概率论与数理统计经典课件概率论

时间反复无常，鼓着翅膀飞逝概率论与数理统计经典课件概率论概率论与数理统计经典课件概率论时间反复无常，鼓着翅膀飞逝概率论与数理统计经典课件概率论概率论与数理统计27/17/2021概率论3人的一生中，健康是最重要的，拥有良好的身体素质才是一切成功的本钱。没有健康将一无所有，而小学阶段的体育课的开设就是让学生得到更好的锻炼和增强体质的重要手段。虽然在每一届的奥运会中，我国的体育健儿们都能取得不少的奖牌，但是，我国现在仅仅只是一个体育大国，而不是一个体育强国。我国的农村人口占绝大多数，所以农村的体育事业的发展则是增强我国国民体质的基础。但在农村小学的教育教学工作中，大多是只重视智育，而忽视体育的。现在这样的观念给农村孩子带来的后果是：学生的体质整体在不断下降，农村的小胖敦也在急剧增多，学生的抗病能力较弱，孩子们的健康状况也急需改善。因此，在农村小学里，每当气候变化时，你会看到学生感冒频发，请假的孩子接连不断。这些事例都说明我们的生活提高了，但孩子的身体素质却在下降。可以说，我们的学生中也可能会有未来的“刘翔”“姚明”“邓亚萍”，但由于农村小学的体育事业的滞后，许多体育先天条件优秀的农村孩子得不到应有的训练而被埋没。这些问题在许多农村学校都是存在的。这些问题直接影响到祖国创新性人才的培养，重视体育事业的发展更是实现我们体育强国的中国梦的具体体现。现本人针对农村小学体育教育中存在的问题进行以分析与解决：一、农村小学体育教育中存在的问题分析1.学校体育设施落后或不健全。体育设施得不到有效的利用。农村小学的许多大件的体育设施多数是在国家“两基”检查活动中按照上级检查的要求配置的。检查过后这些体育设施多因维护不到位已损坏大多不能使用。许多农村小学三大球的体育设施中，唯有篮球场能使用，足球因没有场地，长时间被闲置放坏了。排球就不用说，多数孩子们跟本不认识。什么双杠、单杠、山羊、跳箱等体操器械，农村小学更是没用过，孩子们课间的活动主要是追逐打闹。另一方面那些闲置在体育室里的体育用品，却只能在无人问津的长时间放置下积满灰尘，因长时间没人维护而坏掉。这些问题的根源是农村学校对体育教学的忽视，许多学校领导及教师都认为：上好体育课不如提高学生考试的成绩来得实际，如果语文、数学、英语成绩上不去，就会影响学校教学质量和教师的年度考核，而且，成绩不好对学生家长也不好交代。所以农村小学安排的体育课只因要达到国家课程标准，不得不开设而已，在我校，只要一到半期考试之后，除了语文、数学、英语、科学这些统考科目之外，其它学科跟本不会再上。这个时候的体育课，形同虑设。“德智体美劳”在我们这些农村学校的校长和老师的眼里仿佛只看到了“智育”。应试教育的阴影让我们许多农村小学体育时间都被这些考试科目给占用了。2.多数学校的运动场地不足。农村小学的运动场地严重不足，多数学校没有规范的运动场地。跑道不规范，更没有三大球的球场。并不是因为农村用于学校的土地紧缺。有规划方面的原因，许多学校建起了教学楼、办公楼等硬件设施。但在体育硬件方面的投资却少之又少，当初在规划时没有规划足够的运动场地。多数学校的校院就是操场。农村小学大多在村子周围，宽广的操场往往被村民用来存放建筑用料。这样既严重地影响了正常的教学秩序，又给学校带来了许多安全隐患。由于对体育教学的不重视，许多学校的校长面对操场被占用而坐视不管。这些原因造成了体育教学的运动场地不足，学生也不可能进行科学合理的体育训练。3.许多学校没有专职的体育教师，体育课无法正常教学。农村学校的体育教师大都是兼任的，没有专职的体育教师。最大的问题是：兼任的教师体育素质较低，体育知识不足，体育教学常常不能很好的完成。甚至在学期末或邻近考试时，体育课被语文、数学课占用。因此，在体育课上我们只能听到朗朗的读书声，看到的是埋头苦学的身影，却看不到孩子们在操场上那矫健的身姿。而兼职体育课的老师大多都认为体育课只要是学生不出现安全事故，在操场放羊式的随便学生怎么玩，没有科学的教学目标，更谈不上科学的教学方法，什么体育常规、体育教学就更不可能有了。4.“重智，轻体”的观念在农村学校普遍存在，体育教师的地位低下，不受重视，体育教育没有行到应有的重视。教育主管部门每年都会开展很多的教育教学研究与技能大练兵等等活动，但这些活动主要是针对语文、数学、英语的。而对教师体育知识，体育教学方面的培训几乎没有。在这种情况下，随着体育教学的改革，教师自身又没有及时“充电”。体育教学的单一化、程式化、刻板化根本就无法实施素质教育。近年来，为了学生安全，教育主管部门对于举行大型运动会持着不开为上的观念，学生跟本就没参加过一次象样的体育活动。加之各校制定的教师考核方案中，只注重语文、数学、英语等考试科目的评价，忽视了体育教师教学成果的评价，严重地打击了体育教师的上进心，迫使许多年轻体育教师不得不为了个人的年度考核及竞级等而转任“主课”。这样致使学校的体育课更无法有专业的教学课堂。体育课就只是为了使孩子的心情放松而上。甚至有些学校害怕学生出现安全隐患，体育课把学生关在教室里做作业，学生连放松一下的机会都没有。二、农村小学体育教育中存在的问题的解决（一）要从观念上真正认识体育教育的重要性：这就要求我们的上级主管部门、学校领导及学校的全体老师要真正了解体育对我们的日常教育的重要性。首先：应该认识到体育是学校教育的重要组成部分，它担负培养青少年学生全面发展的重要使命，要充分利用和发挥体育学科的优势，来增强学校教育，促进学校素质教育的发展。其次：学校体育活动开展的对象是学生，学生正处于青少年或儿童时期，是身体生长和发育的重要阶段，学校规范的体育教育能促进学生身体的正常生长发育，使学生的身体形态、生理机能、身体素质、身体基本活动能力和心理素质等方面得到全面发展和锻炼，从而增强学生对自然环境的适应能力和对疾病的抵抗能力，也能使学生养成良好的性格品质，增强学生体质的同时又培养学生的意志和毅力。再次：体育运动能促进学生心、肺功能等方面的机能的发展，就大大改善大脑的血液循环和氧的供应，能对学生智力发展起到的一定的作用。学生的智力得到了良好的发展，学生学习文化知识就轻松容易。最后：体育对学生德育也有促进作用。体育活动大多是在室外进行的，体育运动的特殊性，为学生自由活动提供更多的机会，从而增强学生与学生之间，学生与教师之间直接交往的时间。从中能增强学生的组织纪律性和自觉性，在集体体育活动中也能就培养学生团结友爱、团结合作的精神等等。而在许多体育比赛中都要听从指令，实事求是等等，这些有利于培养学生良好的行为习惯和实事求是的品德。（二）具体措施与方法：较多的现实问题摆在我们面前，给农村小学体育教学的发展带来很大的阻力和消极因素。那么，我们应如何面对这些难题，找到突破口，找到解决现实问题的对策呢？我认为，我们可以着重从两方面入手。1.学校方面学校领导及教师都要彻底转变教育观念，要懂得体育教学的重要性，把增强学生体质纳入到学校教育的重要地位。学校要增加体育经费的投入，同时也要加强对体育器材的管理，给体育教师与学生创设一个良好的教学环境和学习环境。加强师资队伍的建设，认真扎实开展好体育教研组的活动。鼓励体育教师培训、进修和观摩学习等，提高他们的思想觉悟和境界，提高文化素质，切实掌握体育专业理论及相近学科的基础知识，使之掌握熟练的技术、技能，使教学与训练不断地创新和发展；并尊重体育教师的劳动，调动体育教师的积极性，使他们安心工作。学校必须保证课间操及课外活动的开展，保证全体学生在校l小时的活动时间，促进学生健康成长；2.体育教师方面体育教师必须结合农村实际，研究符合农村学校实际的体育教学模式。应因材施教，勤于动脑，结合农村教学环境和设施的特殊性，利用传统体育项目弥补器材不足的状况。努力调动学生的积极性，提高学生的学习热情。充分利用学校的自然环境和建筑物，比如利用水管自制呼拉圈练习腰部肢体活动，让学生利用废布自制沙袋、沙包练习投掷，或沿着花坛跑、推隔离墙练习等等，因地制宜，顺其自然，调动学生情绪。也可将农村民间的体育活动和当地的风俗加以整理，结合体育游戏，适当运用到体育教学之中，如学生喜爱的“跳海，踢毽子、丢沙包、推铁环”等，在此基础上加以变化，组织进行一些小型的比赛并正确加以引导，使学生在游戏中充分发挥自己的特长。结束语：在农村小学中，只要能有目的地选择和组织开展好一到二个体育特色项目，并能有效组织地好这些活动，使之形成一定的常规，和一定的规模，成绩出来了，学校领导看见了效果，也会大力支持教师在学校里开展更多更好地体育活动。但是，要想彻底改变现有农村小学学校体育教学的落后现状，并非一两个人，也并非一朝一夕就能解决的事情。但我们坚信，只要学校校长重视、体育教师具有高度的责任心和敬业精神，全身心地投入到体育教学中去，相信农村小学的体育教学工作一定会迈上一个新的台阶。教学是师生共同互动的过程，教与学密切相关，生硬的教学模式不再适应当今教学的需要，“教师要有一桶水，才能倒给学生一碗水”，这不只指教师应有丰富扎实的专业知识，还应掌握新的教学理念和新的教学方法。“老师讲学生听，上课只管抄笔记，考试背笔记，考完就忘记”。这是对过去教学模式的总结，当今传统的教学模式已不能适应教学的发展，其中主要以起始课教学更为重要。《走进新课程》认为：“新教材注重引导学习方式的变革，新教材根据课程改革纲要的精神，在课程和内容设计上注重改革学生呆板的学习方式，引导学生进行观察、实践、收集资料、合作交流以及体验、感悟和反思活动，从而实现学习方式的多样化，拓展学习的时间和空间。在教学过程中，我特别注重语文课起始教学的设计，并运用到教学活动中。什么叫起始课，我在网上得到的答案是“一个学科、一个学期、一个单元或一篇文章的第一节课就叫起始课，它对该学科、该单元等起提纲挈领的作用。这一节课的设计，能为整个学期、一个单元、一篇课文的教学打下基础，也为教师的教学特色定下基调，更为学生学习本学科营造良好的学习氛围。中国文学源远流长，中华文化博大精深，做好当今的语文教师，怎样设计语文课的起始课教学，这是当前语文教育工作者的首要任务。古人云‘万事开头难’，是的，设计好一节课的起始课并不难，但设计好每一节起始课的教学却很难。在语文教学实践中，我初步摸索出以下几点，在此与同仁共同探讨：一、讲述故事，激发兴趣在起始课导入时，讲述故事，很快就能抓住学生的心，激发学生的兴趣。如我在教学高二下小说单元时，就讲述了与《别里科夫》相关的另一个故事《小公务员之死》启发学生把握小说的主题，小说塑造的人物形象。在教学诗歌单元时，讲述了柳永、秦观、苏轼、南唐后主、李清照的故事，让学生学会根据时代背景体味作者诗歌的含义，品味诗歌语言，鉴赏诗歌的表达技巧。在教学杂文单元时，注重杂文的特点介绍，针砭时弊、短小精干、语言犀利，是‘匕首’是‘投枪’。让学生在学习时注意杂文的特点。说明文单元先回顾初中学习的说明方法，在一篇文章的导入时，也采用讲故事的方法来导入新课。如教学《荷花淀》时，讲述：在很古时嫦娥奔月，快到月宫时，身上掉下一块玉佩，这块玉佩掉到地上，变成了99个美丽的湖泊，荷花淀就是掉下的玉佩其中的一个。二、引用诗文，创设情景在起始课时引用诗文，为学生学习新课创设情景。例如：我在教学《说‘木叶’》时，开头就引用了杜甫的‘无边落水萧萧下，不尽长江滚滚来’，问学生：老杜为什么要用‘落木’不用‘落叶’？‘木’和‘叶’有区别没有？让学生谈谈自己的看法，学生一听，动了起来，能具体的区别‘木’和‘叶’的文学意象，说因为一字之差，意境差得很远，在教学《南州六月荔枝月》时，一开场第一句话，我就引用了杜牧的“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”，引入诗文让学生产生丰富的联想，那荔枝竟有这么大的魅力？让杨贵妃如此陶醉？同时也可见唐明皇不惜劳民伤财，从南方往长安运送荔枝的情形。在教学《腾王阁序》时，开头就引用了“落霞与孤齐飞，秋水共长天一色”，让学生品味这两句的意境，同时让学生感悟全文的文学意蕴，很快进入角色，把握文意，品味语言，把学生带入优美的意境之中，鉴赏本文的语言特色，表达技巧，这正好是高考的教学目标。三、介绍历史，引人入胜引述历史故事，学生很快进入课文。如教学《鸿门宴》开头就介绍与之相关的楚汉战争，以及《鸿门宴》之后的历史事实，学生很感兴趣。《过秦论》可介绍统一天下以后的事，同时可让学生了解这一时期复杂的社会状况，也可讲述课文中相关的一个人物故事。《鸿门宴》可介绍楚汉战争相关的历史事件，并结合学生了解的有关项羽、刘邦的故事，可以激发学生浓厚的学习兴趣，积极参与到教学活动中来。《失街亭》可介绍失街亭前后三国的政治形势，让学生很快就能明白街亭的重要性。街亭万万不可失！马谡该斩！《勾践灭吴》就开门见山的讲述‘卧薪尝胆’这个典故，学生还知道西施的相关典故。就让学生自由发言，学生的兴趣就激发起来了，比教师一个人包办介绍气氛活跃多了。四、巧设疑问，活跃课堂在起始课教学中，巧设疑问，学生很快争着回答问题，课堂气氛就活跃起来了。如：《皇帝的新装》给标题添上某某样的皇帝，学生很快动手动脑，‘虚伪的皇帝’、‘无知的皇帝’、‘愚蠢的皇帝’??????答案中丰富多彩。在上《我若为王》时，我没有通知预习，一进课堂就问：我若为王，现在你们该怎么称呼我？学生一下子热闹起来，‘万岁’、‘大王’、‘陛下’、‘爷’我又问，你们会对我怎样？‘下跪'、‘行礼’、‘搀扶’……《我为何而生》时，问：“你为何而生？”“为钱”、“地位”“名誉”“为父母”“为自己”“为好生活”……答案多多。以上是我个人在起始课教学的一点小小的看法，希望得到同仁的批评指正，在今后的教学中，我才能更好地完善我的教学。如果起始课设计巧妙，那我认为对一个单元中的自读课更为重要，学生只需要照着前面讲读课的模式去自学，既可节约时间，更重要的是提高学习效率，提高学生学习语文的积极性。积极性提高了，课堂气氛也活跃了，同时学生也有兴趣有时间阅读相关的内容，提高语文学作品鉴赏能力，提高理解分析问题的能力，提高做题的命中率。这样我们教的学生才能与高考接轨，才能达到理想的彼岸。时间反复无常，鼓着翅膀飞逝概率论与数理统计经典课件概率论概率概率论与数理统计

212/11/2022概率论与数理统计212/11/2022概率论与数理统计经典课件概率论概率论与数理统计经典课件概率论概率论与数理统计经典课件概率论概率论与数理统计经典课件概率论分布函数 的性质x1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)7分布函数 的性质x1x2(x1,y)(x2,yx2y1x1y28x2y1x1y28二维离散型随机变量

定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有 限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。y1y2…yj…XYp11…p12p1j…p21…p22p2j…pi1…pi2pij………………………离散型随机变量的联合概率分布：为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。可以用如右表格表示：9二维离散型随机变量定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能分布律的性质例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一 整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。YX123440001¼⅛20⅛300解：(X=i,Y=j)的取值情况为：i=1,2,3,4；

j取不大于i的正整数。即(X,Y)的联合概率分布为：10分布律的性质例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中

1111二维连续型随机变量12二维连续型随机变量12

1313例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：

14例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：141515例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度

(1)求常数k；(2)求概率解：116例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度116§2边缘分布

二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 记为：

称为边缘分布函数。事实上，17§2边缘分布二维随机变量(X,Y)作为整体，有分对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为…………………………p11…p12p1j…p1·p21…p22p2j…p2·pi1…pi2pij…pi

·XYy1y2…yj…p·1p·2p.j……1X,Y的边缘分布律为：注意：18对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为…………p对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为事实上， 同理：X,Y的边缘概率密度为：19对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为事实上， 同理：

00.0250.350.04YX0102010.02520.0200.100.250.150.04X0210.3700.4150.215pY020100.3150.3950.290p2000.0250.350.04YX0102010.02520例2：(X,Y)的联合分布律为 求：(1)a,b的值； (2)X,Y的边缘分布律； (3)YX-1100.20.1a120.10.2bX10.420.6Y0.30.5-1100.2(2)解：(1)由分布律性质知a+b+0.6=1即a+b=0.421例2：(X,Y)的联合分布律为YX-1100.20.1a1例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机 变量(X,Y)具有概率密度 则称(X,Y)在G上服从均匀分布。 现设(X,Y)在有界区域 上均匀分布，其概 率密度为 求边缘概率密度解：22例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机 变量

23232424§3条件分布 正如对两事件A,B，若 可以考虑条件概率 一样，对二维离散型随机变量(X,Y)，其分布律为： 我们也可以考虑条件概率 由条件概率公式可得：25§3条件分布 正如对两事件A,B，若 可以考虑条件概定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量， 对于固定的yj，同样，对于固定的xi，26定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，同样，对于固定的x例1：盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球的只数。求（1）X，Y的联合分布率；（2）X=1时Y的条件分布率；(3)Y=0时X的条件分布率。

解：X,Y的联合分布率为XY01201/154/152/1513/154/15021/150027例1：盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中解：X故在X=1的条件下，Y的分布律为： 同理P(Y=0)=1/5，故在Y=0的条件下，X的分布律为：XY01201/154/152/1513/154/15021/1500X012P(X=k/Y=0)1/53/51/5Y012P(Y=k/X=1)4/73/7028故在X=1的条件下，Y的分布律为： 同理P(Y=0)=1/5例2：一射手进行射击，击中目标的概率为 射击直至击 中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次 数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和 条件分布律。解：

29例2：一射手进行射击，击中目标的概率为 3030

定义：条件分布函数31定义：条件分布函数31

定义：条件概率密度32定义：条件概率密度32由定义：事实上，33由定义：事实上，33例3：设二维随机变量(X,Y)在区域{(x,y):‌y‌<x<1}内均匀分布，求条件概率密度二维均匀分布的条件分布仍为均匀分布解：根据题意，(X,Y)的概率密度为：Y的边缘概率密度为：于是给定y(-1<y<1)，X的条件概率密度为：34例3：设二维随机变量(X,Y)在区域{(x,y):‌y

3535§4相互独立的随机变量

36§4相互独立的随机变量 36例1：§1例2中X和Y是否相互独立？(X,Y)具有概率密度连续型随机变量X,Y相互独立，其密度函数有何特征？X和Y的边缘概率密度分别为：37例1：§1例2中X和Y是否相互独立？(X,Y)具有概率密度YX01P(y=j)12P(X=i)YX01P(y=j)12P(X=i)

38YX01P(y=j)12P(X=i)YX01P(y=j)12

3939

404041414242一般n维随机变量的一些概念和结果

43一般n维随机变量的一些概念和结果43

边缘分布

如：44边缘分布44相互独立

45相互独立45

定理1：

定理2：46 46§5两个随机变量的函数的分布

47§5两个随机变量的函数的分布47例1：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求 的概率密度。 解：由卷积公式：一般：设X,Y相互独立，48例1：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求 解：由卷积公例2：X,Y相互独立，同时服从[0,1]上的均匀分布，求 的概率密度。xx=zz120x=z-1解：根据卷积公式：易知仅当参考图得：49例2：X,Y相互独立，同时服从[0,1]上的均匀分布，求x例3：设X,Y相互独立、服从相同的指数分布，概率密度 为： 求 的概率密度。解：根据卷积公式：50例3：设X,Y相互独立、服从相同的指数分布，概率密度 为：一般的，可以证明：若X,Y相互独立，且分别服从参数为X,Y的概率密度分别为证明：这是例3的推广，由卷积公式由此可知：51一般的，可以证明：由此可知：51

5252推广到n个相互独立的随机变量的情况设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为： 则：53推广到n个相互独立的随机变量的情况53

5454例5：设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联结而成，联 结的方式分别为：(1)串联；(2)并联； (3)备用(当系统L1损坏时，系统L2开始工作)。 如图，设L1,L2的寿命分别为X,Y，已知它们的概率 密度分别为：试分别就以上三种联结方式写出L的寿命Z的概率密度。XYL1L2XYL2L1XYL2L155例5：设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联结而成，联串联的情况由于当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)；而X,Y的分布函数分别为：故Z的分布函数为：于是Z的概率密度为：即Z仍服从指数分布L1L256串联的情况即Z仍服从指数分布L1L256并联的情况

由于当且仅当L1,L2都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为Z=max(X,Y)，Z的分布函数为：于是Z的概率密度为：L1L257并联的情况L1L257备用的情况

由于这时当系统L1损坏时，系统L2才开始工作，因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和，即Z=X+Y；因此：L1L258备用的情况L1L258复习思考题31.设(X,Y)为二维向量，则P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x1,y1),对吗？2.设(X,Y)为二维连续量，则P{X+Y=1}=0,对吗？3.(X,Y)为二维连续型向量，f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，

fX(x)和fY(y)分别为关于X和Y的边缘概率密度，若有一点(x0,y0)使

f(x0,y0)≠fX(x0)·fY(y0)则X和Y不独立，对吗？59复习思考题31.设(X,Y)为二维向量，59 关键词：

数学期望 方差 协方差 相关系数

第四章随机变量的数字特征60 关键词：第四章随机变量的数字特征60问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量；在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度；

考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度；61问题的提出：61§1数学期望

例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩 如下：

评定他们的成绩好坏。甲次数1080108910乙次数2065158910解：计算甲的平均成绩： 计算乙的平均成绩：

所以甲的成绩好于乙的成绩。62§1数学期望例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其定义：定义：数学期望简称期望，又称均值。63定义：数学期望简称期望，又称均值。63例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从同一指数分布，其概率密度为： 若将这2个电子装置串联联接 组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。解：

是指数分布的密度函数问题：将2个电子装置并联联接组成整机， 整机的平均寿命又该如何计算？只要求出一般指数分布的期望（即E(X1))，就可得到E(N).64例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 是指数分布例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。解：X的分布律为：65例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器解：X

例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内期望利润是多少？ 解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，设Y表示一周内所获利润，则66例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生解：例5：67例5：67例6：68例6：68

6969

7070

例7：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X进行测量，其值在区间（1，2）上均匀分布，求横截面面积S的数学期望。71例7：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X进71

例8：72例8：72例9：设随机变量(X,Y)的概率密度为：

X=173例9：设随机变量(X,Y)的概率密度为：X=173

7474数学期望的特性：

这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况75数学期望的特性：这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合证明：下面仅对连续型随机变量给予证明：76证明：下面仅对连续型随机变量给予证明：76

例11：一民航送客车载有20位旅客自机场出发，旅客有10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就 不停车，以X表示停车的次数，求 (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅 客是否下车相互独立)本题是将X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望，这种处理方法具有一定的普遍意义。解：引入随机变量： 77例11：一民航送客车载有20位旅客自机场出发，旅客有10 例12：78例12：78§2方差设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时→平均寿命为1000小时；另一批灯泡寿命为：一半约1300小时，另一半约700小时→平均寿命为1000小时；问题：哪批灯泡的质量更好？

单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。

方差─正是体现这种意义的数学特征。79§2方差设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约10定义：80定义：80对于离散型随机变量X，对于连续型随机变量X，此外，利用数学期望的性质，可得方差得计算公式：81对于离散型随机变量X，对于连续型随机变量X，此外，利用数学期例1：设随机变量X具有数学期望82例1：设随机变量X具有数学期望82例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为： 解：83例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为：83例3：解：

84例3：84例4：解：X的概率密度为：85例4：解：X的概率密度为：85例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度 为：即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数θ86例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度 为：即对指数分方差的性质：

87方差的性质：87证明：88证明：88

例6：Xkpk011-pp89例6：Xkpk011-pp89例7：解：例7：概率论与数理统计经典课件概率论例8：设活塞的直径(以cm计) 汽缸的直径 X,Y相互独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能装入汽缸的概率。92例8：设活塞的直径(以cm计) 汽表1几种常见分布的均值与方差数学期望方差

分布率或密度函数分布0－1分布

pp(1-p)二项分布b(n,p)npnp(1-p)泊松分布

均匀分布U(a,b)指数分布正态分布93表1几种常见分布的均值与方差数学期望方差分布率或§3协方差及相关系数

对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。这就是本节的内容。定义：

94§3协方差及相关系数94协方差的性质：思考题：95协方差的性质：思考题：95相关系数的性质：续96相关系数的性质：续9697979898例1：设X,Y服从同一分布，其分布律为：X-101

P1/41/21/4

已知P(‌‌‌‌X‌=‌Y‌)=0,判断X和Y是否不相关？是否不独立？99例1：设X,Y服从同一分布，其分布律为：99100100

续101续101续102续102103103例3：设X,Y相互独立服从同一分布，记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量U与V是否一定不相关，是否一定独立？104例3：设X,Y相互独立服从同一分布，104§4矩、协方差矩阵

105§4矩、协方差矩阵105106106

利用协方差矩阵，可由二维正态变量的概率密度推广，得到n维正态变量的概率密度。利用协方差矩阵，可由二维正态变量的概率密度推广，得到n维正概率论与数理统计经典课件概率论n维正态变量具有以下四条重要性质：109n维正态变量具有以下四条重要性质：109复习思考题41.叙述E(X)和D(X)的定义。110复习思考题41.叙述E(X)和D(X)的定义。1104.试述计算随机变量X的函数g(X)的数学期望E[g(X)]的两种方法。5.设X～N(μ,σ2),用如下两种方法求E(X2)： (1)E(X2)=D(X)+[E(X)]2=σ2+μ2；(2)E(X2)=E(X.X)=E(X).E(X)=μ2；两种结果不一样，哪一种错？为什么？6.设X和Y为两随机变量，且已知D(X)=6,D(Y)=7,则D(X－Y)=D(X)－D(Y)=6－7=－1<0,这与任意一个随机变量的方差都不小于零相矛盾，为什么？1114.试述计算随机变量X的函数g(X)的数学期望E[g(X)]7.考虑100包水泥的总重量Y用以下两种方式表示： (1)设第i袋水泥的重量为Xi,i=1,2,…,100,由题意知,

Xi～N(50,2.52),Y=∑Xi,

则Y～N(100*50,100*2.52)； (2)设一包水泥的重量为X,由题意知X～N(50,2.52)。 若将100包水泥的总重量看成是1包水泥的100倍，即Y=100X, Y是X的线性函数，则：

E(Y)=100E(X)=100*50,D(Y)=1002D(X)=1002*2.52

Y～N(100*50,1002*2.52) 这两种方法得到的总重量的分布不一样(因为方差不同，后 者方差是前者的100倍)， 试问哪一种正确？8.试问D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)对吗？1127.考虑100包水泥的总重量Y用以下两种方式表示：112课件结束!12/11/2022课件结束!12/11/2022谢谢！21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根

22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈

23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思

24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚

25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸砒腥悉漠堑脊髓灰质炎(讲课2019)脊髓灰质炎(讲课2019)谢谢！21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻时间反复无常，鼓着翅膀飞逝概率论与数理统计经典课件概率论概率论与数理统计经典课件概率论时间反复无常，鼓着翅膀飞逝概率论与数理统计经典课件概率论概率论与数理统计27/17/2021概率论3人的一生中，健康是最重要的，拥有良好的身体素质才是一切成功的本钱。没有健康将一无所有，而小学阶段的体育课的开设就是让学生得到更好的锻炼和增强体质的重要手段。虽然在每一届的奥运会中，我国的体育健儿们都能取得不少的奖牌，但是，我国现在仅仅只是一个体育大国，而不是一个体育强国。我国的农村人口占绝大多数，所以农村的体育事业的发展则是增强我国国民体质的基础。但在农村小学的教育教学工作中，大多是只重视智育，而忽视体育的。现在这样的观念给农村孩子带来的后果是：学生的体质整体在不断下降，农村的小胖敦也在急剧增多，学生的抗病能力较弱，孩子们的健康状况也急需改善。因此，在农村小学里，每当气候变化时，你会看到学生感冒频发，请假的孩子接连不断。这些事例都说明我们的生活提高了，但孩子的身体素质却在下降。可以说，我们的学生中也可能会有未来的“刘翔”“姚明”“邓亚萍”，但由于农村小学的体育事业的滞后，许多体育先天条件优秀的农村孩子得不到应有的训练而被埋没。这些问题在许多农村学校都是存在的。这些问题直接影响到祖国创新性人才的培养，重视体育事业的发展更是实现我们体育强国的中国梦的具体体现。现本人针对农村小学体育教育中存在的问题进行以分析与解决：一、农村小学体育教育中存在的问题分析1.学校体育设施落后或不健全。体育设施得不到有效的利用。农村小学的许多大件的体育设施多数是在国家“两基”检查活动中按照上级检查的要求配置的。检查过后这些体育设施多因维护不到位已损坏大多不能使用。许多农村小学三大球的体育设施中，唯有篮球场能使用，足球因没有场地，长时间被闲置放坏了。排球就不用说，多数孩子们跟本不认识。什么双杠、单杠、山羊、跳箱等体操器械，农村小学更是没用过，孩子们课间的活动主要是追逐打闹。另一方面那些闲置在体育室里的体育用品，却只能在无人问津的长时间放置下积满灰尘，因长时间没人维护而坏掉。这些问题的根源是农村学校对体育教学的忽视，许多学校领导及教师都认为：上好体育课不如提高学生考试的成绩来得实际，如果语文、数学、英语成绩上不去，就会影响学校教学质量和教师的年度考核，而且，成绩不好对学生家长也不好交代。所以农村小学安排的体育课只因要达到国家课程标准，不得不开设而已，在我校，只要一到半期考试之后，除了语文、数学、英语、科学这些统考科目之外，其它学科跟本不会再上。这个时候的体育课，形同虑设。“德智体美劳”在我们这些农村学校的校长和老师的眼里仿佛只看到了“智育”。应试教育的阴影让我们许多农村小学体育时间都被这些考试科目给占用了。2.多数学校的运动场地不足。农村小学的运动场地严重不足，多数学校没有规范的运动场地。跑道不规范，更没有三大球的球场。并不是因为农村用于学校的土地紧缺。有规划方面的原因，许多学校建起了教学楼、办公楼等硬件设施。但在体育硬件方面的投资却少之又少，当初在规划时没有规划足够的运动场地。多数学校的校院就是操场。农村小学大多在村子周围，宽广的操场往往被村民用来存放建筑用料。这样既严重地影响了正常的教学秩序，又给学校带来了许多安全隐患。由于对体育教学的不重视，许多学校的校长面对操场被占用而坐视不管。这些原因造成了体育教学的运动场地不足，学生也不可能进行科学合理的体育训练。3.许多学校没有专职的体育教师，体育课无法正常教学。农村学校的体育教师大都是兼任的，没有专职的体育教师。最大的问题是：兼任的教师体育素质较低，体育知识不足，体育教学常常不能很好的完成。甚至在学期末或邻近考试时，体育课被语文、数学课占用。因此，在体育课上我们只能听到朗朗的读书声，看到的是埋头苦学的身影，却看不到孩子们在操场上那矫健的身姿。而兼职体育课的老师大多都认为体育课只要是学生不出现安全事故，在操场放羊式的随便学生怎么玩，没有科学的教学目标，更谈不上科学的教学方法，什么体育常规、体育教学就更不可能有了。4.“重智，轻体”的观念在农村学校普遍存在，体育教师的地位低下，不受重视，体育教育没有行到应有的重视。教育主管部门每年都会开展很多的教育教学研究与技能大练兵等等活动，但这些活动主要是针对语文、数学、英语的。而对教师体育知识，体育教学方面的培训几乎没有。在这种情况下，随着体育教学的改革，教师自身又没有及时“充电”。体育教学的单一化、程式化、刻板化根本就无法实施素质教育。近年来，为了学生安全，教育主管部门对于举行大型运动会持着不开为上的观念，学生跟本就没参加过一次象样的体育活动。加之各校制定的教师考核方案中，只注重语文、数学、英语等考试科目的评价，忽视了体育教师教学成果的评价，严重地打击了体育教师的上进心，迫使许多年轻体育教师不得不为了个人的年度考核及竞级等而转任“主课”。这样致使学校的体育课更无法有专业的教学课堂。体育课就只是为了使孩子的心情放松而上。甚至有些学校害怕学生出现安全隐患，体育课把学生关在教室里做作业，学生连放松一下的机会都没有。二、农村小学体育教育中存在的问题的解决（一）要从观念上真正认识体育教育的重要性：这就要求我们的上级主管部门、学校领导及学校的全体老师要真正了解体育对我们的日常教育的重要性。首先：应该认识到体育是学校教育的重要组成部分，它担负培养青少年学生全面发展的重要使命，要充分利用和发挥体育学科的优势，来增强学校教育，促进学校素质教育的发展。其次：学校体育活动开展的对象是学生，学生正处于青少年或儿童时期，是身体生长和发育的重要阶段，学校规范的体育教育能促进学生身体的正常生长发育，使学生的身体形态、生理机能、身体素质、身体基本活动能力和心理素质等方面得到全面发展和锻炼，从而增强学生对自然环境的适应能力和对疾病的抵抗能力，也能使学生养成良好的性格品质，增强学生体质的同时又培养学生的意志和毅力。再次：体育运动能促进学生心、肺功能等方面的机能的发展，就大大改善大脑的血液循环和氧的供应，能对学生智力发展起到的一定的作用。学生的智力得到了良好的发展，学生学习文化知识就轻松容易。最后：体育对学生德育也有促进作用。体育活动大多是在室外进行的，体育运动的特殊性，为学生自由活动提供更多的机会，从而增强学生与学生之间，学生与教师之间直接交往的时间。从中能增强学生的组织纪律性和自觉性，在集体体育活动中也能就培养学生团结友爱、团结合作的精神等等。而在许多体育比赛中都要听从指令，实事求是等等，这些有利于培养学生良好的行为习惯和实事求是的品德。（二）具体措施与方法：较多的现实问题摆在我们面前，给农村小学体育教学的发展带来很大的阻力和消极因素。那么，我们应如何面对这些难题，找到突破口，找到解决现实问题的对策呢？我认为，我们可以着重从两方面入手。1.学校方面学校领导及教师都要彻底转变教育观念，要懂得体育教学的重要性，把增强学生体质纳入到学校教育的重要地位。学校要增加体育经费的投入，同时也要加强对体育器材的管理，给体育教师与学生创设一个良好的教学环境和学习环境。加强师资队伍的建设，认真扎实开展好体育教研组的活动。鼓励体育教师培训、进修和观摩学习等，提高他们的思想觉悟和境界，提高文化素质，切实掌握体育专业理论及相近学科的基础知识，使之掌握熟练的技术、技能，使教学与训练不断地创新和发展；并尊重体育教师的劳动，调动体育教师的积极性，使他们安心工作。学校必须保证课间操及课外活动的开展，保证全体学生在校l小时的活动时间，促进学生健康成长；2.体育教师方面体育教师必须结合农村实际，研究符合农村学校实际的体育教学模式。应因材施教，勤于动脑，结合农村教学环境和设施的特殊性，利用传统体育项目弥补器材不足的状况。努力调动学生的积极性，提高学生的学习热情。充分利用学校的自然环境和建筑物，比如利用水管自制呼拉圈练习腰部肢体活动，让学生利用废布自制沙袋、沙包练习投掷，或沿着花坛跑、推隔离墙练习等等，因地制宜，顺其自然，调动学生情绪。也可将农村民间的体育活动和当地的风俗加以整理，结合体育游戏，适当运用到体育教学之中，如学生喜爱的“跳海，踢毽子、丢沙包、推铁环”等，在此基础上加以变化，组织进行一些小型的比赛并正确加以引导，使学生在游戏中充分发挥自己的特长。结束语：在农村小学中，只要能有目的地选择和组织开展好一到二个体育特色项目，并能有效组织地好这些活动，使之形成一定的常规，和一定的规模，成绩出来了，学校领导看见了效果，也会大力支持教师在学校里开展更多更好地体育活动。但是，要想彻底改变现有农村小学学校体育教学的落后现状，并非一两个人，也并非一朝一夕就能解决的事情。但我们坚信，只要学校校长重视、体育教师具有高度的责任心和敬业精神，全身心地投入到体育教学中去，相信农村小学的体育教学工作一定会迈上一个新的台阶。教学是师生共同互动的过程，教与学密切相关，生硬的教学模式不再适应当今教学的需要，“教师要有一桶水，才能倒给学生一碗水”，这不只指教师应有丰富扎实的专业知识，还应掌握新的教学理念和新的教学方法。“老师讲学生听，上课只管抄笔记，考试背笔记，考完就忘记”。这是对过去教学模式的总结，当今传统的教学模式已不能适应教学的发展，其中主要以起始课教学更为重要。《走进新课程》认为：“新教材注重引导学习方式的变革，新教材根据课程改革纲要的精神，在课程和内容设计上注重改革学生呆板的学习方式，引导学生进行观察、实践、收集资料、合作交流以及体验、感悟和反思活动，从而实现学习方式的多样化，拓展学习的时间和空间。在教学过程中，我特别注重语文课起始教学的设计，并运用到教学活动中。什么叫起始课，我在网上得到的答案是“一个学科、一个学期、一个单元或一篇文章的第一节课就叫起始课，它对该学科、该单元等起提纲挈领的作用。这一节课的设计，能为整个学期、一个单元、一篇课文的教学打下基础，也为教师的教学特色定下基调，更为学生学习本学科营造良好的学习氛围。中国文学源远流长，中华文化博大精深，做好当今的语文教师，怎样设计语文课的起始课教学，这是当前语文教育工作者的首要任务。古人云‘万事开头难’，是的，设计好一节课的起始课并不难，但设计好每一节起始课的教学却很难。在语文教学实践中，我初步摸索出以下几点，在此与同仁共同探讨：一、讲述故事，激发兴趣在起始课导入时，讲述故事，很快就能抓住学生的心，激发学生的兴趣。如我在教学高二下小说单元时，就讲述了与《别里科夫》相关的另一个故事《小公务员之死》启发学生把握小说的主题，小说塑造的人物形象。在教学诗歌单元时，讲述了柳永、秦观、苏轼、南唐后主、李清照的故事，让学生学会根据时代背景体味作者诗歌的含义，品味诗歌语言，鉴赏诗歌的表达技巧。在教学杂文单元时，注重杂文的特点介绍，针砭时弊、短小精干、语言犀利，是‘匕首’是‘投枪’。让学生在学习时注意杂文的特点。说明文单元先回顾初中学习的说明方法，在一篇文章的导入时，也采用讲故事的方法来导入新课。如教学《荷花淀》时，讲述：在很古时嫦娥奔月，快到月宫时，身上掉下一块玉佩，这块玉佩掉到地上，变成了99个美丽的湖泊，荷花淀就是掉下的玉佩其中的一个。二、引用诗文，创设情景在起始课时引用诗文，为学生学习新课创设情景。例如：我在教学《说‘木叶’》时，开头就引用了杜甫的‘无边落水萧萧下，不尽长江滚滚来’，问学生：老杜为什么要用‘落木’不用‘落叶’？‘木’和‘叶’有区别没有？让学生谈谈自己的看法，学生一听，动了起来，能具体的区别‘木’和‘叶’的文学意象，说因为一字之差，意境差得很远，在教学《南州六月荔枝月》时，一开场第一句话，我就引用了杜牧的“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”，引入诗文让学生产生丰富的联想，那荔枝竟有这么大的魅力？让杨贵妃如此陶醉？同时也可见唐明皇不惜劳民伤财，从南方往长安运送荔枝的情形。在教学《腾王阁序》时，开头就引用了“落霞与孤齐飞，秋水共长天一色”，让学生品味这两句的意境，同时让学生感悟全文的文学意蕴，很快进入角色，把握文意，品味语言，把学生带入优美的意境之中，鉴赏本文的语言特色，表达技巧，这正好是高考的教学目标。三、介绍历史，引人入胜引述历史故事，学生很快进入课文。如教学《鸿门宴》开头就介绍与之相关的楚汉战争，以及《鸿门宴》之后的历史事实，学生很感兴趣。《过秦论》可介绍统一天下以后的事，同时可让学生了解这一时期复杂的社会状况，也可讲述课文中相关的一个人物故事。《鸿门宴》可介绍楚汉战争相关的历史事件，并结合学生了解的有关项羽、刘邦的故事，可以激发学生浓厚的学习兴趣，积极参与到教学活动中来。《失街亭》可介绍失街亭前后三国的政治形势，让学生很快就能明白街亭的重要性。街亭万万不可失！马谡该斩！《勾践灭吴》就开门见山的讲述‘卧薪尝胆’这个典故，学生还知道西施的相关典故。就让学生自由发言，学生的兴趣就激发起来了，比教师一个人包办介绍气氛活跃多了。四、巧设疑问，活跃课堂在起始课教学中，巧设疑问，学生很快争着回答问题，课堂气氛就活跃起来了。如：《皇帝的新装》给标题添上某某样的皇帝，学生很快动手动脑，‘虚伪的皇帝’、‘无知的皇帝’、‘愚蠢的皇帝’??????答案中丰富多彩。在上《我若为王》时，我没有通知预习，一进课堂就问：我若为王，现在你们该怎么称呼我？学生一下子热闹起来，‘万岁’、‘大王’、‘陛下’、‘爷’我又问，你们会对我怎样？‘下跪'、‘行礼’、‘搀扶’……《我为何而生》时，问：“你为何而生？”“为钱”、“地位”“名誉”“为父母”“为自己”“为好生活”……答案多多。以上是我个人在起始课教学的一点小小的看法，希望得到同仁的批评指正，在今后的教学中，我才能更好地完善我的教学。如果起始课设计巧妙，那我认为对一个单元中的自读课更为重要，学生只需要照着前面讲读课的模式去自学，既可节约时间，更重要的是提高学习效率，提高学生学习语文的积极性。积极性提高了，课堂气氛也活跃了，同时学生也有兴趣有时间阅读相关的内容，提高语文学作品鉴赏能力，提高理解分析问题的能力，提高做题的命中率。这样我们教的学生才能与高考接轨，才能达到理想的彼岸。时间反复无常，鼓着翅膀飞逝概率论与数理统计经典课件概率论概率概率论与数理统计

11612/11/2022概率论与数理统计212/11/2022概率论与数理统计经典课件概率论概率论与数理统计经典课件概率论概率论与数理统计经典课件概率论概率论与数理统计经典课件概率论分布函数 的性质x1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)121分布函数 的性质x1x2(x1,y)(x2,yx2y1x1y2122x2y1x1y28二维离散型随机变量

定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有 限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。y1y2…yj…XYp11…p12p1j…p21…p22p2j…pi1…pi2pij………………………离散型随机变量的联合概率分布：为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。可以用如右表格表示：123二维离散型随机变量定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能分布律的性质例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一 整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。YX123440001¼⅛20⅛300解：(X=i,Y=j)的取值情况为：i=1,2,3,4；

j取不大于i的正整数。即(X,Y)的联合概率分布为：124分布律的性质例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中

12511二维连续型随机变量126二维连续型随机变量12

12713例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：

128例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：1412915例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度

(1)求常数k；(2)求概率解：1130例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度116§2边缘分布

二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 记为：

称为边缘分布函数。事实上，131§2边缘分布二维随机变量(X,Y)作为整体，有分对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为…………………………p11…p12p1j…p1·p21…p22p2j…p2·pi1…pi2pij…pi

·XYy1y2…yj…p·1p·2p.j……1X,Y的边缘分布律为：注意：132对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为…………p对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为事实上， 同理：X,Y的边缘概率密度为：133对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为事实上， 同理：

00.0250.350.04YX0102010.02520.0200.100.250.150.04X0210.3700.4150.215pY020100.3150.3950.290p13400.0250.350.04YX0102010.02520例2：(X,Y)的联合分布律为 求：(1)a,b的值； (2)X,Y的边缘分布律； (3)YX-1100.20.1a120.10.2bX10.420.6Y0.30.5-1100.2(2)解：(1)由分布律性质知a+b+0.6=1即a+b=0.4135例2：(X,Y)的联合分布律为YX-1100.20.1a1例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机 变量(X,Y)具有概率密度 则称(X,Y)在G上服从均匀分布。 现设(X,Y)在有界区域 上均匀分布，其概 率密度为 求边缘概率密度解：136例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机 变量

1372313824§3条件分布 正如对两事件A,B，若 可以考虑条件概率 一样，对二维离散型随机变量(X,Y)，其分布律为： 我们也可以考虑条件概率 由条件概率公式可得：139§3条件分布 正如对两事件A,B，若 可以考虑条件概定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量， 对于固定的yj，同样，对于固定的xi，140定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，同样，对于固定的x例1：盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球的只数。求（1）X，Y的联合分布率；（2）X=1时Y的条件分布率；(3)Y=0时X的条件分布率。

解：X,Y的联合分布率为XY01201/154/152/1513/154/15021/1500141例1：盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中解：X故在X=1的条件下，Y的分布律为： 同理P(Y=0)=1/5，故在Y=0的条件下，X的分布律为：XY01201/154/152/1513/154/15021/1500X012P(X=k/Y=0)1/53/51/5Y012P(Y=k/X=1)4/73/70142故在X=1的条件下，Y的分布律为： 同理P(Y=0)=1/5例2：一射手进行射击，击中目标的概率为 射击直至击 中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次 数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和 条件分布律。解：

143例2：一射手进行射击，击中目标的概率为 14430

定义：条件分布函数145定义：条件分布函数31

定义：条件概率密度146定义：条件概率密度32由定义：事实上，147由定义：事实上，33例3：设二维随机变量(X,Y)在区域{(x,y):‌y‌<x<1}内均匀分布，求条件概率密度二维均匀分布的条件分布仍为均匀分布解：根据题意，(X,Y)的概率密度为：Y的边缘概率密度为：于是给定y(-1<y<1)，X的条件概率密度为：148例3：设二维随机变量(X,Y)在区域{(x,y):‌y

14935§4相互独立的随机变量

150§4相互独立的随机变量 36例1：§1例2中X和Y是否相互独立？(X,Y)具有概率密度连续型随机变量X,Y相互独立，其密度函数有何特征？X和Y的边缘概率密度分别为：151例1：§1例2中X和Y是否相互独立？(X,Y)具有概率密度YX01P(y=j)12P(X=i)YX01P(y=j)12P(X=i)

152YX01P(y=j)12P(X=i)YX01P(y=j)12

15339

154401554115642一般n维随机变量的一些概念和结果

157一般n维随机变量的一些概念和结果43

边缘分布

如：158边缘分布44相互独立

159相互独立45

定理1：

定理2：160 46§5两个随机变量的函数的分布

161§5两个随机变量的函数的分布47例1：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求 的概率密度。 解：由卷积公式：一般：设X,Y相互独立，162例1：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求 解：由卷积公例2：X,Y相互独立，同时服从[0,1]上的均匀分布，求 的概率密度。xx=zz120x=z-1解：根据卷积公式：易知仅当参考图得：163例2：X,Y相互独立，同时服从[0,1]上的均匀分布，求x例3：设X,Y相互独立、服从相同的指数分布，概率密度 为： 求 的概率密度。解：根据卷积公式：164例3：设X,Y相互独立、服从相同的指数分布，概率密度 为：一般的，可以证明：若X,Y相互独立，且分别服从参数为X,Y的概率密度分别为证明：这是例3的推广，由卷积公式由此可知：165一般的，可以证明：由此可知：51

16652推广到n个相互独立的随机变量的情况设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为： 则：167推广到n个相互独立的随机变量的情况53

16854例5：设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联结而成，联 结的方式分别为：(1)串联；(2)并联； (3)备用(当系统L1损坏时，系统L2开始工作)。 如图，设L1,L2的寿命分别为X,Y，已知它们的概率 密度分别为：试分别就以上三种联结方式写出L的寿命Z的概率密度。XYL1L2XYL2L1XYL2L1169例5：设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联结而成，联串联的情况由于当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)；而X,Y的分布函数分别为：故Z的分布函数为：于是Z的概率密度为：即Z仍服从指数分布L1L2170串联的情况即Z仍服从指数分布L1L256并联的情况

由于当且仅当L1,L2都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为Z=max(X,Y)，Z的分布函数为：于是Z的概率密度为：L1L2171并联的情况L1L257备用的情况

由于这时当系统L1损坏时，系统L2才开始工作，因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和，即Z=X+Y；因此：L1L2172备用的情况L1L258复习思考题31.设(X,Y)为二维向量，则P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x1,y1),对吗？2.设(X,Y)为二维连续量，则P{X+Y=1}=0,对吗？3.(X,Y)为二维连续型向量，f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，

fX(x)和fY(y)分别为关于X和Y的边缘概率密度，若有一点(x0,y0)使

f(x0,y0)≠fX(x0)·fY(y0)则X和Y不独立，对吗？173复习思考题31.设(X,Y)为二维向量，59 关键词：

数学期望 方差 协方差 相关系数

第四章随机变量的数字特征174 关键词：第四章随机变量的数字特征60问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量；在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度