)当

l=∞

证:据极限定义,设两正项级数满足(1)当0<l<∞时,定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散117由定理

2可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时,即由定理2可知,若发散,(1)当0<l<∞时,(2)当l=

0时,由定理2知收敛,若由定理2可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时118是两个正项级数,(1)当时,两个级数同时收敛或发散;特别取可得如下结论:对正项级数(2)当且收敛时,(3)当且发散时,也收敛;也发散.是两个正项级数,(1)当时119的敛散性.～例3.

判别级数的敛散性.解:

根据比较审敛法的极限形式知例4.判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知～的敛散性.～例3.判别级数的敛散性.解:根据比较审敛120定理4

.比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知定理4.比值审敛法(D’alembert判别法)设121因此所以级数发散.时(2)当说明:

当时,级数可能收敛也可能发散.例如,

p–级数但级数收敛;级数发散.从而因此所以级数发散.时(2)当说明:当时,级数可能收敛也可122例5.

讨论级数的敛散性.解:

根据定理4可知:级数收敛;级数发散;例5.讨论级数的敛散性.解:根据定理4可知:级数收敛123对任意给定的正数定理5.

根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项级则证明提示:

即分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.数,且对任意给定的正数定理5.根值审敛法(Cauchy124时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数说明:但级数收敛;级数发散.时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数说125例6.

证明级数收敛于S,似代替和S时所产生的误差.解:

由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和Sn

近例6.证明级数收敛于S,似代替和S时所产生的误差.126二、交错级数及其审敛法

则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6

.(Leibnitz

判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级127证:

是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故128收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛129三、绝对收敛与条件收敛

定义:

对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.三、绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若若原级数收敛130定理7.

绝对收敛的级数一定收敛.证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令定理7.绝对收敛的级数一定收敛.证:设根据比较审敛131例7.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.例7.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因132(2)令因此收敛,绝对收敛.(2)令因此收敛,绝对收敛.133其和分别为绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.*定理8.绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.

(P203定理9)说明:证明参考P203～P206,这里从略.*定理9.

(绝对收敛级数的乘法)则对所有乘积按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.(P205定理10)其和分别为绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.*134一、函数项级数的概念

二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算8.3幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的135一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散,所有为其收为其发散点,发散点的全体称为其发散域.一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.136为级数的和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是x的函数称它为级数的和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项137例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,

级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如,级数级138二、幂级数及其收敛性

形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数.即是此种情形.的情形,即称二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数139发散发散收敛收敛发散定理1.(Abel定理)

若幂级数则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证:设收敛,则必有于是存在常数M>0,使发散发散收敛140当时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也发散.

时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕当时,收敛,故原幂级数绝对141幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,中心的区间.用±R

表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=时,幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在(－R,R)称为收敛区间.发散发散收敛收敛发散幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出142定理2.

若的系数满足证:1)若≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,即时,则定理2.若的系数满足证:1)若≠0,则根据比值审敛法1432)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级发散,对任意x原级数因此因此的收敛半径为说明:据此定理因此级数的收敛半径2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除144对端点

x=－1,

的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;

级数为发散.故收敛域为例1.求幂级数

对端点x=－1,的收敛半径及收敛域.解:对端点x=145例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=1例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2146例3.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由例3.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理147例4.的收敛域.解:令级数变为当t=2时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即例4.的收敛域.解:令级数变为当t=2时,级数148三、幂级数的运算定理3.

设幂级数及的收敛半径分别为令则有:其中三、幂级数的运算定理3.设幂级数及的收敛半径分别为令则有149说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数150定理4若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:注:逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.定理4若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛151解:由例2可知级数的收敛半径R＝+∞.例5.则故有故得的和函数.因此得设解:由例2可知级数的收敛半径R＝+∞.例5.则故有故得152例6.

的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,例6.的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±153例7.

求级数的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,及收敛,例7.求级数的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,154因此由和函数的连续性得