2019年高考数学真题考点17 正弦定理和余弦定理

考点17正弦定理和余弦定理一、选择题1.(2019全国卷I文科TII^ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=--,则-=()A.6B.5C.4D.3【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用.【解题指南】利用余弦定理推论得出a,b,c的关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4C2，由余弦定理推论可得--=cosA=，所以一=--,所以一=-，所以-=-x4=6,故选A.二、填空题TOC\o"1-5"\h\z2.(2019全国卷□理科T15NABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=-，则△ABC的面积为.【命题意图】考查余弦定理以及三角形面积公式的应用.【解析】因为cosB=,又因为b=6,a=2c,B=-,可得C2=12,解得c=2,a=4,则厶ABC的面积S=-x4_x2一x—=6答案:63.(2019全国卷□文科T15"ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=.【命题意图】考查正弦定理、同角三角函数基本关系的运用.【解析】已知bsinA+acosB=0,由正弦定理可得sinBsinA+sinAcosB=0,即sinB=-cosB,又因为sin2B+cos2B=1,解得sinB=—,cosB=-—，故B=—-答案:一4.(2019浙江高考T14)在aABC中,zABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上，若zBDC=45°,则BD=,coszABD=【命题意图】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.TOC\o"1-5"\h\z【解析】在△ABD中，由正弦定理有：=,ZZ而AB=4,zADB=—,AC==5,sinzBAC=—=-,coszBAC=—=-，所以BD=cosZABD=cos(ZBDC-ZBAC)

=cos-coszBAC+sin-sinz=cos-coszBAC+sin-sinzBAC=—.答案:三、解答题5.(2019全国卷I理科T17"ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c•设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A.⑵若a+b=2c,求sinC.【命题意图】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题,涉及两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用,解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简,得到余弦定理的形式或角之间的关系.【解题指南】(1)利用正弦定理化简已知边角关系式可得:b2+c2-a2=bc,从而可求出cosA,根据Aw(0,n)可求得结果;(2)利用正弦定理可得sinA+sinB=2sinC,利用sinB=sin(A+C)、两角和差正弦公式可得关于sinC和cosC的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.【解析】⑴由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)方法一:由⑴知B=120°-C,由题设及正弦定理得sinA+sin(120°-C)=2sinC,即一+—cosC+-sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=—,故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°=方法二:因为a+b=2c,由正弦定理得：sinA+sinB=2sinC,又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,A=-,所以x—+—cosC+-sinC=2sinC,整理可得:整理可得:3sinC-cosC,即3sinC-cosC=2sin所以sin--二一，所以C二一或一,因为A=-且A+C<n,所以C二一，所以sinC=sin—=sin__=sin-cos_+cos-sin-=.6.(2019全国卷皿理科T18同2019全国卷皿文科T18RABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin——=bsinA.⑴求B.⑵若△ABC为锐角三角形，且c=1,求SBC面积的取值范围.【命题意图】本题考查三角恒等变换、正弦定理、面积公式,意在考查考生综合应用三角知识运算求解能力.【解析】⑴由题设及正弦定理得sinAsin——=sinBsinA.因为sinA/0,所以sin—=sinB-由A+B+C=180°,可得sin一=cos-,故cos一=2sin-cos-.因为cos-HO,故sin-=-，因此B=60°.(2)由题设及⑴知△ABC的面积S&Abc=—a.由正弦定理得a==由正弦定理得a==(。-)=由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°,0°<C<90°,由⑴知A+C=120°,所以30°<C<90°,故-<a<2,从而一<S&ABC^.因此^ABC面积的取值范围是一,一•7.(2019北京高考理科T15)在^ABC中,a=3,b-c=2,cosB=—.求b,c的值.求sin(B-C)的值.【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角恒等变换,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】(1)由已知及余弦定理,cosB==__=--,即9-2b+c=0,又b-c=2,所以b=7,c=5.(2)由(1)及余弦定理,cosC===—又sin2C+cos2C=1,0<C<n,所以sinC=——，同理sinB=—,所以sin(B-C)=sinBcosC-sinCeosB=—xx--=——-【方法技巧】解三角形的问题,已知边角和所求边角放一起,两边两角用正弦定理,三边一角用余弦定理,常用结论:sin(A+B)=sin(n-C)=sinC,sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,cos(A+B)=cos(n-C)=-cosC,cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB.8.(2019北京高考文科T15)在ZBC中,a=3,b-c=2,cosB=--.求b,c的值.⑵求sin(B+C)的值.【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角恒等变换,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】(1)由已知及余弦定理,cosB==__=-_，即9-2b+c=0,又b-c=2,所以b=7,c=5.由(1)及余弦定理,cosC===—又sin2C+cos2C=1,0<C<n,所以sinC=——，同理sinB=—,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB=—x_+—x--=—•【方法技巧】解三角形的问题,已知边角和所求边角放一起,两边两角用正弦定理,三边一角用余弦定理,常用结论:sin(A+B)=sin(n-C)=sinC,sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,cos(A+B)=cos(n-C)=-cosC,cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB.9.(2019天津高考理科T15同2019天津高考文科T16)在^ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c•已知b+c=2a,3csinB=4asinC.求cosB的值.求sin-的值.【解析】(1)在^ABC中，由正弦定理=，得bsinC=csinB,又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,因为sinC/0,所以3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=-a,c=-a.由余弦定理可得cosB===--.(2)由⑴可得sinB=-=—,sin2B=2sinBcosB=-—,cos2B=cos2B-sin2B=--,故sin-=sin2Bcos-+cos2Bsin-=-—x—--x-=-.10.(2019江苏高考T15)在^ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.⑴若a=3c,b=,cosB=-，求c的值.⑵若，求sin-的值.【命题意图】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.【解题指南】(1)由题意结合余弦定理得到关于c的方程，解方程可得边长c的值.(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cosB的值,然后由诱导公式可得s