人教版八年级数学上册《乘法公式》课件

乘法公式整式的乘除与因式分解乘法公式整式的乘除与因式分解1活动1

知识复习多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

(x+1)(x－1)；(2)(a+2)(a－2)；(3)(3－x)(3+x)；(4)(2x+1)(2x－1).(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.活动2

计算下列各题，你能发现什么规律？

活动1知识复习(x+1)(x－1)；2平方差公式:(a+b)(a－b)=a2－

b2.即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.(－m+n)(－m－n)=m2－

n2.(a+b)(a－b)=a2－

b2.a2－ab+ab－b2=平方差公式:(a+b)(a－b)=a2－b2.即两数和与3请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？(a+b)(a－b)=a2－b2.图1图2

请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正4例1运用平方差公式计算：(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(b+2a)(2a－b);(3)(-x+2y)(-x-2y).解：（1）(3x＋2)(3x－2)=(3x)2－22=9x2－4；（2）(b+2a)(2a－b)=(2a+b)(2a－b)=(2a)2－b2=4a2－b2.(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2－(2y)2=x2－4y2活动3例1运用平方差公式计算：解：（1）(3x＋2)(3x－2)5例2计算(1)102×98(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)例2计算62.利用平方差公式计算：（1）(a+3b)(a-

3b)=（2）(3+2a)(－3+2a)=（3）(－2x2－y)(－2x2+y)=（4）51×49=（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)=(a)2－(3b)2

=4a2－9；=4x4－y2.活动4练习

1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？

(1)(x+2)(x－2)=x2－2；(2)(－3a－2)(3a－2)=9a2－4.(2a+3)(2a-3)=a2－9b2

；=(2a)2－32

(-2x2)2－y2

(50+1)(50-1)=502－12

=2500-1=2499(9x2－16)

-(6x2+5x

-6)=3x2－5x+102.利用平方差公式计算：(a)2－(3b)2=4a2－97活动5科学探究

给出下列算式:32－12=8=8×1；

52－32=16=8×2；

72－52=24=8×3；

92－72=32=8×4.

（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？

（2）用含n的式子表示出来（n为正整数）.

（3）计算20052－20032=此时n=.

连续两个奇数的平方差是8的倍数.（2n+1)2－

(2n－1)2=8n80161002提示:根据2005=2n+1或2003=2n-1求n活动5科学探究连续两个奇数的平方差是8的倍数.（81.通过本节课的学习我有哪些收获？2.通过本节课的学习我有哪些疑惑？3.通过本节课的学习我有哪些感受？作业：第156页

习题

15.2第1题

1.通过本节课的学习我有哪些收获？作业：第156页习题9练习1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？

(1)(x+2)(x－2)=x2－2；(2)(－3a－2)(3a－2)=9a2－4.2.根据公式(a+b)(a－b)=a

2－b

2计算.

(1)(x+y)(x－y)；(2)(a+5)(5－a)；

(3)(xy+z)(xy－z)；(4)(c－a)(a+c)；

(5)(x－3)(－3－x).

10利用平方差公式计算：

(1)(5+6x)(5－6x); (2)(x－2y)(x+2y);

(3)(－m+n)(－m－n).

活动5知识应用，加深对平方差公式的理解

下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是():

（1）(x+1)(1+x)； （2）(a+b)(b－a) ；（3）(－a+b)(a－b)；（4）(x2－y)(x+y2)；（5）(－a－b)(a－b)； （6）(c2－d2)(d2+c2).

利用平方差公式计算：(1)(5+6x)(5－6x); 11乘法公式──平方差公式整式的乘除与因式分解乘法公式整式的乘除与因式分解12你能用简单方法计算下列问题吗？(1)、1002×998=(1000+2)(1000-2)=10002+2×1000-2×1000-22=10002-22=999996(2)、

200004×199996你能用简单方法计算下列问题吗？13观察下列多项式，并进行计算，你能发现什么规律？

(x+1)(x-1)=x2-x+x-1=x2-1(m+2)(m-2)=m2-2m+2m-22=m2-22=m2-4(2x+1)(2x-1)=(2x)2-2x+2x-1=(2x)2-1=4x2-1

观察下列多项式，并进行计算，你能发现什么规律？(x+1)(14(a+b)(a-b)=a2-b2

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

(a+b)(a-b)=a2-b215从边长为a的大正方形底板上挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），然后将其裁成两个矩形（如图乙），通过计算阴影的面积可以验证公式(a+b)(a-b)=a2-b2aaa-bba-bbaba-b从边长为a的大正方形底板上挖去一个边长为b的小正方形（如图甲16快乐学习1：

运用平方差公式计算(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4(b+2a)(2a-b)

=(2a)2-b2=4a2-b2(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2快乐学习1：

运用平方差公式计算(3x+217

下列各式计算对不对？若不对应怎样改正？(1)(x+2)(x-2)=x2-2(2)(-3a-2)(3a-2)=9a2-44-9a2

x2-4牛刀小试下列各式计算对不对？若不对应怎样改正？(1)(x+2)(x18快乐学习2：

计算102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=9996(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+5y-y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1快乐学习2：

计算102×98(y19试一试：

(a+b)(-b+a)(3a+2b)(3a-2b)(a5-b2)(a5+b2)(a+b)(a-b)(a2+b2)a2-b29a2-4b2a10-b4a4-b4试一试：a2-b29a2-4b2a10-b4a4-b420算一算：（x+y)(x-y)+(2x+y)(2x-y）x(x-3)-(x+7)(x-7)填一填:（__+__）（__-__）=-9（a+2b+2c）（a+2b-2c）写成平方差公式形式：_______________大显身手5x2-2y2-3x+4933

(a+2b)2-(2c)2算一算：大显身手5x2-2y2-3x+4933(a+2b)21

200004×199996=（200000+4）（200000-4）=2000002-42=40000000000-16=39999999984成功体验200004×199996成功体验22大家谈收获(a+b)(a-b)=a2-b2

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。平方差公式中字母a、b可代表一个数、一个单项式或多项式。

大家谈收获(a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式中字母23拓展探究拓展探究24谢谢!再见！谢谢!再见！25人教版·数学·八年级(上)乘法公式—完全平方公式人教版·数学·八年级(上)乘法公式—完全平方26一、情景引入请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？(1)a2(2)b2(3)(a+b)2(4)(a+b)2-(a2+b2)一、情景引入请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子．每当27二、探求新知在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算，如何进行这样的运算呢？我们知道a2=a•a，所以(a+b)2=(a+b)(a+b)，这样就转化成多项式与多项式的乘积了．能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢？二、探求新知在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算，如何进行28二、探求新知像研究平方差公式一样，我们探究一下(a+b)2的运算结果有什么规律．计算下列各式，你能发现什么规律？（1）(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______；（2）(m+2)2=_______；（3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=________；（4）(m-2)2=________；（5）(a+b)2=________；（6）(a-b)2=________．二、探求新知像研究平方差公式一样，我们探究一下(a+b)2的29二、探求新知(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1=p2+2p+1(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+2m+m•2+2×2=m2+4m+4（3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2+p•(-1)+(-1)•p+(-1)×(-1)

=p2-2p+1（4）(m-2)2=(m-2)(m-2)

=m2+m•(-2)+(-2)•m+(-2)×(-2)=m2-4m+4（5）(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2（6）(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2二、探求新知(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+30二、探求新知通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍用符号怎么表述呢？(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2二、探求新知通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？完31二、探求新知其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？二、探求新知其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．32二、探求新知先看图（1），可以看出大正方形的边长是a+b．还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是(a+b)2．于是就可以得出：(a+b)2=a2+2ab+b2．这正好符合完全平方公式．二、探求新知先看图（1），可以看出大正方形的边长是a+b．还33二、探求新知

如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是a2；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是a•b；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是(a-b)2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．也就是：(a-b)2=a2-2ab+b2．这也正好符合完全平方公式．二、探求新知如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是a34二、探求新知数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征．现在，大家可以轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了．(a+b)2-(a2+b2)=a2+2ab+b2-a2-b2=2ab．于是得孩子们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总数多2ab块．二、探求新知数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理35例3运用完全平方公式计算:(1)(4m+n)2;(2)(y-)2.解:(1)(4m+n)2=(4m)2+2•(4m)•n+n2=16m2+8mn+n2;(2)(y-)2=y2-2•y•+()2

=y2-y+例3运用完全平方公式计算:解:(1)(4m+n36例4运用完全平方公式计算:(1)1022;(2)992.解:(1)1022=(100+2)2

=1002+2Χ100Χ2+22

=10000+400+4=10404.(2)992=(100-1)2=1002-2Χ100Χ1+12

=10000-200+1=9801.例4运用完全平方公式计算:解:(1)1037三、小结回顾1、完全平方公式的内容是什么？2、请同学们总结完全平方公式的结构特征。公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b23、我们要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式三、小结回顾1、完全平方公式的内容是什么？2、请同学们总结完38乘法公式完全平方公式整式的乘除与因式分解乘法公式整式的乘除与因式分解39回顾旧知———平方差公式

(a+b)(a–b)=a2-b2那么(a+b)(a+b)和(a-b)(a-b)是否也能用一个公式来表示呢？那么(a+b)(a+b)和(a-b)(a-b)是否40

完全平方公式

一块边长为a米的正方形实验田，做一做图1—6a

因需要将其边长增加b

米。

形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图1—6).

用不同的形式表示实验田的总面积,并进行比较.abb法一直接求总面积=(a+b)；2法二间接求总面积=a2+ab+ab+b2.(a+b)2=a2+ab+b2.你发现了什么?

探索:

2公式:完全平方公式41探究计算下列各式，你能发现什么？(p+1)2=(p+1)(p+1)=(m+2)2=(p-1)2=(p-1)(p-1)=(m-2)2=p2+2p+1(m+2)(m+2)=m2+4m+4p2-2p+1(m-2)(m-2)=m2-4m+4探究计算下列各式，你能发现什么？p2+2p+1(m+2)(m42计算下列各式，你能发现什么？

(p+1)2

=

(m+2)2=

(p-1)2

=

(m-2)2

=p2+2p+1=p2+2×p×1+12m2+4m+4=m2+2×m×2+22p2-2p+1=p2-2×p×1+12m2-4m+4=m2-2×m×2+22猜想(a+b)2=(a-b)2=a2+2ab+b2a2-2ab+b2计算下列各式，你能发现什么？p2+2p+1=p2+2×p×143

完全平方公式动脑筋(1)你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?想一想(a+b)2=a2+2ab+b2;(a+b)2=推证

(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(2)a2−2ab+b2.小颖写出了如下的算式:(a−b)2=[a+(−b)]2(a−b)2=她是怎么想的?利用两数和的完全平方公式推证公式(a−b)2=[a+(−b)]2=

2

+

2

+

2

aa(−b)(−b)=a22ab−b2.+你能继续做下去吗?的证明完全平方公式动脑筋(1)你能用多项式44bbaa(a+b)²a²b²abab++完全平方和公式：完全平方公式的图形理解bbaa(a+b)²a²b²abab++完全平方和公式：完全45aabb(a-b)²a²ababb²bb完全平方差公式：完全平方公式的图形理解aabb(a-b)²a²ababb²bb完全平方差公式：完全46

初识完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.(a−b)2=a2−2ab+b2.aabba2ababb2结构特征:左边是的平方;二项式右边是(两数和)(差)(a+b)2=a2−ab−b(a−b)=a2−2ab+b2.=(a−b)2a−ba−baaabb(a−b)bb(a−b)2a2+2ab+b2两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.(a−b)2=a2−2ab+b2几何解释:用自己的语言叙述上面的公式语言表述:两数和的平方

等于这两数的平方和

加上这两数乘积的两倍.(差)(减去)初识完全平方公式(a+b)2=a247公式特点：4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和

多项式。(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2

-2ab+b21、积为二次三项式；2、积中两项为两数的平方和；3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中

间的符号相同。首平方，尾平方，积的2倍在中央

公式特点：4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和(a+b48例题解析例题学一学

例1利用完全平方公式计算：(1)

(2x−3)2

；(2)

(4x+5y)2;(3)(mn−a)2

使用完全平方公式与平方差公式的使用一样,

注意先把要计算的式子与完全平方公式对照,明确哪个是a,哪个是

b.第一数2x4x22x的平方,()2−减去2x第一数与第二数−2x3•乘积的2倍,•2加上+第二数3的平方.2=−12x+9

;

自己做

(2)(3)

.解：(1)

(2x−3)2

做题时要边念边写：

=3例题解析例题学一学例1利用完全平方公式计算：49随堂练习1.下面各式的计算错在哪里？应怎样改正？.(a+b)2=a2+b2(2).(a-b)2=a2-b2随堂练习1.下面各式的计算错在哪里？应怎样改正？.(a+50纠错练习

指出下列各式中的错误，并加以改正：(1)

(2a−1)2＝2a2−2a+1;(2)(2a+1)2＝4a2+1；(3)(a−1)2＝a2−2a−1.解:(1)第一数被平方时,未添括号;第一数与第二数乘积的2倍少乘了一个2;应改为:(2a−1)2＝(2a)2−2•2a•1+1;

(2)

少了第一数与第二数乘积的2倍(丢了一项);应改为:(2a+1)2＝(2a)2+2•2a•1

+1;

(3)第一数平方未添括号,第一数与第二数乘积的2倍错了符号;第二数的平方这一项错了符号;应改为:(a−1)2＝(a)2−2•(a)•1+12;

纠错练习指出下列各式中的错51拓展练习

下列等式是否成立?说明理由．(1)(4a+1)2=(1−4a)2；(2)(4a−1)2=(4a+1)2；(3)(4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2；(4)(4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1).(1)

由加法交换律4a+l＝l−4a。成立理由:(2)

∵

4a−1＝(4a+1)，成立∴(4a−1)2＝[(4a+1)]2＝(4a+1)2.(3)

∵(1−4a)＝−(1+4a)不成立．即(1−4a)＝(4a−1)＝(4a−1)，∴(4a−1)(1−4a)＝(4a−1)·[(4a−1)]＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2。

不成立．(4)

右边应为:(4a−1)(4a+1)。拓展练习下列等式是否成立?说52随堂练习随堂练习

(1)(x−2y)2；(2)(2xy+x)2

;2、运用完全平方公式计算：(-2x+5)2(n+1)2−n2.随堂练习随堂练习(1)(x−2y)253例2:运用完全平方公式计算:学一学(1)1022(2)992解:(1)1022=(100+2)2

=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404(2)992=(100-1)2=1002-2×100×1+12=10000-200+1=9801例2:运用完全平方公式计算:学一学(1)102254思考(1)(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(2)(a-b)2与(b-a)2相等吗?(3)(a-b)2与a2-b2相等吗?

思考(1)(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(2)55本节课你的收获是什么？小结本节课你学到了什么?注意完全平方公式和平方差公式不同：形式不同．结果不同：完全平方公式的结果是三项，即(ab)2＝a22ab+b2;平方差公式的结果是两项，即(a+b)(a−b)＝a2−b2.

有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边,做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；第一(二)数是乘积被平方时要注意添括号,是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键本节课你的收获是什么？小结本节课你学到了什么?注意完全平方公56乘法公式整式的乘除与因式分解乘法公式整式的乘除与因式分解57活动1

知识复习多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

(x+1)(x－1)；(2)(a+2)(a－2)；(3)(3－x)(3+x)；(4)(2x+1)(2x－1).(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.活动2

计算下列各题，你能发现什么规律？

活动1知识复习(x+1)(x－1)；58平方差公式:(a+b)(a－b)=a2－

b2.即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.(－m+n)(－m－n)=m2－

n2.(a+b)(a－b)=a2－

b2.a2－ab+ab－b2=平方差公式:(a+b)(a－b)=a2－b2.即两数和与59请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？(a+b)(a－b)=a2－b2.图1图2

请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正60例1运用平方差公式计算：(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(b+2a)(2a－b);(3)(-x+2y)(-x-2y).解：（1）(3x＋2)(3x－2)=(3x)2－22=9x2－4；（2）(b+2a)(2a－b)=(2a+b)(2a－b)=(2a)2－b2=4a2－b2.(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2－(2y)2=x2－4y2活动3例1运用平方差公式计算：解：（1）(3x＋2)(3x－2)61例2计算(1)102×98(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)例2计算622.利用平方差公式计算：（1）(a+3b)(a-

3b)=（2）(3+2a)(－3+2a)=（3）(－2x2－y)(－2x2+y)=（4）51×49=（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)=(a)2－(3b)2

=4a2－9；=4x4－y2.活动4练习

1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？

(1)(x+2)(x－2)=x2－2；(2)(－3a－2)(3a－2)=9a2－4.(2a+3)(2a-3)=a2－9b2

；=(2a)2－32

(-2x2)2－y2

(50+1)(50-1)=502－12

=2500-1=2499(9x2－16)

-(6x2+5x

-6)=3x2－5x+102.利用平方差公式计算：(a)2－(3b)2=4a2－963活动5科学探究

给出下列算式:32－12=8=8×1；

52－32=16=8×2；

72－52=24=8×3；

92－72=32=8×4.

（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？

（2）用含n的式子表示出来（n为正整数）.

（3）计算20052－20032=此时n=.

连续两个奇数的平方差是8的倍数.（2n+1)2－

(2n－1)2=8n80161002提示:根据2005=2n+1或2003=2n-1求n活动5科学探究连续两个奇数的平方差是8的倍数.（641.通过本节课的学习我有哪些收获？2.通过本节课的学习我有哪些疑惑？3.通过本节课的学习我有哪些感受？作业：第156页

习题

15.2第1题

1.通过本节课的学习我有哪些收获？作业：第156页习题65练习1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？

(1)(x+2)(x－2)=x2－2；(2)(－3a－2)(3a－2)=9a2－4.2.根据公式(a+b)(a－b)=a

2－b

2计算.

(1)(x+y)(x－y)；(2)(a+5)(5－a)；

(3)(xy+z)(xy－z)；(4)(c－a)(a+c)；

(5)(x－3)(－3－x).

66利用平方差公式计算：

(1)(5+6x)(5－6x); (2)(x－2y)(x+2y);

(3)(－m+n)(－m－n).

活动5知识应用，加深对平方差公式的理解

下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是():

（1）(x+1)(1+x)； （2）(a+b)(b－a) ；（3）(－a+b)(a－b)；（4）(x2－y)(x+y2)；（5）(－a－b)(a－b)； （6）(c2－d2)(d2+c2).

利用平方差公式计算：(1)(5+6x)(5－6x); 67乘法公式──平方差公式整式的乘除与因式分解乘法公式整式的乘除与因式分解68你能用简单方法计算下列问题吗？(1)、1002×998=(1000+2)(1000-2)=10002+2×1000-2×1000-22=10002-22=999996(2)、

200004×199996你能用简单方法计算下列问题吗？69观察下列多项式，并进行计算，你能发现什么规律？

(x+1)(x-1)=x2-x+x-1=x2-1(m+2)(m-2)=m2-2m+2m-22=m2-22=m2-4(2x+1)(2x-1)=(2x)2-2x+2x-1=(2x)2-1=4x2-1

观察下列多项式，并进行计算，你能发现什么规律？(x+1)(70(a+b)(a-b)=a2-b2

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

(a+b)(a-b)=a2-b271从边长为a的大正方形底板上挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），然后将其裁成两个矩形（如图乙），通过计算阴影的面积可以验证公式(a+b)(a-b)=a2-b2aaa-bba-bbaba-b从边长为a的大正方形底板上挖去一个边长为b的小正方形（如图甲72快乐学习1：

运用平方差公式计算(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4(b+2a)(2a-b)

=(2a)2-b2=4a2-b2(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2快乐学习1：

运用平方差公式计算(3x+273

下列各式计算对不对？若不对应怎样改正？(1)(x+2)(x-2)=x2-2(2)(-3a-2)(3a-2)=9a2-44-9a2

x2-4牛刀小试下列各式计算对不对？若不对应怎样改正？(1)(x+2)(x74快乐学习2：

计算102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=9996(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+5y-y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1快乐学习2：

计算102×98(y75试一试：

(a+b)(-b+a)(3a+2b)(3a-2b)(a5-b2)(a5+b2)(a+b)(a-b)(a2+b2)a2-b29a2-4b2a10-b4a4-b4试一试：a2-b29a2-4b2a10-b4a4-b476算一算：（x+y)(x-y)+(2x+y)(2x-y）x(x-3)-(x+7)(x-7)填一填:（__+__）（__-__）=-9（a+2b+2c）（a+2b-2c）写成平方差公式形式：_______________大显身手5x2-2y2-3x+4933

(a+2b)2-(2c)2算一算：大显身手5x2-2y2-3x+4933(a+2b)77

200004×199996=（200000+4）（200000-4）=2000002-42=40000000000-16=39999999984成功体验200004×199996成功体验78大家谈收获(a+b)(a-b)=a2-b2

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。平方差公式中字母a、b可代表一个数、一个单项式或多项式。

大家谈收获(a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式中字母79拓展探究拓展探究80谢谢!再见！谢谢!再见！81人教版·数学·八年级(上)乘法公式—完全平方公式人教版·数学·八年级(上)乘法公式—完全平方82一、情景引入请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？(1)a2(2)b2(3)(a+b)2(4)(a+b)2-(a2+b2)一、情景引入请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子．每当83二、探求新知在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算，如何进行这样的运算呢？我们知道a2=a•a，所以(a+b)2=(a+b)(a+b)，这样就转化成多项式与多项式的乘积了．能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢？二、探求新知在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算，如何进行84二、探求新知像研究平方差公式一样，我们探究一下(a+b)2的运算结果有什么规律．计算下列各式，你能发现什么规律？（1）(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______；（2）(m+2)2=_______；（3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=________；（4）(m-2)2=________；（5）(a+b)2=________；（6）(a-b)2=________．二、探求新知像研究平方差公式一样，我们探究一下(a+b)2的85二、探求新知(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1=p2+2p+1(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+2m+m•2+2×2=m2+4m+4（3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2+p•(-1)+(-1)•p+(-1)×(-1)

=p2-2p+1（4）(m-2)2=(m-2)(m-2)

=m2+m•(-2)+(-2)•m+(-2)×(-2)=m2-4m+4（5）(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2（6）(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2二、探求新知(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+86二、探求新知通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍用符号怎么表述呢？(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2二、探求新知通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？完87二、探求新知其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？二、探求新知其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．88二、探求新知先看图（1），可以看出大正方形的边长是a+b．还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是(a+b)2．于是就可以得出：(a+b)2=a2+2ab+b2．这正好符合完全平方公式．二、探求新知先看图（1），可以看出大正方形的边长是a+b．还89二、探求新知

如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是a2；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是a•b；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是(a-b)2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．也就是：(a-b)2=a2-2ab+b2．这也正好符合完全平方公式．二、探求新知如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是a90二、探求新知数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征．现在，大家可以轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了．(a+b)2-(a2+b2)=a2+2ab+b2-a2-b2=2ab．于是得孩子们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总数多2ab块．二、探求新知数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理91例3运用完全平方公式计算:(1)(4m+n)2;(2)(y-)2.解:(1)(4m+n)2=(4m)2+2•(4m)•n+n2=16m2+8mn+n2;(2)(y-)2=y2-2•y•+()2

=y2-y+例3运用完全平方公式计算:解:(1)(4m+n92例4运用完全平方公式计算:(1)1022;(2)992.解:(1)1022=(100+2)2

=1002+2Χ100Χ2+22

=10000+400+4=10404.(2)992=(100-1)2=1002-2Χ100Χ1+12

=10000-200+1=9801.例4运用完全平方公式计算:解:(1)1093三、小结回顾1、完全平方公式的内容是什么？2、请同学们总结完全平方公式的结构特征。公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b23、我们要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式三、小结回顾1、完全平方公式的内容是什么？2、请同学们总结完94乘法公式完全平方公式整式的乘除与因式分解乘法公式整式的乘除与因式分解95回顾旧知———平方差公式

(a+b)(a–b)=a2-b2那么(a+b)(a+b)和(a-b)(a-b)是否也能用一个公式来表示呢？那么(a+b)(a+b)和(a-b)(a-b)是否96

完全平方公式

一块边长为a米的正方形实验田，做一做图1—6a

因需要将其边长增加b

米。

形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图1—6).

用不同的形式表示实验田的总面积,并进行比较.abb法一直接求总面积=(a+b)；2法二间接求总面积=a2+ab+ab+b2.(a+b)2=a2+ab+b2.你发现了什么?

探索:

2公式:完全平方公式97探究计算下列各式，你能发现什么？(p+1)2=(p+1)(p+1)=(m+2)2=(p-1)2=(p-1)(p-1)=(m-2)2=p2+2p+1(m+2)(m+2)=m2+4m+4p2-2p+1(m-2)(m-2)=m2-4m+4探究计算下列各式，你能发现什么？p2+2p+1(m+2)(m98计算下列各式，你能发现什么？

(p+1)2

=

(m+2)2=

(p-1)2

=

(m-2)2

=p2+2p+1=p2+2×p×1+12m2+4m+4=m2+2×m×2+22p2-2p+1=p2-2×p×1+12m2-4m+4=m2-2×m×2+22猜想(a+b)2=(a-b)2=a2+2ab+b2a2-2ab+b2计算下列各式，你能发现什么？p2+2p+1=p2+2×p×199

完全平方公式动脑筋(1)你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?想一想(a+b)2=a2+2ab+b2;(a+b)2=推证

(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(2)a2−2ab+b2.小颖写出了如下的算式:(a−b)2=[a+(−b)]2(a−b)2=她是怎么想的?利用两数和的完全平方公式推证公式(a−b)2=[a+(−b)]2=

2

+

2

+

2

aa(−b)(−b)=a22ab−b2.+你能继续做下去吗?的证明完全平方公式动脑筋(1)你能用多项式100bbaa(a+b)²a²b²abab++完全平方和公式：完全平方公式的图形理解bbaa(a+b)²a²b²abab++完全平方和公式：完全101aabb(a-b)²a²ababb²bb完全平方差公式：完全平方公式的图形理解aabb(a-b)²a²ababb²bb完全平方差公式：完全102

初识完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.(a−b)2=a2−2ab+b2.aabba2ababb2结构特征:左边是的平方;二项式右边是(两数和)(差)(a+b)2=a2−ab−b(a−b)=a2−2ab+b2.=(a−b)2a−ba−baaabb(a−b)bb(a−b)2a2+2ab+b2两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.(a−b)2=a2−2ab+b2几何解释:用自己的语言叙述上面的公式语言表述:两数和的平方

等于这两数的平方和

加上这两数乘积的两倍.(差)(减去)初识完全平方公式(a+b)2=a2103公式特点：4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和

多项式。(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2

-2ab+b21、积为二次三项式；2、积中两项为两数的平