导体和电介质中的静电场及复习讲义

第七章静电场中的导体和电介质§7－1静电场中的导体§7－3电介质的极化§7－4电介质中的电场有电介质时的高斯定理电位移§7－5电场的能量§7－2电容器电容器的并联和串联导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第1页!教学要求：1.掌握导体静电平衡条件，能用该条件分析带电导体在静电场中的电荷分布；求解有导体存在时场强与电势的分布问题；2.了解电介质的极化机理，了解电位移矢量的物理意义及有电介质时的高斯定理；3.理解电容的定义，能计算简单形状电容器的电容；4.理解带电体相互作用能，计算简单对称情况下的电场能量。

导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第2页!§7-1静电场中的导体一、静电感应导体的静电平衡条件1、金属导体的特征及静电感应现象金属导体的特征：有大量的自由电子，无外场时，自由电子的负电荷与金属离子的正电荷均匀分布，导体呈电中性。静电感应现象：导体进入外场后，自由电子将在电场力的作用下定向运动，在靠近A的一端堆积起负电荷-q

，另一端堆积起正电荷q

，-q

、q称为感应电荷。感应电荷要建立起附加电场，导体中的总电场为，如果，则自由电子将继续定向移动，感应电荷增加，附加电场加强，直到，称导体达到了静电平衡。A+++++++－－－－－－－-qq－导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第3页!二、静电平衡后导体上的电荷分布1、导体内部的电荷分布（a）实心导体的情况

——导体内部无净电荷，一切净电荷都分布在导体的外表面上。S导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第4页!

设金属表面的电荷面密度为σ

，表面附近的场强为，为求两者间的关系，做一个底面为△S的圆柱形高斯面，底面与导体表面平行，下底面在导体内。由高斯定理有：2、导体表面电荷面密度与场强的关系σ△S注意：式中的是表面附近的总电场，虽然其大小只与导体表面该处的电荷面密度有关，但它是由导体表面的电荷，以及其他电荷共同产生的。导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第5页!三、静电屏蔽

对于一个金属导体包围的空间S

，当空间外有电荷Q

时，由于有导体包围，空间内的电场等于零，避免了空间外电荷对内部的影响；

另一方面，如果该空间内有电荷q

，由于静电感应，导体内、外表面将出现等量异号的感应电荷，但一旦将导体接地，外表面的电荷将消失，从而避免了空间内电荷对外部的影响。这就是静电屏蔽原理。－－－－－－－+qQ++++++++－－－－－空间S中，电场为零四、有导体存在时静电场的分析和计算导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第6页!在金属球壳内（R1<r<R2时）：电场在金属球壳外（r>R2时）：作过r处的高斯面S2（3）设金属球壳的电势为V壳，则：设金属球的电势为V球，则：R

1R

2r0q导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第7页!1、电介质：就是绝缘体。

特点：（1）内部没有可以自由移动的电荷；（2）放入电场中的电介质，要受到电场的影响，同时也影响电场。§7－2电介质的极化一、电介质的极化2、电介质对电场的影响:其中：r叫此电介质的相对介电常数。电介质的介电常数：对于真空：－－－－－－++++++－－－－－－++++++导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第8页!

在进入外电场前，无极分子的正、负电荷重心重合，没有电偶极矩。

进入外场后，在电场的作用下，正、负电荷的中心发生位移，不再重合，形成电偶极子。(1)无极分子的极化E0

这时极化是电荷中心相对位移的结果，称为位移极化。(2)有极分子的极化

进入外场前有极分子就相当于一个电偶极子，只是由于热运动而总体排列无序。

进入外场后，分子受到力矩的作用而发生偏转，电偶极矩转向外场方向。所以，这种极化称为转向极化。－

＋F1F2总的表现在两种电介质表面出现束缚电荷导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第9页!§7－

3电介质中的电场有电介质时的高斯定理电位移一、电介质中的电场

电介质中的电场：＋σ’

－σ

0＋σ0

－σ’d二、有介质时的高斯定理

据真空中的高斯定理，通过闭合曲面的电通量为：其中:q（内）是曲面内所有电荷的代数和。导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第10页!几点说明：(2)

电位移矢量D是一个辅助物理量，真正有物理意义的是电场强度矢量E，引入D

的好处是在高斯定理的表达式中，不出现很难求解的极化电荷；(3)

与电力线的概念一样，我们可以引入电位移线来描述D

矢量场，同时计算通过任意曲面的电位移通量，不过要注意，D线与E

线是不同的；见书P186图7-22(1)

引入电位移通量后，有介质时的高斯定理可以表述为：“在任意电场中，通过任意一个闭合曲面的电位移通量等于该面所包围的自由电荷的代数和”。(4)

电位移的单位是“库仑每平方米”，符号为：C/m2

，（这也就是电荷面密度的单位），其量纲是IL

-2T

。导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第11页!

注意，上面得到

的关系式，并非普适关系式，仅在均匀各向同性充满空间时才成立。例1见书P183例题7-2导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第12页!由（9-20）式得极化电荷面密度为：（4）极化电荷所产生的场强为：由此可见，所得的结果相同。导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第13页!

则，闭合曲面S内的自由电荷q0=σ0A，而极化电荷q’=－σ’A，高斯定理写为：

代入高斯定理有：ε=ε0εr

定义电介质的介电常数与电场强度的乘积为电位移矢量，即：

则得到有介质时的高斯定理：

代入有：导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第14页!例1

一金属球体，半径为R，带有电荷q0，埋在均匀“无限大”的电介质中（介电常数为ε），求：（1）球外任意一点P的场强；（2）(不讲)与金属球接触处的电介质表面上的极化电荷。解：由于电场具有球对称性，同时已知自由电荷的分布，所以用有介质时的高斯定理来计算球外的场强是方便的。（1）如图所示，过P点作与金属球同心的球面S，由高斯定理知：++++S

P导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第15页!例2同轴电缆R1，R2，其间充满电介质r1，r2，分界的半径R。求：电缆各区域的电场强度.解：内外电缆线密度,在介质中做底面半径为r长为l的圆柱面，有R2R1r导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第16页!例：真空中半径为R

的金属球带电Q时，其电势V为：如果我们将地球视为一个导体，其电容值仅为：

4×3.14×8.85×10-12×6400×103≈7×10-4F=700μF

若空间中A、B两导体相距足够近，总带有等量异号的电荷，则称这两块导体组成一个电容器，导体A、B

称为电容器的两个极板。BA++++++－－－－－+q-q(孤立导体的情况一般是不存在的)（2）电容器导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第17页!

下面我们以求柱形电容器的电容为例，说明求电容值的一般过程：rl++++++++++++－－－－－－－－－－－－

首先，设电容器的内、外极板带有电荷+q

和-q

，单位长度上的电荷为λ=q/l；

其次，用前面已学过的知识求出两极板间，半径为r处电场的值：然后，通过电场的分布求出两极板间的电势差：导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第18页!几种常见电容器的电容值：（1）平行板电容器d极板面积为S（2）球形电容器（推导见书）RBRA（3）柱形电容器RARBl导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第19页!（2）电容器的串联C1

Q1C2

Q2CnQnV1V2VnV特点：各电容中的电量相等；各电容上电压之和等于总电压：Q=Q1=Q2=Q3=…=QnV=V1+V2+V3+…+Vn等效电容为：C=Q/V=Q/（V1+V2+V3+…+Vn）导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第20页!例3三个电容器如图联接，且C

1=C2=C3

，耐压值分别为100V、200V和300V

，求此电容器组的耐压值。C1C2C3V1V2解：设电容器组的耐压值为V，则V1+V2=V……（1）因为C

1、C2

并联后与C3

串联，有：V

1C

1+V

1C

2=V

2C

3……（2）联列（1）、（2），可以解得：所以，只能取V=300V导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第21页!二、电场的能量

以平行板电容器为例，极板面积为S，两板间距为d，电场强度为E

，电势差为UA-UB

：SEd得：

电容器的能量为：

有电场的空间中，单位体积内的能量为（称为电场能量密度）：

能量属于电场。导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第22页!例4球形电容器的内、外球面半径各为RA和RB，两球间充满介电常数为ε的均匀电介质，求内、外球面各带有电荷+q及-q时，电容器的总能量。RARBr解：在两球间距离球心r处场强的大小为：在半径为r处，取厚度为dr

的薄球壳（如图），其体积为：

dV=4πr2

dr注意：由于球壳很薄，因此，球壳内的场强大小可认为相等。导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第23页!

第七章静电场中的导体和电介质§7－1静电场中的导体§7－3电介质的极化§7－4电介质中的电场有电介质时的高斯定理电位移§7－5电场的能量§7－2电容器电容器的并联和串联导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第24页!一、静电场中的导体

第七章静电场中的导体和电介质1、静电感应:静电场中导体端面出现正负电荷的现象,导体表面出现的电荷称为感应电荷。2、导体静电平衡的条件可得：处于静电平衡的导体是等势体，其表面是等势面。3、静电平衡后导体上的电荷分布1、导体内部的电荷分布（a）实心导体的情况(b)空心导体的情况2、导体表面电荷面密度与场强的关系3、导体表面电荷面密度与曲率的关系导体表面曲率越大，电荷面密度越大导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第25页!

则有介质时的高斯定理：几点说明：D

的好处是在高斯定理的表达式中，不出现很难求解的极化电荷。(2)

D线与E

线是不同的；见书P186图7-22(3)

引入电位移通量后，有介质时的高斯定理可以表述为：“在任意电场中，通过任意一个闭合曲面的电位移通量等于该面所包围的自由电荷的代数和”。三、电容器电容器的并联和串联1、电容器（1）孤立导体的电容：当孤立导体带有电荷Q时，导体有电势VC=Q/V导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第26页!几种常见电容器的电容值：（1）平行板电容器d极板面积为S（2）球形电容器（推导见书）RBRA（3）柱形电容器RARBl导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第27页!++++

并联串联++四、电场的能量1、带电电容器的能量注意：此式对所有电容器都成立。金属板导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第28页!例：球形电容器的内、外球面半径各为RA和RB，两球间充满介电常数为ε的均匀电介质，求内、外球面各带有电荷+q及-q时，电容器的总能量。RARBr解：在两球间距离球心r处场强的大小为：在半径为r处，取厚度为dr

的薄球壳（如图），其体积为：

dV=4πr2

dr注意：由于球壳很薄，因此，球壳内的场强大小可认为相等。导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第29页!2、导体静电平衡的条件由上可得：处于静电平衡的导体是等势体，其表面是等势面。导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第30页!(b)空心导体的情况1）导体空腔内没有其它电荷时，内表面上不会有净电荷；2）导体空腔内有其它电荷时，内表面上会有等量异号的净电荷。（证明同上，略）abSq-q导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第31页!3、导体表面电荷面密度与曲率的关系导体表面曲率越大处电荷面密度越大,例尖端放电现象。总之，静电平衡后导体上的电荷分布1、导体内部的电荷分布（a）实心导体的情况(b)空心导体的情况2、导体表面电荷面密度与场强的关系3、导体表面电荷面密度与曲率的关系导体表面曲率越大处电荷面密度越大导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第32页!例1一个不带电的金属球壳的内、外半径分别为R

1和R

2

，今在中心处放一电量为q

的金属球（半径为r0），则金属球壳的内、外表面带电量各为多少？空间各点处场强如何分布？金属球壳和金属球的电势各为多少？解：（1）根据导体静电平衡条件，设导体球壳内表面（R

1处）所带电量为Q1，则

Q1+q=0得：Q1=-q

同时，导体球壳外表面（R

2处）将感应出

Q2=-Q

1=q

的电荷。（2）在金属球内（r<r

0时）：电场在金属球壳与导体球之间（r0<r<R1时）：R

1R

2r0q作过r

处的高斯面S1导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第33页!r0R1R2r0电势曲线电场曲线EV容易看出：电势的变化是连续的，而电场的变化是不连续的例2见讲稿导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第34页!二、电介质的微观机理

按电荷分布的特点，电介质可以分为两类：无极分子和有极分子。+++－±+

无极分子包括H2、He、N2和CH4（甲烷）等。没有外电场时，分子的正、负电荷中心是重合的。以甲烷为例：由于电荷中心重合，可以进行如图简化：

有极分子包括HCl、NH3、CO和H2O等。没有外电场时，分子的正负电荷中心也不重合，可以简化为一个电偶极子。

以水分子为例，两个氢离子带正电，碳离子带负电，正、负电荷总量是相等的，但中心不重合，可以进行如图的简化。－＋导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第35页!

因而,空间的合场强=所有自由电荷产生的场强与所有束缚电荷产生的场强的矢量和。

在外电场中，电介质表面出现束缚电荷的现象，叫电介质的极化。束缚电荷（或叫极化电荷）：电场中的电介质表面出现的电荷。不能自由移动，但也能向整个空间激发电场。--Q+QE0——————++++++++++————EE′导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第36页!定义电介质的介电常数与电场强度的乘积为电位移矢量,

即：

则有介质时的高斯定理：导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第37页!§7－

3电介质中的电场有电介质时的高斯定理电位移(隐藏)一、电介质中的电场

电介质中的电场：以平行板电容器为例求电介质中的场强：＋σ’

－σ0＋σ0

－σ’dE=E0-E’

设极板上的自由电荷面密度为±σ0，电介质表面上的极化电荷面密度为±σ’，由“无限大”均匀带电平行板场强公式：E=E0-E’导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第38页!例1平行板电容器的两极板上分别带有等值异号的电荷，面密度为9.0×10–6C/m2，在两极板间充满介电常数3.5×10–11C2/（Nm2）的电介质，求（1）自由电荷产生的场强；（2）电介质内的场强；（3）电介质表面上的极化电荷的面密度；（4）极化电荷所产生的场强。解：（1）自由电荷所产生的场强（在真空中）为导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第39页!二、有介质时的高斯定理

以充满相对介电常数εr

的平行板电容器为例进行讨论：极板上的自由电荷面密度为σ0，相邻介质表面的极化电荷面密度为－σ’，

根据真空中的高斯定理，通过该闭合曲面的电通量为：其中q（内）是曲面内所有电荷的代数和。

为方便计，取如图的长方形闭合曲面S，其上、下底面与极板平行，面积均为A，上底面在正极板内，下底面在电介质内。σ0－σ’

导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第40页!几点说明：(1)

我们是从平行板电容器这个特例推出有电介质的高斯定理的，但它是普遍适用的，是静电场的基本规律之一；(2)

电位移矢量D是一个辅助物理量，真正有物理意义的是电场强度矢量E，引入D

的好处是在高斯定理的表达式中，不出现很难求解的极化电荷；(3)

与电力线的概念一样，我们可以引入电位移线来描述D

矢量场，同时计算通过任意曲面的电位移通量，不过要注意，D线与E线是不同的；见书P79图9-23(4)

引入电位移通量后，有介质时的高斯定理可以表述为：“在任意电场中，通过任意一个闭合曲面的电位移通量等于该面所包围的自由电荷的代数和”。(5)

电位移的单位是“库仑每平方米”，符号为：C/m2

，（这也就是电荷面密度的单位），其量纲是IL-2T。(隐藏)导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第41页!（2）设与金属球接触的电介质表面的极化电荷为-q’，在球面S内有自由电荷q0及极化电荷-q’，应用真空中的高斯定理于球面S：++++++++q0－－－－－－－－-q’导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第42页!§7-4电容器电容器的并联和串联一、电容器电容用符号C表示，单位为法拉，符号为F：

1F=1C

/1V

一般来讲，法拉这个单位太大，通常用微法（μF）或皮法（pF）为单位：

1F=106

μF=1012pF

电容的量纲为I

2L

-2M

-1T4Q孤立导体：一个导体，周围没有其他导体。（1）孤立导体的电容：孤立导体：当孤立导体带有电荷Q时，导体有电势VC=Q/V导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第43页!

常见的电容器，按其极板的形状有：平行板电容器、球形电容器和柱形电容器等。当极板带有电荷q

时，两极板间有相应的电势差UA-UB，定义电容器的电容值为：UAUB其中UA、UB分别是两个极板的电势。

要特别强调的是，电容器的电容值，仅决定于电容器的性质，即极板的形状、大小、相互距离以及中间所充的电介质，与是否带电等无关。导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第44页!最后，代入电容的定义求电容值：

计算电容器的步骤：

1、假设一板带正电量Q，则另一板带–Q;2、用D的高斯定律求出电容器内的场强分布；

3、用电势差的定义求出正负两板间的电势差；

4、用电容公式导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第45页!二、电容器的并联与串联

每个电容器的电容值是确定的，同样，在电容器两极板间能加的电压值也是有限度的，称为电容器的耐压值，一旦电压大于该值，极板间电介质的绝缘性将可能被破坏，称为“击穿”。

在实用中，为满足电路所要求的不同电容值和耐压值，常要将几个电容器进行相互联接，联接方式有两种。（1）电容器的并联特点：各电容器上所承受的电压相同（不能改变耐压值）；总电量等于各个电容器中电量之和：Q=Q1+Q2+Q3+…+QnV=V1=V2=V3=…=VnVC1

Q1C2

Q2CnQn等效电容为：C=Q/V=C1+C2+C3+…+Cn导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第46页!++++

并联串联++金属板导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第47页!§7－

5电场的能量一、带电电容器的能量

然后将开关拨向2，发现灯泡会发光，说明带电的电容器中有能量

我们先来看一个实验见书。如图的电路，先将开关拨向1，使电容器充有电量Q，两极间的电势差为UA-UB

下面我们来求电容器中的能量。设充电过程中某一时刻，极板带电q，电势差为uA－uB，有

dq

的正电荷从负极板移到正极板，Edq

由于(uA–uB)=q/C

，电容器在电荷从零增加至Q的过程中，外力所作的功，即电容器储存的能量为（功能原理）：注意：此式对所有电容器都成立。外力所作的功为dW=(uA–uB)dq导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第48页!所以，dV体积内所具有的能量：若电场具有球对称，则若电场具有轴对称，则导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第49页!

由于球壳内场强相等，电场的能量密度当然也相等，所以，薄球壳内的电场能量为：导体和电介质中的静电场及复习讲义共56页，您现在浏览的是第50页!教学要求：1.掌握导体静电平衡条件，能用该条件分析带电导体在静电场中的电荷分布；求解有导体存在时场强与电势的分布问题；2.了解电介质的极化机理，了解电位移矢量的物理意义及有电介质时的高斯定理；3.