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文档简介
定理9.1若函
f(x)
[a,
上连续
F(x，
f(x)
[a,bf(x)dxba
F(b)
F(a)这即 公式，也常记bbb
给
[a,
任意一个分割:
n
nF(b)
F
F(xk)k
F(xk1)
k
f
这里
xk
，
[xk1,xk，用了Lagrange中值定理
f(x)
C[a,b]由Cantor定理，
[a
所以
，
只要
[a,b]
，就 f()
f
b于是
时，k[xk1xk ，nnk
F(b)
F
nkn
(k)
f
F(x)
：在[a
(a,
F(x)
f
x
.而
(x)
[a,注2：本定理
F(x)
的要求是多余的f(x)
[a
可积（不一定连续）又F(x)
[a,
上连续，并且
(a,
上可导，F(x)
f(x)
faaa
F(x)
F(b)
F(a)证
[a,
一分割a
n
xn由Lagrange中值定
F
k
f
bk(xk1,xkb
因f
[a,
可积1k
，则上式右边b
f(x)dx所
F(a)
f(x)dx 例
计算
b解 b
因
x在[ab]连续且(
x)'
sinbab
xdx
cosxacosaa
cos例22
1dx.x 当
0
2x2
x|, 2
ln1
ln2
ln3计算曲
x在[0]上与x轴所成的平面图形的面积yoyox面积A0sin0cosx0例 计算由抛物线y
x21,直线x
y以坐标轴所围图S. x由于抛物线与直线故所围曲边梯形面3S
f(x2
0
其中
(x)
1x例 求极限lim1sinsin
sin(n解
nn
1sinsin
sin(n
sinnn
n 1
n i
n
nsin
sin
i
i1 n
0sin1(cos0cos)2 例 求lim
n1
1n.n1n. 原式
n
n1
n1
n1
lim n1
1n
1
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