M02n第二章初等模型

第二章初等模型2.1公平的席位分配2.2录像机计数器的用途2.3双层玻璃窗的功效2.4汽车刹车距离2.5划艇比赛的成绩2.6动物的身长和体重2.7

实物交换2.8

核军备竞赛2.9

启帆远航2.10量纲分析与无量纲化M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第1页!2.1公平的席位分配系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.5乙6331.5丙3417.0总和200100.020.02021席的分配比例结果10.8156.6153.57021.00021问题三个系学生共200名(甲100，乙60，丙40)，代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10,6,4席.因学生转系,三系人数为103,63,34,如何分配20席?若代表会议增加1席，如何分配21席?比例加惯例对丙系公平吗系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4总和200100.020.020系别学生比例20席的分配人数（%）比例结果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44总和200100.020.02021席的分配比例结果10.815116.61573.570321.00021M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第2页!背景Hamilton(比例加惯例)方法------1792年美国国会用于分配各州众议员名额已知:m方人数分别为p1,p2,…,pm,记总人数为P=p1+p2+…+pm,待分配的总席位为N.记qi=Npi/P,称为第i方的份额(i=1,2,…,m)各方先分配qi的整数部分[qi],总余额为记ri=qi-[qi],则第i方的分配名额ni为要求已知份额向量q=(q1,…,qm),找一个整数分配向量n=(n1,…,nm),使n与q最接近.M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第3页!Hamilton方法的不公平性1.p1,p2,…,pm不变,N的增加会使某个ni减少(上例).2.N不变,pi比pj的增长率大,会使ni减少nj增加(例1).3.p1,p2,…,pm不变,m增加1,N的增加会使某个ni增加而某个ni减少(例2).pinii=110310i=2636i=3344总和20020pi114(+10.6%)6338(+11.8%)215qi10.605.863.5420ni116320pi10363346206qi10.506.423.470.6121ni1163121例1例2M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第4页!公平分配方案应使rA

,rB

尽量小设A,B已分别有n1,n2席,若增加1席,问应分给A,还是B?不妨设分配开始时p1/n1>p2/n2，即对A不公平.~对A的相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2，定义M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第5页!当rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),该席给ArA,rB的定义该席给A否则,该席给B定义该席给Q值较大的一方推广到m方分配席位计算该席给Q值最大的一方Q

值方法(Huntington)“公平”分配方法M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第6页!模型的公理化研究Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？席位分配的公理(1974)份额qi=Npi/P,分配名额ni

=ni(N,p1,…,pm)已知p1,p2,…,pm,P,N1)[qi]ni

[qi]+1

(i=1,2,…m)~公平分配性2)ni

(N,p1,,…pm)ni

(N+1,p1,…,pm)~名额单调性3)若pi<pi'

,pj=pj'(ji),则ni

(N,p1,…)ni'

(N,p1',…)

~人口单调性4)ni,nj的转让不能使得它们更接近qi,qj~接近份额性M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第7页!“比例加惯例”方法满足公理1，但不满足公理2.Q值方法满足公理2,但不满足公理1.模型的公理化研究pi9521716151000qi95.21.71.61.5100ni94222100i=1i=2i=3i=4不存在满足上述公理的席位分配方法(1982)M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第8页!问题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系.思考计数器读数是均匀增长的吗？2.2

录像机计数器的用途经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分钟，计数器读数从0000变到6061.观察计数器读数增长越来越慢！M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第9页!模型假设录像带的运动速度是常数v；计数器读数n与右轮转数m成正比，记m=kn；录像带厚度（加两圈间空隙）为常数w；空右轮盘半径记作r；时间

t=0时读数n=0.建模目的建立时间t与读数n之间的数量关系.（设v,k,w,r为已知参数）M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第10页!2.考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚度乘以转过的长度，即模型建立3.考察t到t+dt录像带运动的长度，等于在右轮盘上缠绕的一段圆弧，即思考：比较方法3与方法1,2，分析微积分与初等数学在解决问题的思路上有什么本质区别?M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第11页!参数估计另一种确定参数的方法——测试分析将模型改记作只需估计a,b.理论上，已知t=184,n=6061,再有一组(t,n)数据即可.实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合.现有一批测试数据：

t020406080n00001141201927603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第12页!录像机计数器的用途日常生活中的问题(录制节目)数学建模全过程的典型示例观察现象(读数增长越来越慢)建模准备(了解工作原理)模型建立(多种方法)模型检验模型假设参数估计(测试分析)模型应用M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第13页!dd墙l室内T1室外T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta~内层玻璃的外侧温度Tb~外层玻璃的内侧温度k1~玻璃的热传导系数k2~空气的热传导系数建模M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第14页!hQ1/Q24200.060.030.026模型应用取h=l/d=4,则Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失.结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系数k2极低,而这要求空气非常干燥、不流通.房间通过天花板、墙壁、…损失的热量更多.实际上双层窗的功效不会如此之大!M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第15页!问题分析常识：刹车距离与车速有关10英里/小时(16km/h)车速下2秒钟行驶29英尺(9m)>>车身的平均长度15英尺(=4.6m)“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同.刹车距离反应时间司机状况制动系统灵敏性制动器作用力、车重、车速、道路、气候…最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动.车速常数反应距离制动距离常数M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第16页!反应时间t1的经验估计值为0.75秒.参数估计利用交通部门提供的一组实际数据拟合k.模型最小二乘法k=0.06计算刹车距离、刹车时间车速(英里/小时)(英尺/秒)实际刹车距离（英尺）2029.342（44）3044.073.5（78）4058.7116（124）5073.3173（186）6088.0248（268）70102.7343（372）80117.3464（506）计算刹车距离（英尺）刹车时间（秒）43.91.582.51.8132.12.1192.22.5263.83.0346.53.6439.54.3M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第17页!2.5划艇比赛的成绩赛艇2000m成绩t(分)种类1234平均单人7.167.257.287.177.21双人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇长l

艇宽b(m)(m)l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)桨手数n

16.313.618.114.7对四种赛艇(单人、双人、四人、八人)4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系.试建立数学模型揭示这种关系.问题准备调查赛艇的尺寸和质量l/b,w0/n

基本不变M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第18页!模型假设1）艇形状相同(l/b为常数),w0与n成正比2）v是常数，阻力f与sv2成正比符号：艇速v,浸没面积s,浸没体积A,空艇重w0,阻力f,桨手数n,桨手功率p,桨手体重w,艇重W.艇的静态特性艇的动态特性3）w相同，p不变，p与w成正比桨手的特征模型建立f

sv2,p

wv

(n/s)1/3s1/2

A1/3,A

W(=w0+nw)

ns

n2/3v

n1/9比赛成绩

t

n

–1/9npfv,M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第19页!划艇比赛的成绩对实际数据做比较、分析，发现并提出问题.利用物理基本知识分析问题.模型假设比较粗糙.利用合适的物理定律及简单的比例方法建模(只考虑各种艇的相对速度).模型结果与实际数据十分吻合(巧合！)M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第20页!假设与建模1.躯干为圆柱体，长度l,直径d,断面面积s.2.圆柱体为弹性梁，四肢为支架.3.动物在自身体重f作用下，躯干最大下垂为b(梁的最大弯曲).4.弹性力学的已有结果：dlbf

5.由f

sl,得b/l是动物躯干的相对下垂度.M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第21页!动物的身长和体重将动物躯干类比为弹性梁——充满想像力的大胆假设!把不熟悉的问题转化为有确切研究成果的弹性梁在自重下的挠曲问题.类比法是数学建模的一种常用方法.M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第22页!xyyoy1y20x1x2xop1p2..甲的无差别曲线分析与建模如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度,即p1,p2对甲是无差别的.MN将所有与p1,p2无差别的点连接起来,得到一条无差别曲线MN.线上各点的满意度相同,线的形状反映对X,Y的偏爱程度.N1M1P3(x3,y3).比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上,于是形成一族无差别曲线（无数条）.M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第23页!xyOg(x,y)=c2c2乙的无差别曲线族g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同）.双方的交换路径xyyoOxof=c1O'x'y'g=c2乙的无差别曲线族g=c2

(坐标系x'O'y',且反向）甲的无差别曲线族f=c1ABp

P'

双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上!因为在AB外的任一点p',(双方)满意度低于AB上的点p.两族曲线切点连线记作AB分析与建模M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第24页!2.8核军备竞赛冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全,实行“核威慑战略”,核军备竞赛不断升级.随着前苏联的解体和冷战的结束,双方通过了一系列核裁军协议.在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张,而存在暂时的平衡状态.当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时,平衡状态会发生什么变化.估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量,这个数量受哪些因素影响.背景与问题M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第25页!图的模型y=f(x)~甲有x枚导弹,乙所需的最少导弹数(乙安全线)x=g(y)~乙有y枚导弹,甲所需的最少导弹数(甲安全线)当x=0时y=y0，y0~乙方的威慑值xyy00y0~甲方实行次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数.x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全区甲安全区双方安全区P~平衡点(双方最少导弹数)乙安全线M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第26页!

a~交换比(甲乙导弹数量比)x=ay,分析模型x=y,y=y0/sx=2y,y=y0/s2y0~威慑值s~残存率y=f(x)y是一条上凸的曲线y0变大，曲线上移、变陡.s变大，y减小，曲线变平.xy0y0x<y,y=y0+(1-s)xx=yx=2yy<x<2y,M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第27页!甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架.乙安全线y=f(x)不变甲方残存率变大威慑值x0不变x减小，甲安全线x=g(y)向y轴靠近xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)模型解释甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少.PP´M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第28页!核军备竞赛对“核威慑战略”做一些合理、简化假设，用图的模型描述双方核武器相互制约、达到平衡的过程.提出安全曲线概念，给出它的一般形式.通过更精细的分析找到影响安全线的参数：威慑值和残存率，给出安全线的分析表达式.利用模型对核军备竞赛中的一些现象作出合理解释.M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第29页!模型分析风(通过帆)对船的推力w风对船体部分的阻力p推力w的分解

wp阻力p的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型假设

w与帆迎风面积s1成正比，p与船迎风面积s2成正比，比例系数相同且s1远大于

s2.f1~航行方向的推力p1~航行方向的阻力M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第30页!2)令=/2,

v1=k1[w(1-cos)/2

-pcos]cos求使v1最大（w=ks1,p=ks2）1)当固定时求使f1最大f1=w[cos(-2)-cos]/2=/2时f1=w(1-cos)/2最大=k1(f1-p1)cosf1=w1sin=wsinsin(-)p1=pcos求,,使v1最大模型建立v1=vcos

wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第31页!2.10量纲分析与无量纲化物理量的量纲长度l的量纲记L=[l]质量m的量纲记M=[m]时间t的量纲记T=[t]动力学中基本量纲

L,M,T速度v的量纲[v]=LT-1导出量纲加速度a的量纲[a]=LT-2力f的量纲[f]=LMT-2引力常数k的量纲[k]对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)2.10.1量纲齐次原则=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第32页!对x,y,z的两组量测值x1,y1,z1

和x2,y2,z2,

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)为什么假设这种形式?设p=f(x,y,z)x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式为量纲齐次原则单摆运动M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第33页!设f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0与

f(q1,q2,,qm)=0等价,F未定.Pi定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,Xn

是基本量纲,nm,q1,q2,qm

的量纲可表为量纲矩阵记作线性齐次方程组有m-r个基本解，记作为m-r个相互独立的无量纲量,且则M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第34页!Ay=0有m-r=3个基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r个基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-rm-r个无量纲量量纲分析示例：波浪对航船的阻力M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第35页!量纲分析法的评注物理量的选取基本量纲的选取基本解的构造结果的局限性(…)=0中包括哪些物理量是至关重要的.基本量纲个数n;选哪些基本量纲.有目的地构造Ay=0的基本解.方法的普适性函数F和无量纲量未定.不需要特定的专业知识.M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第36页!按一定尺寸比例造模型船，量测f，可算出f1~物理模拟例:航船阻力的物理模拟M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第37页!用无量纲化方法减少独立参数个数[x]=L,[t]=T,[r]=L,[v]=LT-1,[g]=LT-2变量x,t和独立参数r,v,g的量纲用参数r,v,g的组合,分别构造与x,t具有相同量纲的xc,tc

（特征尺度）—无量纲变量如利用新变量将被简化令M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第38页!3）令为无量纲量2）令为无量纲量用无量纲化方法减少独立参数个数M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第39页!2)3)忽略项不能忽略项忽略项1)2)3)的重要差别无量纲化方法M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第40页!为什么3)能忽略项，得到原问题近似解，而1)2)不能?1）令2）令3）令火箭到达最高点时间为v/g,高度为v2/2g,大体上具有单位尺度项可以忽略项不能忽略无量纲化方法M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第41页!“公平”分配方法衡量公平分配的数量指标人数席位A方p1

n1B方p2n2当p1/n1=p2/n2

时，分配公平

p1/n1–p2/n2~对A的绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5实际上右面对A的不公平程度已大大降低!虽然左右两种情况的绝对不公平度相同.若p1/n1>p2/n2，对不公平A

p1/n1–p2/n2=5M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第42页!1）若p1/(n1+1)>p2/n2，则这席应给A2）若p1/(n1+1)<p2/n2，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，应计算rB(n1+1,n2)应计算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),则这席应给应讨论以下几种情况:初始p1/n1>p2/n2

问：p1/n1<p2/(n2+1)

是否会出现？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),则这席应给B“公平”分配方法M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第43页!三系用Q值方法重新分配21个席位按人数比例的整数部分已将19席分配完毕甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席Q2,Q3同上Q3最大，第21席给丙系甲系11席,乙系6席,丙系4席Q值方法分配结果公平吗？Q1最大，第20席给甲系M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第44页!“比例加惯例”方法满足公理1，但不满足公理2.Q值方法满足公理2,但不满足公理1.模型的公理化研究pi9521716151000qi95.21.71.61.5100ni94222100i=1i=2i=3i=4n=[1111];%从一开始就用p=[952,17,16,15];whilesum(n)<=100q=p.^2./(n.*(n+1));[mq,imq]=max(q);n(imq)=n(imq)+1;endM02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第45页!公平的席位分配建立“公平分配席位”模型的关键是建立衡量公平程度的数量指标.在以相对不公平度为衡量指标的前提下,Q值方法比“比例加惯例”方法更加公平.如果采用公理化方法——提出公平分配席位的理想化原则，那么该问题尚未解决——已证明不存在满足一组公理的席位分配方法.

M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第46页!录像机计数器的工作原理主动轮压轮0000左轮盘右轮盘磁头计数器录像带录像带运动方向主动轮匀速转动右轮盘半径增大计数器读数增长变慢录像带速度是常数问题分析右轮转速越来越慢M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第47页!模型建立建立t与n的函数关系有多种方法1.右轮盘转第

i圈的半径为r+wi,

m圈的总长度等于录像带在时间t内移动的长度vt,即思考：这个结果能否解释“计数器读数增长越来越慢”?M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第48页!3种建模方法得到同一结果但仔细推算会发现稍有差别，请解释.模型中有待定参数一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法.模型建立M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第49页!模型检验应该另外测试一批数据检验模型：模型应用回答提出的问题：由模型算得n=4450时t=116.4分，剩下的录像带能录184-116.4=67.6分钟的节目.揭示了“t与n之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录像带的状态改变时，只需重新估计a,b即可.M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第50页!2d墙室内T1室外T2dd墙l室内T1室外T2问题双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失.假设热量传播只有传导，没有对流.T1,T2不变，热传导过程处于稳态.材料均匀，热传导系数为常数.建模热传导定律Q1Q2Q~单位时间单位面积传导的热量T~温差,d~材料厚度,k~热传导系数2.3双层玻璃窗的功效双层单层M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第51页!记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙室内T1室外T2Q2双层与单层窗传导的热量之比k1=4~810-3(J/cm·s·kw·h),k2=2.510-4,

k1/k2=16~32对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，取k1/k2=16建模M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第52页!2.4

汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背景与问题正常驾驶条件下,车速每增10英里/小时，后车与前车的距离应增一个车身的长度.实现这个规则的简便办法是“2秒准则”：后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何.判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样；建立数学模型，寻求更好的驾驶规则.M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第53页!假设与建模1.刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和.2.反应距离d1与车速v成正比.3.刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;Fd2=mv2/2F

mt1为反应时间且F与车的质量m成正比.M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第54页!“2秒准则”应修正为“t秒准则”模型车速(英里/小时)刹车时间（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3车速（英里/小时）0~1010~4040~6060~80t（秒）1234M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第55页!问题分析前进阻力~浸没部分与水的摩擦力前进动力~桨手的划桨功率分析赛艇速度与桨手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定:划桨功率

赛艇速度赛艇速度前进动力前进阻力浆手数量艇重浸没面积

对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定.运用合适的物理定律建立模型.M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第56页!模型检验n

t17.2126.8846.3285.84线性最小二乘法利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型t

n

–1/9进行检验.tn12487.216.886.325.84••••与模型吻合！M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第57页!2.6

动物的身长和体重背景与问题研究四足动物躯干的长度与体重的关系.家畜收购站(屠宰场)希望从躯干长度估计体重.不陷入各种动物生理结构的研究.问题分析将动物躯干类比为圆柱形的弹性梁，四肢为支架，借助弹性力学的已有结果进行分析.M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第58页!在长期进化过程中每种动物的b/l已经达到最合适的数值，即b/l=常数(与动物尺寸无关).b/l太大，四肢无法支撑；b/l太小，四肢的尺寸超过支撑躯干的需要，不合乎生物进化论.对于一种四足动物(如生猪)由统计数据确定系数k.l3

d2f

sl,sd2,l3

d2躯干的相对下垂度b/l

l

3/d2dlbf假设与建模f

l4f=kl4可以从躯干长度l估计动物体重f.M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第59页!问题甲有物品X,乙有物品Y,双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案.yxp.用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0,乙占有Y的数量为y0,作图：若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点p(x,y)都是一种交换方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y).xyyo0xo••2.7实物交换M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第60页!p1.p2.c1y0xf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：单调减(x增加,y减小)下凸(凸向原点)互不相交在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的y换取较少的x;在p2点占有y少、x多，就要以较多的x换取较少的y.甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1~满意度（f~等满意度曲线）甲的无差别曲线M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第61页!AB交换方案的进一步确定交换方案~交换后甲的占有量(x,y)0xx0,0yy0矩形内任一点交换路径AB双方的无差别曲线族等价交换原则X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为CD(x0,0),(0,y0)两点的连线CD.AB与CD的交点p设X单价a,Y单价b,则等价交换下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0xo..xp.M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第62页!以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小.假定双方采取如下同样的核威慑战略：认为对方可能发起所谓次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；己方在经受次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击.在任一方实施次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地.摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定.模型假设M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第63页!分析模型乙方残存率

s~甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率.sx个基地未被摧毁，y–x个基地未被攻击.x<y甲方以x枚导弹攻击乙方y个基地中的x个,y0=sx+y–xx=yy0=sy乙的x–y个基地被攻击2次,s2(x–y)个未被摧毁;y–(x–y)=2y–x个被攻击1次,s(2y–x)个未被摧毁.y0=s2(x–y)+s(2y–x)x=2yy0=s2yy<x<2yy=y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第64页!甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标.乙方威慑值y0变大xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级.（其他因素不变）乙安全线y=f(x)上移模型解释平衡点PP´M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第65页!双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标.(x

,y仍为双方核导弹的数量)双方威慑值x0,y0和残存率s均减小.y0减小

y下移且变平xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)s变小y增加且变陡双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析.模型解释乙安全线y=f(x)M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第66页!帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向.简化问题AB

风向北航向帆船海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B点，确定起航时的航向，帆以及帆的朝向.2.9启帆远航M02n第二章初等模型共79页，您现在浏览的是第67页!w1=wsin(-)f1=w1sin=wsinsin(-)p1=pcos模型假设

wpw1w2f1f2p2p1

w2与帆面平行，可忽略.

f2,p2垂直于船身，可由舵抵消.模型建立w=ks1,p=ks2船在正东方向速度分量v1=vcos航向速度v与力f=f1-p1成正比.v=