理学自动控制原理课件

什么是数学模型?

所谓的数学模型，是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。控制系统定量分析的基础。数学模型的特点

1)相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统

2)简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理

3)动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析

4)静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数

数学模型的类型

1)微分方程：时域其它模型的基础直观求解繁琐

2)传递函数：复频域微分方程拉氏变换后的结果

3)频率特性：频域分析方法不同，各有所长2-1数学模型的概念2-1数学模型的概念1数学模型的建立方法

1)分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，合在一起。

2)实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法，得到数学模型。

建模原则：选择合适的分析方法－确定相应的数学模型－简化列写微分方程式的一般步骤

1)分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。

2)忽略一些次要因素，合理简化。

2.2系统微分方程的建立数学模型的建立方法列写微分方程式的一般步骤2.2系统微分方23)根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式。

4)列写中间变量的辅助方程。

方程数与变量数相等！

5)联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。

6)将方程式化成标准形。

与输出有关的放在左边，与输入有关的放在右边，导数项按降阶排列，系数化为有物理意义的形式。3)根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式。3

三个基本的无源元件：质量m,弹簧k,阻尼器f对应三种阻碍运动的力:惯性力ma;弹性力ky;阻尼力fv

例2-1(P22例2-3)弹簧-质量-阻尼器串联系统。试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t)为输出量的运动方程式。

解：遵照列写微分方程的一般步骤有：（1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变量。（2）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，系统处于平衡状态。

KmfF(t)y(t)机械平移系统举例解：遵照列写微分方程的一般步骤有：KmfF(t)y(4

（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即

（5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中间变量,得

（6）整理方程得标准形

（4）写中间变量与输出量的关系式KmfF(t)y(t)（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即（5）将以上辅助方程5

电路系统举例

例2-2（P21例2-1）电阻－电感－电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。令Tm2=m/k，Tf=f/k，则方程化为RCur(t)

uc(t)L令Tm2=m/k，Tf=f/k，则方程化为R6

解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。

（4）列写中间变量i与输出变量uc的关系式:

（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得RCur(t)

uc(t)L（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。（3）由KVL写原始方程：i(t)解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，7由KVL写出电路方程利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。den=[a0a1…an][num,den]=zp2tf(z,p,k)G(s)H(s)开环传递函数可用代数法则进行等效变换（2）扰动输入下的闭环传递函数解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A1(t)A1(tt0)将非线性系统简化为线性系统处理。（5）扰动输入下的误差传递函数考察带有扰动作用下的闭环系统如图所示。把内部变量结构和相互关系描述的den=110355024解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。如果略去含有高于一次的增量Δx=x-x0的项，则：5）对于给定的系统，信号流图不唯一。施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法，得到数学模型。微分方程式为：c(t)=r(t)例2-7求指数函数eat的拉氏变换。当输入突然除去，积分停止，输出维持不变，故有记忆功能。（6）整理成标准形，令T1

=L/R，T2=RC，则方程化为

线性微分方程的一般特征

观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：由KVL写出电路方程（6）整理成标准形，令T1=L/R，8式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。

从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：

（1）方程的系数为实常数，由系统自身参数决定；（2）左端的阶次比右端的高,n>=m。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件；（3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。

理学自动控制原理课件9

相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。例2-1例2-2令uc=q/C模拟技术：当分析一个机械系统或不易进行试验的系统时，可以建造一个与它相似的电模拟系统，来代替对它的研究。相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同10

直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的机电转换装置。在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压ua在电枢回路产生电枢电流ia

，再由电枢电流ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩MD

，从而使电枢旋转，拖动负载运动。

Ra和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与电枢控制的直流电动机（P21例2-2）MRauaLaiaif=常数Ea电枢控制的直流电动机（P21例2-2）MR11激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。下面推导其微分方程式。（1）取电枢电压ua为控制输入，负载转矩ML为扰动输入，电动机角速度为输出量；（2）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变if时，激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系；（3）列写原始方程式电枢回路方程：uaMRaLaiaif=常数Ea激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。uaMR12电动机轴上机械运动方程：

J—负载折合到电动机轴上的转动惯量;MD

—电枢电流产生的电磁转矩;ML

—合到电动机轴上的总负载转矩。（4）列写辅助方程Ea=keke—电势系数，由电动机结构参数确定。

MD=kmiakm—转矩系数，由电动机结构参数确定。（5）消去中间变量，得电动机轴上机械运动方程：J—负载折合到电动机轴13理学自动控制原理课件14令机电时间常数Tm:令电磁时间常数Ta:1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：2-22一阶系统二阶系统（2-21）令机电时间常数Tm:令电磁时间常数Ta:1)当电枢电感较152)对微型电机，转动惯量J很小，且Ra、La都可忽略测速发电机3)随动系统中，取θ为输出4)在实际使用中，转速常用n（r/min）表示,设ML=02)对微型电机，转动惯量J很小，且Ra、La都可忽略测速发16小结物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）。

从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。小结物理本质不同的系统，可以有相同的数学模 从动态性能看，在17通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元件（惯性质量、弹性要素、电感、电容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。

系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数，与系统的输入无关。通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等 系统的动态特性是系统18线性代数方程的克莱姆法则—信号流图的特征式；(3)反馈连接电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换3)求s域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。den1=[1,2,2]（3）方程式两端的各项的量纲应一致。尼力与速度的平方有关；式中负反馈时取“+”号，单位阶跃响应C(s)=G(s)R(s)=K/s(s+1)(s+2)(s+3)3)随动系统中，取θ为输出电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换（杠杆，齿轮系，电位器，变压器等）10s3+70s2+150s+96物理本质不同的系统，可以有相同的数学模例2-3求单位阶跃函数x(t)=1(t)的拉氏变换。s5+10s2+5s+6故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积。不接触回路回路之间没有公共的节点和支路。解：s2+4s+3=(s+3)(s+1)线性系统与非线性系统线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统；线性是指系统满足叠加原理，即：可加性：f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)齐次性：f(αx)=αf(x)或：f(αx1+βx2)=αf(x1)+βf(x2)2-3

数学模型的线性化（P25）线性代数方程的克莱姆法则线性系统与非线性系统线性系统可以用线19非线性系统用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。非线性系统用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不实际的系统20非线性系统用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。非线性系统用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不实际的系统21线性系统微分方程的一般形式式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm为由系统结构参数决定的实常数，m≤n。线性系统微分方程的一般形式式中，a1，a2，…，an和b0，22线性化问题的提出非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻尼力与速度的平方有关；齿轮啮合系统由于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。

线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。线性化问题的提出非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻 线性23线性化的提出线性系统是有条件存在的，只在一定的工作范围内具有线性特性；

非线性系统的分析和综合是非常复杂的； 对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性化模型近似代替非线性模型进行处理，能够满足实际需要。线性化的提出线性系统是有条件存在的，只在一定的工作范围内具有24(x−x0)+

非线性系统数学模型的线性化（P27） 泰勒级数展开法(1)函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：(x−x0)y=f(x)=f(x0)++2df(x)

dxx=x0(x−x0)3+Lx=x0

1d3f(x)3!dx3x=x0

1d2f(x)2!dx2(x−x0)+ 非线性系统数学模型的线性化（P225y=f(x0)+(x−x0)如果略去含有高于一次的增量Δx=x-x0的项，则：

df(x)

dxx=x0或：y-y0=Δy=KΔx，其中：K=0df(x)

dxx=x上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。y0=f(x0)称为系统的静态方程；由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际意义。y=f(x0)+(x−x0)如果略去含有26增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。(2)对多变量系统，如：y=f(x1,x2)，同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程。增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移(2)对多变量系统，27(x2−x20)+L

∂f∂x2(x1−x10)+

∂f∂x1y=f(x10,x20)+x1=x10x2=x20x1=x10x2=x20增量方程：y−y0=Δy=K1Δx1+K2Δx2静态方程：y0=f(x10,x20),K2=其中：K1=

∂f∂x2

∂f∂x1x1=x10x2=x20x1=x10x2=x20(x2−x20)+L ∂f(x1−x1028C(s)B(s)x2=a12x12-6典型环节及其传递函数方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方(1)通过拉氏变换，实数域复杂的微积分运算如果略去含有高于一次的增量Δx=x-x0的项，则：4(s-1)(s-2)系统的动态特性是系统的固有特性，仅（2）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变if时，激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系；（5）扰动输入下的误差传递函数P2=G2G3K2=1+G1线性系统是有条件存在的，只在一定的工作输入节点(源点)只有输出支路的节点，它代表系统的输入变量。解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A1(t)A1(tt0)电动机轴上机械运动方程：(2)支路：连接两节点的定向线段，用符号“”表示。5+−3+0.c(t)=1(t)（1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质（3）方程式两端的各项的量纲应一致。闭环控制系统的几个特点用拉氏变换求解微分方程的一般步骤：例2-7求指数函数eat的拉氏变换。零极点既可以是实数，也可以是复数，表示在复平面上，形成的图称传递函数的零、极点分布图。输出节点(汇点)只有输入支路的节点，它代表系统的输出变量。先看最简单的例子。x2为输出信号(变量)；若x1(0)=x2(0)=…=0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，a12为两信号之间的传输(增益)。由结构图传递函数微分方程在MATLAB中，多项式通过系数行向量表示，（6）两个输入量同时作用于系统时的误差闭环系统的常用传递函数4）正确理解传递函数的定义、性质和意义。(x−x0)+直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的机电转换装置。非线性系统的分析和综合是非常复杂的；微分方程式为：相加点对两个以上的信号进行代数运算，“+”号表示相加，“”号表示相减。MD—电枢电流产生的电磁转矩;（5）扰动输入下的误差传递函数和分母多项式，即：num=[b0b1…bm]滑动线性化——切线法y=f(x)线性化增量方程为：y0αΔy’ΔyAΔy≈Δy'=Δx⋅tgαΔx0x切线法是泰勒级数法的特例。

x0非线性关系线性化C(s)B(s)用拉氏变换求解微分方程的一般29非线性系统的线性化微分方程的建立步骤确定系统各组成元件在平衡态的工作点；列出各组成元件在工作点附近的增量方程；消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程；非线性系统的线性化微分方程的建立步骤确定系统各组成元件在平衡30实例：单摆运动线性化解：根据牛顿第二定律：将非线性项sinθo=θo在θo=0点附近泰勒展开实例：单摆运动线性化解：根据牛顿第二定律：将非线性项sin31一.复习拉氏变换及其性质

1.定义

记X(s)=L[x(t)]

2.进行拉氏变换的条件

1)t0，x(t)=0；当t0，x(t)是分段连续；

2)当t充分大后满足不等式x(t)Mect，M，c是常数。

3.性质和定理

1)线性性质

L[ax1(t)+bx2(t)]=aX1(s)+bX2(s)

2-4线性系统的传递函数一.复习拉氏变换及其性质2-4线性系统的传递函数322)微分定理若,则…2)微分定理若,则…33若x1(0)=x2(0)=…=0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，3)积分定理X（-1）(0)是∫x(t)dt在t=0的值。同理…若x1(0)=x2(0)=…=0，x(t)各重34

5)初值定理如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且

4)终值定理

若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，limx(t)存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在jω轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数x(t)的终值为：存在，则5)初值定理4)终值定理存在，则356)延迟定理L[x(t)1(t)]=esX(s)

L[eat

x(t)]=X(s+a)7)时标变换8)卷积定理6)延迟定理8)卷积定理364.举例简单信号的拉氏变换

例2-3

求单位阶跃函数x(t)=1(t)的拉氏变换。解：例2-4

求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。解：4.举例简单信号的拉氏变换例2-4求单位斜坡函数x(37例2-5

求正弦函数x(t)=sinωt的拉氏变换。解：

以上几个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换可查表求得。例2-5求正弦函数x(t)=sinωt的拉氏变换。38例2-6

求函数x(t)的拉氏变换。tx(t)0At0tx1(t)0Atx2(t)0t0A+解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A1(t)

A1(tt0)例2-6求函数x(t)的拉氏变换。tx(t)0At0t39例2-7

求指数函数eat的拉氏变换。解:例2-8

求e

0.2t的拉氏变换。解：例2-7求指数函数eat的拉氏变换。例2-8求e40

，求x(0)，x()。解：例2-9

若二.复习拉氏反变换

1.定义由象函数X(s)求原函数x(t)2.求拉氏反变换的方法

①根据定义，用留数定理计算上式的积分值②查表法，求x(0)，x(41

③部分分式法

一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即

通常m<n，a1,…,an；

b0,…,bm均为实数。首先将X(s)的分母因式分解，则有式中p1,…,pn是

D(s)=0的根，称为X(s)的极点。分两种情况讨论：（1）D(s)=0无重根。③部分分式法通常m<n，a1,42式中ci是待定常数，称为X(s)在极点si处的留数。（2）D(s)=0有重根。设有r个重根p1

，则式中ci是待定常数，称为X(s)在极点si处的留数。（243利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。控制系统定量分析的基础。在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得例2-7求指数函数eat的拉氏变换。例2-13求解微分方程：输出量c(t)成比例变化。因此对系统的研究，可变成对系统传函的零、极点的研究了，这就是根轨迹法(chaper4)。（3）两个输入量同时作用于系统的响应用微分方程求解，需确定积分常数，阶次高时麻烦；MD=kmia微分方程式为：c(t)=r(t)例2-5求正弦函数x(t)=sinωt的拉氏变换。>>[r,p,k]=residue(num,den)若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：用非线性微分方程描述的系统。用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式，den2=[2,3,3,2]由于一一对应的关系，可以直接根据结构图，利用梅逊公式直接写出传递函数。令R(s)=0有Pk—第K条前向通路的传输；（5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中变量因果关系i=r+1,…,n…利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。i=r+1,443.举例

例2-10，求原函数x(t)。解：s2+4s+3=(s+3)(s+1)3.举例例2-10，求原函数x(t)。解：45的原函数x(t)。例2-11

求解：s2

+2s+2=(s+1)2+1=(s+1+j)(s+1

j)的原函数x(t)。例2-11求解：s2+2s+246

的原函数x(t)。解：例2-12

求的原函数x47

用微分方程求解，需确定积分常数，阶次高时麻烦；当参数或结构变化时，需重新列方程求解，不利于分析系统参数变化对性能的影响。用拉氏变换求解微分方程的一般步骤：

1)对微分方程两边进行拉氏变换。

2)求解代数方程，得到微分方程在s域的解。

3)求s域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。线性常系数微分方程的求解（对照课本26页）微分方程式r(t)c(t)求解代数方程时域解c(t)Ls的代数方程R(s)C(s)求解微分方程式s域解C(s)

L-1线性常系数微分方程的求解（对照课本26页）微分方程式r(t)48

例2-13

求解微分方程：

解：两边取拉氏变换

s2Y(s)

sy(0)

y(0)+3sY(s)3y(0)+2Y(s)=5/sy(t)=5/25et

+

3/2e2t初始条件：y(0)=1,y(0)=2例2-13求解微分方程：解：两边取拉氏变换y49

例2-14

图示的RC电路，当开关K突然接通后，试求出电容电压uc(t)的变化规律。

解：设输入量为ur(t)，输出量为uc(t)。由KVL写出电路方程

电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换RC

uruc例2-14图示的RC电路，当开关K突然接通后，试求出电50当输入为阶跃电压ur(t)=u01(t)时，

得

式中右端第一项是由输入电压ur(t)决定的分量，是当电容初始状态uc(0)=0时的响应，故称零状态响应；

第二项是由电容初始电压uc(0)决定的分量，是当输入电压ur(t)=0时的响应，故称零输入响应。当输入为阶跃电压ur(t)=u01(t)时，得51

用拉氏变换求解的优点：1）复杂的微分方程变换成简单的代数方程2）求得的解是完整的，初始条件已包含在拉氏变换中,不用另行确定积分常数3）若所有的初值为0，拉氏变换式可直接用s代替,得到。当然，阶次高时，求拉氏反变换也不太容易，幸运的是，往往并不需要求出解，可用图解法预测系统的性能，可用相关性质得到解的特征，初值、终值等，满足工程需要。传递函数的定义和实际意义（对照课本29页）

微分方程是时域中的数学模型，传递函数是采用L[]法求解微分方程时引申出来的复频域中的数学模型，它不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构和参数变化时对系统性能的影响，是经典控制理论中最重要的模型。1定义

在线性定常系统中，当初始条件为零时，系统输出拉氏变换与输入拉氏变换的比，称为传递函数，用G(S)表示。用拉氏变换求解的优点：传递函数的定义和实际意义（对照52即例2-7中，若令uc(0)=0，则有于是

可见，输入与输出之间的关系仅取决于电路的结构形式及其参数（固有特性）,与输入的具体形式无关，无论输入如何，系统都以相同的传递作用输出信息或能量，因此称之为传递函数。传递函数是代数式，其传递作用还经常用方框图直观的表示：G(s)Uc(s)Ur(s)Uc(s)=G(s)Ur(s)即例2-7中，若令uc(0)=0，则有于是53一般的，设线性定常系统的微分方程式为式中，r(t)是输入量，c(t)是输出量。在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得(a0sn+a1sn1

++an1s

+

an

)C(s)=(b0sm+b1sm1

++am1s

+

am

)R(s)按定义，其传递函数为一般的，设线性定常系统的微分方程式为式中，r(t)是输入量，54G(s)是由微分方程经线性拉氏变换得到，故等价，只是把时域变换到复频域而已，但它是一个函数，便于计算和采用方框图表示，广泛应用。其分母多项式就是微分方程的特征多项式，决定系统的动态性能。从描述系统的完整性来说，它只能反应零状态响应部分。但在工程实际当中：1）都是零初始条件的，即系统在输入作用前是相对静止的，即输出量及其各阶导数在t=0的值为零。2）输入在t=0以后才作用于系统，即输入及其各阶导数在t=0的值为零；对于非0初始条件时，可采用叠加原理。G(s)是由微分方程经线性拉氏变换得到，故等价，只是55

传递函数的性质

(a)传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。

(b)传递函数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。

(c)传递函数只适用于线性定常系统，因为拉氏变换是一种线性变换。(d)传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系，对中间变量不反应。

(e)传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。（零状态解）(f)传递函数一般为复变量s的有理分式，它的分母多项式是系统的特征多项式，且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即nm。并且所有的系数均为实数。(g)传递函数与脉冲响应一一对应，是拉氏变换与反变换的关系。

系统辨识

传递函数的性质562G(s)的微观结构G(s)是关于s的有理分式，可分解成多种形式：1）零极点表达式

可知：传递函数定，零、极点和kg唯一确定，反之亦然。因此传递函数可用零极点和传递系数等价表示。零极点既可以是实数，也可以是复数，表示在复平面上，形成的图称传递函数的零、极点分布图。反映系统的动态性能。因此对系统的研究，可变成对系统传函的零、极点的研究了，这就是根轨迹法(chaper4)。传递系数，根轨迹增益2G(s)的微观结构G(s)是关于s的有理分式，可分57

2）时间常数表达式较容易分解成一些典型环节，第5章会大量应用p1p2j1

1

j

023p3z1

例如，试画出下面传递函数的零极点图。2）时间常数表达式较容易分解成一些典型环节，第5章会大58再次提出传递函数以下特点：

(1)通过拉氏变换，实数域复杂的微积分运算转化为简单的代数运算；

(2)输入典型信号时，其输出与传递函数有一定对应关系，当输入是单位脉冲函数时，输入的象函数为1，其输出象函数与传递函数相同； （3）令传递函数中的s=jω，则系统可在频率域内分析（详见第五章）；（4）G（s）的零极点分布决定系统动态特性（第四章）。再次提出传递函数以下特点：(1)通过拉氏变换，实592-6典型环节及其传递函数

可看成是若干称为典型环节的基本因子的乘积，一般认为典型环节有6种，这些典型环节,对应典型电路。这样划分对系统分析和研究带来很大的方便。分述如下：

自动控制系统可以用传递函数来描述，任一复杂的传递函数G(s)，都可表示为：2-6典型环节及其传递函数可看成是若干称为典型环节601.比例环节（杠杆，齿轮系，电位器，变压器等）运动方程式c(t)=K

r(t)

传递函数G(s)=K

单位阶跃响应C(s)=G(s)R(s)=K/sc(t)=K1(t)

可见，当输入量r(t)=1(t)时，输出量c(t)成比例变化。

r(t)1c(t)t0K1.比例环节r(t)1c(t)t0K612.惯性环节微分方程式：

式中，T是惯性环节时间常数。惯性环节的传递函数有一个负实极点p=1/T，无零点。传递函数：

j

01/T单位阶跃响应:2.惯性环节式中，T是惯性环节时间常数。惯性环623.积分环节微分方程式：传递函数：

阶跃响应曲线是按指数上升的曲线。0tc(t)0.6320.8650.950.9821.0T2T3T4T3.积分环节传递函数：阶跃响应曲线是按指数上升的曲线63单位阶跃响应：

当输入阶跃函数时，该环节的输出随时间直线增长，增长速度由1/T决定。当输入突然除去，积分停止，输出维持不变，故有记忆功能。4.微分环节微分方程式为：r(t)t01c(t)t01T单位阶跃响应：当输入阶跃函数时，该环节的输出随时间直线64

c(t)=T(t)

由于阶跃信号在时刻t=

0有一跃变，其他时刻均不变化，所以微分环节对阶跃输入的响应只在t=

0时刻产生一个响应脉冲。

理想的微分环节在物理系统中很少独立存在，常见的为带有惯性环节的微分特性，传递函数为：传递函数为：G(s)=Ts单位阶跃响应：r(t)t01c(t)t0T

65因此，它是对系统每个元件功能和信号流向的图解表示，也就是对系统数学模型的图解表示。物理本质不同的系统，可以有相同的数学模1）信号流图只能代表线性代数方程组。由结构图化简传递函数5）对于给定的系统，信号流图不唯一。4)在实际使用中，转速常用n（r/min）表示,设ML=0举例例2-10有一线性系统，它由下述方程式描述：c(t)=T(t)>>den=[15972];MD—电枢电流产生的电磁转矩;举例例2-10（3）两个输入量同时作用于系统的响应Pk—第K条前向通路的传输；例2-7求指数函数eat的拉氏变换。分别求两者串联、并联连接时的系统传递函数，以上几个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换可查表求得。ac与gi，ghj;abd与gi，ghjdxx=x0(a0sn+a1sn1++an1s+an)C(s)=可以用线性微分方程描述的系统。

式中，T>0，0<ξ

<1，n=1/T，T称为振荡环节的时间常数，ξ

为阻尼比，n为自然振荡频率。振荡环节有一对位于s左半平面的共轭极点：传递函数为：或5.二阶振荡环节微分方程式为：因此，它是对系统每个元件功能和信号流向的图解表示，也就是对系66单位阶跃响应：式中，β=cos－1ξ。响应曲线是按指数衰减振荡的，故称振荡环节。c(t)t01np1p2

jd

ξn

j

0举例：RLC串连电路，平移系统，直流电机单位阶跃响应：式中，β=cos－1ξ。响应曲线c(t)t676.延迟环节微分方程式为：c(t)=r(t)传递函数为：单位阶跃响应：

c(t)=1(t)r(t)t01c(t)t01无理函数的工程近似：AB6.延迟环节c(t)=1(t)r(t)t01c68结构图的定义及基本组成1.结构图的定义

定义:由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的系统的方框图，称为系统的结构图。

2-7系统的结构图

下图为讨论过的直流电动机转速控制系统，用方框图可描述其结构和作用原理，但却不能定量分析，有了传递函数的概念后，就可迎刃而解。放大器电动机测速机urufuae+-2-7系统的结构图

下图为讨论过的直流电动机转速控69

转速控制系统由三个环节（元件）构成，把各元件的传递函数代入相应的方框中，并标明两端对应的变量，就得到了系统的动态结构图。

用G(s)代替相应的元件，好处：补充了方框中各变量之间的定量关系，既能表明信号的流向，又直观的了解元件对系统性能的影响；因此，它是对系统每个元件功能和信号流向的图解表示，也就是对系统数学模型的图解表示。Ka1/keTaTms2+Tms+1KfUr(s)Uf(s)Ua(s)(s)E(s)+转速控制系统由三个环节（元件）构成，把各元件的70

2.结构图的基本组成

1）画图的4种基本元素

信号传递线是带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，传递线上标明被传递的信号。指向方框表示输入，从方框出来的表示输出。r(t),R(s)

分支点

表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。r(t),R(s)r(t),R(s)2.结构图的基本组成r(t),R(s)分71

方框

表示对输入信号进行的数学运算。方框中的传递函数是单向的运算算子，使得输出与输入有确定的因果关系。R(s)R(s)

U(s)U(s)G(s)C(s)R(s)C(s)=G(s)R(s)+

相加点对两个以上的信号进行代数运算，“+”号表示相加，“”号表示相减。外部信号作用于系统需通过相加点表示。方框表示对输入信号进行的数学运算。方框中的传递722）结构图的基本作用：

(a)简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可以方便地评价每一个元件对系统性能的影响。信号的传递严格遵照单向性原则，对于输出对输入的反作用，通过反馈支路单独表示。

(b)对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可方便地求出整个系统的传递函数。

(c)s=0时，表示的是各变量间的静态特性，否则，动态特性。结构图的绘制步骤

(1)列写每个元件的原始方程（保留所有变量，便于分析），要考虑相互间负载效应。

(2)设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，得到传递函数，然后分别以一个方框的形式将因果关系表示出来，而且这2）结构图的基本作用：73些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。

(3)将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成完整的结构图。

例2-16

画出下图所示RC网络的结构图。

R

C

u1

u2

解：(1)列写各元件的原始方程式

i些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。RCu1u74(2)取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式(3)将这些方框依次连接起来得图。U2(s)1CsI(s)U1(s)﹣+U2(s)UR(s)……1RI(s)UR(s)(2)取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式(3)将这些75

结构图的基本连接形式

1.三种基本连接形式

(1)串联。相互间无负载效应的环节相串联，即前一个环节的输出是后一个环节的输入，依次按顺序连接。

故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积。G2(s)U(s)C(s)G1(s)R(s)U(s)

由图可知：

U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)

消去变量U(s)得C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)G2(s)U(s)C(s)结构图的基本连接形式G2(s)U(s)C(s)G1(s)R76

(2)并联。并联各环节有相同的输入量，而输出量等于各环节输出量之代数和。

由图有

C1(s)=G1(s)R(s)

C2(s)=G2(s)R(s)

R(s)C(s)G1(s)C1(s)R(s)G2(s)C2(s)R(s)+(2)并联。并联各环节有相同的输入量，而输出量等于各77C(s)=C1(s)C2(s)

消去C1(s)和C2(s)，得

C(s)=[G1(s)G2(s)]R(s)=G(s)R(s)

故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和。G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)G1(s)R(s)G2(s)C2(s)C(s)+C(s)=C1(s)C2(s)G1(s)G278

(3)反馈连接

连接形式是两个方框反向并接，如图所示。相加点处做加法时为正反馈，做减法时为负反馈。由图有C(s)=G(s)E(s)

B(s)=H(s)C(s)

E(s)=R(s)B(s)消去B(s)和E(s)，得

C(s)=G(s)[R(s)H(s)C(s)]

R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+上式称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数。(3)反馈连接由图有C(s)=G79G(s)1G(s)H(s)R(s)C(s)定义：G(s)：前向通道传递函数

E(s)C(s)H(s)：反馈通道传递函数

C(s)B(s)H(s)=1单位反馈系统G(s)H(s)开环传递函数

E(S)B(s)R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+式中负反馈时取“+”号，正反馈时取“-”号。G(s)R(s)C(s)定义：R(s)C(s)G(s)H(802.闭环系统的常用传递函数考察带有扰动作用下的闭环系统如图所示。它代表了常见的闭环控制系统的一般形式。（1）控制输入下的闭环传递函数令N(s)=0有G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++2.闭环系统的常用传递函数（1）控制输入下的闭环传递函数G181（2）扰动输入下的闭环传递函数令R(s)=0有

（3）两个输入量同时作用于系统的响应

G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++（2）扰动输入下的闭环传递函数（3）两个输入量同时作用于系统82（4）控制输入下的误差传递函数（5）扰动输入下的误差传递函数（6）两个输入量同时作用于系统时的误差G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++（5）扰动输入下的误差传递函数（6）两个输入量同时作用于系统833.闭环控制系统的几个特点

闭环控制系统的优点通过定量分析，更令人信服。（1）外部扰动的抑制——较好的抗干扰能力（2）系统精度有可能仅取决于反馈通道的精度（3）各传递函数具有相同的特征方程式。动态特性相同（固有属性）与输入和输出无关3.闭环控制系统的几个特点闭环控制系统的优点通过定量84结构图的等效变换

变换的原则：变换前后应保持信号等效。1.引出点后移GRCRGRC1/GR2引出点前移GRCCGRCGC规律一：各前向通道传递函数的乘积保持不变规律二：各回路传递函数的乘积保持不变结构图的等效变换GRCRGRC1/GR2引出点前移GRCC854.比较点前移3.比较点后移GFGRC+FRGCF+GRC+FF1/GRGC+F4.比较点前移3.比较点后移GFGRC+FRGCF+865.比较点互换或合并R1CR2++R3R1CR2++R3结构图的简化

对于复杂系统的结构图一般都有相互交叉的回环，当需要确定系统的传函时，就要根据结构图的等效变换先解除回环的交叉，然后按方框的连接形式等效，依次化简。R1CR2+R35.比较点互换或合并R1CR2++R3R1CR287RCG1G2G3H1H2例2-17用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。解：方法11/G3RCG1G2G3H1H2RCG1G2G3H1H2例2-17用结构图化简的方法求下88方法2RCG1G2G3H1H2RCG1G2G3H1H21/G1方法2RCG1G2G3H1H2RCG1G2G3H1H21/G89

例2-18用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。RG1G2CG3RG1G2CG3解：例2-18用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。90RG1G2CG3RG1G2CG31/G2RG1G2CG3RG1G2CG31/G291举例2：试求下图所示系统的传递函数。

举例2：试求下图所示系统的传递函数。92解：1、A点前移；

解：1、A点前移；932、消去H2(s)G3(s)反馈回路2、消去H2(s)G3(s)反馈回路943、消去H1(s)反馈回路3、消去H1(s)反馈回路95信号流图的基本概念

1.定义：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图。先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述：x2=

a12x1式中，x1为输入信号(变量)；x2为输出信号(变量)；a12为两信号之间的传输(增益)。即输出变量等于输入变量乘上传输值。若从因果关系上来看，x1为“因”，x2为“果”。这种因果关系，可用下图表示。信号传递关系函数运算关系变量因果关系x1a12x22-8信号流图及梅逊公式信号流图的基本概念x1a12x22-8信号流图及梅逊公式96

下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。设有一系统，它由下列方程组描述：

x2=a12x1+a32x3x3=a23x2+a43x4x4=a24x2+a34x3+a44x4x5=a25x2+a45x4把内部变量结构和相互关系描述的一清二楚a43a44x1a12x2x3x4x5a23a34a45a24a25a32下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。a43a44x972.信号流图的基本元素

(1)节点：用来表示变量，用符号“O”表示，并在近旁标出所代表的变量。

(2)支路：连接两节点的定向线段，用符号“”表示。支路具有两个特征：

有向性限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的方向，用箭头表示。

有权性限定了输入与输出两个变量之间的关系。支路的权用它近旁标出的传输值(增益)表示。2.信号流图的基本元素98

3.信号流图的几个术语

节点及其类别

输入节点(源点)

只有输出支路的节点，它代表系统的输入变量。如图中x1。

混合节点

既有输入支路，又有输出支路的节点，如图中x2、x3。

输出节点(汇点)

只有输入支路的节点，它代表系统的输出变量。如图中x4。1a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4x23.信号流图的几个术语混合节点既有输入支路，又99

通道及其类别

通道从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传输的乘积来表示。开通道如果通道从某一节点开始，终止在另一节点上，而且通道中的每个节点只经过一次。如a12a23a34。a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4

闭通道(回环)

如果通道的终点就是起点的开通道。如a23a32，a33(自回环)

。通道及其类别a33x1a12x2x3a23a100

前向通道

从源节点到汇节点的开通道。

不接触回路回路之间没有公共的节点和支路。4.信号流图的基本性质

1）信号流图只能代表线性代数方程组。

2）节点表示系统的变量，表示所有流向该节点的信号之（代数）和；而从该节点流向各支路的信号，均用该节点变量表示。

3）信号在支路上沿箭头单向传递，后一节点变量依赖于前一节点变量，即只有“前因后果”的因果关系。

4）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。

5）对于给定的系统，信号流图不唯一。前向通道从源节点到汇节点的开通道。101信号流图的绘制方法

1.直接法

例2-19

RLC电路如图2-28所示，试画出信号流图。解：(1)列写原始方程

(2)取拉氏变换，考虑初始条件：i(0+)，uc(0+)

(3)整理成因果关系RCur(t)

uc(t)Li(t)信号流图的绘制方法解：(1)列写原始方程(2)取拉氏变换，102

(4)画出信号流图如图所示。Ur(s)Uc(s)I(s)1suc(0+)ic(0+)1Ls+R1Ls+R1Cs1Ls+R(4)画出信号流图如图所示。Ur(s)Uc(s)I(s)11032.翻译法例2-20

画出下图所示系统的信号流图。

R(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)﹣+E2(s)E1(s)

解：按照翻译法可直接作出系统结构图所对应的信号流图。R(s)E1(s)C(s)E2(s)G2(s)G1(s)-H(s)2.翻译法R(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)﹣+E104系统结构图信号流图变量节点输入变量源节点比较点引出点

混合节点传输线

方框支路输出端汇节点系统结构图信号流图105梅逊增益公式

1.梅逊增益公式输入输出节点间总传输的一般式为式中P—

总传输(增益)；

n—

从源节点至汇节点前向通道总数；

Pk—第K条前向通路的传输；

—信号流图的特征式；

k—第k条前向通路特征式的余因子式梅逊增益公式式中P—总传输(增益)；106

线性代数方程的克莱姆法则

为所有不同回环的增益之和；

为每两个互不接触回环增益乘积之和；

为每三个互不接触回环增益乘积之和；

为在Δ中除去与第k条前向通路相接触的回路后的特征式，称为第k条前向通路特征式的余因子。为所有不同回环的增益之和；为每两个互不接触回环增益乘积之和107

解：信号流图的组成：4个单回环，一条前向通道

=1(bi+dj+fk+bcdefgm)+(bidj+bifk+djfk)

bidjfkP1=abcdefgh1=10=1例2-21求图所示系统的信号流图输入x0至输出x8的总传输G。x0ax8bcdefghijkm解：信号流图的组成：4个单回环，一条前向通道例2-2108

例2-22

已知系统的信号流图如下，求输入x1至输出x2和x3的传输。bx1gx2ax3jhci23efd

解：单回路：ac，abd，gi，ghj，

aegh

两两互不接触回路：

ac与gi，ghj;abd与gi，ghj

＝1-(ac+gi+abd+ghj+aegf)+(acgi+acghj+abdgi+abdghj)x1到x2的传输：

P1=2ab1=1

(gi+ghj)

P2=3gfab2

=1例2-22已知系统的信号bx1gx2ax3jhc109bx1gx2ax3jhci23efd

x1到x3的传输：

P1=3

1=1(ac+abd)

P2=2ae2=1bx1gx2ax3jhci23efdx1到x3的传输：110例2-23试求信号流图中的传递函数C(s)/R(s)。RCG1K111G2G31

解：单回路：G1，G2，G3，G1G2两两互不接触回路:G1和G2，G1和G3，

G2和G3，G1G2和G3例2-23试求信号流图中的传递函数C(s)/R(s)。R111RCG1K111G2G31三个互不接触回路:G1，

G2和G3

前向通道：P1=G1G2G3K1=1P2=

G2G3K2=1+G1P3=

G3K3=1+G2RCG1K111G2G31P4=

G2

(1)G3K4=1RCG1K111G2G31三个互不接触回路:112梅逊增益公式在结构图上的应用由于一一对应的关系，可以直接根据结构图，利用梅逊公式直接写出传递函数。例2-19已知结构图如图所示，试用梅逊公式求C(s)/R(s)。R(s)C(s)G1(s)G3(s)H(s)﹣+++++G2(s