线性代数课件：第七章 线性空间与线性变换（第一讲）

第七章线性空间与线性变换

从本章开始，我们的学习内容将是线性代数中比较抽象的部分。概念的抽象性、理论的概括性固然增加了学习的难度，但是，只要掌握了抽象思维与论证的规律，我们就可以在更高的视点上观察并解决某些理论与实际方面的问题。

首先，让我们来回顾一下迄今为止我们所接触的代数学。它研究的内容包括数及其运算、多项式及其运算、矩阵（向量）及其运算等。研究的方法是针对每一种具体对象探索它们运算所满足的各种性质，并用以解决本系统内的相应问题。第七章机动目录上页下页返回结束

人们发现，各种不同对象用各自不同方式定义的运算，却往往具有一些共同的性质。例如数、多项式和矩阵的加法都满足交换律及结合律，可以统一表达为X+Y=Y+X,(X+Y)+Z=X+(Y+Z).

这启发我们抛开对象的具体形式而关心一种统一的抽象模型，并对这种模型进行深入的研究，其研究结果便可适用于符合这一模型的每一种具体对象。这就是科学抽象产生抽象科学的过程。

本章将讨论一种抽象的数学模型——线性空间。其实，抽象都是源于具体的。随着学习的深入，我们会体察到，线性空间与我们已熟悉的数组向量有着密切的关系。§1线性空间及其子空间1.1

线性空间的定义

在给出线性空间这一抽象模型的定义之前,我们先来看一看它的“源型”之一,即我们所熟悉的“数组向量空间”。

设R是实数域,V是n维实(数组)向量全体所成的集合(该集合习惯上记为Rn).我们过去熟知的向量加法就成了集合V上的一种运算:对于任意的α,β∈V

,总有α+

β∈V;

向量数乘是另一种运算:对于任意的k∈

R,α∈V,总有kα∈V.并且,这两种运算还具有以下性质:机动目录上页下页返回结束第七章1)加法交换律;2)加法结合律;3)V中有一个元素0,对于任何α∈V,恒有α+0=α;4)V中每个向量α都有它的负向量-α,使α+(-α)=0;5)1α=α,α

∈V;6)k(l

α)=(kl)α,k,l∈R,α∈V;7)(k+l)α=kα+l

α;k,l∈R,α∈V;8)k(α+β)=kα+kβ,k∈R,α,β∈V.以它们为“源型”,抛开各集合中元素的特定属性和运算的具体规则,而就运算性质加以抽象,所得到的模型就是线性空间。机动目录上页下页返回结束

定义1.1

设V是一个非空集合,F是一个数域.如果能定义一种V的元素间的运算,叫做加法:对于V中任意两个元素α,β都有V中唯一的元素

γ之对应;γ称为α与β的和,记为γ=α+β.另外,还能定义一种数域F的数与集合V的元素间的运算,叫做数乘:对于数域F中任一数k及集合V中任一元素α,都有V中唯一的元素δ与之对应;δ称为k与α的数积,记为δ=kα.

并且,集合V在以上两种运算下具有如下性质:机动目录上页下页返回结束2)(α+β)+γ=α+(β+γ);3)V中存在零元素,通常记为0,对于任何α,恒有

α+0=α;4)对于α∈V,都有α的负元素α′∈V,使

α+α′=0;5)lα=α;6)k(lα)=(kl

)α(kl

是通常的数的乘法);7)(k+l)α=k

α+lα

(k+l是通常的数的乘法);8)k(α+β)=k

α+kβ;则称V为数域F上的一个线性空间.1)α+β

=β

+α;

对于任意α,β,γ∈V及k,l

∈F,线性空间是把集合、数域以及满足相应算律的两种运算作为统一整体的一个概念.满足定义1.1中条件的加法及数乘运算统称为线性运算.我们约定：kα与α

k表示同一数积。

线性空间亦称向量空间.线性空间的元素又称为向量.零元素又称零向量.负元素又称负向量.

验证集合V是数域F上的线性空间：(1)具体指出“加法”与“数乘”运算规则，(2)“运算结果仍在V中”即集合V对加法运算封闭;

数乘运算封闭.(3)

运算满足8条运算律.

例1.1

设C是复数域,R是实数域.如果定义集合C的元素间的加法即是通常意义下的复数加法,数域R与集合C的元素间的数乘即是通常意义下(实)数与(复)数的乘法,则C构成数域R上的一个线性空间.

在本例中,加法与数乘显然具备运算的确定性和封闭性.八条性质也容易逐个验证.该线性空间的零元素即数0,

C中元素α的负元素即α的负数-

α.机动目录上页下页返回结束

如果在本例中设加法运算同上,而把“数乘”运算改用“°”来标记,并规定k∈R,α

∈C,上式右端按通常数的乘法规则运算.则对任意k∈R及α

∈C,都有,∈C。然而当α非零时，显然这说明定义1.1中条件5）不成立.因而,V在这样的数乘运算下不能构成线性空间。机动目录上页下页返回结束

例1.2

任何数域F(作为集合),对于通常的数的加法(作为线性空间定义中的加法)运算及乘法(作为线性空间定义中的数乘)运算,构成数域F上的线性空间.

例1.3

实数域R(作为集合),对于通常的数的加法及乘法(作为数乘)运算不能构成复数域C上的线性空间.

这是因为，此时的“数乘”不具备线性空间定义中所要求的封闭性.例如取

k=i∈C,α=2∈R,kα

=2i机动目录上页下页返回结束R.

对于通常的多项式加法及多项式数乘运算构成实数域R上的线性空间.

例1.4

对于正整数n,实数域R上的次数小于n的多项式的全体所成集合首先来证两种运算是封闭的。f(x),g(x),设其中αi,bi∈R,i=0,1,2…,n-1.于是对于R中的任意元素又对任意k∈R,有机动目录上页下页返回结束

该线性空间的零元素即零多项式0；元素f(x)的负元素即-f(x)。

还容易验证线性空间定义中的八条性质现在都成立.因此R是实数域R上的线性空间.

例1.5

数域F上n维（列或行）数组向量的全体所成集合Fn,对于数组向量加法与数乘两种运算构成数域F上的线性空间.

例1.6

数域F上m×n矩阵的全体所成集合Fm×n,对于矩阵加法与数乘两种运算构成数域F上的线性空间.

该线性空间的零元素即Om×n,任一元素A的负元素即A的负矩阵-A.机动目录上页下页返回结束

例1.7

验证集合V1={x=(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn

∈R}2α=(2,2a2,…,2an)T

V1故V1不是一个向量空间.机动目录上页下页返回结束对于通常意义上的加法与数乘,是否构成R上的向量空间.解因为∀α∈V1,有

例1.8

设R+是正实数全体的集合，R是实数域。定义加法及数乘如下：机动目录上页下页返回结束则R+对于上述运算构成实数域R上的线性空间。

证明:

首先，所定义的两种运算是封闭的.即对于任意的a,b∈R+,k∈R,有并且满足

3)R+中存在零元素1,对任何a∈R+,有4)对任何a∈R+,有a的负元素使因此R+对于所定义的两种运算构成实数域R上的线性空间。1.2线性空间的基本性质

性质1

线性空间的零元素唯一。

证明设01,02都是线性空间V的零元素,即对任何α∈V

,有α+01=α,α+02=α.于是便有02=

02+

01=

01

+

02=

01可见零元素只有一个。机动目录上页下页返回结束

性质2线性空间中任一元素的负元素唯一.

证明设α是线性空间V中元素,并且α′,α〞都是α的负元素，α

+α′=0,α+α〞=0.于是可见α的负元素唯一。

今后,我们把元素(向量)α的负元素(负向量)记为

–α.机动目录上页下页返回结束

性质3

设V是数域F上的线性空间,则对任何α

∈V及k∈F

,总有:(i)0α=0;(ii)k0=0;(iii)当k≠0且α

≠0时,定有k

α

≠0.

证明

(i)0α=(0+0)α=0α+0α,两端同时加上-0α

,便得0α=0.(ii)由k0=k(0+0)=k0+k0,两端同时加上-

k0,便得k0=0.(iii)当k≠0且α

≠0时,如果kα=0,便有直接与所设条件相违.机动目录上页下页返回结束

性质4

设V是数域F上的线性空间,则对任何k∈F及α∈V,总有

证明由即(-k)α知是k

α的负向量,即再由又知于是联等式成立.机动目录上页下页返回结束

推论1.1

对线性空间中,任何向量α,总有

利用负向量可以定义向量的减法：

请读者牢牢掌握线性空间的定义及基本性质，它们对于线性空间中的运算与论证都是最基本的依据。机动目录上页下页返回结束

1.3线性空间的子空间

容易判明,数域F上的所有n阶矩阵的集合对于通常的矩阵加法与矩阵数乘运算,构成数域F上的线性空间.数域F上的所有n阶对称矩阵的集合在同样运算下也构成数域域F上的线性空间.而后者作为集合是前者的子集.我们把后一个线性空间成为前一个线性空间的子空间.一般定义如下.

定义1.2

设V是数域F上的线性空间,V1是V的一个非空子集.如果V1对于V的加法与数乘运算也构成数域F上的线性空间,则称V1为V的一个线性子空间,简称子空间.

机动目录上页下页返回结束

定理1.1

设V是数域F上的线性空间,如果V的非空子集V1对于V的运算满足1）对任意的α,β∈V1,有α+β∈V1；2）对任意的k∈F,α∈V,有kα∈V1，则V1是V的子空间.

证明据定理所设,线性空间V的加法与数乘运算对于子集合V1封闭.只需再验证这两种运算(对于V1而言)满足线性空间定义中的八个条件.由于运算是V中原有的数域F也没变,因此V1显然满足线性空间定义中的1),2)

,

5),6)

,7),8)这六个条件.

对于V1中任何向量α,取k=-1,则有(-1)α=-

α∈V1,且使α+(-α)=0.也就是说,线性空间定义中的条件4)负元素也满足.

综上可见,V1对于V中已有的加法、数乘运算构成数域F上的线性空间,从而是V的一个子空间.机动目录上页下页返回结束又因为V1非空,必有α∈V1,取k=0∈F,则由定理条件2)知0α=0∈V1,并且对于V1中的任何向量β,有β+0=β.可见V1中存在零元素,而且它正是V中的零元素.这说明对V1而言,线性空间定义中的条件3)也具备.

例1.9

任何线性空间V本身是V的一个线性空间.子集合｛0｝也构成V的线性空间,称作零子空间.以上两个子空间称为平凡子空间.

例1.10

对于实数域R上的线性空间R2×2,证明其子集合是R2×2一个子空间。机动目录上页下页返回结束

从定理1.1的证明过程中我们看到，线性空间V的任何子空间的零元素只能是V的零元素；子空间中任何元素α的负元素也就是α在V中的负元素.

证明